高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 6.4 合情推理與演繹推理課時(shí)提升作業(yè) 理試題

合情推理與演繹推理(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016·宜昌模擬)下面幾種推理過(guò)程是演繹推理的是()A.兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人數(shù)均超過(guò)50人C.由平面三角形的性質(zhì),推測(cè)空間四面體的性質(zhì)D.在數(shù)列{an}中,a1=1,an=QUOTE(n≥2),由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式【解析】選A.A項(xiàng)中兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)(大前提),∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角(小前提),∠A+∠B=180°(結(jié)論),是從一般到特殊的推理,是演繹推理.而B,D是歸納推理,C是類比推理.2.(2016·十堰模擬)依次寫出數(shù)列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法則如下:如果an-2為自然數(shù)且未寫過(guò),則寫an+1=an-2,否則就寫an+1=an+3,則a6=()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選C.根據(jù)題中法則,依次逐個(gè)代入,得a2=4,a3=2,a4=0,a5=3,a6=6.3.(2016·佛山模擬)對(duì)于數(shù)25,規(guī)定第1次操作為23+53=133,第2次操作為13+33+33=55,如此反復(fù)操作,則第2016次操作后得到的數(shù)是()A.25 B.250 C.55 D.133【解析】選B.由題意知,第3次操作為53+53=250,第4次操作為23+53+03=133,第5次操作為13+33+33=55,….因此每次操作后的得數(shù)呈周期排列,且周期為3,又2016=672×3,故第2016次操作后得到的數(shù)是250.【加固訓(xùn)練】(2015·揭陽(yáng)模擬)對(duì)于正實(shí)數(shù)a,Ma為滿足下述條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:?x1,x2∈R且x2>x1,有-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),下列結(jié)論中正確的是()A.若f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,則f(x)·g(x)∈QUOTEB.若f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,且g(x)≠0,則QUOTE∈QUOTEC.若f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,則f(x)+g(x)∈QUOTED.若f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,且a1>a2,則f(x)-g(x)∈QUOTE【解題提示】對(duì)于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1).變形有-a<QUOTE<a,令k=QUOTE,又f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,利用不等式的性質(zhì)可得f(x)+g(x)∈QUOTE.從而得出正確答案.【解析】選C.對(duì)于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),即有-a<QUOTE<a,令k=QUOTE,有-a<k<a,又f(x)∈QUOTE,g(x)∈QUOTE,即有-a1<kf<a1,-a2<kg<a2,因此有-a1-a2<kf+kg<a1+a2,因此有f(x)+g(x)∈QUOTE.4.給出下列三個(gè)類比結(jié)論:①(ab)n=anbn與(a+b)n類比,則有(a+b)n=an+bn;②loga(xy)=logax+logay與sin(α+β)類比,則有sin(α+β)=sinαsinβ;③(a+b)2=a2+2ab+b2與(a+b)2類比,則有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.(a+b)n≠an+bn(n≠1,a·b≠0),故①錯(cuò)誤.sin(α+β)=sinαsinβ不恒成立,如α=30°,β=60°,sin90°=1,sin30°·sin60°=QUOTE,故②錯(cuò)誤.由向量的運(yùn)算公式知③正確.5.(2015·廣東高考)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素個(gè)數(shù),則card(E)+card(F)=()A.50 B.100 C.150 D.200【解析】選D.當(dāng)s=4時(shí),p,q,r都是取0,1,2,3中的一個(gè),有4×4×4=64種,當(dāng)s=3時(shí),p,q,r都是取0,1,2中的一個(gè),有3×3×3=27種,當(dāng)s=2時(shí),p,q,r都是取0,1中的一個(gè),有2×2×2=8種,當(dāng)s=1時(shí),p,q,r都取0,有1種,所以cardQUOTE=64+27+8+1=100.當(dāng)t=0時(shí),u取1,2,3,4中的一個(gè),有4種,當(dāng)t=1時(shí),u取2,3,4中的一個(gè),有3種,當(dāng)t=2時(shí),u取3,4中的一個(gè),有2種,當(dāng)t=3時(shí),u取4,有1種,所以t,u的取值有1+2+3+4=10種,同理,v,w的取值也有10種,所以cardQUOTE=10×10=100,所以cardQUOTE+cardQUOTE=100+100=200.【加固訓(xùn)練】1.我國(guó)的刺繡有著悠久的歷史,如圖所示中的(1)(2)(3)(4)為刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形個(gè)數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.