高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：直線與拋物線的位置關(guān)系-重難點題型檢測（教師版）

專題3.14直線與拋物線的位置關(guān)系-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是拋物線y2=4x的焦點，P為拋物線上一點，且∠POF=60°，則A．53 B．2 C．73 【解題思路】不妨設(shè)點Px,y為第一象限內(nèi)一點，將直線OP的方程與拋物線方程聯(lián)立，求出點P的坐標(biāo)，然后利用拋物線的定義可求得PF【解答過程】不妨設(shè)點Px,y為第一象限內(nèi)一點，則直線OP的斜率為3，直線OP的方程為y=聯(lián)立y=3xy2=4x所以，PF=故選：C.2．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)F為拋物線C:y2=6x的焦點，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點，則ABA．303 B．8 C．12 D．【解題思路】由題意得出焦點坐標(biāo)，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過焦點的弦長公式可得出答案.【解答過程】依題意可知拋物線C:y2=6x焦點為32,0代入拋物線方程得4x2?20x+9=0根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為xA故選：B．3．（3分）（2021·全國·高二專題練習(xí)）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬（）米．A．25 B．26 C．32【解題思路】通過建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，將A點代入拋物線方程求得m，得到拋物線方程，再把B（x0，﹣3）代入拋物線方程求得x0進而得到答案．【解答過程】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝my，將A（2，﹣2）代入x2＝my，得m＝﹣2∴x2＝﹣2y，B（x0，﹣3）代入方程得x0=6故水面寬為26m．故選：B．4．（3分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）斜率為3的直線過拋物線C:y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則三角形AOB的面積是（OA．233 B．433 C．【解題思路】寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求出A，B兩點坐標(biāo)，進而求出AB的長，再求出原點到直線距離，求出三角形面積.【解答過程】拋物線C:y2=4x則斜率為3的直線方程為：y=33x設(shè)Ax1,y1則AB=點O到直線AB的距離為d=?所以△AOB的面積為1故選：B.5．（3分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，其中拋物線中的阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y2=2pxp>0，弦AB過焦點F，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQA．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨著點A，B位置的變化，前三種情況都有可能【解題思路】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達定理得出y1【解答過程】如圖，設(shè)Ax1,y1，Bx2設(shè)直線AB的方程為my=x?p2，聯(lián)立整理得y2?2pmy?p2=0設(shè)過點A的切線方程為k1y?y整理得y2則Δ=?2pk設(shè)過點B的切線方程為k2y?y則p2k1k2則兩條切線的斜率之積為?1，故△ABQ是直角三角形．故選：B．6．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，EA．32 B．16 C．24 D．8【解題思路】由兩條直線垂直，以及|AB|+|DE|取得最小值時|AB|=|DE|，有A與D，B與E關(guān)于x軸對稱，可得直線DE的斜率為1，進而可求出直線DE的方程，與拋物線聯(lián)立寫出韋達定理和弦長公式，再由相互垂直的四邊形面積公式求值即可．