第03講位似（原卷版）

第03講位似課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①位似的定義與性質(zhì)②平面直角坐標(biāo)系中的位似掌握位似圖形的概念與位似圖形的性質(zhì)，并且能夠熟練的應(yīng)用其性質(zhì)解決相關(guān)題目。掌握平面直角坐標(biāo)系中的位似，能夠利用位似的性質(zhì)進(jìn)行求解坐標(biāo)與作圖等。知識(shí)點(diǎn)01位似圖形的概念位似圖形的概念：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線，對(duì)應(yīng)邊或在同一直線上，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做。題型考點(diǎn)：①位似圖形的概念理解。②位似關(guān)系的判斷；③確定位似中心【即學(xué)即練1】1．下列命題不正確的是（）A．兩個(gè)位似圖形一定相似 B．位似圖形的對(duì)應(yīng)邊若不在同一條直線上，那么一定平行 C．兩個(gè)位似圖形的位似比就是相似比 D．兩個(gè)相似圖形一定是位似圖形【即學(xué)即練2】2．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，△ABC與△A′B′C′不存在位似關(guān)系的是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練3】3．圖中兩個(gè)四邊形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)O D．點(diǎn)P【即學(xué)即練4】用直尺畫(huà)出下面位似圖形的位似中心．知識(shí)點(diǎn)02位似圖形的性質(zhì)位似圖形的性質(zhì)：①位似圖形的特殊的圖形，它具有圖形的所有性質(zhì)。②位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，即。對(duì)應(yīng)邊或上。③位似圖形任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離的比值等于。題型考點(diǎn)：①利用位似圖形的性質(zhì)求值。【即學(xué)即練1】5．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是位似中心，若OE＝3OB，S△ABC＝4，則S△DEF＝（）A．9 B．12 C．16 D．36【即學(xué)即練2】6．如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，若OA：AD＝1：2，△ABC的周長(zhǎng)為3，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．27【即學(xué)即練3】7．如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為點(diǎn)O，且OC：OF＝3：2，則△ABC的周長(zhǎng)與△DEF周長(zhǎng)之比為（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．9：5【即學(xué)即練4】8．如圖，△A′B′C和△ABC是位似三角形，位似中心為點(diǎn)O，OA'＝2AA'，則△A′B′C和△ABC的相似比為（）A．1：4 B．1：3 C．4：9 D．2：3知識(shí)點(diǎn)03用坐標(biāo)表示位似用坐標(biāo)表示位似：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k。即若A（x，y），以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為。題型考點(diǎn)：①求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。②求位似中心的坐標(biāo)。【即學(xué)即練1】9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的第一象限內(nèi)，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心，作出△ABC的位似圖形△DEF．若△DEF與△ABC的相似比為2：1．則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）A．（2，4） B．（2，2） C．（6，2） D．（7，2）【即學(xué)即練2】10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，4），B（6，2），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（）A．（6，8） B．（4，4）或（﹣4，﹣4） C．（﹣6，﹣8） D．（6，8）或（﹣6，﹣8）【即學(xué)即練3】11．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（8，0），B（0，6），以某點(diǎn)為位似中心，作出△AOB的位似圖形△CED，則位似中心的坐標(biāo)為（）（0，0） B．（1，1） C．（2，2） D．（0，6）【即學(xué)即練4】12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB與△COD是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若A（3，0），B（2，﹣1），C（6，0），則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（4，﹣2） B．（6，﹣3） C．（4，2） D．（6，3）知識(shí)點(diǎn)04位似作圖位似作圖：利用位似，可以將一個(gè)圖形或，畫(huà)位似圖形的一般步驟為：①確定和。分別作他們所在的直線。②根據(jù)，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)。③順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形。題型考點(diǎn)：①進(jìn)行位似作圖?！炯磳W(xué)即練1】13．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（4，2），B（3，0），以原點(diǎn)為位似中心，A′B′與AB的相似比為，得到線段A′B′．正確的畫(huà)法是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練2】14．如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC放大為原來(lái)的2倍得到的圖形畫(huà)出來(lái)．【即學(xué)即練3】15．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABC的位置如圖所示．（1）畫(huà)出與△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1．（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在第四象限內(nèi)作出△ABC的位似圖形△A2B2C2，且△A2B2C2與△ABC的相似比為2：1．【即學(xué)即練4】16．在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格中y軸右側(cè)作出△ABC的位似圖形△A1B1C1，使△ABC與△A1B1C1的相似比為1：2；（2）作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C．題型01利用位似的性質(zhì)求值【典例1】如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形．若OA：AD＝2：3，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比是（）A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25【典例2】如圖，△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)O位似，且相似比為3：4，則AB與DE的比為（）A．3：4 B．2：7 C．9：16 D．4：3【典例3】如圖，已知△ABC與△DEF位似，位似中心為O，且△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是4：3，則AO：DO的值為（）A．4：7 B．4：3 C．3：4 D．16：9【典例4】如圖，四邊形ABCD和A'B'C'D'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OB：OB'＝1：2，則四邊形ABCD與A'B'C'D'的周長(zhǎng)比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：3【典例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEF是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若A（﹣2，0），D（3，0），且AC＝，則線段DF的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．