則f(n)的表達(dá)式為()A.f(n)=2n-1 B.f(n)=2n2C.f(n)=2n2-2n D.f(n)=2n2-2n+1【解析】選D.我們考慮f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,結(jié)合圖形不難得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.2.(2014·北京高考)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科,成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種.若A同學(xué)每科成績(jī)不低于B同學(xué),且至少有一科成績(jī)比B高,則稱“A同學(xué)比B同學(xué)成績(jī)好”.現(xiàn)有若干同學(xué),他們之中沒(méi)有一個(gè)人比另一個(gè)成績(jī)好,且沒(méi)有任意兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣,數(shù)學(xué)成績(jī)也一樣的.問(wèn)滿足條件的最多有多少學(xué)生()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選B.用D,E,F分別表示優(yōu)秀、合格和不合格.顯然語(yǔ)文成績(jī)得D的學(xué)生最多只有1個(gè),語(yǔ)文成績(jī)得E的也最多只有1個(gè),得F的也最多只有1個(gè),因此學(xué)生最多只有3個(gè).顯然,(DF),(EE),(FD)滿足條件,故學(xué)生最多3個(gè).3.下列推理是歸納推理的是()A.若A,B為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a>|AB|,則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C.由圓x2+y2=r2的面積πr2,猜想出橢圓QUOTE+QUOTE=1的面積S=πabD.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】選B.從S1,S2,S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,是從特殊到一般的推理,所以B是歸納推理.選項(xiàng)A是演繹推理,選項(xiàng)C,D是類比推理.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·黃山模擬)觀察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根據(jù)上述規(guī)律,第n個(gè)等式為.【解析】觀察所給等式左右兩邊的構(gòu)成易得第n個(gè)等式為13+23+…+n3=QUOTE=QUOTE.答案:13+23+…+n3=QUOTE【加固訓(xùn)練】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù).比如:他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16,…,這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A.289 B.1024C.1225 D.1378【解析】選C.觀察三角形數(shù):1,3,6,10,…,記該數(shù)列為{an},則a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,…an=an-1+n.所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n)?an=1+2+3+…+n=QUOTE,觀察正方形數(shù):1,4,9,16,…,記該數(shù)列為{bn},則bn=n2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字,分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式,可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.7.(2016·襄陽(yáng)模擬)在平行四邊形ABCD中有AC2+BD2=2(AB2+AD2),類比這個(gè)性質(zhì),在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中有AQUOTE+BQUOTE+CQUOTE+DQUOTE=.【解題提示】根據(jù)平行六面體的性質(zhì),可以得到它的各個(gè)面以及它的對(duì)角面均為平行四邊形,多次使用已知條件中的定理,再將所得等式相加,可以計(jì)算出正確結(jié)論.【解析】如圖,平行六面體的各個(gè)面以及對(duì)角面都是平行四邊形,因此,在平行四邊形ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2)…①;在平行四邊形ACC1A1中,A1C2+AQUOTE=2(AC2+AQUOTE)…②;在平行四邊形BDD1B1中,B1D2+BQUOTE=2(BD2+BQUOTE)…③;②、③相加,得A1C2+AQUOTE+B1D2+BQUOTE=2(AC2+AQUOTE)+2(BD2+BQUOTE)…④將①代入④,再結(jié)合AA1=BB1得,AQUOTE+B1D2+A1C2+BQUOTE=4(AB2+AD2+AQUOTE)答案:4(AB2+AD2+AQUOTE)【加固訓(xùn)練】觀察下列幾個(gè)三角恒等式:①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;②tan5°tan100°+tan100°tan(-15°)+tan(-15°)tan5°=1;③tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°=1.一般地,若tanα,tanβ,tanγ都有意義,你從這三個(gè)恒等式中猜想得到的一個(gè)結(jié)論為.【解析】所給三角恒等式都為tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1的結(jié)構(gòu)形式,且α,β,γ之間滿足α+β+γ=90°,所以可猜想當(dāng)α+β+γ=90°時(shí),tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1.答案:當(dāng)α+β+γ=90°時(shí),tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=18.