【解答過程】因為AB⊥DE，要使|AB|+|DE|最小，而|AB|+|DE|≥2|AB||DE|由拋物線的對稱性可得A與D，B與E關(guān)于x軸對稱，所以可得直線DE的斜率為1，又過拋物線的焦點(1,0)，所以直線DE的方程為：y=x?1，y=x?1y2=4x，整理可得y2?4y?4=0所以可得|DE|=1+所以S四邊形故選：A．7．（3分）（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知拋物線C:y2=12x的焦點為F，過F且不與x軸垂直的直線與拋物線相交于A、B兩點，P為x軸上一點，滿足PA=PBA．為定值2 B．為定值1C．不是定值，最大值為1 D．不是定值，最小值為1【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)直線AB的方程為x=my+3m≠0，設(shè)點Ax1,y1、Bx2,y2【解答過程】若直線AB與x軸重合，此時，直線AB與拋物線C只有一個交點，不合乎題意；由題意，F(xiàn)(3,0)，設(shè)直線AB的方程為x=my+3m≠0，設(shè)點Ax1聯(lián)立y2=12xx=my+3可得y由韋達定理可得y1+y所以，AB=線段AB的中點為D6m2+3,6m，所以，直線在直線PD的方程中，令y=0，可得x=6m2+9所以，PF=6m2故選：A.8．（3分）已知A，B是拋物線C:y2=4x上兩動點，F(xiàn)為拋物線CA．直線AB過焦點F時，AB最小值為4B．直線AB過焦點F且傾斜角為60°時（點A在第一象限），AFC．若AB中點M的橫坐標(biāo)為3，則AB最大值為8D．點A坐標(biāo)4,4，且直線AF，AB斜率之和為0，AF與拋物線的另一交點為D，則直線BD方程為：4x+8y+7=0【解題思路】對于A，易知當(dāng)AB垂直于x軸時，AB取最小值4，故A正確；對于B，聯(lián)立方程求得xA與xB，從而得到對于C，由AB≤AF+BF可推得當(dāng)直線AB過焦點對于D，利用條件分別求出B、D的坐標(biāo)，從而求得直線BD的方程，故D正確．【解答過程】依題意得，拋物線C:y2=4x的焦點為F1,0對于A，直線AB過焦點F，AB=xA+xB+p=xA對于B，由題可知，直線AB為y=3x?1，代入y2解得x=13或x=3，所以AF=3+p2對于C，由于A，B為兩動點，所以AB≤AF+BF=對于D，依題意，kAF=43=yA?yDx故選：B.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，斜率為1的直線l交拋物線于A、BA．拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=1B．線段AB的中點在直線y=2上C．若AB=8，則△OAB的面積為D．以線段AF為直徑的圓一定與y軸相切【解題思路】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與準(zhǔn)線方程的關(guān)系可判斷A選項的正誤；利用點差法可判斷B選項的正誤；利用弦長公式以及三角形的面積公式可判斷C選項的正誤；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D選項的正誤.【解答過程】對于A選項，拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=?1，A錯；對于B選項，設(shè)點Ax1,y1、B則y12=4x1所以，y1+y對于C選項，設(shè)直線AB的方程為y=x+b，聯(lián)立y=x+by2=4xΔ=4b?22?4b2>0AB=2?點O到直線l的距離為d=b2=對于D選項，設(shè)線段AF的中點為Nx3,由拋物線的定義可得AF=x1+1=2×x1+1所以，以線段AF為直徑的圓一定與y軸相切，D對.故選：BCD.10．（4分）（2022·福建·高二期中）設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F直線l過F且與C交于A,B兩點，若AF=3BFA．y=33(x?1)C．y=3(x?1) 【解題思路】先由拋物線方程得到焦點坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為y=kx?1，Ax1,y【解答過程】由拋物線C:y2=4x由題意，設(shè)直線l的方程為y=kx?1，Ax1由y=kx?1y2=4x消去則x1+x根據(jù)拋物線的定義可得，AF=x1因為AF=3BF，所以x1+1=3x2+1，則x所以x1+x即直線l的方程為y=±3故選：CD.11．（4分）（2022·江蘇南通·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，直線l的傾斜角為60°且經(jīng)過點F.若l與C相交于AA．x1x2C．|AB|=163 D．