基于壓縮感知的信號采樣研究

畢業(yè)論文基于壓縮感知的信號采樣研究系別計算機(jī)與通信工程學(xué)院專業(yè)名稱通信工程班級學(xué)號學(xué)生姓名指導(dǎo)教師2023年6月9日基于壓縮感知算法的信號采樣研究摘要信號采樣是模擬的物理世界通向數(shù)字的信息世界之必備手段。多年來，指導(dǎo)信號采樣的理論根底一直是著名的Nyquist采樣定理，它要求采樣頻率不低于信號帶寬的2倍，其產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù)造成了存儲空間的浪費(fèi)。隨著信息科學(xué)的開展，系統(tǒng)要求的采樣率越來越高。采樣率的逐步提高，不僅對于模數(shù)轉(zhuǎn)換器件的要求越來越高，對于后續(xù)的數(shù)字信號處理及存儲器等周邊設(shè)備也是一個很大的挑戰(zhàn)。近年來，壓縮感知理論的出現(xiàn)，可以有效地緩解人們所面臨的困難。壓縮感知〔CompressedSensing〕提出一種新的采樣理論，它能夠以遠(yuǎn)低于Nyquist采樣速率采樣信號。本文詳述了壓縮感知的根本理論的三個主要的方面。一是信號的稀疏變換，信號的可壓縮性或稀疏性是運(yùn)用壓縮感知原理的前提，在我們現(xiàn)實(shí)生活中，只有一局部的信號是稀疏的，所以我們需要對絕大多數(shù)的信號進(jìn)行稀疏變換；二是觀測矩陣的設(shè)計，在選擇觀測矩陣的時候，我們遵循一個條件，就是觀測矩陣和稀疏矩陣的要不相關(guān)，且觀測矩陣的性能越好，對信號的重構(gòu)就越有利；三是重構(gòu)算法的設(shè)計，這是壓縮感知中一個重要環(huán)節(jié)，其對重構(gòu)信號的質(zhì)量有至關(guān)重要的作用。本文著重分析觀測矩陣的設(shè)計這一環(huán)節(jié)，并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)研究了不同的采樣率和不同的觀測矩陣對重構(gòu)性能產(chǎn)生的影響，知道了實(shí)際中我們需要根據(jù)信號特征選擇相應(yīng)的采樣率和測量矩陣。關(guān)鍵詞：壓縮感知，稀疏性，采樣StudyofthesignalsampingbasedonCompressedSensingAuthor：DengYunguiTutor：MaXuelianAbstractThesignalsamplingisawaywhichleadstheanalogphysicalworldtothedigitalinformationworld.ThetheoreticprincipleinstructingthesignalsamplingisalwaysthefamousNyquistPrincipleforthepastfewyears.Itsaysthatthesamplingratenotbelessthanthesignalwidth.Butthelargenumberofdataitproducedcausethewasteofstoragespace.Withthedevelopmentofinformationscience,thesamplingrateofthesystemisbecominghigherandhigher.Thegradualincreaseofthesamplingrate,notonlyfortheADCdevice,butalsoforthefollowingdigitalsignalprocessingdeviceandotherperipheralequipments,isabigchallenge.Inrecentyears,thetheoryofcompressedsensingattractsmanypeople'sattentionanditcaneffectivelysolvetheaboveproblems.Compressedsensing(CS)usesanewsamplingtheory,anditcansamplesignalbyusingsamplingratefarbelowtheNyquistrate.Thisthesisdescribesthethreemainaspectsofthebasictheoryofcompressedsensing.Oneisthesparsitytransformofthesignalascompressibilityorsparsenesssignalistheprinciplepremiseofcompressedsensing.Inourreallife,onlyapartofsignalsaresparse,soweneedtotransformthevastmajorityofthesignalintosparsesignal.Thesecondpointisthedesignoftheobservationmatrix.Whenwechooseanobservationmatrix,wemustfollowastandardthattheobservationmatrixandsparsematricesarenotrelated.Furthermorethebettertheperformanceoftheobservationmatrixwechoose,thebetterthesignalcanbereconstructed.Thethirdpointisthedesignofreconstructionalgorithm,whichisoneofthemostimportantaspectsofcompressedsensing,whichhasacrucialeffectonthequalityofthereconstructedsignal.Inthethesis,theobservationmatrixisanalyzedandthesimulationisperformedonit.Andwedosomeexperimentaboutinfluenceofrecoveringaccuracywhichcausedbydifferentobservationmatrixandsamplingrate.SoIknowthatweshouldchooserightobservationandsamplingrateaccordingtosignal’sfeatures.Keywords:Compressedsensing,sparsity,sampling目錄1緒論11.1課題背景及研究意義11.2壓縮感知的開展及應(yīng)用領(lǐng)域21.3本文研究方法及工作安排32壓縮感知的根本理論42.1壓縮感知理論框架42.2壓縮感知理論核心52.2.1信號的稀疏性62.2.2信號的觀測矩陣的選擇72.3恢復(fù)算法82.4小結(jié)103壓縮感知中的測量矩陣123.1測量矩陣的分類123.1.1隨機(jī)測量矩陣123.1.2確定性測量矩陣133.1.3局部隨機(jī)測量矩陣153.2本章小結(jié)164實(shí)驗(yàn)及仿真分析174.1基于壓縮感知的采樣機(jī)信號重構(gòu)仿真174.2基于不同的測量矩陣的壓縮感知仿真194.3本章總結(jié)22結(jié)論23參考文獻(xiàn)24致謝25附錄26附錄A26附錄B361緒論1.1課題背景及研究意義過去的幾十年里，通信技術(shù)取得了巨大的開展。而伴同著的成長，稀缺的頻譜資源和供應(yīng)之間的不平衡，使得頻譜資源變得很珍貴，這引起了科學(xué)家們的關(guān)注。研究發(fā)現(xiàn)，在有許可證的頻段內(nèi)，高頻局部，尤其3GHZ以上的頻段內(nèi)，頻譜的利用率相當(dāng)?shù)?。的頻譜使用率為，而的頻譜使用率僅為[1]。所以假設(shè)我們能夠?qū)⒏哳l段內(nèi)的頻譜資源充分利用，就能夠有效的解決頻譜稀缺性的問題。通訊體系和偵測體系中，高頻信號的應(yīng)用在當(dāng)中已經(jīng)占據(jù)了主導(dǎo)地位，它們所帶來的問題也困擾著人們。首先，高采樣頻率的信號給ADC〔模數(shù)轉(zhuǎn)換〕器件帶來了巨大壓力，甚至就做不到。我們都知道在我們生活中的信號都是模擬信號，而我們處理的信號都是數(shù)字信號。因此模數(shù)轉(zhuǎn)換過程，是大局部的通訊系統(tǒng)中必不可少的。