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數(shù)學分析開放式系列講座一常微分方程(2)文曉2019年6月1.解的Lyapunov穩(wěn)定性例1.考慮方=x的解t→+∞時的變化情況解:容易觀察到滿足初值條件x(0)=0的解為x1(t)=0,滿足初值條件x(0)=c的解為x2(t)=cet。當C≠0時,容易觀察到當t→+∞,。|x1(t)-x2(t)→+。這說明無論取初值條件C多靠近0,在時間t→+∞時,解的誤差仍然會很大。例2.考慮方程a=-x的解在時間t→+∞時的變化情況解:容易驗證,所有的解在t→+∞時都趨于例2中的方程的解在時間區(qū)間為[a,+∞)這樣的無窮區(qū)間上仍然具有解對初值的連續(xù)依賴性,即在初值誤差很小的時候,所得的解與所要求的解就會很小。我們把這種性質稱為Lyapunov穩(wěn)定性。定義1.考慮微分方程∫(t,x(3)設它滿足解的存在唯一性條件。又假設(3)的個解x=q(t在區(qū)間上[to,+∞)有定義,如果對任意的E>0,都存在一個δ=6(E)>0,使得只要xo-q(t0)<δ,則方程(3)滿足初始條件x(to)=xo的解x=φ(t;to;xo)也在[to,+∞)上有意義,并且滿足φ(t;to;x0)-φ(t|<E,vt≥to.則稱方程(3)的解x=q(t)是Lyapunov穩(wěn)定的如果除了滿足上述條件之外,還滿足只要xo-q(to)|<δ,就有LimIop(t;to;xo)-o(t)I則稱解是Lyapunov漸進穩(wěn)定的。注:類似地也可以考慮t→-∞時的情形,此時稱這

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