高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-重難點(diǎn)題型精講（學(xué)生版）

專題2.7直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式-重難點(diǎn)題型精講1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.2．兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式為.特別地，原點(diǎn)O到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=.3．點(diǎn)到直線的距離公式(1)定義：點(diǎn)P到直線l的距離，就是從點(diǎn)P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.(2)公式：已知一個(gè)定點(diǎn)，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點(diǎn)P到直線l的距離為d=.4．兩條平行直線間的距離公式(1)定義兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.(2)公式設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.5．中點(diǎn)坐標(biāo)公式公式：設(shè)平面上兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則.【題型1求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)】【方法點(diǎn)撥】(1)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，通常情況下解由兩直線方程組成的方程組即可.(2)若已知交點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程中的變量，直接代入交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【例1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線y=x與直線x+y?2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．1,1 B．12,12 C．【變式1-1】（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）直線x=2與直線y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．2,3 B．?2,?3 C．0,1 D．0,0【變式1-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知A0,0，B3,0，C1,2，則△ABCA．43,23 B．32,0【變式1-3】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l1:y=kx+k+2與直線l2:y=?2x+4的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)A．k>?23 C．?23<k<2 D．【題型2經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線方程】【方法點(diǎn)撥】①經(jīng)過兩直線，的交點(diǎn)的直線方程為(除直線)，其中是待定系數(shù)；結(jié)合已知條件求出，即可得解.②聯(lián)立兩直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件設(shè)出所求直線方程，代入點(diǎn)即可得解.【例2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）過原點(diǎn)和直線l1:x?3y+4=0與l2A．19x?9y=0 B．9x+19y=0C．3x+19y=0 D．19x+3y=0【變式2-1】（2022·北京高二期中）過兩直線x+y?3=0,2x?y=0的交點(diǎn)，且與直線y=13xA．x+3y+5=0 B．x+3y?5=0C．x?3y+5=0 D．x?3y?5=0【變式2-2】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過兩條直線l1:x?y+3=0與l2:2x+y=0的交點(diǎn)，傾斜角為A．3x?y+3+2=0C．3x?y?3?4=0【變式2-3】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）已知直線l1:x?y+1=0，l2:x?2=0，則過l1和lA．3x?4y?1=0 B．3x?4y+1=0C．4x?3y?1=0 D．4x?3y+1=0【題型3兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】平面上兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用主要有以下兩種：(1)已知所求點(diǎn)的相關(guān)信息及該點(diǎn)到某點(diǎn)的距離滿足某些條件時(shí)，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)于所求點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或方程組求解.(2)利用兩點(diǎn)間距離公式可以判斷三角形的形狀.從三邊長入手，如果有邊長相等，則可能是等腰或等邊三角形；如果滿足勾股定理，則是直角三角形.【例3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A2,4，B5,4，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離等于（A．8 B．6 C．3 D．0【變式3-1】（2021·廣西·高二期中）已知A2,?3，B5,?7，則AB=A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-2】（2021·福建三明·高二期中）已知直線l1：2x?y?2=0與直線l2：3x+y?8=0的交點(diǎn)為A，則點(diǎn)A與點(diǎn)B2A．13 B．22 C．2 D．【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l1:x?my+1=0過定點(diǎn)A，直線l2:mx+y?m+3=0過定點(diǎn)B，l1與l2相交于點(diǎn)A．10 B．13 C．16 D．20【題型4點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.(2)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)或直線方程時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可.(3)點(diǎn)到直線的距離是直線上的點(diǎn)與直線外一點(diǎn)的連線的最短距離，某些距離的最值問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題來求解.(4)因?yàn)榻瞧椒志€上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，因此可用點(diǎn)到直線的距離公式解決有關(guān)角平分線的問題.【例4】（2022·河南·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)，則點(diǎn)M?原點(diǎn)A．y=x+2 B．y=?x?2 C．y=?x+2【變式4-1】（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）點(diǎn)a,6到直線3x?4y?2=0的距離大于5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．13,17 C．?∞,1【變式4-2】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線l經(jīng)過點(diǎn)2,?5，且與點(diǎn)3,?2和點(diǎn)?1,6的距離之比為1：2，則直線l的方程為（

）A．x+y+3=0 B．17x+y?29=0C．x+y+3=0或17x+y?29=0 D．3x+y+3=0【變式4-3】（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知平面上一點(diǎn)M（5，0），若直線上存在點(diǎn)P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（

）A．y=x+1 B．y=6C．y=43x【題型5兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】第一步：將兩條直線的方程轉(zhuǎn)化為一般式方程；第二步：轉(zhuǎn)化兩條直線的方程中的一個(gè)方程，使得它們x，y的系數(shù)對應(yīng)相同；第三步：使用公式直接求解兩條平行直線間的距離.【例5】（2022·河北·高二階段練習(xí)）已知a<0，若直線l1:ax+2y?1=0與直線l2A．724 B．522 C．5 【變式5-1】（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知直線3x+my?3=0與6x+4y+1=0互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B．21313 C．513【變式5-2】（2022·遼寧·高二開學(xué)考試）與兩平行線l1：3x+2y?6=0，l2：6x+4y?3=0等距離的直線的方程為（A．12x+8y?15=0 B．9x+6y?5=0C．12x+8y?15=0或9x+6y?5=0 D．6x+4y?15=0【變式5-3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若直線2x+y?3=0與直線4x+2y+a=0之間的距離不大于5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)≤4 B．?16≤a≤4C．?4≤a≤16 D．a(chǎn)≤16或a≥4【題型6與距離有關(guān)的最值問題】【方法點(diǎn)撥】點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的距離的最小值，兩條平行直線間的距離是在兩條平行直線上各任意取一點(diǎn)所得兩點(diǎn)間距離的最小值，它們的應(yīng)用非常廣泛，在某些證明問題或最值問題的解答中尤其常見.最值問題的常用求法有兩種：(1)利用解析幾何知識，先設(shè)一個(gè)函數(shù)，然后用函數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解.(2)幾何法：根據(jù)幾何圖形直觀判斷哪種情況下取得最值.常用結(jié)論有：兩點(diǎn)之間線段最短；直角三角形的斜邊大于直角邊；三角形的兩邊之和(差)大(小)于第三邊.【例6】（2022·全國·高三專題練習(xí)）原點(diǎn)到直線l:3+2λx+4+λA．225 B．25 C．2【變式6-1】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的兩個(gè)實(shí)根，且0≤c≤1A．1，33 B．33，13 C．22，【變式6-2】（2022·江蘇·