在轉(zhuǎn)變模擬信息到數(shù)字信息時我們遵循經(jīng)典的Nyquist采樣定理[2]。由于各種因素，市面上的多種ADC器件的采樣速率不會跟著需求變化，所以高頻信號的使用就被轉(zhuǎn)變模塊限制住了。盡管能夠應(yīng)用先將高頻信號降到中頻，接著再進(jìn)行采樣的方式，然而此種解決方案也會給模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊前帶來相當(dāng)程度上的的信號失真。甚至在一些特殊的情況下，這種方案都不能解決問題。另外，后續(xù)的數(shù)字處理系統(tǒng)不能承受高速采樣所帶來的壓力。信號的一般處理過程是先采樣，再存儲，接著處理，傳輸，接收，復(fù)原。在信號處理的過程中，硬件的局限性，如存儲器的存儲速度等，已然變成了系統(tǒng)設(shè)計中的難點(diǎn)[3]。從上述分析可得到，降低模數(shù)轉(zhuǎn)換器件的采樣速率，己經(jīng)迫在眉睫。Nyquist采樣定理是我們進(jìn)行采樣所需遵循的。但是，實(shí)際中的信號大多是幾個窄帶信號在寬頻譜的分布。從頻率的方面上理解，我們認(rèn)為現(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)信號是稀疏的。在某種特定的情況下，近似的信號我們可以對其帶通采樣。而帶通采樣的是在我們已經(jīng)知道載波頻率的情況下才能進(jìn)行。如果信號的載波頻率未知，我們就不能對其進(jìn)行帶通采樣。因此就自然而然的引出一個設(shè)想：我們是否可以用另外的變換空間表示信號，研究出新的信號描述理論，使在不喪失信息的前提下，使用遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣速率采樣信號，同時又能夠不損失的恢復(fù)信號。稀疏性和信號帶寬作比擬，可以知道它可以直接地完全地描述信號的信息。實(shí)際上，稀疏性在如今的信號處理中占有重要的地位。最近幾年，提出了一種新的采樣定理—壓縮感知理論〔compressedsensing，簡稱為CS〕，它是基于信號的稀疏性提出的，并且能夠同一時間完成信號的壓縮和采樣[4]。既解決了存儲空間的浪費(fèi)情況，又降低了采樣速率的要求。單一的看，壓縮感知原理提出：只須信號是稀疏或者是能夠壓縮的，我們就能夠用一個與稀疏基不相關(guān)的矩陣與信號相乘，將其投影到低維空間，緊接著經(jīng)過解范數(shù)下的優(yōu)化問題就能夠從少許的投影值中以高概率復(fù)原出原信號，已經(jīng)證實(shí)，這些少量的投影值包含了足夠的原信號信息，使得原信號能無損地恢復(fù)[5]。此原理指出，信號的采樣速率不再由Nyquist定理所決定，而是由信號的稀疏性和非相干性決定。1.2壓縮感知的開展及應(yīng)用領(lǐng)域過去，信號處理系統(tǒng)通常為采樣，壓縮，處理，傳輸，解壓縮這幾步[4]。如果我們假設(shè)信號具有稀疏性，能不能把信號的采集和壓縮合在一塊完成？2006年Donoho、Candes和Tao等人的研究構(gòu)成了現(xiàn)如今壓縮傳感理論的基石[6,7]，Candes已經(jīng)證明，具有稀疏性的信號能夠從局部投影值中精確的復(fù)原，所以信號的采樣和壓縮式可以合并成同一個過程。隨后Candes和Donoho等人就提出了大家所知道的壓縮傳感原理。壓縮感知在初次提出，就吸引了人們的關(guān)注。從文字上我們就可以猜想只是一種壓縮手段。我們以前都是根據(jù)信號本身的特性，當(dāng)信號被采集后，丟掉信號的多余局部，從而進(jìn)行壓縮的。但是，CS理論是采集壓縮之后的數(shù)據(jù)。相比于傳統(tǒng)的理論，壓縮傳感所帶來的優(yōu)勢更加的明顯。CS原理指出，假設(shè)信號是稀疏的，我們就可以先對信號進(jìn)行稀疏化，再測量，最后重構(gòu)出原信號，并且能夠?qū)⑿盘栔貥?gòu)的很好[8]。毋庸置疑，CS技術(shù)具有的廣闊的應(yīng)用前景。到如今，CS理論已經(jīng)席卷了科學(xué)界，在許多方面都得到了運(yùn)用。(1)壓縮成像。Rice大學(xué)已經(jīng)在CS理論的根底上做出了一個“單像素〞的照相機(jī)[5]。相機(jī)直接采集的是屢次隨機(jī)線性測量值，這使得我們能夠拍攝高清晰度圖片。此外，壓縮成像也應(yīng)用在了雷達(dá)成像領(lǐng)域。(2)信道編碼。由于不易被誤差影響，而能夠CS理論用設(shè)計快速誤差校正編碼。(3)模擬到數(shù)字信息轉(zhuǎn)換。傳統(tǒng)的信息采集是基于Nyquist定理，即我們是根據(jù)Nyquist定理來實(shí)現(xiàn)ADC器件的功能。但是由于傳統(tǒng)方法的諸多限制，傳統(tǒng)方法已經(jīng)不能滿足人們的需要。對此，kt'ioios制作出了基于CS理論的ADC器件。另外CS理論在光學(xué)，通信等科學(xué)理論中也得到了廣泛的應(yīng)用。1.3本文研究方法及工作安排本論文主要研究了壓縮感知理論的根本原理及其信號采樣過程，首先介紹了壓縮感知的根本過程，然后詳細(xì)地分析了CS的三個主要內(nèi)容：信號的稀疏性、測量矩陣的選擇和重構(gòu)算法的設(shè)計。再針對信號采樣局部，研究了多種不同的測量矩陣，并針對不同的參數(shù)進(jìn)行仿真分析。在仿真分析中，進(jìn)行不同的采樣率下的重構(gòu)的仿真實(shí)驗(yàn)，并對不同測量矩陣下的信號重構(gòu)進(jìn)行仿真，通過比照的方法分析出了其中的優(yōu)劣，給出建議。本論文主要分為五局部：第一章是緒論，介紹了壓縮感知提出的背景，及研究現(xiàn)狀；第二章是介紹壓縮感知的原理；第三章是系統(tǒng)的分析了各種測量矩陣；第四章是進(jìn)行仿真分析；第五章是總結(jié)。2壓縮感知的根本理論2.1壓縮感知理論框架傳統(tǒng)的信號處理過程如圖2.1所示。信號先進(jìn)過采樣，再壓縮；而解碼端那么進(jìn)行相反的過程，解碼端將收集到的信號進(jìn)行解壓縮和反變換，最終恢復(fù)成原來的信號。采樣傳統(tǒng)的信號采樣和壓縮方式，雖然能夠完整的表示和恢復(fù)原信號，但是傳統(tǒng)方式采樣所得到的數(shù)據(jù)存在著較大的冗余，造成的存儲空間的浪費(fèi)。另外由于Nyquist定理要求采樣速率不低于信號帶寬的2倍，所以硬件系統(tǒng)的采樣速度會有較大壓力。YY編碼端信號X采樣變換、壓縮解碼解碼端接收數(shù)據(jù)Y解壓縮、反變換恢復(fù)信號X圖2.1基于Nyquist頻率的傳統(tǒng)編解碼框圖壓縮感知理論指出可以對稀疏性的信號在一個有特點(diǎn)的矩陣下進(jìn)行投影，我們只需要感知這些投影值，而這些投影值相對于原信號來說要小的多，但也包含了原來信號的所有信息，即壓縮感知理論得到的是采樣壓縮以后的信號[8]，即直接感知壓縮了的信號，此時可以認(rèn)為采樣和壓縮是在同一個步驟進(jìn)行的。這樣我們就能以一個較低的頻率對信號進(jìn)行采樣，能夠?yàn)槲覀儾蓸痈叻直媛市畔p輕了壓力?；趬嚎s感知理論的信號處理過程如圖2.2所示。壓縮感知以低于Nyquist頻率對信號進(jìn)行非自適應(yīng)性的測量和編碼[9]。解碼過程不是類似于傳統(tǒng)理論的一個簡單逆過程，它是利用信號稀疏性在范數(shù)下求最優(yōu)解，它實(shí)現(xiàn)的是帶有一定誤差的重構(gòu)?；贑S理論的解碼過程所需要的采樣值于奈奎斯特所需的采樣值。YY編碼端稀疏信號X測量編碼解碼端接收數(shù)據(jù)Y解碼重構(gòu)恢復(fù)信號X圖2.2基于壓縮感知理論的信號處理過程2.2壓縮感知理論核心假設(shè)有一信號，長度為N，基向量為，對信號進(jìn)行變換有：(2.1)其中，是信號在時域上的表示，是信號在上的表示。只有當(dāng)信號時稀疏的情況下，我們才能用CS理論，如果(2.1)式中的只有個非零值，，我們就可以認(rèn)為信號是稀疏的，或者中的分量經(jīng)過降序排序后呈指數(shù)型衰減，我們也可以認(rèn)為它是稀疏的。如果信號是稀疏的，CS處理過程為：一是用一個與稀疏基矩陣不相關(guān)維的測量矩陣測量信號，得到維測量值；二是由維觀測值重構(gòu)信號。