穩(wěn)態(tài)誤差與閉回路轉(zhuǎn)移函數(shù)之間的關(guān)系課件

2023/12/51控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER7-1連續(xù)資料系統(tǒng)之時(shí)間響應(yīng)︰前言1.控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)通常可分為兩部份︰

暫態(tài)響應(yīng)(transientresponse)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(steady-stateresponse)。2.令y(t)代表時(shí)間響應(yīng)(7-1)其中yt

(t)為暫態(tài)響應(yīng)，yss

(t)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

暫態(tài)響應(yīng)可定義為當(dāng)時(shí)間趨近無(wú)窮大時(shí)響應(yīng)變?yōu)榱愕牟糠?7-2)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是在暫態(tài)響應(yīng)消失後，所剩餘部份的響應(yīng)3.若輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不一致，就稱(chēng)此系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差(steady-stateerror)。7-2控制系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的典型測(cè)試訊號(hào)為了時(shí)域分析的方便，常使用下列的測(cè)試訊號(hào)：1.步階函數(shù)輸入：(7-3)其中R

為常數(shù)或(7-4)us(t)為單位步階函數(shù)圖7-1(a)2023/12/52控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER圖7-1控制系統(tǒng)的基本時(shí)域測(cè)試訊號(hào)。(a)步階函數(shù)；(b)斜坡函數(shù)；(c)拋物線函數(shù)2023/12/53控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER

由於步階函數(shù)有一不連續(xù)的跳躍，它的頻譜包含極寬的頻率；因此，將步階函數(shù)當(dāng)作測(cè)試訊號(hào)相當(dāng)於在一很寬的頻率範(fàn)圍內(nèi)多種弦波訊號(hào)的同時(shí)應(yīng)用。2.斜坡函數(shù)輸入：(7-5)R

為實(shí)常數(shù)圖7-1(b)

斜坡函數(shù)有能力測(cè)試系統(tǒng)對(duì)一隨時(shí)間線性變化的訊號(hào)響應(yīng)。3.拋物線函數(shù)輸入：(7-6)R

為實(shí)常數(shù)圖7-1(c)★

t

3，稱(chēng)為顫振函數(shù)很少用！7-3單位步階響應(yīng)及時(shí)域規(guī)格

對(duì)於線性控制系統(tǒng)，暫態(tài)響應(yīng)的特性通常以單位步階函數(shù)us(t)作為輸入。此種響應(yīng)稱(chēng)為單位步階響應(yīng)。

圖7-2◆系統(tǒng)的性能特性定義：1.最大超越量令y(t)為單位步階響應(yīng)。令ymax

為y(t)的最大值，yss為y(t)的穩(wěn)態(tài)值，且y

max

y

ss。2023/12/54控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER圖7-2用來(lái)說(shuō)明時(shí)域規(guī)格之控制系統(tǒng)的典型單位步階響應(yīng)2023/12/55控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER最大超越量=y

max

yss

(7-7)

最大超越量通常以步階響應(yīng)最終值的百分比來(lái)表示(7-8)測(cè)量系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性最大超越量通常視為時(shí)域規(guī)格。

若系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)在s右半平面，則亦可能發(fā)生負(fù)的最大超越值。2.

延遲時(shí)間達(dá)到步階響應(yīng)最終值的50%所需的時(shí)間定義為延遲時(shí)間td，如圖7-2

所示。3.

上升時(shí)間由步階響應(yīng)最終值的10%上升到90%所需的時(shí)間定義為上升時(shí)間tr。如圖7-2

所示。另一種測(cè)量法為，上升時(shí)間以步階響應(yīng)在響應(yīng)等於其最終值的50%

時(shí)瞬間斜率的倒數(shù)來(lái)表示。4.

安定時(shí)間步階響應(yīng)衰減至且停留在其最終值的特定百分比以內(nèi)時(shí)所需的時(shí)間定義為安定時(shí)間ts。通常使用的數(shù)值是5%。5.

穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差定義為系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)(即t

)時(shí)，輸出與參考輸入間之差異值。2023/12/56控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER7-4穩(wěn)態(tài)誤差1.在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出及參考值的差，我們定義為穩(wěn)態(tài)誤差。2.在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，必須使誤差減至最低程度，或讓誤差低於某一容忍值。同時(shí)，暫態(tài)響應(yīng)也必須滿足某種規(guī)格。7-4-1線性連續(xù)資料控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差必須視系統(tǒng)的型態(tài)和參考輸入類(lèi)型而定。1.考慮圖7-3

的閉迴路系統(tǒng)，其中r(t)為輸入，u(t)為激勵(lì)訊號(hào)，b(t)為回授訊號(hào)，及y(t)為輸出。★相對(duì)於系統(tǒng)架構(gòu)的穩(wěn)態(tài)誤差定義2.系統(tǒng)誤差的定義：圖7-3非單位回授的控制系統(tǒng)(7-9)參考訊號(hào)為輸出y(t)所要追蹤的訊號(hào)。3.系統(tǒng)為單位回授時(shí)[即H(s)=1]，輸入

r(t)為參考訊號(hào)，則誤差可簡(jiǎn)化為(7-10)穩(wěn)態(tài)誤差定義：(7-11)2023/12/57控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER4.當(dāng)H(s)不為1，則圖7-3中的激勵(lì)訊號(hào)u(t)不一定為誤差，端視H(s)的型式和目的而定。Ex.

假設(shè)在圖7-3

中的系統(tǒng)其目的為使輸出y(t)盡可能緊密地追蹤r(t)，且系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)為(7-12a)1)當(dāng)H(s)=1時(shí)，特性方程式為(7-13)閉迴路系統(tǒng)為不穩(wěn)定2)當(dāng)H(s)變成(7-12b)特性方程式變成(7-14)系統(tǒng)穩(wěn)定

系統(tǒng)誤差仍可由(7-10)式所定義：2023/12/58控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTEREx.

考慮一速度控制系統(tǒng)，其中以步階輸入來(lái)控制在穩(wěn)態(tài)時(shí)可包含一斜坡的系統(tǒng)輸出。系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)可如以下型式(7-15)其中H(s)為機(jī)電或電子轉(zhuǎn)速計(jì)之轉(zhuǎn)移函數(shù)，且K

t

為轉(zhuǎn)速計(jì)常數(shù)。1)系統(tǒng)誤差可如(7-9)式中所定義，其中參考訊號(hào)為所設(shè)計(jì)的速度，但並非r(t)。

由於r(t)和y(t)的因次不同，所以用(7-10)式定義誤差將無(wú)意義。2)令K

t=10V/rad/sec。此乃表示對(duì)一步階輸入為1

伏特時(shí)，穩(wěn)態(tài)時(shí)所需速度為1/10或0.1rad/sec，因?yàn)楫?dāng)此一條件達(dá)到時(shí)，轉(zhuǎn)速計(jì)之輸出電壓為1伏特，且穩(wěn)態(tài)誤差為零。3)系統(tǒng)之閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)：(7-16)4)對(duì)於步階函數(shù)輸入，R(s)=1/s。輸出時(shí)域響應(yīng)為(7-17)2023/12/59控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER5)y(t)的穩(wěn)態(tài)部份為0.1t

0.12。故系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為(7-18)

並非所有的系統(tǒng)誤差均依據(jù)輸入所得的輸出響應(yīng)來(lái)定義。圖7-4

的系統(tǒng)除輸入r(t)

外，還有干擾d(t)。由d(t)單獨(dú)作用所產(chǎn)生之輸出也可定義為誤差。

圖7-4有干擾輸入之系統(tǒng)

為對(duì)線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差作有系統(tǒng)的討論，以下將區(qū)分三種系統(tǒng)分別討論之。1.單位回授系統(tǒng)；H(s)=1。2.非單位回授系統(tǒng)，但H(0)=K

H=常數(shù)。3.非單位回授系統(tǒng)，且H(s)在s=0有N

階之零點(diǎn)。2023/12/510控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER★控制系統(tǒng)的型式︰單位回授系統(tǒng)圖7-3非單位回授的控制系統(tǒng)1.H(s)=1之單位回授控制系統(tǒng)的方塊圖：

