第01講 二次函數(shù)的相關(guān)概念（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第01講二次函數(shù)的相關(guān)概念理解二次函數(shù)的概念；會根據(jù)簡單的實(shí)際應(yīng)用列二次函數(shù)解析式；能根據(jù)二次函數(shù)定義求參數(shù)。知識點(diǎn)1：二次函數(shù)的概念二次函數(shù)的概念:一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a，b，c分別表示函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．注意：二次函數(shù)的判斷方法：①函數(shù)關(guān)系式是整式；②化簡后自變量的最高次數(shù)是2；③二次項(xiàng)系數(shù)不為0．二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)注意：二次函數(shù)除了一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）外，還有y=ax2，y=ax2+bx，y=ax2+c。知識點(diǎn)2：二次函數(shù)的值根據(jù)題意把x值代入函數(shù)解析式，求出y值即可。【題型1二次函數(shù)的判段】【典例1】（2023?江都區(qū)模擬）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝【答案】C【解答】解：A、該函數(shù)不符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該函數(shù)不符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；C、該函數(shù)符合二次函數(shù)的定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、該函數(shù)的右邊不是整式，它不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式1-1】（2022秋?河池期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝x3+2 C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝x（4﹣x）【答案】D【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函數(shù)，不符合題意；B、y＝x3+2中，x的次數(shù)是3，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、y＝（x﹣2）2﹣x2可化為y＝﹣4x+4是一次函數(shù)，不符合題意；D、y＝x（4﹣x）可化為y＝4x﹣x2，是二次函數(shù)，符合題意．故選：D．【變式1-2】（2023九上·亳州期末）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（）A．y=3x-1 B．y=1x2C．y=3【答案】C【解析】解：A、y=3x-1是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；B、y=1C、y=3x2+x-1是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；D、y=2x3-1不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；故答案為：C．【變式1-3】（2022九上·佛山月考）下列四個(gè)函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）A．y=3x-2 B．y=2x2+2 C．y=【答案】C【解析】A．自變量的次數(shù)為1，不是二次函數(shù)，不符合題意；B．分母中含有未知數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；C．符合二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，符合題意；D．分母中含有未知數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意．故答案為：C．【題型2利用二次函數(shù)的概念含參數(shù)取值范圍】【典例2】（2022秋?普蘭店區(qū)期末）是二次函數(shù)，則m的值是（）A．m＝0 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝±1【答案】B【解答】解：∵是二次函數(shù)，∴m2+1＝2且m﹣1≠0，解得m＝±1且m≠1，∴m＝﹣1．故選：B．【變式2-1】（2022九上·汽開區(qū)期末）若函數(shù)y=(m-2)xA．m≠0 B．m≠2 C．x≠0 D．x≠2【答案】B【解析】解：由題意得，m-2≠0，解得m≠2．故答案為：B．【變式2-2】（2023九上·諸暨期末）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式為y=(m-2)x|m|，則A．±2 B．1 C．-2 D．±1【答案】C【解析】解：∵y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式為y=(m-2)x|m|∴|m|=2且m-2≠0，解之：m=±2，m≠2，∴m=-2.故答案為：C.【變式2-3】（2022秋?開封期末）已知函數(shù)y＝（m+1）x|m|+1﹣2x+1是二次函數(shù)，則m＝．【答案】1．【解答】解：由二次函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)是二次函數(shù)，∴，∴m＝1，故答案為：1．【題型3二次函數(shù)的一般形式】【典例3】（2022秋?濟(jì)南期末）二次函數(shù)y＝x2﹣6x﹣1的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1【答案】A【解答】解：二次函數(shù)y＝x2﹣6x﹣1，∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是1，﹣6，﹣1．故選：A．【變式3-1】（2022秋?