第六章二次型與對稱矩陣第一講課件

(1)的左邊是一個二次齊次多項式,從代數(shù)學的觀點看，化標準型的過程就是通過變量的線性變換化簡一個二次齊次多項式，使它只有平方項。這樣的問題，在許多理論問題或是實際問題中常會遇到。現(xiàn)在我們把這類問題一般化，討論n個變量的二次齊次多項式的化簡問題。

4.1二次型概念定義1.1

含有n個變量x1,x2,…xn的二次齊次函數(shù)其中（1）

1、二次型的矩陣形式其中

1）稱A為二次型f的矩陣，顯然

A=AT;2）A=(aij),若aij

為復數(shù)，稱

f為復二次型；

3）A=(aij),若aij

為實數(shù)，稱

f為實二次型；

4）稱為R(A)為二次型f

的秩。（2）例1.把下面的二次型寫成矩陣形式：

2、線性變換定義1.2

把變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一組線性關系式叫做由變量x1,x2,…,xn化為變量y1,y2,…,yn的一個線性變換。若記則線性變換可表示為x=Py。（3）上式中的矩陣P稱為該變換的系數(shù)矩陣。當P可逆時，（3）稱為可逆的線性變換；當P不可逆時，（3）稱為不可逆的線性變換。當線性變換（3）可逆時，線性變換y=P-1x(4)

稱為（3）式的逆變換。設x=Py是可逆的線性變換將二次型化為f=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y。令B=PTAP，則B是對稱矩陣，yTBy是新變量y1,y2,…,yn的一個二次型。變換前后兩個二次型矩陣A、B間的這種關系稱為合同關系。定義1.3

對于n階矩陣A、B,如果有n階可逆矩陣P使得PTAP=B則稱矩陣A、B是合同（或相合），記為A

B。對方陣A進行的運算PTAP稱為對A的合同變換，P稱為合同因子。顯然，合同矩陣具有如下性質：

2）對稱性：若A

B，則B

A；

1）反身性：若A

A

；

3）傳遞性：若A

B，B

C,則A

C;

4）若A

B，則R(A)=R(B);

5）若A

B，且A為對稱矩陣，則B亦為對稱矩陣。

※合同與相似是兩個互相獨立的概念。合同的矩陣未必相似，相似的矩陣也未必合同。但是，對于實對稱矩陣A，當合同因子P是正交矩陣時，由于P-1=PT，所以對A的合同變換與相似變換是一致的。顯然，如果二次型xTAx經可逆的線性變換

x=Py化為二次型

yTBy，則必有A

B，即f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yTPTAPy=yTBy。綜上所述，二次型f(x)=xTAx能用可逆的線性變換x=Py化為yTBy的充分必要條件是有可逆矩陣P，使PTAP=B。

§2二次型的標準形定義2.1

稱只含有平方項的二次型為二次型的標準型（或法式）。顯然，一個二次型為標準形的充分必要條件是它的矩陣為對角矩陣。（5）所謂一般二次型的化簡問題，就是尋找一個可逆的線性變換：定理2.1設A為n階對稱矩陣，二次型f(x)=xTAx能用可逆線性變換x=Py化為標準形（5）的充分必要條件是存在

n階可逆矩陣P使PTAP=B=ding(λ1,λ2,…，λn).定理2.1告訴我們，二次型經可逆線性變換化為標準形的問題與對稱矩陣化為對角矩陣的問題實質上是同一問題。顯然，經可逆變換x=Cy

把f化成yTC

TACy，C

TAC

仍為對稱矩陣，且二次型的秩不變。

2.1用正交變換化實二次型為標準形定理2.2

對于任意的n元二次型f(x)=xTAx，必有正交變換x=Py，使f化為標準形其中λ1,λ2,…，λn恰是A的全部特征值。證明由于A為n階對稱矩陣。由第五章定理5.3知有n階正交矩陣P，使得PTAP=P-1AP=ding(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1,λ2,…，λn恰是A的全部特征值。由定理2.1便知定理成立。應用定理2.2求實二次型f(x)=xTAx標準型問題，其實質上就是用正交變換化實對稱矩陣A為對角矩陣的問題。

經過上面的討論，總結用正交變換化二次型為標準型的一般步驟：

1、將二次型寫成矩陣形式；2、由|A-λE|=0，求出A的全部特征值；

4．把求出的n個兩兩正交的單位向量，拼成正交矩陣P,作正交變換x=Py;

5、用x=Py，把f化成標準型解

1）二次型的矩陣為例2.求一個正交變換x=Py，把二次型得A的特征值為λ1=-3，λ2=λ3=λ4=1，由(A-λE)x=0,求A的全部特征向量，當λ1=-3時，解方程(A-3E)x=0.得基礎解系單位化，得k2,k3,k4不同時為零.取單位化，得（4）令P=(p1,p2,p3,p4),于是得正交變換x=Py,即5）用正交變換x=Py將f化成標準形

2.2用配方法化二次型為標準形

解由于

f中含有的平方項，故把含有