按照上面的思想，考慮一個維測量矩陣,定義為：(2.2)此矩陣共有個列向量，任意一個列向量，=1N，且M<N。定義向量y為：(2.3)將帶入得：(2.4)其中；信號的重構(gòu)就是解決下述最優(yōu)化問題；(2.5)即0范數(shù)最優(yōu)化問題，實(shí)際中采用的是可實(shí)現(xiàn)的1范數(shù)最優(yōu)化問題。2.2.1信號的稀疏性CS是基于稀疏信號理論提出的，即可以壓縮感知的信號都是稀疏的，換句話說，只有稀疏信號才能進(jìn)行壓縮感知，且我們生活中的大多數(shù)信號都具有這種能夠被壓縮的特性，只不過是它們并沒有直接表現(xiàn)出這種稀疏形式[8]。在研究中，我們就需要找到信號的稀疏形式。一長度為的離散實(shí)信號，可以看作是空間的一個維列向量，其中，假設(shè)信號有K個非零分量，且，那么我們認(rèn)為信號是稀疏的?，F(xiàn)實(shí)生活中，大局部的信號本身不是稀疏的，但是我們可以讓信號通過某種變換后變成稀疏的，即信號通過該變換僅有K個非零分量〔K<<N〕，或者是把信號的分量按降序排列，假設(shè)成指數(shù)型衰減并趨于零，這兩種信號我們也認(rèn)為其是稀疏的。信號的稀疏變換就是要找到一個適宜的變換，使得經(jīng)過變換后的原信號具有稀疏性。在過去的研究中，我們發(fā)現(xiàn)大局部的信號在正交基下的線性變換就具有稀疏性[10]。對于不具有稀疏性的任意信號，我們來找尋它的稀疏基。首先我們給定一組空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基：，其中為維向量，所以空間的任意向量都可以用線性表示，故信號可表示為(2.1)式所示。其中，向量是維變換系數(shù)。而矩陣是由作為列向量的的變換矩陣，因此向量為信號在變換基下的等價表示，假設(shè)向量僅有K個非零信號，我們就稱信號在域下是稀疏的。圖2.3給出了信號稀疏表示的實(shí)現(xiàn)圖。圖2.3信號的稀疏表示信號的稀疏表示就是要尋求一個適宜的稀疏基矩陣，使得自然信號在該矩陣下的變換稀疏進(jìn)可能的稀疏。好的稀疏基能降低采集難度，提高了采樣速率，也對后續(xù)的存儲，傳輸具有重要作用，也能提高最后的重構(gòu)精度。就目前研究的現(xiàn)狀而言，叫常見的稀疏基有：離散小波變化基，離散余弦變換基，傅里葉變換基以及冗余字典。信號在冗余字典下的稀疏分解是現(xiàn)階段的一個研究熱門，他是用冗余函數(shù)庫代替稀疏基。構(gòu)成冗余字典的元素并沒有任何要求，一般情況下我們盡量選取符合被測量的信號的原子，所以我們就可以從中選取到一組最優(yōu)的線性組合逼近原信號[10]。2.2.2信號的觀測矩陣的選擇壓縮感知中的測量是實(shí)現(xiàn)信號壓縮采樣的手段,它是用的測量矩陣和信號相乘，得到壓縮感知后的測量值。其數(shù)學(xué)描述為(2.2)所示。根據(jù)2.2節(jié)中所介紹的壓縮感知理論，其過程如圖2.4所示。圖2.4壓縮感知的線性測量過程在此過程中，矩陣為非自適應(yīng)測量矩陣，即矩陣不會根據(jù)需求而變化，一經(jīng)確定就無法改變。這樣我們就得到了測量值y。在此變換過程中，信號x已經(jīng)變成了y，那我們怎樣才能保證我們可以從y中恢復(fù)出原始信號x，這要求我們信號在測量過程中不會有信息的喪失，那么一個什么樣的觀測矩陣能保證這點(diǎn)呢？Tao和Candes等人提出了有限等距約束特性(RestrictedIsometryPrinciple，簡稱為RIP)[14],指出，假設(shè)當(dāng)感知矩陣A滿足RIP性質(zhì)是，就可以認(rèn)為信號在基于此矩陣的測量中不就會有信息的喪失。RIP的定義為：對于任意N維的K-稀疏信號x，其稀疏表示形式為，假設(shè)果存在常數(shù)，使得感知矩陣滿足下式[11]： (2.10)那么我們就認(rèn)為矩陣A滿足性質(zhì)，其中稱為常數(shù)。由于這是一個問題，所以我們不可以直接判斷出矩陣是否具有性質(zhì)，因此提出了一種替代方法，即當(dāng)變換矩陣和觀測矩陣不相關(guān)時，其感知矩陣A在很大程度上就滿足RIP性質(zhì)[11]。2.3恢復(fù)算法關(guān)于，矩陣的每一個行向量都提取了信號的少許信息[11]。由M個測量值和矩陣，我們就能夠精確恢復(fù)出原信號。經(jīng)過上述的研究可知，原N×l維向量變換為了M×l維向量y。公式中，方程數(shù)個數(shù)M小于未知數(shù)個數(shù)。這是一個欠定方程組，我們無法求出一個確切的數(shù)值解。但是，假設(shè)信號為K稀疏，這樣求解出K個未知的解即可。因K<M，這樣方程便可以求解。恢復(fù)算法本質(zhì)上是一個求解方程的問題。此處，我們采用“正交匹配追蹤法。正交匹配追蹤〔OMP〕，其實(shí)質(zhì)基于“稀疏〞的思想求解的[12]。本來，算法的目的就是為了找K個非零元素。為了便于分析，方便理解，首先假設(shè)K=1，即只有一個非零元素。對于矩陣方程，首先假設(shè)唯一的一個非零元素在中的q行，并假設(shè)此元素值為。顯而易見，在這種簡化處理情況下，矩陣與的乘法運(yùn)算就是矩陣的第q列與s中的唯一非零元素的乘積，定義向量為二者乘積的結(jié)果，即。這個問題也可以這樣理解，矩陣的第q列與y的相似度最高。在數(shù)學(xué)上，可以表示為：(2.11)其中，,為矩陣中不同于的任意一個列向量。所以，只需要計算出矩陣與y內(nèi)積絕對值最大對應(yīng)的列即可。實(shí)際上，這個有點(diǎn)像施密特正交化方法，這也是為什么叫做“正交〞匹配追蹤。而匹配，顯然是找到了最大的?，F(xiàn)在考慮K>1時的情況。上述的內(nèi)積處理之后，定義余量為：(2.12)由于K>1，所以至少有兩個元素是非零的。此時繼續(xù)做內(nèi)積處理，找出余量與中所有列向量內(nèi)積絕對值最大的那列即可。此處比擬時，不與第一次的內(nèi)積值比擬，因?yàn)樗航?jīng)被保存了下來。經(jīng)過這兩次的操作之后，找到了兩個列向量，分別記為和。其中，其中為第一次找到的列值，為第二次找到的列值。此時，記。此時按照式(2.12)繼續(xù)更新余量，然后需要繼續(xù)重復(fù)上面的操作，直至找出變換域中所有的K個非零分量。由此可以看出，正交匹配追蹤算法循環(huán)的次數(shù)mK。算法總結(jié)如下：(1)定義一個向量P，對其初始化，有:P=y。(2)令中的每一列均與P做內(nèi)積運(yùn)算，找出內(nèi)積絕對值最大時中對應(yīng)的列，記為，將此列值保存在矩陣V中，此時。(3)定義矩陣。(4)更新向量p，。(5)用更新過的向量P重復(fù)過程(2)，即令中的每一列均與P做內(nèi)積運(yùn)算。但是需要注意，此時不再對記錄在矩陣V中的列向量做內(nèi)積運(yùn)算。記錄此時最大內(nèi)積絕對值對應(yīng)的中的列，記為，并記V=[V]。(6)重復(fù)(3),(4)中的更新，并重復(fù)(5),(6)的運(yùn)算，直至到達(dá)自己需要的迭代次數(shù)。在此僅詳細(xì)介紹了貪婪算法下的OMP算法，此外貪婪算法還有匹配追蹤法(簡稱MP算法)。重構(gòu)算法還有另外一大類——凸優(yōu)化算法，它將0范數(shù)放寬到1范數(shù)進(jìn)行線性標(biāo)準(zhǔn)求解。相對于貪婪算法，此類算法更為精確，但是較為復(fù)雜。但是一般情況下貪婪算法的精確性已能滿足需求。至此，本文已經(jīng)簡單介紹了壓縮感知理論的根本原理及根本算法。從中可以看出，壓縮感知能夠采用較少的測量值恢復(fù)出原信號。雖然它的理論是這樣地具有突破性，然而在實(shí)際工程中，除了美國工程師設(shè)計出了簡單的實(shí)際產(chǎn)品外，壓縮感知依然停留在理論的層面，在實(shí)際中并未取得廣泛地應(yīng)用。這是因?yàn)?，壓縮感知也有它自己需要改良的一些缺點(diǎn)。首先，y的長度應(yīng)該是重要分量長度的4倍，才能夠完美地恢復(fù)原始信號。在數(shù)學(xué)上，有更嚴(yán)格的定義:或者。其次，恢復(fù)算法很復(fù)雜，需要大量的計算。2.4小結(jié)本章主要介紹了壓縮感知的根本理論。在本章中，首先介紹了壓縮感知的理論框架其主要內(nèi)容包括信號的稀疏表示，測量矩陣的選取及其恢復(fù)算法。