高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修二）：專題4.4 等差數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型檢測）（教師版）

專題4.4等差數(shù)列的概念（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·北京朝陽·高二期末）?2與?8的等差中項(xiàng)是（

）A．?5 B．?4 C．4 D．5【解題思路】代入等差中項(xiàng)公式即可解決.【解答過程】?2與?8的等差中項(xiàng)是?2?82故選：A.2．（3分）（2022·陜西·高二期中（理））在等差數(shù)列an中，a2=2,a10A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義，列出方程，解之即可.【解答過程】設(shè)an的公差為d，則a1+d=2,故選：B．3．（3分）（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=A．80 B．100 C．120 D．143【解題思路】根據(jù)an+1=an+2an【解答過程】解：因?yàn)閍n+1所以an+1+1=a等式兩邊開方可得：an+1+1=所以數(shù)列an+1是以首項(xiàng)為所以an+1=2+(n?1)×1=n+1所以a10故選：C．4．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=12，aA．12020 B．12021 C．12022【解題思路】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式即可．【解答過程】因?yàn)閍n+1=a又a1=1所以數(shù)列1an是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以1an=n+1故選：D．5．（3分）（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列命題：①若an=a②若an+1?a③若an=bn+c（b、c是常量），則數(shù)列其中真命題有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解題思路】由等差數(shù)列的定義即可得出結(jié)論.【解答過程】由an=an?1+an+1?an=nan=bn+c，an?1=b(n?1)+c=bn+c?b，故選：C.6．（3分）（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列-5，?312，-2，?1A．a(chǎn)n=3C．a(chǎn)n=?5?3【解題思路】直接利用公式法求出通項(xiàng)公式即可.【解答過程】因?yàn)樾碌牡炔顢?shù)列的公差d=1所以an故選A.7．（3分）（2022·貴州·高三期中（文））已知數(shù)列an滿足：a1=3，當(dāng)n≥2時(shí)，an=A．a(chǎn)2=8 B．?dāng)?shù)列C．?dāng)?shù)列an為周期數(shù)列 D．【解題思路】利用數(shù)列的遞推關(guān)系推出an+1=an?1【解答過程】解：由題意得：an即an所以數(shù)列an+1是以所以an+1=n+1所以a2函數(shù)y=x2+2x，在x>?1故選：C.8．（3分）（2022·江蘇連云港·高二期末）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=AA．n B．n C．n+1 D．n+1【解題思路】由幾何關(guān)系得an2=an?12+1【解答過程】由題意知，OA1=所以a1=1，且所以數(shù)列an所以an2=1+故選：B．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與?b2的等差中項(xiàng)，則a與A．a(chǎn)=?b B．a(chǎn)=3b C．a(chǎn)=b D．a(chǎn)=?3b【解題思路】利用等差中項(xiàng)求解.【解答過程】由等差中項(xiàng)的定義知x=a+b2，所以a2?b所以a+ba?3b故a=?b或a=3b.故選：AB.10．（4分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=3，且對任意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)an,A．?dāng)?shù)列anB．?dāng)?shù)列anC．?dāng)?shù)列an的通項(xiàng)公式為D．?dāng)?shù)列an的通項(xiàng)公式為【解題思路】由點(diǎn)在直線上可知數(shù)列an是等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得an，推導(dǎo)可得【解答過程】∵點(diǎn)an,an?1在直線∴數(shù)列an是以a1=∴an=∴an?故選：BD.11．（4分）（2021·江蘇·高二期中）已知等差數(shù)列an，下列結(jié)論一定正確的是（

