高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（必修二）：專題8.11 空間直線、平面的垂直（一）（重難點題型精講）（學生版）

專題8.11空間直線、平面的垂直（一）（重難點題型精講）1．異面直線所成的角(1)兩條異面直線所成的角的定義

如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'，b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)異面直線所成的角的范圍

異面直線所成的角必須是銳角或直角，即的范圍是<.(3)兩條異面直線垂直的定義

如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b.2．直線與平面垂直(1)定義如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.(2)點到平面的距離過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.3．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.4．直線與平面所成的角(1)定義①斜線和斜足：如圖，一條直線l與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.(2)直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角的范圍是<.

④直線與平面所成的角的取值范圍是.5．直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．②圖形語言：如圖所示．③符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性質(zhì)定理的作用

①由線面垂直證明線線平行.

②構(gòu)造平行線.6．點在平面內(nèi)射影位置的確定立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內(nèi)的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關(guān)鍵.一般來說，可以直接過這個點作平面的垂線，然后通過證明或計算說明垂足的位置，也可以借助以下一些常見結(jié)論進行確定.

(1)如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上.

(2)經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與這個角的兩邊的夾角相等，那么該斜線在平面內(nèi)的射影是這個角的平分線所在直線.【題型1異面直線所成的角】【方法點撥】(1)構(gòu)造：根據(jù)異面直線的定義，用平移法(常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角.(2)證明：證明作出的角就是要求的角.(3)計算：求角度(常利用三角形的有關(guān)知識).(4)結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.【例1】在三棱錐P?ABC中，PB⊥平面ABC，且AB=PB=23，AC=BC=2，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點，則異面直線EF與PC所成角的余弦值為（

A．38 B．58 C．35【變式1-1】（2023春·安徽·高二開學考試）如圖，已知等腰直角三角形ABC的斜邊BC的中點為O，且BC=4，點P為平面ABC外一點，且PB=PC=22，PA=2，則異面直線PO與AB所成的角的余弦值為（

A．38 B．34 C．28【變式1-2】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）圖（1）是由正方形ABCD和正三角形PAD組合而成的平面圖形，將三角形PAD沿AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD，如圖（2），則異面直線PB與DC所成角的大小為（

）A．15° B．30° C．45°【變式1-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A．π2 B．π3 C．π4【題型2線線垂直的判定】【方法點撥】通過異面直線所成的角為，來證明線線垂直；通過基本的平面圖形的幾何性質(zhì)來實現(xiàn)線線垂直的探索；通過線面垂直的關(guān)系來證明線線垂直.【例2】（2022·高一課時練習）在正方體ABCD?A1B1CA．AB B．CD C．A1B 【變式2-1】（2022·高一課時練習）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A．2條 B．4條C．6條 D．8條【變式2-2】（2022·高一課時練習）如圖，P為△ABC所在平面α外一點，PB⊥α，PC⊥AC，則△ABC形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【變式2-3】（2022·廣東·高三學業(yè)考試）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1CA．BC1 B．A1D C．【題型3線面垂直判定定理的應(yīng)用】【方法點撥】利用直線與平面垂直的判定定理判定線面垂直的步驟：(1)在這個平面內(nèi)找兩條直線，使要證直線和這兩條直線垂直；(2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.【例3】（2022·上?！じ叨ｎ}練習）在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2及G2G3的中點，D是EF的中點．現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個空間四邊形，使A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【變式3-1】（2022春·遼寧·高一期末）已知α,β,γ是三個不同的平面，l,m,n是三條不同的直線，且α∩β=l,m,n?γ.在下列條件中，能推出l⊥γ的是（

）A．n⊥l,m⊥l B．m⊥l,n⊥αC．n⊥α,m⊥α D．m⊥α,n⊥β【變式3-2】（2022秋·寧夏石嘴山·高二階段練習）如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點（不與A，B重合），則下列說法錯誤的是（

）A．PA⊥平面ABC B．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBC D．三棱錐P?ABC的四個面都是直角三角形【變式3-3】（2022春·天津河西·高一期末）如圖，圓柱OO'中，AA'是側(cè)面的母線，AB是底面的直徑，A．BC⊥平面A'AC B．BC⊥C．AC⊥平面A'BC D．AC⊥【題型4直線與平面所成的角】【方法點撥】求直線與平面所成的角的一般步驟：(1)作：在斜線上選取恰當?shù)狞c向平面引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵.(2)證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義.(3)求：一般借助三角形的相關(guān)知識求角.【例4】（2023春·四川達州·高二開學考試）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A．13 B．36 C．33【變式4-1】（2022春·山東聊城·高一階段練習）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，BC=2，PC與平面PAB所成的角為30A．433π B．43π 【變式4-2】（2022秋·廣西玉林·高二階段練習）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2A．1 B．2 C．23 D．【變式4-3】（2022春·廣西桂林·高二期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD=AB=a，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A．34 B．1717 C．317【題型5直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【方法點撥】(1)線面垂直的性質(zhì)定理、基本事實4及線面平行的性質(zhì)定理都是證明線線平行的依據(jù)，至于線面平行、面面平行，歸結(jié)到最后還是要先證明線線平行.(2)要證線線垂直，只需證線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得到線線垂直.【例5】（2023春·甘肅天水·高三開學考試）如圖，四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=PC，PD=2，∠DAC=π(1)證明：AC⊥PD；(2)若PB=23，求四棱錐P—ABCD【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖（1），在梯形ABCD中，AD?//?BC且AD⊥CD，線段AD上有一點E，滿足CD=DE=1，AE=BC=2，現(xiàn)將△ABE，△CDE分別沿BE，CE折起，使AD=5，【變式5-2】（2022秋·山東濰坊·高二階段練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.【變式5-3】（2023·湖北·模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，點D為線段(1)若AA1=(2)求三棱柱ABC?A【題型6平面內(nèi)的射影問題】【方法點撥】立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內(nèi)的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關(guān)鍵.【例6】（2022秋·上海靜安·高二期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，點P在△AEF內(nèi)的射影為O，則O為△AEF的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【變式6-1】（2022秋·山東濰坊·高二開學考試）若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的射影O是△ABC的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【變式6-2】（2022春?瑤海區(qū)月考）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分別是棱A'B'、AA'、A'D'上的點，則點A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．內(nèi)心【變式6-3】（2022·高一課時練習）下列四個命題：①∠AOB所在平面外一點P到角的兩邊距離相等，若點P在平面AOB上的射影H在