接著對三個主要內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。在此算法中，有兩個參數(shù)影響其性能，一個是觀測得到的數(shù)據(jù)長度，還有一個是恢復(fù)算法的迭代次數(shù)。3壓縮感知中的測量矩陣壓縮傳感測量矩陣是實(shí)現(xiàn)信號的采樣和壓縮工具，設(shè)計合理的測量矩陣不僅可以降低頻率測量，而且還可以提高重建精度。3.1測量矩陣的分類我們應(yīng)該找到一個有什么特性的感知矩陣，使得它具有RIP特性，這是一個至關(guān)重要的問題。Donoho提出了這樣三個特性：〔1〕測量矩陣的列向量組滿足一定的線性獨(dú)立性；〔2〕測量矩陣的列向量具有獨(dú)立隨機(jī)性；〔3〕滿足稀疏度的解是滿足范數(shù)的最小向量[6]。當(dāng)矩陣具有這三個特性時，我們就可以認(rèn)為該矩陣具有特性。Donoho證明了具有以上三個特征的矩陣都可以作為壓縮傳感中的測量矩陣，目前線性測量矩陣的設(shè)計主要有三類：隨機(jī)矩陣，確定性矩陣和局部隨機(jī)矩陣。3.1.1隨機(jī)測量矩陣Donoho和Candes在提出CS理論的最初，就指出隨機(jī)矩陣有著天然的優(yōu)勢的測量矩陣，后面也有研究證明了高斯隨機(jī)矩陣和貝努利隨機(jī)矩陣都滿足RIP性質(zhì)。隨機(jī)矩陣作為測量矩陣，它能夠保證原信號的信息不喪失，也保證了恢復(fù)精度，我們可以用較少的采樣值來重構(gòu)信號?！?〕Gauss隨機(jī)矩陣：這是我們最常用的觀測矩陣，高斯矩陣中的每個原子都獨(dú)立的服從正態(tài)分布。即： (3.1)其中，，為階測量矩陣，，N為原始信號長度，M為測量值長度。Gauss隨機(jī)矩陣和大局部的變換矩陣不相關(guān)，由其構(gòu)成的感知矩陣A滿足RIP性質(zhì)，對于K-稀疏度的信號，僅需測次[11]，就能復(fù)原信號，其中c是一個很小的正數(shù)。〔2〕貝努利隨機(jī)矩陣：該矩陣中的每個原子服從對稱的貝努利分布，觀測矩陣等概率的?。? (3.2)其中，。貝努利隨機(jī)測量矩陣以及高斯隨機(jī)矩陣都是隨機(jī)性強(qiáng)的矩陣，類似于高斯隨機(jī)矩陣的性質(zhì)，在實(shí)際應(yīng)用中這兩種矩陣都是常用的觀測矩陣，盡管其性能好，但是由于它的隨機(jī)性，硬件實(shí)現(xiàn)是較為困難的，用于存儲整個矩陣和實(shí)驗(yàn)有不確定性，需要大量實(shí)驗(yàn)求平均消除不確定性。3.1.2確定性測量矩陣此類矩陣主要有多項(xiàng)式測量矩陣，分塊多項(xiàng)式測量矩陣等。多項(xiàng)式測量矩陣的中心思想是在一個元素個數(shù)為p的有限域F中，其中元素由整數(shù)對p的模值組成，即為：，利用最高次冪不高于的多項(xiàng)式來求出觀測矩陣中的非零元素的位置及個數(shù)。和隨機(jī)測量矩陣不同，確定性的測量矩陣可以節(jié)約存儲空間，方便于硬件實(shí)現(xiàn)，更容易設(shè)計快速算法，但是其重構(gòu)精確度較差，且測量次數(shù)比擬多[5]?！?〕多項(xiàng)式測量矩陣的構(gòu)造：在一個元素個數(shù)為p的有限域F中對于自然數(shù)，用來表示最高次冪不高于r的多項(xiàng)式集合，即： (3.3)其中，當(dāng)系數(shù)取完所有可能的取值后，一共有個這樣的系數(shù)組合，對應(yīng)可得到個多項(xiàng)式。矩陣記為一下形式： (3.4)接下來將矩陣E的每一列的某一位置的0置為1，具體的位置有多項(xiàng)式來確定。插入的方法是將看做的一個投影，即和的取值都是在有限域中。為討論方便，我們首先可以將都，將位置上的0置換為1，當(dāng)所有列對應(yīng)的元素都置換完后，將矩陣的每一列首尾相接轉(zhuǎn)換為一個維的列向量，顯然此處。如此轉(zhuǎn)化后的列向量中前面?zhèn)€元素中有個1，之后的每個元素中也都有一個1，一共有個1[5]。將列向量作為一個多項(xiàng)式測量矩陣的第一個列向量。接著更改系數(shù)的值，重復(fù)上面的過程，當(dāng)系數(shù)按順序取完所有個組合后，就可以得到一個維的矩陣記為，其中，。對進(jìn)行歸一化后就可以得到一個符合壓縮傳感測量矩陣，該矩陣經(jīng)過研究證明可得其滿足RIP特性但其局限性為要求測量次數(shù)，信號長度?！?〕分塊多項(xiàng)式測量矩陣的構(gòu)造是對多項(xiàng)式測量矩陣的改良，這里引入矩陣分塊的思想，將維數(shù)較高的測量矩陣分塊為多個小的矩陣塊，其構(gòu)造過程是：第一步構(gòu)造較小的多項(xiàng)式測量矩陣，就是取較小的值，按多項(xiàng)式測量矩陣的構(gòu)造方法構(gòu)造出一個小的測量矩陣，然后構(gòu)成如下的矩陣形式：〔3.5〕上式中一共有個，所以能夠得出測量數(shù)，可以測量的信號維度。按照這種方法構(gòu)造的分塊多項(xiàng)式矩陣滿足以為RIP特性。分塊多項(xiàng)式測量矩陣相比于原來的多項(xiàng)式測量矩陣，構(gòu)造測量矩陣的時間大大降低了，而且將對測量信號的維度要求擴(kuò)展為的整數(shù)倍，被測量信號的維度擴(kuò)展為倍，即，。3.1.3局部隨機(jī)測量矩陣此類矩陣有局部哈達(dá)瑪矩陣，局部正交矩陣，托普利茲和輪換矩陣等。這里的局部正交矩陣和哈達(dá)瑪矩陣是從維的正交矩陣中隨機(jī)選擇行，再對列向量進(jìn)行歸一化得到。而托普利茲和輪換矩陣首先生成一個的行向量，并以此作為測量矩陣的第一行；緊接著對的行向量進(jìn)行輪換，生成一個維的測量矩陣；最后隨機(jī)地從輪換后維的測量矩陣中選取行組成維測量矩陣[13]。從局部隨機(jī)矩陣的構(gòu)造過程中，我們可以看出，局部隨機(jī)矩陣的隨機(jī)性比隨機(jī)性矩陣弱，又比確定性矩陣強(qiáng)，所以用其作為測量矩陣有較好的性能，且又較好實(shí)現(xiàn)?！?〕局部哈達(dá)瑪矩陣：哈達(dá)瑪矩陣是矩陣元素為的正交矩陣。局部哈達(dá)瑪矩陣的構(gòu)造方法是先構(gòu)造一個維哈達(dá)瑪矩陣，然后從維哈達(dá)瑪矩陣中隨機(jī)選取行，構(gòu)成一個維的矩陣，再對矩陣進(jìn)行歸一化后就得到最終的測量矩陣[12]。相比擬而言，局部哈達(dá)瑪矩陣因?yàn)槠湔恍裕灾貥?gòu)性能較好。但是局部哈達(dá)瑪矩陣也有其缺陷，就是該矩陣的階數(shù)只能取或，所以這很大的程度上就限制了局部哈達(dá)瑪矩陣的應(yīng)用范圍。〔2〕托普利茲測量矩陣(toeplitz)：對于測量信號維數(shù)為，原始信號維數(shù)為的壓縮感知過程，該測量矩陣的構(gòu)造過程是先生成一個維的行向量，向量的元素取值都為，每個元素都獨(dú)立的服從對稱的貝努利分布。利用生成的行向量u，采用向后循環(huán)的方式構(gòu)造托普利茲測量矩陣[12]，形式如下所示： (3.6)相比于隨機(jī)矩陣需要個獨(dú)立隨機(jī)元而言，托普利茲矩陣需要的獨(dú)立隨機(jī)元要少的多，僅需個，所以當(dāng)我們處理復(fù)雜的信號時，采用該測量矩陣能夠幫助我們節(jié)省大量的存儲空間。且相比于隨機(jī)矩陣相乘需要次運(yùn)算，托普利茲矩陣的相乘運(yùn)算可以運(yùn)用快速傅里葉變換進(jìn)行快速運(yùn)算[13]，僅需要次運(yùn)算就能實(shí)現(xiàn)?！?〕輪換矩陣：比托普利茲矩陣的形式更加的簡單，是該矩陣的一種特殊形式。該矩陣的構(gòu)造方法同樣是先生成一個行向量，但是其長度不需要，而是一個長度為的行向量。生成的方式是采用作為構(gòu)造向量的原子，等概的取生成長度為的行向量，將行向量u作為測量矩陣的第一行，接著按照依次循環(huán)的方式得到剩余行[13]，其表現(xiàn)形式如下： (3.7)然后從維的輪換矩陣中隨機(jī)選擇行構(gòu)成維的，經(jīng)過歸一化滿足特性。