高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題4.15 數(shù)列 全章綜合測試卷（提高篇）（教師版）

第四章數(shù)列全章綜合測試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022·上海市高三階段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+???+25n?1(n∈NA．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】分別寫出n=k與n=k+1時(shí)相應(yīng)的代數(shù)式，對比觀察求解.【解答過程】當(dāng)n=k時(shí)，則1+2+當(dāng)n=k+1時(shí)，則(1+2+∴從k到k+1添加的項(xiàng)數(shù)共有5項(xiàng)故選：C.2．（5分）（2022·廣東·高二階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）①數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，3，5，1是同一數(shù)列；②數(shù)列0，1，2，3...的一個(gè)通項(xiàng)公式為an③數(shù)列0，1，0，1…沒有通項(xiàng)公式；④數(shù)列nn+1A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④【解題思路】根據(jù)數(shù)列的概念即可判斷A項(xiàng)；代入可判斷B項(xiàng)；根據(jù)數(shù)列中前幾項(xiàng)的特點(diǎn)寫出通項(xiàng)可說明C項(xiàng)錯(cuò)誤；作差法求an+1【解答過程】數(shù)列有順序，①錯(cuò)誤；逐個(gè)代入檢驗(yàn)，可知數(shù)列前幾項(xiàng)滿足通項(xiàng)公式，②正確；an=1??1n設(shè)an=nn+1，則所以，an+1>a故選：B.3．（5分）（2022·河北·高二期中）數(shù)列an滿足a1=2,an+1A．?1 B．?13 C．2【解題思路】根據(jù)遞推公式求得數(shù)列的周期，結(jié)合數(shù)列的周期即可求得結(jié)果.【解答過程】根據(jù)題意可得a1故該數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，且a1故數(shù)列an的前2022項(xiàng)的乘積為a故選：C.4．（5分）（2022·江蘇省高二期中）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，1852年，英國傳教士偉烈亞力將該解法傳至歐洲，1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題，現(xiàn)將1到2022這2022個(gè)數(shù)中，能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則該數(shù)列共有（

A．145項(xiàng) B．146項(xiàng) C．144項(xiàng) D．147項(xiàng)【解題思路】由已知可得能被2除余1且被7除余1的數(shù)即為能被14除余1，進(jìn)而得通項(xiàng)及項(xiàng)數(shù).【解答過程】由已知可得an?1既能被2整除，也能被7整除，故an所以an?1=14n?1即an故1≤an≤2022，即1≤14n?13≤2022，解得1≤n≤145故選：A.5．（5分）（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知an是等比數(shù)列，Sn為其前①an+an+1是等比數(shù)列；②an?an+1④lgan是等比數(shù)列，⑤若Sn=a?qA．5 B．4 C．3 D．2【解題思路】根據(jù)題意找到反例說明命題錯(cuò)誤，或者利用等比數(shù)列的定義或前n項(xiàng)和公式證明命題正確.【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q若an+a例如數(shù)列1，?1，1，?1，…，相鄰項(xiàng)相加所構(gòu)成的數(shù)列不是等比數(shù)列，故①不正確；因?yàn)閍nan+1與第1個(gè)相仿，若相加和為零，不能構(gòu)成等比數(shù)列，例如數(shù)列1，?1，1，?1，…，S2，S4?故③不正確；例如an=(?1)n，lga由Sn=a?qSn所以a=a11?q,b=?a故選:D.6．（5分）（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列an滿足a1=1,a2nA．31011?2023 B．31011?2025 C．【解題思路】利用累加法得到a2n?1=3【解答過程】因?yàn)閍2n所以a2n+1=a所以a===3所以a2n所以S==3×=3故選：D.7．（5分）（2022·河南·模擬預(yù)測（文））設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，若S4A．若a1<0，則an為遞增數(shù)列 B．若C．若a4+a11>0，則d>0【解題思路】根據(jù)已知條件求得a1,d的關(guān)系，然后對選項(xiàng)逐一【解答過程】由于等差數(shù)列an滿足S所以4aA選項(xiàng)，若a1=?112d<0B選項(xiàng)，若d≠0，a9=aa9C選項(xiàng)，a4D選項(xiàng)，當(dāng)d>0時(shí)，a7所以S6故選：D.8．（5分）（2022·福建三明·高三期中）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并滿足條件a1>1,A．S2019>S2020 B．C．a(chǎn)2019a2021?1<0【解題思路】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)分析公比q的范圍，由此分析選項(xiàng)可得答案．