圖7-3

。2.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：(7-19)3.ess

與G(s)在s=0之極點(diǎn)數(shù)目有關(guān)。此一數(shù)目即為控制系統(tǒng)的型式，或簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)型式。系統(tǒng)之型式在此只針對(duì)單位回授系統(tǒng)定義4.利用順向路徑轉(zhuǎn)移函數(shù)G(s)的型式來(lái)定出系統(tǒng)型式:(7-20)其中K

和所有的T

為實(shí)常數(shù)。若閉迴路系統(tǒng)的順向路徑轉(zhuǎn)移函數(shù)如(7-20)式，則系統(tǒng)的型式為

j，其中

j=0，1，2，…。?例題7-1(7-21)型式12023/12/511控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER(7-22)型式3★不同型態(tài)的輸入對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的影響：[A]具步階函數(shù)輸入之系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差圖7-3非單位回授的控制系統(tǒng)圖7-3系統(tǒng)的H(s)=1且參考輸入r(t)是幅度為R

的步階函數(shù)，其輸入的拉氏轉(zhuǎn)換為R/s。2.穩(wěn)態(tài)誤差：(7-23)3.步階誤差常數(shù)(step-errorconstant)：(7-25)4.步階輸入時(shí)典型的ess：圖7-51)型式0的系統(tǒng)︰2)型式1或更高的系統(tǒng)︰(7-24)2023/12/512控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER圖7-5步階輸入時(shí)的典型穩(wěn)態(tài)誤差[B]具斜坡輸入函數(shù)之系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1.控制系統(tǒng)[H(s)=1]：圖7-3。2.輸入：幅度為R

的斜坡函數(shù)(7-26)其中

R

為常數(shù)(7-27)2023/12/513控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER3.穩(wěn)態(tài)誤差：(7-28)4.斜坡誤差常數(shù)(ramp-errorconstant)：(7-29)斜坡誤差常數(shù)Kv只定義於系統(tǒng)為斜坡輸入(7-30)5.對(duì)斜坡輸入的典型ess：圖7-6。圖7-6斜坡函數(shù)輸入時(shí)的典型穩(wěn)態(tài)誤差其中Kv

為有限值且不為零。2023/12/514控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER6.當(dāng)輸入為斜坡函數(shù)時(shí)，若要ess

為零，則Kv

必須為無(wú)限大。(7-31)[C]具拋物線函數(shù)輸入之系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差1.控制系統(tǒng)[H(s)=1]：圖7-3。2.輸入：拋物線函數(shù)(7-32)(7-33)3.穩(wěn)態(tài)誤差：(7-34)4.拋物線誤差常數(shù)(parabolic-errorconstant)：(7-35)(7-36)其中Ka

為有限值且不為零。拋物線誤差常數(shù)Ka只定義於系統(tǒng)為拋物線輸入時(shí)2023/12/515控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER5.由拋物線函數(shù)輸入所造成之系統(tǒng)典型的ess：圖7-7。圖7-7拋物線函數(shù)輸入時(shí)的典型穩(wěn)態(tài)誤差任何線性閉迴路系統(tǒng)由輸入訊號(hào)其階數(shù)比拋物線函數(shù)來(lái)得高者所造成的穩(wěn)態(tài)誤差，皆可用相同方法推導(dǎo)出。2023/12/516控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER

穩(wěn)態(tài)誤差分析可以歸納成表7-1。

一些結(jié)論：2023/12/517控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER1.

在誤差分析時(shí)，步階、斜坡，以及拋物線誤差常數(shù)，只有在輸入分別為步階函數(shù)、斜坡函數(shù)，以及拋物線函數(shù)時(shí)才有意義。2.

由於誤差常數(shù)是根據(jù)順向轉(zhuǎn)移函數(shù)G(s)定義，此一方法只適用於H(s)=1且架構(gòu)如圖7-3所示之系統(tǒng)。由於誤差分析是依據(jù)拉氏轉(zhuǎn)換之終值定理，因此必須先查看sE(s)是否有任何極點(diǎn)在j

軸或s

右半平面。3.

在表7-1

所整理之穩(wěn)態(tài)誤差特性只有在系統(tǒng)為單位回授時(shí)才有用。4.

