江蘇省泰州市靖江高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

江蘇省靖江高級中學(xué)20232023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分）命題人、審核人：蔡正偉一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.若兩直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一般式直線方程垂直的公式，即可求解.【詳解】由題意可知，兩直線垂直，則，得.故選：A2.已知傾斜角為的直線與直線的夾角為，則的值為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)得到，根據(jù)夾角得到答案.【詳解】，即，設(shè)直線的傾斜角為，，則，，夾角為，故或.故選：C.3.雙曲線與直線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知直線和雙曲線的漸近線的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，當(dāng)時(shí)，直線與漸近線重合，此時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與漸近線平行，此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn).故選：C4.若，則方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由圓的一般方程表示圓的條件計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：，解之得，又，所以.故選：C5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．若的周長為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意得到，并結(jié)合，簡單計(jì)算即可.【詳解】如圖，由題可知：，則所以橢圓方程為：故選：C6.若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線所過的定點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的切線性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】直線即，恒過定點(diǎn)，曲線即表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線上方的半圓（包括點(diǎn)，），當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，直線記為；當(dāng)與半圓相切時(shí)，由，得，切線記為，分析可知當(dāng)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：B.7.設(shè)是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義求出、，由勾股定理即可得到、的關(guān)系，從而解出．詳解】由橢圓及雙曲線定義得，所以，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，同時(shí)除以得，因?yàn)?，，，所以，則，故選：B.8.斜拉橋是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個(gè)錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距均為.最短拉索的錨，滿足，，以所在直線為軸，所在直線為軸，則最長拉索所在直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意利用已知長度可分別計(jì)算，，再利用斜率的定義可解.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建系，根據(jù)題意，最短拉索的錨，滿足，，且均為，拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距均為，則，即點(diǎn)，同理，又，即點(diǎn)，所以，即最長拉索所在直線的斜率為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，不選或有選錯(cuò)的得0分）9.已知直線，則（）A.在軸上的截距為2 B.C.的交點(diǎn)坐標(biāo)為 D.之間的距離為【答案】BC【解析】【分析】選項(xiàng)A：令，求在軸上的截距；選項(xiàng)B：根據(jù)直線垂直對應(yīng)系數(shù)關(guān)系求解；選項(xiàng)C：解方程組求解；選項(xiàng)D：根據(jù)兩平行線間距離求解；【詳解】令，易得在軸上的截距為，A錯(cuò)誤．由，得，B正確．由得所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確．易得，則之間的距離為，D錯(cuò)誤．故選：BC.10.記為公差d不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（）.A.，，成等差數(shù)列B.，，成等差數(shù)列C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)及前項(xiàng)和公式對4個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可．【詳解】，，，，成等差數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；，，，，，，即，，成等差數(shù)列，故選項(xiàng)B正確；，不成立，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，成立，即選項(xiàng)D正確；故選：ABD．11.已知，，為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.以為直徑的圓與圓相交所得的公共弦所在直線方程為B.若點(diǎn)，則的面積為C.過點(diǎn)且與圓相切的圓的圓心軌跡為圓D.的最小值為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意求出圓的一般方程，與圓的一般式方程相減即可判斷A；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式三角形的面積公式計(jì)算即可判斷B；作出圖形，結(jié)合圖形和橢圓的定義即可判斷C；根據(jù)兩點(diǎn)求距離公式得，而表示圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷D.【詳解】A:由，，則其中點(diǎn)為，所以，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化為一般式方程為①，又圓的一般式方程為②，而，①②得為兩圓相交弦所在的直線方程．故A正確；B：由直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離，．故B正確；C:由圖可知，設(shè)過點(diǎn)且與圓內(nèi)切圓的圓心為，且切點(diǎn)為，則滿足橢圓定義，故圓心的軌跡為橢圓．故C錯(cuò)誤；D：設(shè)，，則可轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，所以的最小值為，故．故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F.點(diǎn)M是拋物線上異于O的一動(dòng)點(diǎn)，直線OM交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則O為線段MN的中點(diǎn) B.若，則C.若，則 D.存在點(diǎn)M，使得【答案】AC【解析】【分析】對每個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)已知條件求得的坐標(biāo)，并由此判斷出正確答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，A選項(xiàng)，，所以，不妨設(shè)，則直線的方程為，令得，所以，所以是線段的中點(diǎn)，所以A選項(xiàng)正確.BC選項(xiàng)，，所以，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不妨設(shè)，則直線的方程為，令得，所以，所以，所以，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)，則直線的方程為，由消去得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，而，所以，，所以不存在點(diǎn)M，使得，即D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13.已知直線l：恒過點(diǎn)P，點(diǎn)Q在直線上，則的最小值為______________．【答案】【解析】【分析】求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)，的最小值即為點(diǎn)P到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)果.【詳解】由直線l可得，令，得P點(diǎn)坐標(biāo)，依題意：的最小值即為點(diǎn)P到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得故答案為：14.