2022年重慶市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2022年重慶市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合A={x|x-6W0},B^{x\x<2},則AD（CRB）=（）

A.[2,6JB.（-8,2JC.（2,6]D.[6,+?>）

2.（5分）已知命題P：'勺xe[；,4],/_ax+4>o”為真命題，則實數(shù)°的取值范圍是

（）

1713

A.a<4B.a<^-C.a<^-D.a>5

3.（5分）已知￡即（。+/）=一3,則sin28=（）

443

A.—B.—FC.一D

555--I

4.（5分）已知圓的內(nèi)接正方形的一條對角線上的兩個頂點的坐標(biāo)分別是（5,6）,（3,-4）,

則這個圓的方程為（）

A./+）?+4x-2y+7=0B./+9-8x-2y-9=0

C.xi+y2+Sx+2y-6=0D.Jt^+y2-4x+2y-5=0

5.（5分）如圖，在三棱錐A-8CQ中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M,N分

別為A￡>,8c的中點，則異面直線AMCM所成的角的余弦值是（）

7777

A.一B.—oC.-77FD.——

882525

6.（5分）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左

腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,

13,……，則下列選項不正確的是（）

第1頁共27頁

上「3。3:1

,1-41

才占彳01051

4^615201561

A.在第9條斜線上，各數(shù)之和為55

B.在第"（〃》5）條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小

C.在第〃條斜線上，共有------個數(shù)

4

D.在第11條斜線上，最大的數(shù)是行

7.（5分）在正方體48。0-4以。。|中，|A8|=3,點E是線段AB上靠近點A的三等分點，

在三角形A18O內(nèi)有一動點尸（包括邊界），則|B4|+|PE|的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.3H

8.（5分）已知函數(shù)/'（x）=5-k/nx,當(dāng)x>l時，不等式『（x）》x+l恒成立，則上的取

值范圍是（）

A.（-°°,-e]B.（-8,-4]C.（-8,-/]D.（-00,0J

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

（多選）9.（5分）已知復(fù)數(shù)zi,Z2,Z3,/是zi的共軌復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若zi+z2=0,則|zi|=|z2|B.若z2=Z>則|zi|=|z2|

C.若Z3=Z1Z2,則Iz3|=|zi||z2|D,若|zi+l|=|z2+l|,則|zi|=|z2|

（多選）10.（5分）如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中4、

42、A3、4是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙

兩人分別要到N、M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時

出發(fā)，直到達(dá)N、M處為止.則下列說法正確的是（）

41N

第2頁共27頁

A.甲從M到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過42到達(dá)N處的方法有9種

81

C.甲、乙兩人在A2處相遇的概率為F

400

41

D.甲、乙兩人相遇的概率為f

（多選）11.（5分）全班學(xué)生到工廠勞動實踐，各自用AB=4czn,8C=CC1=2cs的長方

體ABCQ-AiBiCiQ切割出四棱錐P-FBED模型.產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)要求：E,F分別為AB,

CD的中點，P可以是線段A1B（不含端點）上的任意一點.有四位同學(xué)完成制作后，對

自已所做的產(chǎn)品分別作了以下描述，你認(rèn)為有可能符合標(biāo)準(zhǔn)的是（）

A.使直線PD與平面PEB所成角取到了最大值

B.使直線PE與平面PD尸所成角取到了最大值

C.使平面PDE與平面PF8的夾角取到了最大值

D.使平面PQF與平面PE8的夾角取到了最大值

（多選）12.（5分）由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項

式.一般地，存在一個"（〃eN*）次多項式P”（f）=ao產(chǎn)+m產(chǎn)"+。2產(chǎn)°+…+a”（a。,a\,

“2…a”eR）,使得cosnx=P"（cosx）,這些多項式為⑺稱為切比雪夫（P.L.Tschehyschejf'）

多項式.運用探究切比雪夫多項式的方法可得（）

A.P3（/）=-4盧+3fB.P4（力=才-8?+1

V5+1

C.sinl8°=D.cosl8°一

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一《九章算術(shù)》有一衰分問題（即分層抽樣問題）：今

有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人.凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五

百人，則北鄉(xiāng)遣人.

14.（5分）韋伯望遠(yuǎn)鏡必須在不受任何其它熱源干擾的情況下保持在-223℃以下才能觀察

紅外線中的微弱信號.為了防止熱傳遞，NASA工程師們開發(fā)了由Ka/?！辈牧辖M成的遮

第3頁共27頁

9

陽板.太陽光通過一層普通玻璃時，其中的紫外線的強度減弱為原來的不，而通過韋伯

望遠(yuǎn)鏡遮陽板則能將其中的紫外線的強度減弱為原來的則要達(dá)到韋伯望遠(yuǎn)鏡遮陽板的

9

減弱效果，至少需要的普通玻璃層數(shù)為.（參考數(shù)據(jù)：/g3-0.477）

x2y2

15.（5分）已知橢圓C—+—=1（a>b>0）的左、右焦點分別為為，尸2,橢圓C外

azb乙

一點P滿足PF2上FIF2,且|尸尸2|=尸1正2|,線段PF1,尸產(chǎn)2分別交橢圓C于點A,B,若照I

=lg,則靄=--------

16.（5分）正方體ABC。-AIBICIDI的棱長為2,動點P在對角線上，過點P作垂直

于BD\的平面a,記平面a截正方體得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y=/（x）,

設(shè)BP=%,%G（0,2V3）.

（I）下列說法中，正確的編號為.

①截面多邊形可能為四邊形；②坐）=3&；③函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于x=8對稱.

（II）當(dāng)x=H時，三棱錐P-A8C的外接球的表面積為.

四、解答題（17題10分，18?22題滿分均為12分）

17.（10分）已知公差不為0的等差數(shù)列｛〃”｝滿足"3=5,且m,及，“5成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛酸｝的通項公式；

（2）設(shè)%=7rl—,數(shù)列出“｝前〃項和為力”求使得7；〈暴成立的〃的最大值.

anan+l03

第4頁共27頁

18.（12分）已知函數(shù)/'（x）=Esizi（3x+w）+2sin?（巴左空）—1（3>0,OV^Vw）為奇函

7T

數(shù)，且/（X）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為引

（1）求f（X）的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）已知/（x）在［一?將時，求方程2/2（為+次/（乃一3=0的所有根的和.

第5頁共27頁

19.(12分)某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由1(keN*)個

相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p各元件之間相互獨立.當(dāng)

控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正

常運行的概率為"(例如：P2表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；P3

表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率).

(1)若p=^,當(dāng)k=2時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

并求P2;

(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為“件，每件產(chǎn)品的利潤為4元，設(shè)備升級后，

在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為

高端產(chǎn)品的概率為之每件高端產(chǎn)品的利潤是8元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為丫

4

(單位：元).

(i)請用PK表示E(y)；

(ii)設(shè)備升級后，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個相同的元件，請分析是否能夠提高E

(r).

第6頁共27頁

20.(12分)如圖所示，四棱錐A-BCQE中，△ABC為正三角形，CD"BE,BC=CD=^BE

=1,DE=遮,AQ=1.

(1)求四棱錐A-BCDE的體積；

(2)求BE與平面AQE所成角的正弦值.

第7頁共27頁

xyy2

21.（12分）己知橢圓C：—+—=1Ca>b>0）的焦距為2,點（1,—）在C上.

a2b22

（1）求C的方程；

（2）若過動點尸的兩條直線/1,/2均與C相切，且八，/2的斜率之積為-1,點A（一百，

0）,問是否存在定點B,使得自1?病=0?若存在，求出點8的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

第8頁共27頁

22.（12分）已知函數(shù)/（x）=患一歷x（a>0,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（I）當(dāng)4=1時，判斷函數(shù)/（X）的單調(diào)性和零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論；

（II）當(dāng)x￡[l,e]時，關(guān)于冗不等式f（x）〃〃恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

第9頁共27頁

2022年重慶市南開中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合A={x|x-6W0},B={x\x<2},則AD(CRB)=()

A.[2,6]B.(-8,2|C.(2,6]D.[6,+°°)

解：：8={x|x<2},.，.CRB={^|X^2},

又；A={x|x-6W0}={x|xW6},

.*.An(CRB)={X|2WXW6},

故選：A.

2.(5分)已知命題P：'勺xcg,4],%2一。％+4>0，，為真命題，則實數(shù)Q的取值范圍是

()

1713

A.〃<4B.苛C.QV苛D.a>5

解：“mxe技，4],x2-ax+4>0n為真命題，

14

則XW反，4]時，Cl<(x+—)max，

根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，)，=X+g取得最大值日.

所以“V學(xué).

故選：B.