當(dāng)系統(tǒng)的輸入是上面三種基本輸入函數(shù)的線性組合時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差可以由個(gè)別輸入所造成誤差的疊加合成。5.

當(dāng)系統(tǒng)架構(gòu)非如圖7-3(且H(s)=1)時(shí)，則可對(duì)系統(tǒng)加以簡(jiǎn)化，使其如圖7-3

之架構(gòu)，或者可以找出誤差訊號(hào)再用終值定理求解。而此處所定義之誤差常數(shù)是否適用，則需視個(gè)別情形而定。

誤差常數(shù)法亦不能用於弦波輸入訊號(hào)，因?yàn)榻K值定理在該處無(wú)法使用。?例題7-2

考慮如圖7-3

之H(s)=1的系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)移函數(shù)如下所示。利用三種基本輸入型態(tài)之誤差常數(shù)，試求誤差常數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差。<Sol.>(a)H(s)=1型式1系統(tǒng)2023/12/518控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER1.誤差常數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差：2.只有在0<K<1.304

時(shí)，閉迴路系統(tǒng)才穩(wěn)定。(b)H(s)=1型式2系統(tǒng)1.對(duì)於所有K

值，閉迴路系統(tǒng)均不穩(wěn)定，故誤差分析無(wú)意義。(c)H(s)=1型式2系統(tǒng)1.誤差常數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差：2023/12/519控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER2.閉迴路系統(tǒng)為穩(wěn)定。

穩(wěn)態(tài)誤差與閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)之間的關(guān)係︰[A]單位回授和非單位回授系統(tǒng)1.穩(wěn)態(tài)誤差只與閉迴路系統(tǒng)的順向轉(zhuǎn)移函數(shù)有關(guān)。2.通常在分析過(guò)程中，常要推導(dǎo)閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)，且必須建立穩(wěn)態(tài)誤差和閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)係數(shù)之間的關(guān)係。3.閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)可用於求得單位回授與非單位回授系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。4.假設(shè)下列條件成立︰常數(shù)(7-37)此即表示H(s)沒(méi)有s=0的極點(diǎn)。5.參考訊號(hào)定義為r(t)/KH，且誤差訊號(hào)為(7-38)2023/12/520控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER(7-39)其中M(s)為閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)Y(s)/R(s)。6.假設(shè)M(s)沒(méi)有任何極點(diǎn)在s=0，且其型式為(7-40)其中n>m。在此，M(s)的所有極點(diǎn)均在s

左半平面，即系統(tǒng)為穩(wěn)定。7.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差：(7-41)(7-42)8.考慮r(t)的三種基本輸入型態(tài)：將(7-40)式代入(7-41)式1).步階函數(shù)輸入R(s)=R/s。穩(wěn)態(tài)誤差變成(7-43)由步階輸入造成之穩(wěn)態(tài)誤差為零的條件為2023/12/521控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER(7-44)或(7-45)此表示單位回授系統(tǒng)KH=1，M(s)之分子及分母的常數(shù)項(xiàng)必須相等，亦即b0=a0時(shí)，才能使穩(wěn)態(tài)誤差為零。2).

斜坡函數(shù)輸入R(s)=R/s2。穩(wěn)態(tài)誤差變成(7-46)以下為可能的ess

值︰欲使單位回授系統(tǒng)在步階輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，其條件為閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)的分子及分母的常數(shù)項(xiàng)相等2023/12/522控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER3).

拋物線函數(shù)輸入R(s)=R/s3。穩(wěn)態(tài)誤差變成(7-50)以下為可能的ess

值︰?例題7-3

在圖7-3之系統(tǒng)，其順向及閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)如下所示。(7-54)系統(tǒng)假設(shè)為單位回授，所以H(s)=1，及KH=H(0)=1。試求由三種基本型態(tài)輸入所得的穩(wěn)態(tài)誤差。<Sol.>2023/12/523控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER1.M(s)之極點(diǎn)全都在s左半平面，系統(tǒng)為穩(wěn)定。2.穩(wěn)態(tài)誤差為?例題7-4

考慮圖7-3

之系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)移函數(shù)如下︰(7-55)試求由三種基本型態(tài)輸入所得的穩(wěn)態(tài)誤差。

<Sol.>1.

