2023年九年級數(shù)學中考復習《中考壓軸解答題》提升訓練(含解析)

2022-2023學年九年級數(shù)學中考復習《中考壓軸解答題》專題提升訓練(附答案)

1.如圖，48是。0的直徑，點尸在。。上，NBA尸的平分線AE交于點E,過點E作

ED±AF,交4尸的延長線于點。，延長。E、4B相交于點C.

(1)判斷8與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若的半徑為5,tan/E4￡>=」，求AE的長.

2.如圖，點C是以AB為直徑的。。上一點，過點A作。。的切線交BC延長線于點

取AO中點E,連接EC并延長交AB延長線于點F.

(1)試判斷E尸與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若CF=12,BF=8,求tan￡>.

3.如圖，四邊形ABC。內接于。O,AE_LCB的延長線于點E,連結AC,BD,AB平分N

EBD,

(1)求證：AC—AD.

(2)當8為眾的中點，BC=3BE,AQ=6時，求CQ的長.

--------------------

V\O/\

EBC

4.如圖，已知AB是圓。的直徑，C是圓0上異于月，8的點，。為BC中點，且。E_LAC

于點E,連結CD

(1)求證：OE是圓0的切線；

(2)若圓。的半徑為5,且CO=6,求AC.

5.如圖，AB是半圓的直徑，C為半圓上一點，CELAB,垂足為E,F為AB延長線上

一點，且NFCB=NECB.

(1)求證：CF是。。的切線；

(2)若EB=3,BF=6,求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，以I3ABC。的邊BC為直徑的交對角線AC于點E,交C。于點尸.連接B凡過

點E作EGLCD于點G,EG是。。的切線.

(1)求證：回ABC。是菱形；

(2)已知EG=2,DG=1.求Cf的長.

7.已知，在△ABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交于點D

(1)如圖1,求證：BD=CD；

(2)如圖2,點E在AC上，連接CE并延長至點F,連接AF交00于點G,若DG=AE,

求證：ZBAC=2ZF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接BF,若CF=5,BF=8,求△ACF的面積.

8.已知NMPN的兩邊分別與。0相切于點A,B,。0的半徑為r.

(1)如圖1,點C在點A,8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求/4C8的度數(shù)；

(2)如圖2,點C在圓上運動，當PC最大時，N4P8的度數(shù)應為多少時，四邊形APBC

為菱形？請說明理由；

(3)若PC交。。于點Z),求第(2)問中對應的陰影部分的周長(用含r的式子表示).

證明）

探究：如圖2,AD平分NB4C,ZABD+ZACD=180",ZABD<90°.求證：DB=DC.

應用：如圖3,四邊形A8OC中，ZB=45°,NC=135°,DB=DC,DE1AB,若BE

=a,則AB-AC的值為.（用a的代數(shù)式表示）

10.定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形.

【性質初探】如圖1,已知，^ABCD,NB=80°,點E是邊上一點，連結CE,四

邊形ABCE恰為等腰梯形.求/8CE的度數(shù)；

【性質再探】如圖2,已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF,BF

=CE,連結BE、CF.求證：BE=CF；

【拓展應用】如圖3,回A8C。的對角線AC、BO交于點O,A8=2,NABC=45°,過

點。作AC的垂線交BC的延長線于點G,連結OG.若/CDG=90°,求BC的長.

11.如圖1,在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=9cm,BC=Ucm.在RtZsOEF中，NDFE

=90°,EF=6cm,DF=8cm,E、尸兩點在BC邊上，DE,QF兩邊分別與AB邊交于G,

H兩點.現(xiàn)固定△ABC不動，從點F與點8重合的位置出發(fā)，沿BC以Ic/w/s的

速度向點C運動，點P從點尸出發(fā)，在折線FD-DE上以2cnds的速度向點E運動.△

OE尸與點P同時出發(fā)，當點E到達點C時，點C時，△OEF與點尸同時停止運動.設

運動的時間是f（單位：s）,f>0.

（1）當f=2時，PH=cm,DG=cw；

（2）t=秒時點P與點G重合？

（3）f為多少秒時△POG為等腰三角形？請說明理由；

（4）直接寫出△PD8的面積（可用含，的代數(shù)式表示）.

12.(1)問題探究：如圖1,在正方形A8CQ中，點E,。分別在邊8C、A8上，DQLAE

于點。，點G,尸分別在邊C。、A8上，GFVAE.

