d一般周期的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)

會計(jì)學(xué)1D一般周期的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理.設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共24頁2022-04-11證明:令,則令則所以且它滿足收斂定理?xiàng)l件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點(diǎn)處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共24頁2022-04-11其中令(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)證畢機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共24頁2022-04-11說明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果f(x)為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中注::無論哪種情況,在f(x)的間斷點(diǎn)x處,傅里葉級數(shù)收斂于如果f(x)為奇函數(shù),則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共24頁2022-04-11例1.交流電壓經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解::這個半波整流函數(shù),它在傅里葉級數(shù).上的表達(dá)式為的周期是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共24頁2022-04-11機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共24頁2022-04-11n>1

時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共24頁2022-04-11由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說明::交流部分由收收斂定理可得2k次諧波的振幅為k越大振幅越小,因此在實(shí)際應(yīng)用中展開式取前幾項(xiàng)就足以逼近f(x)了.上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共24頁2022-04-11例2.把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解::(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k處級數(shù)收斂于何值?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共24頁2022-04-11(2)將作偶周期延拓,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共24頁2022-04-11說明::此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共24頁2022-04-11方法11令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時其傅,里葉展開方法:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共24頁2022-04-11方法2令在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共24頁2022-04-11例3.將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解::令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理?xiàng)l件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共24頁2022-04-11利用歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共24頁2022-04-11注意到同理機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共24頁2022-04-11傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共24頁2022-04-11式的傅里葉級數(shù).例4.把寬為,高為h

,周期為T

的矩形波展成復(fù)數(shù)形解::在一個周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共24頁2022-04-11機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共24頁2022-04-11為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點(diǎn))其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導(dǎo)出機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共24頁2022-04-11思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答::易看出奇偶性及間斷點(diǎn),2.計(jì)算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨(dú)算?答::用系數(shù)公式計(jì)算如分母中出現(xiàn)因子n－k作業(yè):P2561(1),(3);

2(2);3從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨(dú)計(jì)算.習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共24頁2022-04-11備用題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)解::為偶函數(shù)