依題意，知

KH=H(0)=1。2.閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)：(7-56)上式與(7-40)式比較得a

0=5，a

1=5，a

2=60，b

0=5，b

1=1，b

2=0。2023/12/524控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER3.針對(duì)三種基本型態(tài)輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以求得為4.加入單位步階、單位斜坡，及單位拋物線輸入於(7-56)式所述之系統(tǒng)，可得輸出：1)單位步階輸入時(shí)的輸出︰(7-58)y(t)的穩(wěn)態(tài)值為1，且穩(wěn)態(tài)誤差為零。2)單位斜坡輸入時(shí)的輸出︰(7-59)2023/12/525控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER針對(duì)單位斜坡，y(t)的穩(wěn)態(tài)成分為t

0.8，而穩(wěn)態(tài)誤差為0.8。3)單位拋物線輸入時(shí)的輸出︰(7-59)y(t)的穩(wěn)態(tài)成分為0.5t2

0.8t

11.2。所以，穩(wěn)態(tài)誤差為0.8t+11.2，此值隨時(shí)間趨近無(wú)窮大而變成無(wú)限值。?例題7-5

考慮圖7-3

所示之系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)移函數(shù)如下︰(7-60)試求由三種基本型態(tài)輸入所得的穩(wěn)態(tài)誤差。

<Sol.>1.

依題意，知(7-61)2.閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)：(7-62)3.由三種基本型態(tài)輸入造成的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算如下︰1)單位步階輸入時(shí)：2023/12/526控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差︰(7-63)步階響應(yīng)：(7-64)y(t)之穩(wěn)態(tài)值為0.5，且因KH

=2，故知單位步階輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為0。2)單位斜坡輸入時(shí)：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差︰(7-65)單位斜坡輸入的響應(yīng)：(7-66)穩(wěn)態(tài)誤差：(7-67)由於暫態(tài)項(xiàng)會(huì)隨t趨近無(wú)限大時(shí)而衰減掉，故如(7-66)式所求算的，斜坡輸入所造成的穩(wěn)態(tài)誤差為0.4。2023/12/527控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER3)單位拋物線輸入時(shí)：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差︰單位拋物線輸入的響應(yīng)(7-68)因單位拋物線輸入所引起的誤差(7-69)穩(wěn)態(tài)誤差為0.4t+2.6，且隨時(shí)間而增加。[B]非單位回授之穩(wěn)態(tài)誤差︰H(s)具有在s=0的N

階零點(diǎn)1.當(dāng)H(s)有

N

階零點(diǎn)在s=0，相當(dāng)於輸出在穩(wěn)態(tài)時(shí)與輸入訊號(hào)的第N

階導(dǎo)數(shù)成正比。2.在真實(shí)系統(tǒng)中，這就等同於加入一個(gè)轉(zhuǎn)速計(jì)或速率回授。3.參考輸入可以定義為R(s)/KHsN

，且誤差訊號(hào)的拉氏轉(zhuǎn)換可定義為(7-70)其中(7-71)2023/12/528控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER4.推導(dǎo)N=1的情況：1)(7-40)式的轉(zhuǎn)移函數(shù)M(s)有一極點(diǎn)於s=0，即a0=0。2)由(7-70)式，穩(wěn)態(tài)誤差為(7-72)3)對(duì)一振幅為R

的步階輸入，上式可寫(xiě)成(7-73)4)穩(wěn)態(tài)誤差為2023/12/529控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER?例題7-6

考慮圖7-3

之系統(tǒng)，其轉(zhuǎn)移函數(shù)為(7-77)試求由三種基本型態(tài)輸入所得的穩(wěn)態(tài)誤差。

<Sol.>1.