由于輪換矩陣是托普利茲矩陣的特殊形式，其性質(zhì)也和托普利茲矩陣類似，硬件系統(tǒng)容易實(shí)現(xiàn)循環(huán)移位的方式，輪換矩陣生成的向量也較短，但是也有一些缺乏之處[13]：〔1〕它所有的元素都是，使得構(gòu)造出的列向量線性相關(guān)性較高；〔2〕矩陣構(gòu)造過程中采樣單一的循環(huán)、移位方式，不能夠表達(dá)出列向量之間的獨(dú)立隨機(jī)性，相比于貝努利等隨機(jī)矩陣，輪換矩陣和托普利茲矩陣的性能不夠凸顯。3.2本章小結(jié)本章從數(shù)學(xué)上詳細(xì)地介紹了各種測量矩陣，如高斯隨機(jī)矩陣，貝努利矩陣，哈達(dá)瑪矩陣，輪換矩陣等，指出了其中的優(yōu)缺點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)不同的需求選擇不同的測量矩陣。4實(shí)驗(yàn)及仿真分析4.1基于壓縮感知的采樣機(jī)信號重構(gòu)仿真采用壓縮感知對信號進(jìn)行壓縮采樣并重構(gòu)信號的根本過程:(1)選取適宜的基向量矩陣，測量矩陣；(2)對信號s進(jìn)行稀疏變換，即：；(2)將稀疏后的信號x與測量矩陣相乘，即:；(3)獲得矩陣，將測量值y與感知矩陣A帶入重構(gòu)算法，這里采樣正交匹配追蹤算法；(4)重構(gòu)原始信號。在壓縮感知算法中，有兩個參數(shù)影響恢復(fù)算法的性能。第一個是y的長度M。只有M4K或者M(jìn)Klog2(N/K)，才能完美恢復(fù)出原始信息。第二個是正交匹配追蹤算法中迭代次數(shù)m。只有mK，才能夠找出所有的非零元素。經(jīng)過以上的分析之后，生成由假設(shè)干個正弦信號疊加的信號作為原始信號x，測量矩陣選用高斯分布白噪聲矩陣，基向量矩陣選用傅立葉正變換矩陣，并運(yùn)用這些參數(shù)做仿真分析[14]。(1)M，m均符合算法要求時的仿真分析原始信號的稀疏度K=7，原始信號長度N=256,y的長度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=K。仿真結(jié)果如圖4.1所示。圖4.1M，m符合時的仿真圖從圖4.1中可以看出，y的長度M，迭代次數(shù)m均選取適宜參數(shù)時，信號可以完美地恢復(fù)。(2)M符合，m不符合算法時的仿真分析原始信號的稀疏度K=7，原始信號長度N=256，y的長度M=40,正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)，m<K。仿真結(jié)果如圖4.2所示。圖4.2M符合，m不符合時的仿真圖從圖4.2中可以看出，M符合，m不符合算法時,信號不可以完美地恢復(fù)。(3)M不符合，m符合算法時的仿真分析原始信號的稀疏度K=7，原始信號長度N=256，y的長度M=20,正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)，m=K。仿真結(jié)果如圖4.3所示。圖4.3M不符合，m符合時的仿真圖從圖4.3中可以看出，M不符合，m符合算法時,信號不可以完美地恢復(fù)。從上面3仿真?zhèn)€實(shí)驗(yàn)中我們可以得出，只有當(dāng)測量數(shù)MKlog2(N/K)且迭代次數(shù)時，才可以完美的恢復(fù)信號，且從實(shí)驗(yàn)中可看出測量次數(shù)對信號的恢復(fù)精度影響比迭代次數(shù)要大。4.2基于不同的測量矩陣的壓縮感知仿真〔1〕基于隨機(jī)高斯矩陣的壓縮感知仿真原始信號的稀疏度K=7，原始信號長度N=256,y的長度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=4K。測量矩陣采用隨機(jī)高斯矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法，仿真結(jié)果如圖4.4所示。圖4.4基于隨機(jī)高斯矩陣的壓縮感知仿真從圖4.4中，可看出當(dāng)用隨機(jī)高斯矩陣做測量矩陣時，信號可以完美的恢復(fù)?！?〕基于貝努利矩陣的壓縮感知仿真原始信號的稀疏度K=7，原始信號長度N=256,y的長度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=4K。測量矩陣采用貝努利矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法，仿真結(jié)果如圖4.5所示。圖4.5基于貝努利矩陣的壓縮感知仿真圖從圖4.5可看出用貝努利矩陣作為測量矩陣時，對于簡單信號，其恢復(fù)精度和隨機(jī)高斯矩陣一樣好，都能夠完美的重構(gòu)信號?！?〕基于分塊多項(xiàng)式矩陣的壓縮感知仿真原始信號的稀疏度K=7，原始信號長度N=256,y的長度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=4K。測量矩陣采用分塊多項(xiàng)式矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法，仿真結(jié)果如圖4.6所示。圖4.6基于分塊多項(xiàng)式的測量矩陣的仿真圖從圖4.6中，可看出用分塊多項(xiàng)式做測量矩陣時，也可以比擬好的重構(gòu)信號，只是精度沒有隨機(jī)信號那么好，當(dāng)對恢復(fù)精度的要求不是很高時，可以采用此種方法?！?〕基于托普利茲矩陣的壓縮感知仿真原始信號的稀疏度K=7，原始信號長度N=256,y的長度M=40，正交匹配追蹤算法迭代次數(shù)m=4K。測量矩陣采用托普利茲矩陣，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤算法，仿真結(jié)果如圖4.7所示。圖4.7基于托普利茲矩陣的仿真圖圖4.7為用托普利茲矩陣作為測量矩陣的仿真圖，從圖中可以看出用這種方法也能夠較為精確的重構(gòu)信號，精確度比確定性矩陣好，又比隨機(jī)性矩陣差。但是也能滿足一般需求。從上面4個實(shí)驗(yàn)中可知用隨機(jī)信號作測量矩陣時，其恢復(fù)精度最好，其次是局部隨機(jī)信號，最后是確定性信號。而硬件實(shí)現(xiàn)難易程度那么剛好相反，最容易的是確定性信號，其次是局部隨機(jī)信號，最后才是隨機(jī)信號。所以我們需要根據(jù)實(shí)際需要來選擇適宜的測量矩陣，當(dāng)我們需要測量的信號較簡單時，如一維信號，我們就可以選擇確定性矩陣或者局部隨機(jī)矩陣，以降低本錢；當(dāng)需要測量的信號較復(fù)雜，對重構(gòu)的精度要求高時，就可以選擇隨機(jī)性矩陣，所以我們需要根據(jù)實(shí)際需要來選擇適宜的測量矩陣，確保其性能確保其性能和實(shí)用性。4.3本章總結(jié)本章首先對壓縮感知的一個整體過程進(jìn)行了仿真，并分析了不同的測量次數(shù)M和迭代次數(shù)m對信號重構(gòu)精度的影響。緊接著對不同測量矩陣下的壓縮感知進(jìn)行了仿真，這里從三類測量矩陣中各選了一種進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，通過仿真比擬了其優(yōu)劣，并給出了選擇測量矩陣的建議。結(jié)論本文首先分析了壓縮感知的原理，重點(diǎn)介紹了三個方面，信號的稀疏性、觀測矩陣的選擇即重構(gòu)算法的設(shè)計。生活中的大局部的信號我們都可以通過矩陣變換使其變成稀疏的。由于信號的稀疏性，我們就可以只需要采集一小局部信息就能夠完全的表示信號，而測量矩陣就是采集信號所需要的矩陣。并不是每一個矩陣都可以充當(dāng)測量矩陣這一角色。所以文中對于測量矩陣所需要滿足的條件都有指出。再接著，文章中分析了重構(gòu)算法的設(shè)計，重點(diǎn)描述了正交匹配追蹤算法，并用數(shù)學(xué)的方法推理了一遍，后面的各種仿真也是基于該算法重構(gòu)信號。在第三章中，詳細(xì)地分析了各種不同的測量矩陣，包括矩陣的構(gòu)成，數(shù)學(xué)特征，實(shí)現(xiàn)難度，還有其作為測量矩陣的優(yōu)劣，并根據(jù)不同的測量矩陣作出了仿真分析，且從仿真的結(jié)果上比擬了隨機(jī)矩陣，確定性矩陣和局部隨機(jī)性矩陣的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，得出了隨機(jī)性強(qiáng)的矩陣其重構(gòu)精度高，但是硬件較難實(shí)現(xiàn)，相反，隨機(jī)性低的矩陣，易于實(shí)現(xiàn)，但重構(gòu)精度沒有隨機(jī)性強(qiáng)的矩陣好。