題型02坐標(biāo)表示位似【典例1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，已知點(diǎn)A（2，1），則位似中心的坐標(biāo)是（）A．（1，5） B．（4，2） C．（1，4） D．（5，2）【典例2】如圖，將視力表中的兩個(gè)“E”放在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)“E”字是位似圖形，位似中心點(diǎn)O，①號(hào)“E”與②號(hào)“E”的相似比為2：1．點(diǎn)P與Q為一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，若點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣2，3），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A． B．（﹣6，4） C． D．（﹣4，6）【典例3】如圖，若△ABC與△A1B1C1是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【典例4】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2）或（3，2） C．（﹣12，﹣8） D．（﹣12，﹣8）或（12，8）【典例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，4）．若以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△AOB縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A． B．或 C．（﹣8，16） D．（﹣8，16）或（8，﹣16）題型03位似規(guī)律題【典例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），以點(diǎn)O為位似中心，在點(diǎn)O的異側(cè)作△OAB的位似圖形△OA1B1，使△OAB與△OA1B1的相似比為1：2；再以點(diǎn)O為位似中心，在點(diǎn)O的異側(cè)作△OA1B1的位似圖形△OA2B2，使△OA1B1與△OA2B2的相似比為1：2??以此類(lèi)推，則點(diǎn)B2023的坐標(biāo)為．典例1典例2【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOCB的兩邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2．OC＝1，則矩形AOCB的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是；在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點(diǎn)O為位似中心放大為原來(lái)的倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點(diǎn)O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此規(guī)律，則矩形A4OC4B4的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是．題型04位似作圖【典例1】如圖，點(diǎn)P（﹣6，6）和△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，4）．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖形△A'B'C'；（2）以點(diǎn)P為位似中心作△DEF，使△DEF與△A'B'C'位似，且這兩個(gè)三角形在點(diǎn)P的同側(cè)，相似比為2，并寫(xiě)出點(diǎn)A'的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．【典例2】如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，2），B（﹣3，3），C（﹣3，1）．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1；（2）以B為位似中心，在B的下方畫(huà)出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似且相似比為2：1；（3）直接寫(xiě)出點(diǎn)A2和點(diǎn)C2的坐標(biāo)．【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．（1）以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫(huà)出△OAB的一個(gè)位似△OA1B1，使它與△OAB的位似比為2：1；（2）畫(huà)出將△OAB向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的△O2A2B2；（3）判斷△OA1B1和△O2A2B2是位似圖形嗎？若是，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出位似中心點(diǎn)M，并寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【典例4】如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為（3，1）、（2，﹣1）．（1）畫(huà)出△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形．（2）在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新圖與原圖的相似比為2：1，并分別寫(xiě)出A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．1．若兩個(gè)直角三角形都有一個(gè)30°的內(nèi)角，則這兩個(gè)直角三角形一定（）A．全等 B．相似 C．位似 D．無(wú)法確定2．如圖，在正方形網(wǎng)格中，以點(diǎn)O為位似中心，△ABC的位似圖形可以是（）A．△DEF B．△DHF C．△GEH D．△GDH3．如圖所示△DEF是△ABC位似圖形的幾種畫(huà)法，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．14．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝3，AC＝5，則＝（）A． B． C． D．5．如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△DEF和△ABC的面積比是（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：26．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，位似比為1：2，BC＝2，則EF的長(zhǎng)度為（）A．3 B．4 C．6 D．87．如圖，點(diǎn)O是五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝3：4，則五邊形ABCDE和五邊形A1B1C1D1E1的面積比是（）A．2：3 B．3：4 C．3：7 D．9：168．如圖，矩形EFGO的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以y軸上的某一點(diǎn)為位似中心，作位似圖形ABCD，且點(diǎn)B，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣4，4），（2，1），則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）9．如圖，△ABC和△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)之比為．10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)是．11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原點(diǎn)O為位似中心，畫(huà)△A′B′O，使它與△ABO位似，且相似比為1：2，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是．12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（4，4），C（6，0）．（1）請(qǐng)以原點(diǎn)O為位似中心，畫(huà)出△A′B′C′，使它與△ABC的相似比為1：2，變換后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、B′，點(diǎn)B′在第一象限；（2）若P（a，b）為線段BC上的任一點(diǎn)，則變換后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為．14．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)