①判斷。。與AE的數(shù)量關系：DOAE-,

②推斷：史的值為；(無需證明)

AE

(2)類比探究：如圖(2),在矩形ABC。中，幽=%(/為常數(shù)).將矩形ABCQ沿GF

AB

折疊，使點4落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG,EP交CD于點H,連接AE

交GF于點。.試探究GF與AE之間的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)拓展應用：如圖3,四邊形4BCD中，NA8C=90°,AB=AD=\O,BC=CD=5,

點M、N分別在邊BC、AB上，求迦的值.

AM

13.如圖，點尸是正方形A8CZ)內的一點，連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉90°,

得到線段C。，連接BP,DQ

(1)如圖a,求證：ABCP芻ADCQ；

(2)如圖，延長BP交直線OQ于點E.

①如圖6,求證：BE1DQ；

②如圖c,若△8CP為等邊三角形，判斷△￡>￡2的形狀，并說明理由，

(3)填空：若正方形ABCO的邊長為10,DE=2,PB=PC,則線段PB的長為.

14.【問題情境】

(1)如圖1,在正方形ABC。中，E,F,G分別是BC,AB,C￡＞上的點，F(xiàn)GLAE于點

Q.求證：AE=FG.

【嘗試應用】

(2)如圖2,正方形網(wǎng)格中，點A,B,C,。為格點，A8交于點。.求tan/AOC

的值；

【拓展提升】

(3)如圖3,點P是線段A8上的動點，分別以4P,BP為邊在AB的同側作正方形APCD

與正方形PBEF,連接DE分別交線段8C,PC于點M,N.

①求的度數(shù)；

②連接AC交。E于點，，直接寫出空■的值.

BC

圖1圖2圖3

15.【操作與發(fā)現(xiàn)】

如圖①，在正方形A8C￡＞中，點MM分別在邊8C、CD±.連接AM、AN、MN.Z

AMN=45°,將△AMD繞點4順時針旋轉90°,點。與點B重合，得到△4BE.易證：

△AMW也△4VE,從而可得：DM+BN=MN.

⑴【實踐探究】在圖①條件下，若CN=6,CM=8,則正方形ABCD的邊長是.

(2)如圖②，在正方形A8CD中，點M、，分別在邊￡＞C、BC上，連接4"、AN、MN,

ZMAN=45°,若tanN84V=工，求證：M是CD的中點.

3

(3)【拓展】如圖③，在矩形A8CD中，AB=\2,AO=16,點M、N分別在邊。C、BC

圖①圖②圖③

16.在四邊形ABC。中，對角線AC、8。相交于點0,將△C。。繞點。按逆時針方向旋轉

得到△G0D1,旋轉角為。(0°<0<90°),連接AG、BD\,ACi與8。交于點P.

(1)如圖1,若四邊形ABC。是正方形.

①求證：△A。。四△BOD1.

②請直接寫出AC1與2D的位置關系.

(2)如圖2,若四邊形ABC￡>是菱形，AC=5,BD=1,設AG=kB￡)i.判斷ACi與B￡>i

的位置關系，說明理由，并求出R的值.

(3)如圖3,若四邊形ABCD是平行四邊形,AC=5,80=10,連接DO1,設AC1=.請

直接寫出k的值和AC/+(kDDi)2的值.

17.如圖，已知拋物線y=w/+4x+"與x軸交于A、8兩點，與y軸交于點C.直線y=x-

3經過B,C兩點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)拋物線的頂點為例，在該拋物線的對稱軸/上是否存在點P,使得以C,M,P為

頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請

說明理由.

18.如圖一，在平面直角坐標系中，拋物線y=_￡x2+bx+c的頂點為。(2，8),與X軸交

于兩點A,8(4在B的左側)，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)如圖二，連接AO,8C,點P是線段BC上方拋物線上的一個動點，過點尸作PQ

〃/交C8于點Q,P。的最大值及此時點P的坐標；

(3)將該拋物線關于直線x=\對稱得到新拋物線)1，點E是原拋物線y和新拋物線yi

的交點，F(xiàn)是原拋物線對稱軸上一點，G為新拋物線上一點，若以E、F、A、G為頂點

的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點尸的坐標.

19.拋物線6與x軸交于A(/,0),B(8,0)兩點，與y軸交于點C,直線

y=fcr-6經過點艮點尸在拋物線上，設點P的橫坐標為八

(1)求拋物線的表達式和r,&的值；

(2)如圖1,連接AC,AP,PC,若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點P的坐

標；

(3)如圖2,若點尸在直線BC上方的拋物線上，過點P作PQ1BC,垂足為。，求CQ+

的最大值.

