高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 8.2 直線的交點坐標(biāo)與距離公式課時提升作業(yè) 理試題

直線的交點坐標(biāo)與距離公式(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.經(jīng)過兩直線l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交點P,且與直線l3:3x-4y+5=0垂直的直線l的方程為()A.3x-4y-6=0 B.3x-4y+6=0C.4x+3y-6=0 D.4x+3y+6=0【解析】選C.由方程組QUOTE得QUOTE即P(0,2).因為l⊥l3,所以kl=-QUOTE,所以直線l的方程為y-2=-QUOTEx,即4x+3y-6=0.【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:選C.因為直線l過直線l1和l2的交點,所以可設(shè)直線l的方程為x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.因為l與l3垂直,所以3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,所以λ=11,所以直線l的方程為12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.2.平面直角坐標(biāo)系中與直線y=2x+1關(guān)于點(1,1)對稱的直線方程是()A.y=2x-1 B.y=-2x+1C.y=-2x+3 D.y=2x-3【解析】選D.在直線y=2x+1上任取兩個點A(0,1),B(1,3),則點A關(guān)于點(1,1)對稱的點為M(2,1),B關(guān)于點(1,1)對稱的點為N(1,-1).由兩點式求出對稱直線MN的方程QUOTE=QUOTE,即y=2x-3.3.已知直線l過點P(3,4)且與點A(-2,2),B(4,-2)等距離,則直線l的方程為()A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0【解析】選D.由題知直線斜率存在,設(shè)所求直線方程為y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知,得QUOTE=QUOTE,所以k=2或k=-QUOTE.所以所求直線l的方程為2x-y-2=0或2x+3y-18=0.【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:選D.滿足條件的直線有以下兩種可能;一是直線l過點P(3,4)且與AB所在的直線平行,而kAB=QUOTE=-QUOTE,此時直線方程為y-4=-QUOTE(x-3),即2x+3y-18=0;二是直線l過點P(3,4)與AB的中點D(1,0),此時直線方程為QUOTE=QUOTE,即2x-y-2=0.所以所求直線l的方程為2x-y-2=0或2x+3y-18=0.4.在平面直角坐標(biāo)系中,過點P(-1,2)且與原點O距離最大的直線方程為()A.x-2y+5=0 B.2x+y+4=0C.x-3y+7=0 D.3x-y-5=0【解析】選A.所求直線過點P且與OP垂直時滿足條件,因為直線OP的斜率為kOP=-2,故所求直線的斜率為QUOTE,所以所求直線方程為y-2=QUOTE(x+1),即x-2y+5=0.5.若函數(shù)y=ax+8與y=-QUOTEx+b的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則a+b=()A.QUOTE B.-QUOTE C.2 D.-2【解析】選C.直線y=ax+8關(guān)于y=x對稱的直線方程為x=ay+8,所以x=ay+8與y=-QUOTEx+b為同一直線,故得QUOTE所以a+b=2.6.(2016·鄭州模擬)若點(m,n)在直線4x+3y-10=0上,則m2+n2的最小值是()A.2 B.2QUOTE C.4 D.2QUOTE【解題提示】注意QUOTE可以看作點(m,n)到點(0,0)的距離.【解析】選C.因為點(m,n)在直線4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0,所以欲求m2+n2的最小值,可先求QUOTE的最小值.而QUOTE表示4m+3n-10=0上的點(m,n)到原點的距離,如圖當(dāng)過原點的直線與直線4m+3n-10=0垂直時,原點到點(m,n)的距離的最小值為2.所以m2+n2的最小值為4.【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:選C.