【解答過程】解：等比數(shù)列an的公比為q，則an=a1qn?1又由a2019?1a2020?1<0，即(a2019又當(dāng)a2020>10<a2019<1時(shí)，可得q>1，由所以0<a2020<1a由此分析選項(xiàng)：對于A，S2020?S2019=對于B，等比數(shù)列{an}中，0<q<1，a1>0，所以數(shù)列{an}單調(diào)遞減，又因?yàn)閍2020<1<a2019對于C，等比數(shù)列{an}中，則a2019a對于D，由B的結(jié)論知T2019是數(shù)列{Tn故選：C.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：當(dāng)fk≥k+1成立時(shí)，總有fk+1A．若f6<7成立，則B．若f3≥4成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有C．若f2<3成立，則D．若f4≥5成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有【解題思路】由逆否命題與原命題為等價(jià)命題可判斷AC，再根據(jù)題意可得若f3≥4成立，則當(dāng)k≥3時(shí)，均有【解答過程】對于A：當(dāng)fk≥k+1成立時(shí)，總有則逆否命題：當(dāng)fk+1<k+2成立時(shí)，總有若f6<7成立，則對于B：若f3≥4成立，則當(dāng)k≥3時(shí)，均有對于C：當(dāng)fk≥k+1成立時(shí)，總有則逆否命題：當(dāng)fk+1<k+2成立時(shí)，總有故若f2<3成立，則對于D：根據(jù)題意，若f4≥5成立，則即fk≥k+1k≥5所以當(dāng)k≥4時(shí)，均有fk故選：AD.10．（5分）（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)之積為Tn，且滿足0<a1<1A．q>1 B．a(chǎn)C．T2023的值是Tn中最小的 D．使Tn【解題思路】由等比數(shù)列的性質(zhì)得0<a【解答過程】由0<a1<1，a2022a2023?1>0對于A，q=a對于B，a2021對于C，當(dāng)1≤n≤2022時(shí)，0<an<1，當(dāng)n≥2023故T2022的值是T對于D，T4043=a20224043<1，故選：ABD.11．（5分）（2022·河北張家口·高三期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=2，且A．a(chǎn)nB．0<C．1D．當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn【解題思路】對于A，利用遞推式得到0<an+1an=12an2+1<1，從而證得數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，由此判斷即可；對于B，先利用反證法證得a【解答過程】對于A，因?yàn)閍n+1若an=0，則an+1=an2所以an≠0，an2>0，則2所以數(shù)列an對于B，因?yàn)閍n+1若an<0，則an+1<0，故an又因?yàn)閿?shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，所以a1=2是數(shù)列a綜上：0<a對于C，因?yàn)閍n+1=an2所以1a上述各式相加得1a又a1=2，所以經(jīng)檢驗(yàn)：1a2?所以1a對于D，由選項(xiàng)A知，an所以Sn故選：BCD.12．（5分）（2022·安徽·高三階段練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，且滿足3b2=b5，b3=5A．b32=63 B．SC．a(chǎn)n為等差數(shù)列 D．a(chǎn)n和【解題思路】對于A選項(xiàng)，直接利用等差數(shù)列bn所給的條件求出首項(xiàng)和公差進(jìn)而求出b對于B選項(xiàng)，將Sn?5b對于C選項(xiàng)由題意可得an的地推公式，利用構(gòu)造法找到規(guī)律進(jìn)而得出數(shù)列a來判斷C；對于D選項(xiàng)，結(jié)合anb【解答過程】由bn為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∵3b2=b解得b1=1，d=2，∴Sn=n(1+2n?1)Sn?5bn=n2?5(2n?1)=n選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由an+an+1=構(gòu)建一個(gè)新數(shù)列cn，令cn+1=an+1?n，cn∴a1=0，由an+ac1=a1=0，c2=a2?1=0，再由an=n?1，由an+1由an=n?1和bn=2n?1通項(xiàng)公式可以得出，1+3+5+7+?+99=50×(1+99)故選：AC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+......+13n【解題思路】先列舉出當(dāng)n=k時(shí)，左邊的式子，再令n=k+1，則左邊最后一項(xiàng)為13k+3【解答過程】當(dāng)n=k時(shí)，所假設(shè)的不等式為1k+1當(dāng)n=k+1時(shí)，要證明的不等式為1k+2故需添加的項(xiàng)為：13k+1故答案為：13k+114．（5分）（2022·上?！じ叨谀┰O(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決即可.【解答過程】由題知，等差數(shù)列{an}{bn}的前n項(xiàng)和分別為因?yàn)閍4故答案為：381315．