在現(xiàn)實(shí)情況中，我們需根據(jù)需要來選擇測量矩陣。從全文來看壓縮感知理論能夠很好的重構(gòu)信號，這給我們提出了另外一種信號處理的思路，這種思路讓我們能夠取得和基于Nyquist處理系統(tǒng)中一樣的效果，并且其工作量更少，更節(jié)約資源，這在以后的開展中將逐漸成為主流。參考文獻(xiàn)[1]夏金祥，范志平.無線電頻譜利用面臨的問題、機(jī)遇與對策[J].中國無線電報.2006，30(5):4-10.[2]王建英，尹忠科.信號與圖像的稀疏分解及初步應(yīng)用[M].成都:西南交通大學(xué)出版社.2006：26-30.[3]SamiKirolos,JasonLaska.Analog-to-InformationConversionviaRandomDemodulation[J].DesignApplications,IntegrationandSoftware.2006，15(10):71-74.[4]MosheMishali,YoninaC.Eldar.Xampling:AnalogDataCompression[J].DataCompressionConference.2023，11(24):366-375.[5]李樹濤，魏丹.壓縮傳感綜述[J].自動化學(xué)報.2023，21(35):1369-1375.[6]DavidDonoho.Compressedsensing[J].IEEETrans.onInformationTheory.2006，3(4):1289-1306.[7]ECandesandJRomberg.Quantitativerobustuncentaintyprinciplesandoptimallysparsedecompositions[J].FoundationsofComputMath,2006,6(2):227-254．[8]石光明，劉丹華，高大化.壓縮感知理論及其研究進(jìn)展[J].電子學(xué)報.2023,8(37):1070-1078.[9]MosheMishali,YoninaC.Eldar.FromTheorytoPractice:Sub-NyquistSamplingofSparseWidebandAnalogSignals[J].IEEESelectedTopicsinsignalprosecessing.2023,14(2):375-390.[10]李卓凡，閏敬文.壓縮感知及應(yīng)用[J].微計算機(jī)應(yīng)用.2023，3(3):13-16.[11]沙威.“壓縮傳感〞引論[R].香港:香港大學(xué)電機(jī)電子工程學(xué)系，2023.[12]馬慶濤.壓縮感知中信號重構(gòu)算法的研究[D].南京：南京理工大學(xué)碩士學(xué)位論文.2023.[13]李小波.基于壓縮感知測量矩陣的研究[D].北京：北京交通大學(xué)碩士學(xué)位論文.2023[14]樊昌信.通信原理教程(第二版)[M].北京:電子工業(yè)出版社，2023.6：124-136.致謝值此論文完成之際，向所有在我攻讀大學(xué)本科期間關(guān)心和鼓舞我的領(lǐng)導(dǎo)，老師，同學(xué)，親人和朋友們致以真誠的謝意。在這里，我謹(jǐn)向我的導(dǎo)師馬雪蓮致以最衷心的謝意。本文的選題和研究工作都是在馬雪蓮老師的悉心指導(dǎo)下完成的。他不僅在學(xué)術(shù)上給予我正確的指導(dǎo)，而且向我展示了一位優(yōu)秀學(xué)者的品德。馬雪蓮老師敏捷的思維，充分的精力以及積極向上的精神永遠(yuǎn)鼓勵著他的學(xué)生發(fā)奮向上。她在學(xué)術(shù)上孜孜不倦，勇往直前的精神鼓勵著我的學(xué)習(xí)之路，對我以后的開展有很大影響。在此，我再次向馬雪蓮老師表示最誠摯的謝意。在論文的研究工作中，本人還與同組的各位同學(xué)進(jìn)行了廣泛的探討，并從中得到了許多有益的啟發(fā)。在此，本人對他們表示深深的謝意。最后，衷心感謝大學(xué)四年里的各位授課教師，感謝我的父母在我近二十年的求學(xué)生涯中給予的保護(hù)和教導(dǎo)，支持和鼓勵。正是因?yàn)橛辛四銈兊闹С?，使我能順利地完本錢科階段的學(xué)習(xí)。附錄附錄ADigitalSignalProcessing1、IntroductionDigitalsignalprocessing(DSP)isconcernedwiththerepresentationofthesignalsbyasequenceofnumbersorsymbolsandtheprocessingofthesesignals.Digitalsignalprocessingandanalogsignalprocessingaresubfieldsofsignalprocessing.DSPincludessubfieldslikeaudioandspeechsignalprocessing,sonarandradarsignalprocessing,sensorarrayprocessing,spectralestimation,statisticalsignalprocessing,digitalimageprocessing,signalprocessingforcommunications,biomedicalsignalprocessing,seismicdataprocessing,etc.SincethegoalofDSPisusuallytomeasureorfiltercontinuousreal-worldanalogsignals,thefirststepisusuallytoconvertthesignalfromananalogtoadigitalform,byusingananalogtodigitalconverter.Often,therequiredoutputsignalisanotheranalogoutputsignal,whichrequiresadigitaltoanalogconverter.Evenifthisprocessismorecomplexthananalogprocessingandhasadiscretevaluerange,thestabilityofdigitalsignalprocessingthankstoerrordetectionandcorrectionandbeinglessvulnerabletonoisemakesitadvantageousoveranalogsignalprocessingformany,thoughnotall,applications.DSPalgorithmshavelongbeenrunonstandardcomputers,onspecializedprocessorscalleddigitalsignalprocessors(DSP)s,oronpurpose-builthardwaresuchasapplication-specificintegratedcircuit(ASICs).Todaythereareadditionaltechnologiesusedfordigitalsignalprocessingincludingmorepowerfulgeneralpurposemicroprocessors,field-programmablegatearrays(FPGAs),digitalsignalcontrollers(mostlyforindustrialapplicationssuchasmotorcontrol),andstreamprocessors,amongothers.InDSP,engineersusuallystudydigitalsignalsinoneofthefollowingdomains:timedomain(one-dimensionalsignals),spatialdomain(multidimensionalsignals),frequencydomain,autocorrelationdomain,andwaveletdomains.Theychoosethedomaininwhichtoprocessasignalbymakinganinformedguess(orbytryingdifferentpossibilities)astowhichdomainbestrepresentstheessentialcharacteristicsofthesignal.Asequenceofsamplesfromameasuringdeviceproducesatimeorspatialdomainrepresentation,whereasadiscreteFouriertransformproducesthefrequencydomaininformationthatisthefrequencyspectrum.Autocorrelationisdefinedasthecross-correlationofthesignalwithitselfovervaryingintervalsoftimeorspace.2、SignalSamplingWiththeincreasinguseofcomputerstheusageofandneedfordigitalsignalprocessinghasincreased.Inordertouseananalogsignalonacomputeritmustbedigitizedwithananalogtodigitalconverter(ADC).Samplingisusuallycarriedoutintwostages,discretizationandquantization.Inthediscretizationstage,thespaceofsignalsispartitionedintoequivalenceclassesandquantizationiscarriedoutbyreplacethesignalwithrepresentativesignalvaluesareapproximatedbyvaluesfromafiniteset.TheNyquist-Shannonsamplingtheoremstatesthatasignalcanbeexactlyreconstructedfromitssamplesifthesamplesifthesamplingfrequencyisgreaterthantwicethehighestfrequencyofthesignal.Inpractice,thesamplingfrequencyisoftensignificantlymorethantwicetherequiredbandwidth.Adigitaltoanalogconverter(DAC)isusedtoconvertthedigitalsignalbacktoanalogsignal.Theuseofadigitalcomputerisakeyingredientindigitalcontrolsystems.3、TimeandSpaceDomainsThemostcommonprocessingapproachinthetimeorspacedomainisenhancementoftheinputsignalthroughamethodcalledfiltering.Filteringgenerallyconsistsofsometransformationofanumberofsurroundingsamplesaroundthecurrentsampleoftheinputoroutputsignal.Therearevariouswaystocharacterizefilters,forexample:A“l(fā)inear〞filterisalineartransformationofinputsamples;otherfiltersare“non-linear.〞Linearfilterssatisfythesuperpositioncondition,i.e.ifaninputisaweightedlinearcombinationofdifferentsignals,theoutputisanequallyweightedlinearcombinationofthecorrespondingoutputsignals.A“causal〞filterusesonlyprevioussamplesoftheinputoroutputsignals;whilea“non-causal〞filterusesfutureinputsamples.Anon-causalfiltercanusuallybechangedintoacausalfilterbyaddingadelaytoit.A“time-invariant〞filterhasconstantpropertiesovertime;otherfilterssuchasadaptivefilterschangeintime.Somefiltersare“stable〞,othersare“unstable〞.Astablefilterproducesanoutputthatconvergestoaconstantvaluewithtime,orremainsboundedwithinafiniteinterval.Anconvergestoaconstantvaluewithtime,orremainsboundedwithinafiniteinterval.Anunstablefiltercanproduceanoutputthatgrowswithoutbounds,withboundedorevenzeroinput.A“FiniteImpulseResponse〞(FIR)filterusesonlytheinputsignal,whilean“InfiniteImpulseResponse〞filter(IIR)usesboththeinputsignalandprevioussamplesoftheoutputsignal.FIRfiltersarealwaysstable,whileIIRfiltersmaybeunstable.MostfilterscanbedescribedinZ-domain(asupersetofthefrequencydomain)bytheirtransferfunctions.Afiltermayalsobedescribedasadifferenceequation,acollectionofzeroesandpolesor,ifitisanFIRfilter,animpulseresponseorstepresponse.TheoutputofanFIRfiltertoanygiveninputmaybecalculatedbyconvolvingtheinputsignalwiththeimpulseresponse.Filterscanalsoberepresentedbyblockdiagramswhichcanthenbeusedtoderiveasampleprocessingalgorithmtoimplementthefilterusinghardwareinstructions.4、FrequencyDomainSignalsareconvertedfromtimeorspacedomaintothefrequencydomainusuallythroughtheFouriertransform.TheFouriertransformconvertsthesignalinformationtoamagnitudeandphasecomponentofeachfrequency.OftentheFouriertransformisconvertedtothepowerspectrum,whichisthemagnitudeofeachfrequencycomponentsquared.Themostcommonpurposeforanalysisofsignalsinthefrequencydomainisanalysisofsignalproperties.Theengineercanstudythespectrumtodeterminewhichfrequenciesarepresentintheinputsignalandwhicharemissing.Filtering,particularlyinnonreal-timeworkcanalsobeachievedbyconvertingtothefrequencydomain,applyingthefilterandthenconvertingbacktothetimedomain.Thisisafast,O(nlogn)operation,andcangiveessentiallyanyfiltershapeincludingexcellentapproximationstobrickwallfilters.Therearesomecommonlyusedfrequencydomaintransformations.Forexample,thecepstrumconvertsasignaltothefrequencydomainFouriertransform,takesthelogarithm,thenappliesanotherFouriertransform.Thisemphasizesthefrequencycomponentswithsmallermagnitudewhileretainingtheorderofmagnitudesoffrequencycomponents.Frequencydomainanalysisisalsocalledspectrumorspectralanalysis.5、SignalProcessingSignalscommonlyneedtobeprocessedinavarietyofways.Forexample,theoutputsignalfromatransducermaywellbecontaminatedwithunwantedelectrical“noise〞.Theelectrodesattachedtoapatient’schestwhenanECGistakenmeasuretinyelectricalvoltagechangesduetotheactivityoftheheartandothermuscles.Thesignalisoftenstronglyaffectedby“mainspickup〞duetoelectricalinterferencefromthemainssupply.Processingthesignalusingafiltercircuitcanremoveoratleastreducetheunwantedpartofthesignal.Increasinglynowadays,thefilteringofsignalstoimprovesignalqualityortoextractimportantinformationisdonebyDSPtechniquesratherthanbyanalogelectronics.6、DevelopmentofDSPThedevelopmentofdigitalsignalprocessingdatesfromthe1960’swiththeuseofmainframedigitalcomputersnumber-crunchingapplicationssuchantheFastFourierTransform(FFT),whichallowsthefrequencyspectrumofasignaltobecomputedrapidly.T7、DigitalSignalProcessors(DSPs)Theintroductionofthemicroprocessorinthelate1970’sandearly1980’smadeitpossibleforDSPtechniquestobeusedinamuchwiderrangeofapplications.However,general-purposemicroprocessorssuchastheInterx86familyarenotideallysuitedtothenumerically-intensiverequirementsofDSP,andduringthe1980’stheincreasingimportanceofDSPledseveralmajorelectronicsmanufacturers(suchasTexasInstruments,AnalogDevicesandMotorola)todevelopDigitalSignalProcessorchips-specialisedmicroprocessorswitharchitecturesdesignedspecificallyforthetypesofoperationsrequiredindigitalsignalprocessing.(NotethattheacronymDSPcanvariouslymeanDigitalSignalProcessing,thetermusedforawiderangeoftechniquesforprocessingsignalsdigitally,orDigitalSignalProcessor,aspecializedtypeofmicroprocessorchip).Likeageneral-purposemicroprocessor,aDSPisaprogrammabledevice,withitsownnativeinstructioncode.DSPchiparecapableofcarryingoutmillionsoffloatingpointoperationspersecond,andliketheirbetter-knowngeneral-purposecousins,fasterandmorepowerfulversionsarecontinuallybeingintroduced.DSPscanalsobeembeddedwithincomplex“8、ApplicationsofDSPDSPtechnologyisnowadayscommonplaceinsuchdevicesasmobilephones,multimediacomputers,videorecorders,CDplayers,harddiscdrivecontrollersandmodems,andwillsoonreplaceanalogcircuitryinTVsetsandtelephones.AnimportantapplicationofDSPisinsignalcompressionanddecompression.Signalcompressionisusedindigitalcellularphonestoallowagreaternumberofcallstobehandledsimultaneouslywithineachlocal“cell〞.DSPsignalcompressiontechnologyallowspeoplenotonlytotalktooneanotherbutalsotoseeoneantherontheircomputerscreens,usingsmallvideocamerasmountedonthecomputermonitors,withonlyaconventionaltelephonelinelinkingthemtogether.InaudioCDsystems,DSPtechnologyisusedtoperformcomplexerrordetectionandcorrectionontherawdataasitisreadfromtheCD.AlthoughsomeofthemathematicaltheoryunderlyingDSPtechniques,suchasFourierandHilberttransforms,digitalfilterdesignandsignalcompression,canbefairlycomplex,thenumericaloperationsrequiredactuallytoimplementthesetechniquesareverysimple,consistingmainlyofoperationsthatcouldbedoneonacheapfour-functioncalculator.ThearchitectureofaDSPchipisdesignedtocarryoutsuchoperationsincrediblyfast,processinghundredsofmillionsofsampleseverysecond,toprovidedreal-timeperformance:thatis,theabilitytoprocessasignal“l(fā)ive〞asitissampled