圖1圖2

20.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=a/+6x+3與x軸交于A,B兩點(點B在點

A的右邊)，點A坐標為(1,0),拋物線與y軸交于點C,SAABC=3.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)點P(x,y)是拋物線上一動點，且x>3.作PNJ_8C于N,設PN=d,求d與x

的函數(shù)關系式；

(3)在(2)的條件下，過點A作PC的平行線交y軸于點F,連接BF,在直線AF上

取點E,連接PE,使PE=23凡且/PEF+NBFE=180°,請直接寫出P點坐標.

參考答案

1.解：（1）連接0E,

：OA=OE,

ZOAE=ZOEA,

平分NBAF,

：.ZOAE=ZDAE,

：.ZOEA^ZEAD,

：.OE//AD,

'：EDLAF,

J.OEVDE,

OA是。。的半徑，

是OO的切線;

CED

（2）連接BE,

：AB是。。的直徑，

：.ZAEB=90°=/￡>,

又NDAE=NBAE,

?ADAEDE

**AEABBE'

VtanZEAD=—,

.DE=BE=1

??而AE~2'

則AE=2BE,又43=10,

在△回￡；中，AE1+BE2^AB2,

即（2BE）2+BE2=102,

解得：BE=2娓,

則AE=4?.

2.解：（1）EF是。。的切線，理由如下:

連接OC,AC,

是OO的直徑，

AZACB=90°=/AC。，

又是4。的中點，

：.CE=ED=EA,

J.ZEAC^ZACE,

又：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

是。的切線，AB是直徑，

：.ZEAB=90a^ZEAC+ZOAC,

：.ZACE+ZOCA=90°,BPOCLEF,

F是。。的切線；

(2)解法一：設。C=x=OB,

在RtZXOFC中，由勾股定理得，

OC1+FC1=OF2,

即7+122=(8+x)2,

解得x=5,即0C=5,

：.AB=20C=W,

.?皿1強=5=迪=上，

FC12AF10+8

.?.AE=K,

2

：.DE^2AE=15,

在RtAABD中,

解法二：連接AC,

是O。的直徑,

AZACB=90°=/AC￡>,

是。。的切線,

：.ZDAB=90Q,

???/￡）=NCAB,

9

：ZBCF=ZCAB,ZF=ZF9

AACBF^AACF,

.AC=CF=^2=2

**CBBFT'2，

3.（1）證明：???四邊形45。內接于。0,

AZADC+ZABC=180°,

VZABE+ZABC=\S0°,

???NABE=ZADC,

TAB平分NO3￡

???NABE=NDBA,

：.NADC=/DBA,

?/ZACD=ZDBAf

：.ZADC=ZACD,

：.AC=AD；

(2)解：過A作A凡LCD于F,

EB

為AC的中點，

：.AB=BC,

,:BC=3BE,

：.AB=^3BE,

四邊形ABCD是00的內接四邊形,

ZADF=NABE,

VZAFD=ZAEB=90°,

/XABE^AADF,

.DF=BE=1

*,ADAB京，

：47)=6,

：.DF=2,

"：AC=AD,

：.CD=2DF^4.

4.(1)證明：連接0D、0C,

為前中點，

NBOD=NCOD=L/BOC,

2

又；NBAC=L/B0C,

2

:.NBAC=NB0D,

：.0D//AE,

J.DELAC,

；.0D1,DE,

是半徑，

是。。的切線；

(2)解：連接BD,

為前中點，

：.BD=CD=6,

是。。的直徑，

：.ZADB=90Q,

在RtAABD中,

/ID=VAB2-BD2=8>

■:NDCE=NB,

/.sinB=M_=&-=^=sin/￡)CE=DE=DE

AB105DCT

：.DE=—,

5

=號

.4.CE=I/CD2_DE2

D

在RtZ\AOE中，由勾股定理得，

DE2+AE1=AD2,

即(■^■)2+(AC+—)2=8?,

55

5

5.(1)證明：連接。C,

".'CELAB,

：.ZCEB=90°,

；.NECB+NCBE=90°,

OC=OB,

：.ZOCB=ZCBE,

：.ZOCB+ZECB=90°,

NFCB=NECB

N尸CB+NOCB=90°,

AZOCF=90°,

；.CF是OO的切線；

(2)解：VZOCF=ZOEC=90°,NFOC=NCOE,

:?△OCES/\OFC,

.OE_PCppOB-3_OB

**OC-OF，OB_0B+6

解得：08=6,

：.ZCOF=60°,

CF=OfsinZCOF=673，

2

...陰影部分的面積=」X6JEX6-嗎＞_=18代61T.

2360

6.(1)證明：如圖，連接?！?