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*),則am+n=QUOTE.類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)論,對(duì)于等比數(shù)列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),則可以得到bm+n=.【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公差為d1,則d1=QUOTE=QUOTE.所以am+n=am+nd1=a+n·QUOTE=QUOTE.類比推導(dǎo)方法可知:設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q,由bn=bmqn-m,可知d=cqn-m,所以q=QUOTE,所以bm+n=bmqn=c·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【一題多解】本題還可以采用如下解法:(直接類比)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d1,數(shù)列{bn}的公比為q,因?yàn)榈炔顢?shù)列中an=a1+(n-1)d1,等比數(shù)列中bn=b1qn-1,因?yàn)閍m+n=QUOTE,所以bm+n=QUOTE.答案:QUOTE(15分鐘30分)1.(5分)觀察下式:1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52…據(jù)此你可歸納猜想出一般結(jié)論為()A.1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)B.1+3+5+…+(2n+1)=n2(n∈N*)C.1+3+5+…+(2n-1)=(n+1)2(n∈N*)D.1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)【解析】選D.觀察可見(jiàn)第n行左邊有n+1個(gè)奇數(shù),右邊是(n+1)2.2.(5分)命題p:已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2作∠F1PF2補(bǔ)角平分線的垂線,垂足為M,則OM的長(zhǎng)為定值.類比此命題,在雙曲線中也有命題q:已知雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0),F1,F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),P為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2作∠F1PF2的的垂線,垂足為M,則OM的長(zhǎng)為定值.【解析】對(duì)于橢圓,延長(zhǎng)F2M與F1P的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.由對(duì)稱性知,M為F2Q的中點(diǎn),且|PF2|=|PQ|,從而OM∥F1Q且|OM|=QUOTE|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.對(duì)于雙曲線,過(guò)點(diǎn)F2作∠F1PF2內(nèi)角平分線的垂線,垂足為點(diǎn)M,類比可得OM=a.答案:內(nèi)角平分線3.(5分)(2016·黃岡模擬)觀察下列等式:①cos2α=2cos2α-1;②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推測(cè),m-n+p=.【解析】m=128×4=512;p=10×5=50,根據(jù)系數(shù)和等于1,可以求出n=-400.答案:962【加固訓(xùn)練】(2016·武漢模擬)在計(jì)算“1×2+2×3+…+n(n+1)”時(shí),某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法:先改寫第k項(xiàng):k(k+1)=QUOTE[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)],由此得1×2=QUOTE(1×2×3-0×1×2),2×3=QUOTE(2×3×4-1×2×3),……n(n+1)=QUOTE[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].相加,得1×2+2×3+…+n(n+1)=QUOTEn(n+1)(n+2).類比上述方法,請(qǐng)你計(jì)算“1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)”,其結(jié)果是(結(jié)果寫成關(guān)于n的一次因式的積的形式).【解析】先改寫第k項(xiàng):k(k+1)(k+2)=QUOTE[k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)],由此得1×2×3=QUOTE(1×2×3×4-0×1×2×3),2×3×4=QUOTE(2×3×4×5-1×2×3×4),……,n(n+1)(n+2)=QUOTE[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)·(n+2)],相加得1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)=QUOTEn(n+1)(n+2)(n+3).答案:QUOTEn(n+1)(n+2)(n+3)4.(15分)已知橢圓具有性質(zhì):若M,N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線QUOTE-QUOTE=1寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.【解析】類似的性質(zhì)為:若M,N是雙曲線QUOTE-QUOTE=1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM,PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值.證明如下:設(shè)點(diǎn)M,P的坐標(biāo)分別為(m,n),(x,y),則N(-m,-n).因?yàn)辄c(diǎn)M(m,n)在已知雙曲線上,所以n2=QUOTEm2-b2.同理y2=QUOTEx2-b2.則kPM·kPN=QUOTE·QUOTE=QUOTE=Q