線性代數(shù)練習(xí)冊答案5-臨時分類-在線

第五章

特征值與特征向量習(xí)題一

矩陣的特征值和特征向量一、填空題1．數(shù)域2．若是上的 階矩陣的屬于特征值的特征值和數(shù)域

有關(guān)。的特征向量， ，則則也是■的屬于特征值■的特征向量。3．若 是矩陣 的特征值，則

是

的根．4．

階矩陣

與

有相同的特征值．二、計算題１．求下列矩陣在復(fù)數(shù)域上的特征值和特征向量①解：②解：，則 特征值可能是０或１．三、證明題若 階矩陣滿足證明：設(shè)2．若階矩陣，存在自然數(shù) ，使得，則的特征值是０．證明：的特征值，則是的特征值.如果可逆，是證明：4．證明：證明:設(shè)習(xí)題二

相似矩陣和矩陣可對角化一、填空題

1．若，則2．若3．若4．，則，則可對角化當且僅當與對角陣相似5．

階矩陣有個互不相同的特征值是充分條件?？蓪腔氖欠裼?/p>

個判別矩陣

可對角化的方法是：判斷線性無關(guān)的特征向量二、1．證明：設(shè)是階方陣，且至少有一個可逆，則證明：若 可逆若 可逆2．證明：主對角線上的元素互不相同的上三角矩陣必可對角化．證明：有個互不相同的特征值，可對角化三、判別下列矩陣是否可對角化復(fù)數(shù)域可對角化實數(shù)域不可對角化四、已知，求解：習(xí)題三

實對稱矩陣的對角化為對角矩陣．一、求正交矩陣 ，使①

■解：單位②解：，證明：二、證明題1．設(shè)

是 階實對稱矩陣，且存在正交矩陣，使證明：設(shè)2．證明：反對稱實矩陣的特征值是零或純虛數(shù)．■證明：■為的任意特征值，■為的屬于

的特征向量取共軛(2)(1)兩邊轉(zhuǎn)置(2)右乘(1)左乘(3)+(4)3． 是兩個實對稱矩陣，證明：存在正交矩陣Q，使的充分必要條件是 具有相同的特征值．證明：必要性：■因為存在正交矩陣Q，使所以相似矩陣具有相同的特征值具有相同的特征值．充分性：具有相同的特征值,設(shè)實對稱矩陣

■存在正交矩陣

，實對稱矩陣存在正交矩陣

，■令正交自測題一、填空題為 階矩陣，有非零解則必有一特征值為01．若提示：2．若是 特征值，則 （

為正整數(shù)）有特征值為的特征向量，則 的特征向量為

3．若為提示：的線性無關(guān)的特征向量4．若階矩陣有個屬于特征值■則提示：5．已知三階矩陣的三個特征值為1，2，3，則的特征值為提示：6．階零矩陣的全部特征向量是全體非零列向量7．若 ，則

提示：8．若

階矩陣

與

相似，且 ，則提示：9．已知且，則提示：10．三階矩陣的三個互異特征值為，它們對應(yīng)則矩陣的特征列向量分別為的秩為3二、選擇題1．設(shè) 是非奇異矩陣有一特征值等于（A） ；

(B)

；

(C)的特征值，則矩陣；

(

D)

.2．若 階矩陣的任意行中的 個元素的和都是 ，則的一個特征值為（

）（A）提示：3．設(shè)

是；

(B) ；

(C) ；

(

D)

.階矩陣， 是

的特征值，

是 的分別的特征向量，則（

）．對應(yīng)于（A）當（B）當（C）當（D）當時，時，時，時，一定成比例；

一定不成比例；一定成比例；

一定不成比例；4．設(shè)階矩陣與相似，則（）.（A）(C)(B)（D■)與都相似一個對角矩陣5．階矩陣具有個特征值是與對角矩陣相似的（A）充分必要條件

；

(B) 充分而非必要條件

；(C)

必要而非充分條件

；

(D) 既非充分也非必要條6．矩陣與下列哪個矩陣相似（

）(C)7．階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是（A）

有

個不全相同的特征值

；(C)方陣(D)

方陣一定是對角矩陣；有個線性無關(guān)的特征向量.有個不全相同的特征值；有

個不相同的特征值

；(B)(C)(D)有個線性無關(guān)的特征向量.8．若階方陣與某個對角矩陣相似，則（）.（A）

方陣 的秩等于

；(B)方陣有個不相同的特征值；9．實

階矩陣

為滿秩矩陣，則（

）.（A）必有個互不相同的特征值；(B)(C)(D)必有個線性無關(guān)的特征向量；必相似于一個滿秩的對角矩陣；的特征值必不為零.當

時10．設(shè)

是

階矩陣，

是 的特征值，

是 的分別的特征向量，對于不全為零的常數(shù)■有對應(yīng)于（A）當（B）當時， 必為 的特征向量；時，

是 相應(yīng)于 唯一的兩個線性無關(guān)的特征相量；（C）當 時，若是非零向量，則它必為

的特征向量；（D）當 時， 必為

相應(yīng)于 的兩個線性無關(guān)的特征相量.三、計算題

1．設(shè)（1）試求矩陣的特征值；的特征值．（２）利用（1）的結(jié)果，求解：■（1）（２）2．設(shè)實對稱矩陣為求正交矩陣

使對角矩陣．解：，試求

的階實矩陣，滿足的一個特征值．3．設(shè)

為伴隨矩陣證明：設(shè)A的一個特征值即證方程有非零解即證的一個特征值4．已知三階矩陣的特征值為 矩陣的特征值和與 相似的對角矩陣；和試求（1）矩陣(2)

行列式解：■（1）的特征值(2)5．設(shè)，求（1）的所有特征值與特征向量；（2）判別陣 ，使能否對角化，若能對角化，則求出可逆矩為對角矩陣；．（3）計算解：可對角化，則 的特征值僅能是1或四、