;成?是。。的切線，

:.OE.LEGf

?:EGLCD,

???四邊形A5C。是平行四邊形，

：.OE//CD//AB,

:?/CEO=/CAB,

,:OC=OE,

：?NCEO=NECO,

：.ZACB=ZCABf

；?AB=BC,

：.團ABC。是菱形；

(2)如圖，連接班),

由(1)得，OE〃CO,OC=OB,

：.AE=CE,

：.CE：AC=l：2,

.,.點E是AC的中點,

???四邊形ABC。是菱形，

經過點E,

是。0的直徑，

：.BFLCD,

■:EGLCD,

：.EG//BF,

:.△DGES/\DFB,

:.DG：DF=GE：BF=DE：BD=1：2,

：.DF=2,BF=4,

在Rt^BFC中，設CF=x,PIOBC=x+2,

由勾股定理得，7+4?=(x+2)2,

解得：x=3,

圖1

連接AD,

是。。的直徑,

/.ZADC=90°,

：.AD1BC,

"：AB=AC,

:.BD=CD；

(2)證明：如圖2,

圖2

連接A。，CG,

〈AC是。。的直徑，

：.ZCGF=ZAGC=90°,ZADC=90°,

???/ADC=NCGF,

VDG=AE,

：?NDCG=NACE,

：.ZDCG-ZACG=/ACE-ZACG,

:./ACD=/FCG,

：.ZF=ZCAD,

'：AB=AC,AOJ_BC,

:"BAC=24DAC,

：.ZBAC=2ZF；

(3)解：如圖3,

取的中點〃，連接?！?，GH,DG,

由（1）知：BD=CD,

"“=匏,乂8=4,

VZCGF=90°,CH=FH,

??.GH=FH=±CF=qZGFC+ZGCF=90

22）

：.ZFGH=ZGFC,

o

：./FGH+/GCF=9。

VAD=AD,

???ZAGD=ZACD,

由（2）知：ZDAC=ZGFC,

：.ZAGD=ZGFCf

o

：./FGH+/AGD=90

：.ZDGH=90°,

-'-DG=yl^-Q^=府“嚕

VCG=CG,

：.ZCDG=ZCAF,

由（2）知：NDCG=NACE,

:./\CDGs/\CAF,

?.?―D^G—=CG一,

AFCF

???CG/AF=CF*DG=5X幺

c22

.*G?AF=*,

.C_5739

?*S&ACF----------

4

8.解：（1）如圖1,連接OA,OB,

M

PBN

圖1

'：PA,PB為。0的切線，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,

AZAPB+ZAOB=\SO°,

VZAPB=80°,

...NAOB=100°,

ZACB=5Q°；

(2)如圖2,當乙4尸8=60°時，四邊形APBC是菱形,

連接OA,OB,

由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO0,

VZAPB=60°,

：.ZAOB=\2Q°,

/.ZACB=60°=NAPB,

；點C運動到PC距離最大，

...PC經過圓心，

'：PA,PB為。。的切線，

J.PA^PB,N4PC=/8PC=30°,

又,：PC=PC,

.,.△APCdBPC(SAS),

；./ACP=/BCP=30°,AC^BC,

.?./4PC=NACP=30°,

：.AP=AC,

：.AP=AC=PB=BC,

四邊形AP8C是菱形;

(3)???。。的半徑為r,

*.OA=r,0P=2r,

:.AP=Mr,PD=r,

VZAOP=9Q°-NAPO=60°,

???菽的長度=60。[?r=2L

1803

，陰影部分的周長=?升什匹r=(V3+1+—)r.

33

9.感知證明：如圖1,VZ^+ZC=180°,ZB=90°,

???NC=90°,

AZB=ZC,

?：4BAD=4CAD,AD=AD.

：./\BAD^/^CAD(AAS),

:.DB=DC.

探究證明：如圖2,延長AC到點E使4F=AB,連接。R

?：NFAD=NBAD,AD=ADf

(SAS),

：.ZF=ZABD,DF=DB,

VZABD+ZACD=\SOQ,

AZF+ZAC￡>=180°,

VZDCF+ZACD=180°,

:.NF=/DCF,

：.DF=DCf

：.DB=DC.

應用解：如圖3,作。GLAC交AC的延長線于點G,連接A。,

DELAB,ZB=45°,

:?/BED=/G=/AED=9U°,NEDB=NB=45°,

/.DE=BE=a,

VZACD=]35°,

：.ZGCD=45°,

,:/B=/GCD,DB=DC,

:?△BED*ACGD(AAS),

:.DE=DG,CG=BE=a,

U：AD=AD,

ARtAAED^RtAAGD(HL),

.\AE=AG=AC+af

.\AC=AE-a,

.\AB-AC=AB-(AE-a)=AB-AE+a=BE+a=2a,

故答案為：2a.