3.(5分)已知tcm(6+/)=—3,則sin26=()

4433

A.-B.-HC.-D.

5555

,.yrl+tan0,

解：由+無)=-3,得-------=-3,解得tane=2,

41-tanO

..2sin0cos0_2tan0_4

*,Sin20=sin2e^cos20=tan20+l=5*

故選：A.

4.(5分)已知圓的內(nèi)接正方形的一條對角線上的兩個頂點的坐標(biāo)分別是(5,6),(3,-4),

則這個圓的方程為()

A.?+y2+4x-2y+7=0B.^+y2-8x-2y-9=0

第10頁共27頁

C.x2+y2+8x+2y-6=0D.f+y2-4x+2y-5=0

解：根據(jù)題意，圓的內(nèi)接正方形的一條對角線上的兩個頂點的坐標(biāo)分別是（5,6）,（3,

-4）,

則圓的圓心為（4,1）,半徑/?=,x94+100=底,

則圓的方程為（x-4）2+（y-1）2=26,即/+/-8尤-2y-9=0,

故選:B.

5.（5分）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,A￡?=8C=2,點M,N分

別為AO,8c的中點，則異面直線AMCM所成的角的余弦值是（）

777~

A.—B.—oC.—D.一

882525

解：由題意：三棱錐A-BCD中，連結(jié)NQ,取.ND的中點為E,連結(jié)ME,MME//AN,

異面直線AMCM所成的角就是NEMC.

\"AB=AC=BD=CD^3,AD=BC=2,點,M,N分別為AO,8C的中點，

：.AN=2A/2,ME=EN=V2,MC=2近,

又ENLNC,：.EC=>JNC2+NE2=V3；

MC2+ME2-EC22+8-37

cosZEMC=-----"=T~vc—=3.

2MCME2X/2X2728

7

?,.異面直線AN,CM所成的角的余弦值是3

故選：A,

第11頁共27頁

6.（5分）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左

腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1,1,2,3,5,8,

13,……，則下列選項不正確的是（）

士,

1分

工4二641

才務(wù)彳01051

4^615201561

A.在第9條斜線上，各數(shù)之和為55

B.在第〃（〃25）條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小

c.在第〃條斜線上，共有入+1一（二0個數(shù)

4

D.在第11條斜線上，最大的數(shù)是G

解：由題意，根據(jù)楊輝三角定義繼續(xù)往下寫三行有：

172135352171

18285670562881

193684126126843691

A：由圖知，第九條斜線上，各數(shù)之和為1+10+15+7+1=34,二A錯誤.

B：由定義及圖中規(guī)律可知，都是從左向右先增后減，正確.

C：由圖，每條斜線個數(shù)為1,1,2,2,3,3-,代入2"+1一（一11符合,，C正確.

4

D：第11條斜線上最大數(shù)為35=C；,.?.￡＞正確.

第12頁共27頁

故選：A.

7.（5分）在正方體ABC。-AIBICIOI中，|AB|=3,點E是線段AB上靠近點A的三等分點,

在三角形4B。內(nèi)有一動點P（包括邊界），則|布|+|PE|的最小值是（）

A.2B.2V2C.3D.3遍

解：如圖，

以。為坐標(biāo)原點，分別以D4、DC、QQ1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由正方體的對稱性可知，ACi_L平面AiBD,A(3,0,0),Ci(0,3,3),E(3,1,0),

222

設(shè)A關(guān)于平面A1BO的對稱點為A',4、=(-3,3,3),ACr=V3+3+3=35/3,

ixix3x3x3

由等體積法求得A到平面A18Z）的距離h=V3,

|x|x3V2x3V2x^

：.AA'=2V3,則=(-2,2,2),

設(shè)A'(x,y,z),貝U4=(x-3,y,z)=(-2,2,2),即A'(1,2,2),

...或'=(-2,1,2),可得|B4|+|P￡|的最小值是J(-2)2+#+22=3.

故選：C.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=%-k/nx,當(dāng)x>l時，不等式/(x)》x+l恒成立，則％的取

值范圍是()

2

A.(-°°,-e]B.(-°°,-4]C.(-8,-e]D.(-°°,0]

解：函數(shù)/(x)=%-kbix,當(dāng)x>l時，不等式/(x)》x+l恒成立~~Lnx~~,x&

(1,+8).