由題意知點(m,n)為直線上到原點最近的點,直線與兩坐標(biāo)軸交于AQUOTE,BQUOTE,在Rt△OAB中,OA=QUOTE,OB=QUOTE,斜邊AB=QUOTE=QUOTE,斜邊上的高h(yuǎn)即為所求m2+n2最小值的算術(shù)平方根,所以S△OAB=QUOTE·OA·OB=QUOTEAB·h,所以h=QUOTE=QUOTE=2,所以m2+n2的最小值為h2=4.【加固訓(xùn)練】(2016·惠州模擬)已知實數(shù)x,y滿足2x+y+5=0,那么QUOTE的最小值為.【解析】QUOTE表示點(x,y)到原點的距離,根據(jù)數(shù)形結(jié)合得QUOTE的最小值為原點到直線2x+y+5=0的距離,即d=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.(2016·開封模擬)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點.光線從點P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點P(如圖).若光線QR經(jīng)過△ABC的重心,則AP等于()A.2 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解題提示】可建立平面直角坐標(biāo)系,利用直線的方程以及對稱知識即可解決.【解析】選D.以AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),則直線BC的方程為x+y-4=0,設(shè)P(t,0)(0<t<4),由對稱知識可得點P關(guān)于直線BC的對稱點P1的坐標(biāo)為(4,4-t),點P關(guān)于y軸的對稱點P2的坐標(biāo)為(-t,0),根據(jù)反射定理可知直線P1P2就是光線RQ所在直線.由P1,P2兩點坐標(biāo)可得直線P1P2的方程為y=QUOTE(x+t),設(shè)△ABC的重心為G,易知GQUOTE.因為重心G在光線RQ上,所以有QUOTE=QUOTE,即3t2-4t=0.所以t=0或t=QUOTE,因為0<t<4,所以t=QUOTE,即AP=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.直線(2λ+1)x+(λ-1)y+1=0(λ∈R),恒過定點.【解析】整理為x-y+1+λ(2x+y)=0,令QUOTE得QUOTE所以恒過定點QUOTE.答案:QUOTE【加固訓(xùn)練】已知a,b滿足a+2b=1,則直線ax+3y+b=0必過定點()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由a+2b=1,知ax+3y+b=0等價于(1-2b)x+3y+b=0,即(x+3y)+(1-2x)b=0.由QUOTE得QUOTE即定點坐標(biāo)為QUOTE.9.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),到點A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距離之和最小的點的坐標(biāo)是.【解析】由題可知A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四邊形ABCD對角線的交點到四點距離之和最小,直線AC的方程為y-2=2(x-1),直線BD的方程為y-5=-(x-1),由QUOTE得交點坐標(biāo)為(2,4).答案:(2,4)10.設(shè)直線l經(jīng)過點A(-1,1),則當(dāng)點B(2,-1)與直線l的距離最遠(yuǎn)時,直線l的方程為.【解析】設(shè)點B(2,-1)到直線l的距離為d,當(dāng)d=|AB|時取得最大值,此時直線l垂直于直線AB,kl=-QUOTE=QUOTE,所以直線l的方程為y-1=QUOTE(x+1),即3x-2y+5=0.答案:3x-2y+5=0(20分鐘40分)1.(5分)(2016·長治模擬)已知P1(a1,b1)與P2(a2,b2)是直線y=kx+1(k為常數(shù))上兩個不同的點,則關(guān)于x和y的方程組QUOTE的解的情況是()A.無論k,P1,P2如何,總是無解B.無論k,P1,P2如何,總有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有兩解D.存在k,P1,P2,使之有無窮多解【解析】選B.因為P1(a1,b1)與P2(a2,b2)是直線y=kx+1(k為常數(shù))上兩個不同的點,所以QUOTE即QUOTE因此關(guān)于x和y的方程組QUOTE有一組解為QUOTE【加固訓(xùn)練】已知直線l1:y=xsinα和直線l2:y=2x+c,則直線l1與l2()A.通過平移可以重合B.不可能垂直C.可能與x軸圍成等腰直角三角形D.通過繞l1上某點旋轉(zhuǎn)可以重合【解析】選D.