依題意，知(7-78)2.閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)：(7-79)3.由於系統(tǒng)的目標(biāo)為以一步階輸入控制速度，雖然M(s)有一極點(diǎn)在s=0，但此速度控制系統(tǒng)仍為一穩(wěn)定系統(tǒng)

。係數(shù)為︰a0=0，a1=10，a

2=60，b0=5，及b1=1。4.對(duì)單位步階輸入，由(7-75)式可求得穩(wěn)態(tài)誤差為(7-80)5.驗(yàn)證：利用(7-79)式之閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)求出單位步階響應(yīng)。步階響應(yīng)為(7-81)在穩(wěn)態(tài)時(shí)，參考輸入為tus(t)/KH=0.5tus(t)。因此，穩(wěn)態(tài)誤差為2.9。2023/12/530控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER7-4-2非線性系統(tǒng)元件所造成的穩(wěn)態(tài)誤差1.控制系統(tǒng)中大多數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差是由非線性特性所造成的，如非線性摩擦或死區(qū)。2.放大器，其輸入-輸出特性曲線可能如圖7-8

圖7-8具有死區(qū)與飽和的放大器之典型輸入-輸出特性3.控制系統(tǒng)中所用的數(shù)位元件，如微處理機(jī)，其輸出訊號(hào)是間斷的或量化的位階，此性質(zhì)的量化特性說(shuō)明示於圖7-9。若量化器的輸入在

q/2內(nèi)則輸出為零，所以系統(tǒng)的誤差是

q/2，這一類(lèi)的誤差就是數(shù)位控制系統(tǒng)的量化誤差。2023/12/531控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER圖7-9量化器的典型輸入-輸出特性2023/12/532當(dāng)轉(zhuǎn)子位置接近穩(wěn)定平衡點(diǎn)時(shí)，馬達(dá)轉(zhuǎn)矩會(huì)降到TF

以下。因此，在圖7-10的斜線區(qū)域內(nèi)(即

e

)任意位置，馬達(dá)都會(huì)停止動(dòng)作?？刂葡到y(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER4.在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，摩擦現(xiàn)象總是無(wú)法避免。庫(kù)倫摩擦是控制系統(tǒng)導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)位置誤差的常見(jiàn)因素。圖7-10

為控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩-位置曲線。圖7-10具有庫(kù)倫摩擦的馬達(dá)或閉迴路系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩-角度曲線此轉(zhuǎn)矩曲線由步進(jìn)馬達(dá)、切換式磁阻馬達(dá)、或具位置編碼器的閉迴路系統(tǒng)所產(chǎn)生。0點(diǎn)表示轉(zhuǎn)矩曲線的穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而橫軸上其它類(lèi)似的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲線斜率均為負(fù)的。0點(diǎn)左、右邊的轉(zhuǎn)矩表示當(dāng)有角位移干擾發(fā)生時(shí)，使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)到平衡點(diǎn)的恢復(fù)力矩。如果沒(méi)有摩擦，則位置誤差為零。因?yàn)橹灰恢貌辉谄胶恻c(diǎn)上，便會(huì)存在一恢復(fù)力，使其回到平衡點(diǎn)。若有庫(kù)倫摩擦力矩TF

存在，則馬達(dá)轉(zhuǎn)矩必須先克服這個(gè)摩擦力矩才能動(dòng)作。2023/12/533控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER7-5一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)7-5-1直流馬達(dá)的速率控制1.分激式直流馬達(dá)模型：圖4-43。2.假設(shè)電樞電感與馬達(dá)摩擦均可忽略不計(jì)。因此，馬達(dá)方程式可簡(jiǎn)化成圖4-43分激式直流馬達(dá)模型(7-86)其中e(t)為外加電壓；Ka為放大器增益；Kb

為反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；Ki為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；及Jm

與Ra

分別為馬達(dá)慣量與電樞電阻。2023/12/534控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER3.考慮

m

(t)並將之視為輸出變數(shù)。4.系統(tǒng)的狀態(tài)圖：圖7-11。圖7-11一階直流馬達(dá)系統(tǒng)速率控制的狀態(tài)圖5.閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)：(7-87)其中(7-88)(7-89)6.對(duì)單位步階輸入而言，即e(t)=us(t)，且E(s)=1/s。馬達(dá)速率為(7-90)(7-91)圖7-122023/12/535控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER圖7-12一階直流馬達(dá)速率控制系統(tǒng)的單位步階響應(yīng)7.觀察結(jié)果：1).

對(duì)任何系統(tǒng)參數(shù)組合，其步階響應(yīng)均不具有任何的超越量。2).