玉州區(qū)期中）函數(shù)y＝3x2﹣6x+1的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．﹣6 B．1 C．3 D．6【答案】A【解答】解：函數(shù)y＝3x2﹣6x+1的一次項(xiàng)系數(shù)是﹣6．故選：A．【變式3-2】（2022九上·汕尾期中）二次函數(shù)y=xA．1，-6，-1 B．1，6，1C．0，-6，1D．0，6，-1【答案】A【解析】解：二次函數(shù)y=x∴二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是1，-6，-1．故答案為：A．【變式3-3】（2022九上·北侖期中）二次函數(shù)y=5x(x-1)的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．1 B．-1 C．2 D．-5【答案】D【解析】解：y=5x（x-1）=5x2-5x，∴一次項(xiàng)的系數(shù)為-5.故答案為：D.【題型4二次函數(shù)的函數(shù)值】【典例4】若點(diǎn)A(-1,y1)在拋物線y=2x【答案】2【解答】解：∵若點(diǎn)A(?1,y1)在拋物線y=2x2上，y1=2×（-1）2=2，故答案為：2【變式4-1】若點(diǎn)A(3,y)在拋物線y＝3x2﹣6【答案】10【解答】解：∵若點(diǎn)A(3，y)在拋物線y＝3x2﹣6x+1上，y=3×32-6×3+1=10，故答案為：10【變式4-2】（2022九上·富陽期中）對于二次函數(shù)y＝x2－2mx－3，當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值與x＝8時(shí)的函數(shù)值相等時(shí)，m＝．【答案】5【解析】解：∵當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值與x＝8時(shí)的函數(shù)值相等，∴4-4m-3=64-16m-3解之：m=5故答案為：5【題型5根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)】【典例5】（2022秋?西湖區(qū)期末）在一個(gè)邊長為1的正方形中挖去一個(gè)邊長為x（0＜x＜1）的小正方形，如果設(shè)剩余部分的面積為y，那么y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝x2 B．y＝1﹣x2 C．y＝x2﹣1 D．y＝1﹣2x【答案】B【解答】解：設(shè)剩下部分的面積為y，則：y＝1﹣x2（0＜x＜1），故選：B．【變式5-1】（2021秋?珠暉區(qū)校級月考）現(xiàn)有一根長為50cm的鐵絲，把它彎成一個(gè)矩形，設(shè)矩形的面積為ycm2，一邊長為xcm，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝x（50﹣x） B．y＝x（50﹣2x） C．y＝x（25﹣2x）D．y＝x（25﹣x）【答案】D【解答】解：由題意得：矩形的另一邊長＝50÷2﹣x＝25﹣x，∴y＝x（25﹣x）．故選：D．【變式5-2】（2021九上·邗江月考）一臺機(jī)器原價(jià)50萬元，如果每年的折舊率是x，兩年后這臺機(jī)器的價(jià)格為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】y＝50（1?x）2【解答】解：由題意得：兩年后的價(jià)格為：50×（1?x）×（1?x）＝50（1?x）2，故y與x的函數(shù)關(guān)系式是：y＝50（1?x）2．故答案為：y＝50（1?x）2．【變式5-3】（2021秋?江油市期末）n個(gè)球隊(duì)參加籃球比賽，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽，比賽的場次數(shù)m與球隊(duì)數(shù)n（n≥2）之間的函數(shù)關(guān)系是．【答案】m＝n2﹣n．【解答】解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，故答案為：m＝n2﹣n1．（2023?立山區(qū)一模）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y＝x+ B．y＝3（x﹣1）2 C．y＝ax2+bx+c D．y＝+3x【答案】B【解答】解：A、y＝x+是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、y＝3（x﹣1）2是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；C、當(dāng)a＝0時(shí)，y＝ax2+bx+c不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D、y＝+3x是正比例函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．（2021?饒平縣校級模擬）若函數(shù)y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則（）A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≠﹣1 C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)＝±1【答案】A【解答】解：由題意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故選：A．3．（2023?郁南縣校級模擬）關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣b）x2+1是二次函數(shù)的條件是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠b C．b＝0 D．a(chǎn)＝0【答案】B【解答】解：當(dāng)a﹣b≠0，即a≠b，則y＝（a﹣b）x2+1是二次函數(shù)．故選：B．4．（2023?豐臺區(qū)校級模擬）如圖，正方形ABCD和⊙O的周長之和為20cm，設(shè)圓的半徑為xcm，正方形的邊長為ycm，陰影部分的面積為Scm2．當(dāng)x在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 C．