A．若a1+a2>0，則a2C．若0<a1<a2【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，結(jié)合基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】對于A中，由a1+a因?yàn)楣頳的正負(fù)不確定，所以a2對于B中，由a1+a因?yàn)楣頳的正負(fù)不確定，所以a2對于C中，因?yàn)?<a1<a2又因?yàn)閍1+又由a1≠a對于D中，由等差數(shù)列的定義知a2故選：CD.12．（4分）（2022·山東青島·高二期中）已知數(shù)列an滿足：a1=2，an=2?A．a(chǎn)B．對任意n∈N?，C．不存在正整數(shù)p，q，r使ap，ar，D．?dāng)?shù)列1a【解題思路】首先判斷D，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，通過D構(gòu)造等差數(shù)列的定義，即可判斷；根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列an【解答過程】因?yàn)閍n=2?1an?1，（n≥2,n∈即an+1?1=1?1所以1a得1an+1?1所以數(shù)列1an?1得anA.a5B.an+1?aC.若存在正整數(shù)p，q，r使ap，ar，aq即2+2r=2+1p故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·海南省高二期中）已知等差數(shù)列an中，a2=2，a12=12，則a【解題思路】用基本量a1,d表示題干條件，求得通項(xiàng)公式，由a5與a【解答過程】由題意，不妨設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為又a2=2，故a1+d=2a故an故a5與a11的等差中項(xiàng)為故答案為：8.14．（4分）（2021·北京·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+1?an=3n∈N?【解題思路】由an+1?an=3，可得數(shù)列a【解答過程】由題意，an+1故數(shù)列an為等差數(shù)列，公差d=3∴a故答案為：10.15．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且a1+a2+a【解題思路】數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，根據(jù)滿足a1+a2+a【解答過程】∵等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且a1+a2+a3≤3，∴a2≤1,d>0，又∵a7故答案為?4,1116．（4分）（2022·云南玉溪·模擬預(yù)測（理））以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”．此表由若干個(gè)數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和．若每行的第一個(gè)數(shù)構(gòu)成有窮數(shù)列an，并且得到遞推關(guān)系為an=2an?1+【解題思路】首先在an的遞推關(guān)系式兩邊都除以2n，得到an2n【解答過程】解：∵有窮數(shù)列an，遞推關(guān)系為a∴a∵a1∴an2n是以∴a∴a故答案為：(n+1)×2四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且公差為d（1）若a15=8，a60（2）若a2+a3+【解題思路】（1）由題意，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程組可求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此可求得答案；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得2a2+【解答過程】解：（1）由題意得a1+14d=8a1+59d=20所以a105（2）由a2+a3+a由a2+a5=17a2a5=52所以公差d為3或?3.18．（6分）（2022·福建·高二期中）（1）已知在遞增的等差數(shù)列an中，a3a（2）已知數(shù)列an中，a1=【解題思路】（1）根據(jù)已知條件解方程組可得a3=5,a6=11（2）根據(jù)等差數(shù)的定義結(jié)合已知進(jìn)行證明.【解答過程】（1）解：由a3a6得a3設(shè)數(shù)列an的公差為d所以a1+2d=5a所以an（2）證明：因?yàn)閍1所以1a所以數(shù)列1a19．（8分）（2022·上海·高二期中）已知等差數(shù)列an中，a1<a2<a(1)求此數(shù)列an(2)268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說明理由．【解題思路】（1）根據(jù)題意得到a3=2，a6=8，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程，解得（2）令268=2n?4n∈N?【解答過程】（1）由已知條件得a3=2，又∵an為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為∴a1+2d=2，a1+5d=8，解得∴an∴數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）令268=2n?4n∈N?∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．20．（8分）（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列{an}滿足：a(1)求證：{1an(2)是否存在正整數(shù)m，使得a2m=2a【解題思路】（1）根據(jù)題意整理得1an+1?1an=?2【解答過程】（1）由an+1=an1?2又1a1=1，∴數(shù)列{∴1a∴a（2）∵a2m=2a則2m2?6m+3=0∴不存在正整數(shù)m，使得a2m21．（8分）（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）無窮數(shù)列{an}滿足：a（1）求證：{1（2）若a2021為數(shù)列{an【解題思路】（1）利用遞推公式證得1a（2）由于數(shù)列{1an+2}是以1為公差的等差數(shù)列，所以若1a1+2>0，則數(shù)列{【解答過程】（1）因?yàn)閍n+1a所以1====1，故數(shù)列{1（2）若1a1+2>0，則數(shù)列{1an+2}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{1an+2}無最大項(xiàng)，因此{(lán)an}中無最小項(xiàng)，故1a1故a1的取值范圍為(?22．（8分）（2022·四川省高一期中（理））已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a(1)求數(shù)列{a(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足；bn=(an【解題思路】（1）根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的等差中項(xiàng)，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）根據(jù)已知條件及（1）的結(jié)論，得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公