已知圓，設(shè)直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，若圓上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)可得在的垂直平分線上，且垂直平分線與圓相切可求解.【詳解】在的垂直平分線上，所以中垂線的斜率為，的中點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式得，化簡得，在圓滿足條件的有且僅有一個(gè)，直線與圓相切，，故答案為:.15.已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_______；若數(shù)列滿足，且為等差數(shù)列，則c的值是__________【答案】①②.或0【解析】【分析】利用等差數(shù)列定義并根據(jù)公差大于零可求得數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式；求出前n項(xiàng)和為，再根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)即可求得或.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為；由，可得，解得；所以可得，即數(shù)列的通項(xiàng)公式是可知數(shù)列的前n項(xiàng)和，即，所以；因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以可得，即，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，；時(shí)，都符合題意；故答案為：；或016.已知直線l：與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與圓交于C、D兩點(diǎn)．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】求出直線l所過的定點(diǎn)恰好為圓的圓心，由得到為AB的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法得到，結(jié)合，且，求出，從而求出離心率的取值范圍.【詳解】變形為，恒過點(diǎn)，即直線經(jīng)過圓圓心，因?yàn)?，所以為AB的中點(diǎn)，設(shè)，則，則有，兩式相減得：，即，因?yàn)椋?，所以，則離心率，故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．17.傾斜角為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于A，兩點(diǎn)（1）求拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程，即可得出答案；（2）由已知求出直線的方程，代入拋物線得出，解法一：求解得出的值，然后根據(jù)弦長公式求出，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可得出答案；解法二：根據(jù)拋物線的定義求出，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，，焦點(diǎn)在軸上，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為.【小問2詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為.又∵傾斜角為的直線，所以斜率為，∴直線AB的方程為：.代入拋物線方程消去y并化簡得.解法一：解得，所以．又點(diǎn)到直線的距離為，所以.解法二：，設(shè)，則，過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示．．點(diǎn)到直線的距離為，所以.18.已知數(shù)列滿足，且.（1）求；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求.【答案】（1）（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式求得.（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明，進(jìn)而求得.【小問1詳解】因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)?，所以，則，故，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，則.19.用細(xì)鋼管焊接而成的花壇圍欄構(gòu)件如圖所示，它的外框是一個(gè)等腰梯形，內(nèi)部是一段拋物線和一根橫梁．拋物線的頂點(diǎn)與梯形上底中點(diǎn)是焊接點(diǎn)，梯形的腰緊靠在拋物線上，兩條腰的中點(diǎn)是梯形的腰、拋物線以及橫梁的焊接點(diǎn)，，拋物線與梯形下底的兩個(gè)焊接點(diǎn)為，．已知梯形的高是40厘米，、兩點(diǎn)間的距離為40厘米．（1）以為原點(diǎn)，梯形的上底所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，求橫梁的長度；（2）求梯形外框的用料長度．（注：細(xì)鋼管的粗細(xì)等因素忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果精確到1厘米．）【答案】（1）；（2）141cm．【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，梯形的上底所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，代入點(diǎn)，求得的值，求得拋物線的方程，即可求得橫梁的長度；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得直線的斜率，進(jìn)而求得梯形外框的用料長度．【詳解】（1）如圖所示，以為原點(diǎn)，梯形的上底所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)梯形下底與軸交于點(diǎn)，拋物線的方程為，由題意，代入可得，解得，所以拋物線的方程為．令，解得，即，，所以，即橫梁的長度約為．（2）由題意，得梯形腰的中點(diǎn)是梯形的腰與拋物線唯一的公共點(diǎn)，設(shè)．聯(lián)立方程組，整理得，則，解得，即，得，，可得，，，梯形周長為．20.已知，，，且，點(diǎn)．（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值．【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為0；（3）最大值，最小值為.【解析】【分析】（1）由求出點(diǎn)的軌跡，結(jié)合兩點(diǎn)間距離即可求；（2）將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點(diǎn)問題，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算；（3）將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相切問題，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算.【小問1詳解】由題意，因?yàn)?，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，6為半徑的圓.所以點(diǎn)到的距離為，所以的最小值為，最大值為.【小問2詳解】設(shè)，則，由題意與有交點(diǎn)，所以，解得，所以的最大值為，最小值為0.【小問3詳解】設(shè)，則當(dāng)直線與圓相切時(shí)，截距取到最值，所以，解得或，所以的最大值為，最小值為.21.已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，且漸近線方程為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，試問，直線AM與直線AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）為定值.【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線可設(shè)雙曲線方程為，代入經(jīng)過的點(diǎn)即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得到韋達(dá)定理，由斜率公式得斜率之和的表達(dá)式，將韋達(dá)定理代入化簡即可求解.【小問1詳解】由漸近線方程為，可設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入雙曲線方程中可得，故雙曲線方程為【小問2詳解】由題意可知：直線有斜率，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，設(shè),則，由于,則，所以將代入可得，由于點(diǎn)在直線上，所以，此時(shí)，只需要，即可，因此故直線AM與直線AN的斜率之和為定值.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的范圍或最值或定值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式得到的范圍求解，充分利用弦長公式以及斜率公式，以及向量的共線坐標(biāo)公式，即可讓表達(dá)式得以化簡，往往可得定值，若求最值，則需要利用函數(shù)的單調(diào)性或者基本不等式即可求解最值.22.已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離為，若以k為斜率的直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求面積的最大值；（3）若線段的垂直平分線過點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】（1）（2）