△AOB【解題思路】根據(jù)拋物線方程得到焦點坐標(biāo)，即可得到直線l的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，即可判斷A、B，根據(jù)焦點弦公式判斷C，再求出原點到直線l的距離，即可求出三角形的面積；【解答過程】解：拋物線C:y2=4x的焦點坐標(biāo)為F1,0，所以直線則y=3x?1y2=4x，消去y得3所以|AB|=xy1又O到直線l：3x?y?3=0的距離d=故選：BC.12．（4分）（2021·江蘇·高二單元測試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過拋物線x2=2y的焦點的直線l與該拋物線的兩個交點為A(x1，A．yB．以AB為直徑的圓與直線y=?1C．OA·OBD．經(jīng)過點B與x軸垂直的直線與直線OA交點一定在定直線上【解題思路】聯(lián)立直線l與拋物線x2取AB中點M即為圓心，分別過A、B、M作直線y=?12的垂線，由拋物線定義得M到直線y=?1OA·OB=x1寫出兩條直線方程并聯(lián)立求出交點坐標(biāo)，結(jié)合前面結(jié)論化簡交點縱坐標(biāo)，即可判斷D．【解答過程】解：由拋物線x2=2y，知焦點由題意知直線l斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+1聯(lián)立x2=2y，消x得所以y1設(shè)AB中點為M，M為以AB為直徑的圓的圓心，又y=?12是拋物線分別過A、B、M作直線y=?12的垂線，垂足分別為A'、B得MM由拋物線定義知AA'+B故B正確；聯(lián)立直線l與拋物線x2=2y，得y1因為y1所以k=y即xOA·故C錯誤；經(jīng)過點B與x軸垂直的直線為x=直線OA為y=y聯(lián)立得交點(x因為x1則y1所以經(jīng)過點B與x軸垂直的直線與直線OA交點一定在定直線y=?1故D正確．故選：ABD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·上海市高三階段練習(xí)）直線y=kx+1與拋物線y2=4x至多有一個公共點，則k的取值范圍為0【解題思路】分k=0、k≠0兩種情況討論，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于k的不等式，即可解得實數(shù)k的取值范圍.【解答過程】當(dāng)k=0時，聯(lián)立y=1y2=4x可得x=14當(dāng)k≠0時，聯(lián)立y=kx+1y2=4x由題意可得Δ=2k?42綜上所述，k的取值范圍是0∪故答案為：0∪14．（4分）（2022·廣東·高三階段練習(xí)）若直線l經(jīng)過拋物線x2=4y的焦點，與該拋物線交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標(biāo)為3，則線段AB的長為【解題思路】求出焦點坐標(biāo)，設(shè)出直線l方程為y=kx+1，并設(shè)A(x1,y1),B(x【解答過程】拋物線x2=4y的焦點為F(0,1)，直線設(shè)l的方程為y=kx+1，A(x則由x2=4yy=kx+1x1+x又y1+y2=k(x1所以AB=故答案為：8．15．（4分）（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線Γ:x2=8y的焦點為F，過點F'(0,?2)的直線l與拋物線Γ交于Ax1,y1，Bx2,y2兩點（其中0<x1【解題思路】根據(jù)給定條件寫出直線l、直線BF方程，再分別與拋物線Γ的方程聯(lián)立，探求出點C，A的坐標(biāo)關(guān)系即可作答.【解答過程】依題意，直線l的方程為：y=kx?2，由y=kx?2x2=8y消去y并整理得：x拋物線Γ:x2=8y的焦點為F(0,2)，令直線由y=k1x+2x2=8y消去y并整理得：x2而A，C都在拋物線上，由對稱性知，點A，C關(guān)于y軸對稱，于是得k+k所以k+k故答案為：0.16．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知點F為拋物線C:y2=4x的焦點過點F且斜率存在的直線交拋物線C于A，B兩點，點D為準(zhǔn)線l與x軸的交點，則△DAB的面積S的取值范圍為【解題思路】設(shè)A,B坐標(biāo)和直線AB的方程，讓直線AB方程與拋物線進行聯(lián)立可得x1+x2=2+4k2，【解答過程】由拋物線C:y2=4x可得焦點F1,0，準(zhǔn)線方程為設(shè)Ax1,y1，B由y=kx?1y2=4x，可得k2所以AB=直線AB的一般方程為kx?y?k=0，點D?1,0到直線AB的距離d=所以S=1所以△DAB的面積S的取值范圍為4,+∞故答案為：4,+∞四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)直線l:y=kx+1，拋物線C:y2=4x，當(dāng)k為何值時，l【解題思路】聯(lián)立直線方程和拋物線方程，分類討論即可.