圖3

10.【性質初探】解：過點A作AGLBC交于G,過點E作交于H,

???團A8CQ,

：.AE//BC,

:.AG=EH,

???四邊形ABCE恰為等腰梯形,

*：AB=EC,

：.RtA/lBG^RtA^CG(HL),

：?/B=NECH,

VZB=80°,

AZBC￡=80°；

【性質再探】證明：???四邊形ABC。是矩形，

J.AE//BC,

?.?四邊形8CEF是等腰梯形，

:.BF=CE,

由(1)可知，NFBC=NECB,

：./\BFC^/\CEB(SAS),

：.BE=CF；

【拓展應用】解：連接AC,過G點作交延長線于點M,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

；.0是AC的中點，

VGO1AC,

：.AC=CG,

,JAB//CD,NABC=45°,

.?.NOCG=45°,

...NC￡)G=90°,

：.CD=DG,

：.BA=DG=2,

；/CDG=90°,

；.CG=2五,

；.AG=2&,

VZADC=ZDCG=45°,

.?.NCZ)M=135°,

：.ZGDM=45°,

：.GM=DM=42>

在Rt^AGM中，(2亞)2=(AQ+&)2+(&)2,

:*AD=y[^-近,

:.BC=娓-近.

11.解：(1)當f=2時，BF=2cm,PF=4cm,BE=8cm.

VZC=90°,NDFE=90°,

AZC+ZZ)FE=180°.

J.AC//DF.

:.△BHFsABAC.

：.BF：BC=HF：AC,

即2：12=HF：9.

:.HF=3

2

：.PH=4-3=a

22

；tanB=￡=a=3,tanO=3,

BC1244

:.NB=ND,

ZBG￡=90°,

:.XBEGs叢BAC,

?EG_BF即］EG_8

??而一而‘、引一IT

解得，EG=2^(cm),

5

：.DG=10-EG=—(cm),

5

故答案為：§；空；

25

(2)設當△￡>￡尸和點P運動的時間是f時，點尸與點G重合,

此時點P一定在DE邊上，DP=DG.

由(1)知，ZB=ZD.

又；NO+N￡)E8=90°,

.".ZB+ZD￡B=90°,

；.NDGH=NBFH=90°.

：.FH=BF?tanB=§t,DH=DF-FH=8-3/,￡>G=￡>H?cos￡)=(8-旦1)?廷=-色什絲,

444555

■:DP+DF=2t,

：.DP=2t-8.

由。P=￡)G得，2f-8=-3f+絲，解得f=衛(wèi)，

5513

?；4〈邃"<6,則此時點P在。E邊上.

13

.?，的值為逛?時，點尸與點G重合.

13

故答案為：22；

13

(3)只有點尸在QF邊上運動時，

△PDE才能成為等腰三角形，且PO=PE.(如圖1)

；BF=t,PF=2t,DF=S,

:.PD=DF-PF=8-2t.

在RtaPEF中，PE2=PF^+EF1=4?+36=PD2.即4r^36=(8-2r)2.

解得t=—.

8

：.t為工時△「￡>￡為等腰三角形;

8

(4)當0<fW4時，點P在。尸邊上運動，如圖1,

圖1

S“DB=LPD?BF=L(8-2t)?t=-尸+4f；

22

當4V/W6時，點P在。E邊上運動，如圖2,

D

過點P作PSA.BC于S,則tan/P8F=居.

BS

可得PE=DE-￡>P=10-(2/-8)=18-2r

此時PS=PE?cos/EPS=PE?cosO=9?(18-2r)=-&f+衛(wèi),

555

S^PDB=S^DEB-S^BPE

=—BE-DF-—BE'PS

22

=JLX(6+f)X8-Ax(6+f)(-

2255

綜上所述，△PDB的面積為-P+4r（0</W4）或（4<f<6）.

555

12.解：（1）①證明：；四邊形ABC。是正方形，

：.AB=DA,ZABE=90°=ZDAQ.

：.ZQAO+ZOAD=90°.

'：AE±DH,

...NAOO+NOAD=90°.

.\ZQAO=ZADO.

：./XABE^^DAQ(ASA),

：.AE=DQ.

故答案為：=.

②結論:對

理由：'：DQ±AE,FGVAE,

.,.DQ//FG,

'：FQ//DG,

：.四邊形DQFG是平行四邊形,

：.FG=DQ,

\'AE=DQ,

：.FG=AE,

GF

=1.