直線l1:y=xsinα的斜率為sinα,而sinα∈[-1,1],即直線l1的斜率k1∈[-1,1],直線l2:y=2x+c的斜率k2=2,因為k1≠k2,所以直線l1與l2不可能平行,即兩直線必然相交,則直線l1與l2通過繞l1上某點旋轉(zhuǎn)可以重合.2.(5分)若動點A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A.3QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.4QUOTE【解析】選A.依題意知,AB的中點M的集合為與直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距離相等的直線,則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離.設(shè)點M所在直線的方程為l:x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式得QUOTE=QUOTE?|m+7|=|m+5|?m=-6,即l:x+y-6=0,根據(jù)點到直線的距離公式,得中點M到原點的距離的最小值為QUOTE=3QUOTE.3.(5分)若m>0,n>0,點(-m,n)關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點在直線x-y+2=0上,那么QUOTE+QUOTE的最小值等于.【解題提示】由對稱關(guān)系求出對稱點的坐標(biāo),代入直線方程x-y+2=0,然后利用基本不等式求QUOTE+QUOTE的最小值.【解析】由題意知(-m,n)關(guān)于直線x+y-1=0的對稱點為(1-n,1+m).則1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是QUOTE+QUOTE=QUOTE(m+n)QUOTE=QUOTE×QUOTE≥QUOTE×(5+2×2)=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE即m=QUOTE,n=QUOTE,等號成立.答案:QUOTE4.(12分)(2016·鄭州模擬)已知點A(3,3),B(5,2)到直線l的距離相等,且直線l經(jīng)過兩直線l1:3x-y-1=0和l2:x+y-3=0的交點,求直線l的方程.【解析】解方程組QUOTE得交點P(1,2).①若點A,B在直線l的同側(cè),則l∥AB.而kAB=QUOTE=-QUOTE,由點斜式得直線l的方程為y-2=-QUOTE(x-1),即x+2y-5=0.②若點A,B在直線l的異側(cè),則直線l經(jīng)過線段AB的中點QUOTE,由兩點式得直線l的方程為QUOTE=QUOTE,即x-6y+11=0.綜上所述,直線l的方程為x+2y-5=0或x-6y+11=0.【加固訓(xùn)練】m為何值時,直線l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0不能圍成三角形?【解析】先考慮三條直線中有兩條直線平行或重合的情況.①若m≠0,則k1=-4,k2=-m,k3=QUOTE,當(dāng)m=4時,k1=k2;當(dāng)m=-QUOTE時,k1=k3;而k2與k3不可能相等.②若m=0,則l1:4x+y-4=0,l2:y=0,l3:x-2=0,此時三條直線能圍成三角形.所以當(dāng)m=4或m=-QUOTE時,三條直線不能圍成三角形.再考慮三條直線共點的情況,此時m≠0且m≠4且m≠-QUOTE.將y=-mx代入4x+y-4=0,得x=QUOTE,即l1與l2交于點PQUOTE,將P點坐標(biāo)代入l3的方程得QUOTE+QUOTE-4=0,解得m=-1或m=QUOTE.所以當(dāng)m=-1或m=QUOTE時,l1,l2,l3交于一點,不能圍成三角形.綜上所述,當(dāng)m為-1或-QUOTE或QUOTE或4時,三條直線不能圍成三角形.5.(13分)已知直線l:3x-y-1=0.(1)在直線l上求一點P,使得點P到點A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大.(2)在直線l上求一點Q,使得點Q到點A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小.【解析】(1)如圖甲所示,設(shè)點B關(guān)于l的對稱點為B′,連接AB′并延長交l于點P,此時點P滿足|PA|-|PB|的值最大.設(shè)點B′的坐標(biāo)為(a,b),則kBB′·kl=-1,即QUOTE·3=-1.所以a+3b-12=0.①又由于線段BB′的中點坐標(biāo)為QUOTE,且在直線l上,所以3×QUOTE-QUOTE-1=0,即3a-b-6=0.②①