二次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系【答案】B【解答】解：由題意得，4y+2πx＝20，∴2y+πx＝10，∴y＝，即y與x是一次函數(shù)關(guān)系，∵S＝y(tǒng)2﹣πx2，即滿足二次函數(shù)關(guān)系，故選：B．6．（2023?槐蔭區(qū)一模）一輛經(jīng)營長途運(yùn)輸?shù)呢涇囋诟咚俟纺臣佑驼炯訚M油后勻速行駛，下表記錄了該貨車加滿油之后油箱內(nèi)剩余油量y（升）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù)，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系是（）行駛時(shí)間x（小時(shí)）0122.5剩余油量y（升）100806050A．正比例函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系 C．反比例函數(shù)關(guān)系 D．二次函數(shù)關(guān)系【答案】B【解答】解：從表格可看出，貨車每行駛一小時(shí)，耗油量為20升，即余油量y與行駛時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系．故選：B．7．（2023?寶山區(qū)一模）如圖，用長為12米的籬笆圍成一個(gè)矩形花圃，花圃一面靠墻（墻的長度超過12米），設(shè)花圃垂直于墻的一邊長為x米，花圃面積為y平方米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．（不要求寫出定義域）【答案】y＝x（12﹣2x）．【解答】解：∵籬笆的總長為12米，花圃垂直于墻的一邊長為x米，∴花圃平行于墻的一邊長為（12﹣2x）米．根據(jù)題意得：y＝x（12﹣2x）．故答案為：y＝x（12﹣2x）．8．（2022?紅安縣校級模擬）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3．則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3，∴3＝﹣22+2b+3，解得：b＝2，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是：y＝﹣x2+2x+3．故答案為：y＝﹣x2+2x+3．1．（2022秋?宣城期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A． B． C．y＝2x2﹣2x+2 D．y＝2x+2【答案】C【解答】解；A．，關(guān)系式不是整式，故不是二次函數(shù)；B．，關(guān)系式不是整式，故不是二次函數(shù)；C．y＝2x2﹣2x+2，自變量的次數(shù)是2，且二次項(xiàng)的系數(shù)不為零，故是二次函數(shù)；D．y＝2x+2，自變量的次數(shù)不是2，是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)；故選：C．2．（2021九上·上思期中）下列函數(shù)關(guān)系中，是二次函數(shù)的為（）A．在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關(guān)系.B．距離一定時(shí)，火車行駛的時(shí)間t與速度v之間的關(guān)系C．等邊三角形的周長C與邊長a之間的關(guān)系D．圓的面積S與半徑之間的關(guān)系【答案】D【解答】解：A、關(guān)系式為：y=kx+b，是一次函數(shù)，不符合題意；B、關(guān)系式為：t=svC、關(guān)系式為：C=3a，是正比例函數(shù)，不符合題意；D、關(guān)系式為：S=πr2故答案為：D.3．（2022秋?禹城市期末）二次函數(shù)y＝x2﹣6x﹣1的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．﹣1 B．1 C．﹣6 D．6【答案】C【解答】解：二次函數(shù)y＝x2﹣6x﹣1的一次項(xiàng)系數(shù)是﹣6．故選：C．4．（2022秋?肇源縣期末）有二次函數(shù)y＝xm﹣2﹣2x+1，則m的值是（）A．4 B．2 C．0 D．4或2【答案】A【解答】解：∵函數(shù)y＝xm﹣2﹣2x+1是二次函數(shù)，∴m﹣2＝2，解得m＝4．故選：A．5．（2022秋?定遠(yuǎn)縣期末）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【答案】B【解答】解：∵函數(shù)y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故選：B．6．（2022秋?濟(jì)南期末）若函數(shù)y＝（m+1）x2+2x+1是二次函數(shù)，則常數(shù)m的取值范圍是（）A．m＝﹣1 B．m＞﹣1 C．m＜﹣1 D．m≠﹣1【答案】D【解答】解：根據(jù)題意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1．故選：D．7．（2022秋?北侖區(qū)期中）二次函數(shù)y＝5x（x﹣1）的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣5【答案】D【解答】解：∵原二次函數(shù)可化為y＝5x2﹣5x，∴其一次項(xiàng)系數(shù)是﹣5．故選：D．8．（2022秋?中山市期中）已知函數(shù)y＝（m+3）x2+1是二次函數(shù)，則m的取值范圍為（）A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意實(shí)數(shù)【答案】C【解答】解：由題意得：m+3≠0，∴m≠﹣3，故選：C．9．（2021春?青秀區(qū)校級期末）下列二次函數(shù)中，二次項(xiàng)系數(shù)是﹣3的是（）A．y＝3x2﹣2x+5 B．y＝x2﹣3x+2 C．y＝﹣3x2﹣x D．y＝x2﹣3【答案】C【解答】解：A．y＝3x2﹣2x+5二次項(xiàng)系數(shù)是3，不合題意；B．y＝x2﹣3x+2二次項(xiàng)系數(shù)是3，不合題意；C．y＝﹣3x2﹣x二次項(xiàng)系數(shù)是﹣3，符合題意；D．y＝x2﹣3二次項(xiàng)系數(shù)是1，不合題意；故選：C．10．（2022春?西湖區(qū)校級月考）二次函數(shù)y＝2x2﹣3