AE

故答案為：1.

GF

(2)結論:=k.

AE

理由：如圖2,作GM_LAB于M.

'CAEA.GF,

：.ZAOF=ZGMF=ZABE=90°,

NBAE+N4/0=90°,ZAFO+ZFGM=90°,

，NBAE=NFGM,

：.XABEsXGME,

?GFGM

??—f

AEAB

?.,N4MG=ZZ)=/D4M=90°,

...四邊形AMGD是矩形，

GM=AD,

.GFADBC_.

??....,—■n-'-K?

AEABAB

(3)如圖3,過點D作EFLBC,交BC的延長線于點F,過點A作AELEF,連接AC,

圖3

VZABC=90a,AELEF,EF1BC,

二四邊形是矩形,

.\ZE=ZF=90°,AE=BF,EF=AB=10,

'：AD=AB,BC=CD,AC=AC,

.?.△AC。絲△ACS(SSS),

AZADC=ZABC=90°,

；.NADE+NCDF=90°,且/AOE+NEAQ=90°,

:.NEAD=4CDF,且NE=NF=90°,

XADEs[\DCF,

.CDCFDF1

*'AD'DE"AE

：.AE=2DF,DE=2CF,

'：DC2^CF2+DF2,

：.25^CF2+(10-2CF)2,

：.CF=5(不合題意，舍去)，CF=3,

：.BF=BC+CF=S,

由（2）的結論可知：典望

AMAB

13.解：(1)證明：如圖a,VZBCD=90°,ZPCQ=90°,

；.NBCP=NDCQ,

在△BCP和△OCQ中，

"BC=CD

<ZBCP=ZDCQ,

PC=QC

：./\BCP^/\DCQ(SAS)；

(2)①如圖b,?.,△8CP絲△OC。，

：.4CBF=4EDF,

又,：NBFC=NDFE,

:.NDEF=NBCF=90°,

：.BELDQ；

②如圖c,?.?△BCP為等邊三角形，

：.ZBCP=60°,

.,.ZPCD=30°,

又，.。二。

：.4CPD=4CDP=15°,

又；NBPC=60°,ZCD2=60°,

：.ZEPD=45°,NEDP=45°,

...△OEP為等腰直角三角形；

(3)如圖6,由/C8F=NE￡)凡NDEF=NBCF,可得ADEFs^BCF,

.DE=DF即2=如

"BC而，'IoBF'

設DF=x,則B尸=5尤，CF=10-x,

RtABCF中，BF1=BC1+CF1,

：.(5x)2=1()2+(io-X)2,

解得制=回，&=-改(舍去)，

23

：.BF=5x=^-,

2

,:PB=PC,

：.ZPBC=ZPCB,

又ZPBC+ZPFC=ZPCB+ZPCF=90°,

NPFC=ZPCF,

：.PF^PC,

：.BP=PF=空；

24

如圖d,延長BE、CD,交于點凡

由NCBF=NCDQ=NEDF,NDEF=NBCF,可得ADEfsABCF,

.DE=DF即2=如

"*BC而''IOW

設。則8F=5x,CF=1O+X,

RtABCF中，BF2^BC2+CF2,

(5x)2=102+(10+x)2,

解得Xl=-—(舍去)，X2=—,

23

：.BF=5x=—,

3

■:PB=PC,

:.NPBC=NPCB,

又ZPBC+ZPFC=ZPCB+ZPCF=90°,

ZPFC=NPCF,

：.PF=PC,

：.BP=PF=^BF=空.

23

故答案為：空或空.

43

14.(1)證明：方法1,平移線段尸G至交4E于點K,如圖1-1所示:

由平移的性質得：FG//BH,

?.?四邊形ABC。是正方形，

J.AB//CD,AB=BC,乙4BE=/C=90°,

四邊形BFGH是平行四邊形，

:.BH=FG,

'：FG±AE,

：.BHA.AE,

：.NBKE=90°,

:.NKBE+NBEK=90°,

"：ZBEK+ZBAE=90°,

:.NBAE=NCBH,

在△ABE和中，

，ZBAE=ZCBH

<AB=BC,

ZABE=ZC

.?.△ABE/△BC”(ASA),

：.AE=BH,

：.AE=FG；

方法2：平移線段8c至FH交AE于點K,如圖1-2所示:

則四邊形BC”尸是矩形，NAKF=NAEB,

:.FH=BC,NF”G=90°,

?..四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,/ABE=9Q°,

：.AB=FH,NABE=NFHG,

\'FGA.AE,

:.NHFG+NAKF=90°,

；NAE8+NBAE=90°,

二NBAE=ZHFG,

在△ABE和△FHG中,

'NBAE=NHFG

<AB=FH,

,ZABE=ZFHG

.?.△ABE絲△FaG(ASA),

：.AE=FG-,

(2)解：將線段AB向右平移至尸力處，使得點B與點。重合，連接CF,如圖2所示：

ZAOC=ZFDC,

設正方形網(wǎng)格的邊長為單位1,

貝i」AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,OG=4,

由勾股定理可得：CF=d設2+hF2=個?2+]2=V^,CD-cE+DE~^22+4^~

2匹,DF-5/PG2+DG2=yj32+42=5>

?:(V5)2+(2遙)2=52,

ACF2+CD2=DF2,

AZFCD=90Q,

AtanZAOC=tanZFDC=—==工；

CD2^52

(3)解：①平移線段8C至。G處，連接GE,如圖3-1所示：

則ZDMC=NGDE,四邊形DGBC是平行四邊形，

：.DC=GB,

,四邊形AOCP與四邊形PBEF都是正方形，

：.DC=AD=AP,BP=BE,NZMG=NGBE=90°

：.DC=AD=AP=GB,

：.AG=BP=BE,

在△AGO和△BEG中，

'AG=BE

<ZDAG=ZGBE,

AD=BG

AAAGD^ABEG(SAS),

：.DG=EG,NADG=NEGB,

：.ZEGB+ZAGD^ZADG+ZAGD^90°,

：.ZEGD=90°,

：.ZGDE=ZGED=45°,

AZDMC=ZGDE=45°；

②如圖3-2所示：

VAC為正方形ADCP的對角線，

：.AD=CD,/ZMC=/B4C=/OMC=45°,

.??△ACD是等腰直角三角形，

：.AC=yf2AD,

,:NHCM=NBCA,

：.NAHD=NCHM=NABC,

：.l\ADHs/\ACB,

.DH_AD_AD_V2

"BCACV2AD2

圖2

圖1-2

15.(1)解：：四邊形ABCD是正方形，

：.AB^CD=AD,/84O=/C=/D=90°,

由旋轉的性質得：/XABE四△ADW,

；.BE=DM,NABE=ND=90°,AE=AM,ZBAE=ZDAM,

：.NBAE+NBAM=ZDAM+ZBAM^NBA￡)=90°,

即NE4M=90°,

；NM4N=45°,

：.ZEAN=90°-45°=45°,

NMAN=NEAN,

在△AMN和△/1￡；%中，

'AM=AE

<ZMAN=ZEAN,

AN=AN

：./\AMN^^AEN(SAS),

:.MN=EN,

"：EN=BE+BN=DM+BN,

：.MN=BN+DM,

22

在Rt/\cM/v中，由勾股定理得：MN=VCNCM=762+82=10,

則BN+DM=1Q,

設正方形ABC。的邊長為羽則8V=BC-CN=x-6,DM=CD-CM=x-8,

Ax-6+x-8=10,

解得：x=12,

即正方形ABCD的邊長是12；

故答案為：12；

(2)證明：設BN=m,DM—n,

由(1)可知，MN=BN+DM=

VZB=90°,tanNBAN=工，

3

tanZBA?/=—=—,

AB3

：.AB=3BN=3m,

：.CN=BC-BN=2m,CM=CD-DM=3m-n,

在Rt^CMN中，由勾股定理得：(2〃?)2+(3〃L〃)2=(加+〃)2,

整理得：3m—2n)

:.CM=2〃-n=n,

：.DM=CM,

即M是CD的中點；

(3)解：延長48至P,使BP=BN=4,過P作BC的平行線交0c的延長線于。，延

長AN交PQ于E,連接EM,如圖③所示：

則四邊形APQ。是正方形，

，PQ=DQ=AP=AB+BP=12+4=16,

設。則MQ=16-a,

'：PQ//BC,

：.AABNsAAPE,

?典=姻_=￡=旦

*,PEAP167(

：.PE=^BN=^-,

33

：.EQ=PQ-PE^\6-

33

由(1)得：EM=PE+DM=^-+a,

在RtaQEM中，由勾股定理得：（冬）2+（16-。）2=（學+。）2

33

解得：4=8,

即DM的長是8；

故答案為：8.

