高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修二）：專題8.3 立體圖形的直觀圖（重難點題型精講）（學(xué)生版）

專題8.3立體圖形的直觀圖（重難點題型精講）1．空間幾何體的直觀圖(1)直觀圖的概念

直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形.畫立體圖形的直觀圖，實際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點的集合，用同一平面內(nèi)的點表示.因此，直觀圖往往與立體圖形的真實形狀不完全相同.

在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.

(2)斜二測畫法及其步驟

利用平行投影，人們獲得了畫直觀圖的斜二測畫法.利用這種畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，其步驟是：

①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x'軸和y'軸，兩軸相交于點O'，且使∠x'O'y'=(或)，它們確定的平面表示水平面.

②已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別面成平行于x'軸或y'軸的線段.

③已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的規(guī)則

畫幾何體的直觀圖時，與畫平面圖形的直觀圖相比，只是多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，并且有以下規(guī)則.①已知圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸、y'軸或z'軸的線段.

②已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?

③連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.2．平面圖形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系(1)以三角形為例，則有.如圖所示，，它的直觀圖的面積.(2)平面多邊形的面積與其直觀圖的面積間的關(guān)系：=.即若記一個平面多邊形的面積為，由斜二測畫法得到的直觀圖的面積為，則有=.【題型1斜二測畫法】【方法點撥】根據(jù)斜二測畫法畫直觀圖的規(guī)則和步驟，進行求解即可.【例1】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形是一個邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2022秋·陜西渭南·高一期末）如圖，△A'B'C'是△ABC的直觀圖，其中B'A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定【變式1-2】（2022春·山西呂梁·高一期中）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形O1A1B1C1，其中OA．6 B．46 C．42 【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，△A'B'C'是水平放置的△ABCA．鈍角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【題型2畫平面圖形的直觀圖】【方法點撥】畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點位置.頂點位置可以分為兩類：一類是在軸上或在與軸平行的線段上，這類頂點比較容易確定；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，這類頂點一般通過作過此點且與軸平行或垂直的線段，將此點轉(zhuǎn)到與軸平行或垂直的線段上來確定.【例2】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3【變式2-1】（2023·高一課時練習(xí)）用斜二測法畫出如圖邊長為2的等邊三角形的直觀圖，并求直觀圖面積．【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用斜二測畫法畫出如圖所示的五邊形的直觀圖.(不寫作法，保留作圖痕跡)【變式2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）用斜二測畫法畫出下列水平放置的平面圖形的直觀圖：(1)邊長為3cm(2)邊長為4cm(3)邊長為2cm【題型3畫空間幾何體的直觀圖】【方法點撥】(1)對于一些常見簡單幾何體(柱體、錐體、臺體、球)的直觀圖，應(yīng)該記住它們的大致形狀，以便快速準(zhǔn)確地畫出.(2)畫空間幾何體的直觀圖比畫平面圖形的直觀圖增加了一個z軸，表示豎直方向.(3)平行于z軸(或在z軸上)的線段，方向與長度都與原來保持一致.【例3】（2022·高一課時練習(xí)）用斜二測畫法畫長、寬、高分別是8cm，6cm，3cm的長方體ABCD?A【變式3-1】（2022·高一課時練習(xí)）畫出一個正六棱柱的直觀圖，底面為邊長為3的正六邊形，高為5．【變式3-2】（2022·高一課時練習(xí)）已知直三棱柱ABC?A1B1C【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）畫出圖中簡單組合體的直觀圖（尺寸單位：cm）．【題型4平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系】【方法點撥】根據(jù)斜二測畫法中平面圖形的面積與其直觀圖的面積的關(guān)系，結(jié)合具體條件，進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例4】（2022秋·四川內(nèi)江·高二期中）如圖所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中OA．242 B．122 C．12 【變式4-1】（2022秋·四川·高二期中）如圖，Rt△O'A'A．1 B．2 C．22 D．【變式4-2】（2022秋·安徽六安·高三階段練習(xí)）一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2