圖7-13示有(7-84)式系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)在s

平面內(nèi)位於s=

a的極點(diǎn)。由於所有馬達(dá)參數(shù)均為正值，故a

值亦總是為正值，在s=a處的極點(diǎn)均位s

平面左半部，故系統(tǒng)為穩(wěn)定。3).

單位步階輸入電壓ea

的穩(wěn)態(tài)速率幅度與放大器增益Ka

成正比，而與反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)Kb

成反比。4).

馬達(dá)速率在達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值過(guò)程中的變動(dòng)率依(7-89)式[譯者註：原書(shū)誤植為(7-86)

式]的a值而定。當(dāng)a值增加時(shí)，馬達(dá)加速愈快。這現(xiàn)象並不難理解，因?yàn)閍

與放大器增益Ka

成正比，而與馬達(dá)電阻Ra

及慣性矩Jm

成反比。2023/12/536控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER7-6標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)1.二階單位回授控制系統(tǒng)之方塊圖：圖7-14

。2.系統(tǒng)之開(kāi)迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)：圖7-14標(biāo)準(zhǔn)二階控制系統(tǒng)(7-92)其中，

和

為實(shí)常數(shù)。3.系統(tǒng)閉迴路轉(zhuǎn)移函數(shù)：(7-93)4.標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的特性方程式：(7-94)5.對(duì)單位步階輸入R(s)=1/s，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)：(7-95)(7-96)圖7-15以正規(guī)化時(shí)間

nt

及針對(duì)不同

值來(lái)作圖。2023/12/537控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER圖7-15標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)對(duì)單位步階函數(shù)輸入的暫態(tài)響應(yīng)當(dāng)

減少時(shí)，響應(yīng)便有較大的振盪，且超越量較大。當(dāng)

1，步階響應(yīng)則沒(méi)有任何振盪；亦即

y(t)在暫態(tài)時(shí)，不曾超越終值。

n

直接影響到上升時(shí)間、延遲時(shí)間，及安定時(shí)間，但不會(huì)影響超越量。2023/12/538控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER7-6-1阻尼比與阻尼係數(shù)1.系統(tǒng)參數(shù)

和

n

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的步階響應(yīng)

y(t)之影響可由(7-94)式中特性方程式的根來(lái)研究。2.特性方程式的二個(gè)根：(7-97)其中(7-98)(7-99)3.

和

的物理意義：1)

控制了

y(t)上升或下降的速率。

又稱(chēng)為阻尼係數(shù)或阻尼常數(shù)2)

的倒數(shù)

1/，與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)成正比。

4.當(dāng)特性方程式的兩根為相等實(shí)數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)此系統(tǒng)為臨界阻尼(criticallydamped)。(7-100)7-6-2自然無(wú)阻尼頻率1.參數(shù)

n

可定義為自然無(wú)阻尼頻率(naturalundampedfrequency)。2.

定義為條件頻率(conditionalfrequency)，或阻尼頻率(dampedfrequency)。2023/12/539控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER?

n

是由s

平面的原點(diǎn)至根的弳向距離。?阻尼因子

為根的實(shí)數(shù)部份。?條件頻率

是根的虛數(shù)部份。?阻尼比

是等於在根的弳向線和負(fù)實(shí)軸間夾角的餘弦；即

圖7-16標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)特性方程式之根和

、

、

n

與

之間的關(guān)係3.圖7-16

說(shuō)明了在特性方程式根的位置和

、

、

n

與

之間的關(guān)係。(7-101)4.圖7-17所示為(a)常數(shù)-

n

軌跡，

(b)

常數(shù)-

軌跡，(c)常數(shù)-

軌跡和

(d)常數(shù)-

軌跡。在

s

平面上各區(qū)域依系統(tǒng)阻尼畫(huà)分如下：2023/12/540控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER圖7-17(a)自然無(wú)阻尼頻率為常數(shù)時(shí)之軌跡；(b)常數(shù)阻尼比為常數(shù)時(shí)之軌跡；2023/12/541控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER圖7-17(c)阻尼因子為常數(shù)時(shí)之軌跡；(d)條件頻率為常數(shù)時(shí)之軌跡2023/12/542控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

7CHAPTER?虛軸對(duì)應(yīng)於零阻尼(

=0，