16.(1)①證明：如圖1,

?.?四邊形A8CD是正方形，

AOC=OA=OD=OB,AC1BD,

:.NAOB=/COD=90°,

?：/\COD繞點。按逆時針方向旋轉得到△CiODi,

：.OC\=OC,ODi=OD,ZCOCi^ZDODi,

：.OCi=OD\,NAOCi=NBODi=90°+ZAOD1,

在△A。。和△BOQi中

'OA=OB

,NAOC廣NBOD],

OC1=OD1

AAAOCI^ABODI(SAS)；

②AC|_LBO1；

(2)AC\LBD\.

理由如下：如圖2,

:四邊形A8C。是菱形，

：.OC=OA=^AC,OD=OB=^BD,ACYBD,

22

...NAOB=/COO=90°,

???△C。。繞點。按逆時針方向旋轉得到△C1O?,

，OCi=OC,ODi=OD,NCOC1=NDOD1,

：.OC\=OA,OD\=OB,ZAOCi=ZBODi,

.QC1_QA

"CID7"OB'

.".△AOCI^ABODI,

：.ZOACI^ZOBD\,

又；N4OB=90°,

AZOAB+ZABP+ZOBD\=90°,

：.ZOAB+ZABP+ZOAC\=90°,

ZAPB=90°

：.AC\±BDi；

VAAOCI^ABODI,

if4-AC

AL

?1_0A^2_=AC=_5

〃BDIOB±BDBD了

(3)如圖3,與(2)一樣可證明△AOCIS/\BODI,

.AC1_OA_AC_1

"BDiOBBDy

:△C。。繞點。按逆時針方向旋轉得到△CiOCi,

；.ODi=OD,

而OD—OB,

：.ODi=OB=OD,

：./\BDD\為直角三角形，

在中，

BDI2+DD\2^BD2=100,

：.(2ACi)2+DDI2=I00,

：.AC\2+(kDDi)2=25.

圖2

Di

17.解：(l)y=x-3中，令x=0,則y=-3,

：.C(0,-3),

令y=0,則x=3,

:?B(3,0),

將C(0,-3),B(3,0)代入y=/+4x+〃中，

.fn=_3

19m+12+n=0

解得0=T,

In=-3

?'-y—~X2+4X-3；

(2)存在點尸，使得以C,M,P為頂點的三角形是等腰三角形，理由如下:

Vy=-?+4x-3=-(x-2)2+1,

：.M(2,1),對稱軸為直線x=2,

設P(2,力，

：.MP=\t-1|,MC=2娓,CP=44+(t+3)2,

①當時，\t-1|=2A/5>

；，=2遙+1或/=-275+1,

：.P(2,275+1)或⑵-275+1)；

②當MP=CP時，|r-11=^4+(t+3)2-

解得t=-s,

2

：.P(2,一2)；

2

③當MC=CP時，2代={4+?+3)2,

解得r=l(舍)或/=-7,

：.P(2,-7)；

綜上所述：P點坐標為(2,2遙+1)或(2,-275+1)或(2,--1)或(2,-7).

18.解：(1):拋物線的頂點為。(2,8),

19

,4X(丁)Xc-b

,——^—=2,-----------——=8,

2X(卷)4X(總)

解得b=2,c=6,

1o

.*.y=-—X2+2X+6；

2

(2)令y=0,則--~X2+2X+6=0,

解得x=-2或x=6,

???A(-2,0),B(6,0),

令x=0,則y=6,

：.C(0,6),

設直線AD的解析式為y=kx+d,

.f_2k+d=0

*l2k+d=8'

解得『=2,

Id=4

??y=2x+4,

設直線BC的解析式為y=k'x+d,

.Jd，=6,

'l6ky+1=0'

解得小'=-l,

ld?=6

??.y=-1+6,

設P"--r+2t+6),

2

'：QP//AD,

直線QP的解析式為y=2x--j-r+6,

當2x-—？+6=-x+6時，x=—t2,

26

：.Q(L2,6-A/2),

66

0

V0<z<6,

:.PQ=^(-上於+f)=-—(z-3)2+^Zl,

662

當f=3時，PQ有最大值2返，

2

此時P(3,至)；

2

(3)。點關于直線x=1的對稱點為(0,8),

二新拋物線yi=-*/+8,

當--X2+2X+6---X2+8時，x=1,

22

：.E(1,工)，

2

"?'y—-工W+2x+6=-—(x-2)2+8,

22

...拋物線的對稱軸為直線x=2,

設F(2,m),G(〃，-—n2+8),

2

當EF為平行四邊形的對角線時，

(1+2=-2W

|吟=冬2+8,

解得卜=-12,

ln=5

：.F(2,-12)；

當EA為平行四邊形的對角線時，

，l-2=2+n

,15123，

~2-mTn+8

解得(好4,