（5分）（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））斐波那契數(shù)列，又稱黃金數(shù)列，指的是1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域都有直接應(yīng)用，對斐波那契數(shù)列，其遞推公式為a1=a2=1，an+2=an+1+an．已知Sn為斐波那契數(shù)列【解題思路】由已知條件，寫出遞推公式，累加法求出相應(yīng)的通項(xiàng)（或遞推）公式即可.【解答過程】因?yàn)閍n+2所以a3a4a5an+2將以上n個(gè)式子兩邊分別相加，得Sn+2所以Sn+2又Sn+2所以Sn所以Sn所以S2022故答案為：p?1.16．（5分）（2022·江蘇·高二期中）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=2，an+12?a【解題思路】運(yùn)用因式分解法，結(jié)合等比數(shù)列的定義、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【解答過程】由an+12?當(dāng)an+1=?an時(shí)，即an+1an當(dāng)an+1=2an時(shí)，即an+1an所以an因?yàn)閍n所以anan+1故答案為：6822049四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·上?！じ叨A段練習(xí)）觀察下面等式：1=1【解題思路】總結(jié)規(guī)律后由數(shù)學(xué)歸納法證明【解答過程】一般規(guī)律：n+(n+1)+?+(3n?2)=(2n?1)證明：（1）n=1時(shí)，左=右，等式成立；（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即k+(k+1)+?+(3k?2)=(2k?1)則當(dāng)n=k+1時(shí)，k+1+k+2+?+(3k?2)+(3k?1)+3k+(3k+1)，=(2k?1)由（1）（2）得當(dāng)n∈N18．（12分）（2021·陜西·高二期中（理））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a3(1)求數(shù)列an(2)若bn=an，求數(shù)列bn【解題思路】（1）確定a1>0,d<0,a5≥0,（2）考慮1≤n≤5和n≥6兩種情況，根據(jù)an【解答過程】（1）由a3=5,S由a3=5，可得a5=5+2d≥0且又公差d為整數(shù)，d=?2，an（2）bn當(dāng)1≤n≤5時(shí)，an>0；當(dāng)n≥6時(shí)，an當(dāng)1≤n≤5時(shí)，Tn當(dāng)n≥6時(shí)，Tn綜上，Tn19．（12分）（2022·上海市高一期末）在一次招聘會(huì)上，甲、乙兩家公司分別給出了它們的工資標(biāo)準(zhǔn).甲公司允諾：第一年的年薪為10.8萬元，以后每年的年薪比上一年增加8000元；乙公司的工資標(biāo)準(zhǔn)如下：①第一年的年薪為8萬元；②從第二年起，每年的年薪除比上一年增加10%外，還另外發(fā)放a（a為大于0的常數(shù)）萬元的交通補(bǔ)貼作為當(dāng)年年薪的一部分.設(shè)甲、乙兩家公司第n年的年薪依次為an萬元和(1)證明數(shù)列bn+10a為等比數(shù)列，并求(2)小李年初被這兩家公司同時(shí)意向錄取，他打算選擇一家公司連續(xù)工作至少10年.若僅從前10年工資收入總量較多作為選擇的標(biāo)準(zhǔn)（不記其它因素），為了吸引小李的加盟，乙公司從第二年起，每年應(yīng)至少發(fā)放多少元的交通補(bǔ)貼？（結(jié)果精確到元）【解題思路】（1）由題意可得出bn+1=1.1bn+a（2）設(shè)數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn（單位：萬元），計(jì)算出S10、T【解答過程】(1)解：由題意可得bn+1=1.1bn+a所以，數(shù)列bn+10a為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為b1所以，bn+10a=10a+8(2)解：設(shè)數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn則數(shù)列an是首項(xiàng)為10.8，公差為0.8所以，S10T10可得a≥144?80所以，每年應(yīng)至少發(fā)放2779元的交通補(bǔ)貼.20．（12分）（2022·陜西·一模（理））已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Mn，a2+M3=20,a5(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=1anan+1，數(shù)列c【解題思路】（1）運(yùn)用等差數(shù)列的基本公式聯(lián)立方程可解出an的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；對bn，考慮整理b1=1【解答過程】（1）設(shè)an的公差為d，由題意得：4a所以an=由2Sn+1=2又b1=12，所以所以bn（2）證明：cnTn要證Tn>1因?yàn)閒(x)=1?23x+2?12所以1?221．（12分）（2022·上?！じ咭黄谀τ跓o窮數(shù)列an，設(shè)集合A=x|x=an,n≥1．若A(1)已知數(shù)列an滿足a1=2,an+1(2)設(shè)函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為f(x)=3|x+1|?|x+2|，數(shù)列an滿足an+1=fan．若a(3)設(shè)an=cos(tπn)．若數(shù)列an【解題思路】（1）根據(jù)a1=2,an+1=11?an，計(jì)算即可；（2）f(x)min=f(?1)=?1，當(dāng)x>?1時(shí)，f(x)=2x+1>x，分a1=?1，a1≠?1兩種情況討即可；（3）當(dāng)t為有理數(shù)時(shí)，必存在