【解答過程】解：聯(lián)立方程，得y=kx+1,消去y并整理，得k2當(dāng)k≠0時，方程k2所以Δ=當(dāng)Δ=0，即k=1時，l與C當(dāng)Δ>0，即k<1且k≠0時，l與C當(dāng)Δ<0，即k>1時，l與C當(dāng)k=0時，直線l的方程為y=1，顯然與拋物線C交于點14綜上所述，當(dāng)k=1時，l與C相切；當(dāng)k<1時，l與C相交；當(dāng)k>1時，l與C相離.18．（6分）（2022·江蘇·高二）如圖，一拋物線型拱橋的拱頂O離水面高4米，水面寬度AB＝10米．現(xiàn)有一船只運送一堆由小貨箱碼成的長方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過，已知長方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．(1)問船只能否順利通過該橋？(2)已知每加一層貨箱，船只吃水深度增加1cm；每減一層貨箱，船只吃水深度減少1cm．若每層小貨箱高3cm，且貨物與橋壁需上下留2cm間隙方可通過，問船只需增加或減少幾層貨箱可恰好能從橋下中央通過？【解題思路】（1）以O(shè)為原點，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為x2＝my，根據(jù)題意知點B（5，﹣4）在拋物線上，求解拋物線方程，設(shè)C（3，﹣4），過C作AB的垂線，交拋物線于D（3，y0），求出CD，即可判斷貨箱是否能順利通過該橋．（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）的結(jié)論進行求解即可．【解答過程】(1)以O(shè)為原點，過O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為x2＝my，根據(jù)題意知點B（5，﹣4）在拋物線上；∴25＝﹣4m；∴m=?254；∴可設(shè)C（3，﹣4），過C作AB的垂線，交拋物線于D（3，y0），則9=?254y0∵CD=?3625(2)由題（1）知，貨物超出高度為(64每增加一層，則船體連貨物高度整體上升3+1=4(cm)，由貨物與橋壁需留下2cm間隙．則需要增加層數(shù)為106?24答：船只能順利通過該橋，可以增加26層可恰好能從中央通過．19．（8分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C:y2=2x，Ax1(1)求證：直線y1y=x(2)若O為坐標(biāo)原點，OA?OB=?1，C在A，B處的切線交于點P【解題思路】（1）聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，利用Δ=0（2）設(shè)Px0,y0，由（1）可得出兩條切線的方程，然后聯(lián)立可得x【解答過程】（1）聯(lián)立y2=2xy因為Ax1,y1所以Δ=?2y12（2）由（1）知，設(shè)Px0,y0，切線PA的方程為y聯(lián)立y1y=x因為x1=y12又因為OA?OB=?1解得y1y2故點P在定直線x=?1上．20．（8分）（2022·江蘇·高二）①M1,t為拋物線C上的點，且MF=3已知拋物線C:y2=2px的焦點為F，______，若直線y=x?2與拋物線C相交于A、B【解題思路】若選①：根據(jù)焦半徑公式MF=xM+p2=32即可求出p，從而求出拋物線方程，聯(lián)立拋物線方程和直線方程，根據(jù)韋達定理和弦長公式即可求AB；若選【解答過程】若選①：∵M1,t在拋物線C:y2∴MF=x若選②：∵焦點到準(zhǔn)線的距離是1，∴p＝1；故拋物線C的方程為y2聯(lián)立y=x?2y2=2x設(shè)Ax1,y1，B∴AB21．（8分）（2021·湖北省高二階段練習(xí)）已知點P是曲線C上任意一點，點P到點F(1,0)的距離與到直線y軸的距離之差為1.(1)求曲線C的方程；(2)若過不在曲線C上的一點M作互相垂直的兩條直線l1，l2分別與曲線在y軸右側(cè)的部分相切于A，B兩點，求證：直線【解題思路】（1）根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義求解作答.（2）設(shè)出過點M的曲線C的切線方程，再與曲線C的方程聯(lián)立，借助判別式為0求出兩條切線斜率的關(guān)系、兩切點坐標(biāo)，求出直線AB方程即可作答.【解答過程】(1)設(shè)P(x,y)，當(dāng)x<0時，y=0符合題意；當(dāng)x≥0時，因曲線C上的點P到點F(1,0)的距離與到y(tǒng)軸的距離之差為1，則點P到點F(1,0)的距離與到直線x=?1的距離相等，因此