令g(x)=ex-x-],g'(JC)=F-1,

第13頁共27頁

函數(shù)g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，.?.e'/x+l,

.?.『4.炭=/以-3，=/一4垢》》-4阮*+1,

x~4ex-x-lx-4lnx+l-x-l

：.----------->------------------4,xG.(1,+8).

InxInx

函數(shù)/?(x)=x-4lwc,xG(1,+8).

hf(x)=1—1=三^，可得函數(shù)〃(x)在(1,4)上單調(diào)遞減，在(4,+8)上單調(diào)

遞增，

h(x)(4)=4-4加4V0,存在刈>1,使得/?(xo)=0,

x~^cx—x_1

—；------的最小值為-4.

Inx

:.kW-4.

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

(多選)9.(5分)已知復(fù)數(shù)zi,Z2,Z3,痣是zi的共輾復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.若Zl+Z2=0,則|zi|=|z2|B.若Z2=痣，則|zi|=|z2|

C.若Z3=Z1Z2,則|Z3|=|Z1||Z2|D.若|zi+l|=|z2+l|,則0|=|z2|

解：選項A:若Z1+Z2=O,則Zl=-Z2,所以憶1|=LZ2|=|Z2|,故A正確,

選項8：設(shè)zi=x+yi(x,yGR),則五=x-yi,則|zi|==|z2|,故6正確,

選項C：設(shè)zi=x+yi,zi=a-bi(x,y,a,Z?GR),則ziz2=(x+yi)(a-bi)=Cax+by)

+Cay-bx)i,

22

則\z[Z2\=J(ax+by)2+(ay-b%)2=+y2)(q2+爐)，|2y\\z2\=yjX+y?

\la24-b2,所以|z3|=|ziz2|,故C正確，

22

選項￡)：設(shè)zi=2+4i,Z2=4,則|zi+l|=|3+4i|=5=|z2+l|=|5|=5,但是|zt|=V2+4=

2通r|Z2|=4,故。錯誤，

故選：ABC.

(多選)10.(5分)如圖，在某城市中，M、N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中Ai、

A2、A3、A4是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)M、N處的甲、乙

兩人分別要到N、M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時

出發(fā)，直到達(dá)N、M處為止.則下列說法正確的是()

第14頁共27頁

A.甲從朋到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過A2到達(dá)N處的方法有9種

81

C.甲、乙兩人在A2處相遇的概率為F

400

41

D.甲、乙兩人相遇的概率為f

解：對于A,甲由道路網(wǎng)M處出發(fā)隨機地選擇一條沿街的最短路徑到達(dá)N處需走6步，

共有以=20種方法，故A錯誤；

對于B,甲經(jīng)過A2到達(dá)N,可分為兩步：

第一步：甲從M經(jīng)過A2的方法數(shù)：門種，

第二步：甲從42到N的方法數(shù)：戲種，

所以：甲經(jīng)過42的方法數(shù)為廢廢=9種，故B正確；

對于C,由AB知：甲從M到達(dá)N處的方法有底=20種，甲經(jīng)過A2的方法數(shù)為：廢瑪=9

種，

同理，乙從例到達(dá)N處的方法有/=20種，乙經(jīng)過42的方法數(shù)也為：廢廢=9種，

甲、乙兩人相遇經(jīng)A2點的方法數(shù)為：廢廢?CK￥=81利

甲、乙兩人相遇經(jīng)上點的概率尸=照=蓋，故C正確；

對于￡>,甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在Ai、A2、A3、A4處相遇，

他們在AiG=l,2,3,4)相遇的走法有(C3rI)4種方法；

(C3°)4+(C31)4+(C32)4+(C33)4=164

甲、乙兩人相遇的概率2=擺=蓋，故。正確.

故選：BCD.

(多選)11.(5分)全班學(xué)生到工廠勞動實踐，各自用AB=4cm,BC=CCi=2c〃？的長方

體ABCD-4BC1O1切割出四棱錐P-F8ED模型.產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)要求：E,F分別為A8,

CC的中點，P可以是線段4與(不含端點)上的任意一點.有四位同學(xué)完成制作后，對

第15頁共27頁

自己所做的產(chǎn)品分別作了以下描述，你認(rèn)為有可能符合標(biāo)準(zhǔn)的是()

B.使直線PE與平面PDF所成角取到了最大值

C.使平面PDE與平面PFB的夾角取到了最大值

D.使平面尸。尸與平面PEB的夾角取到了最大值

解：以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

x

貝ijD(0,0,0),4(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,2,0),F(0,2,

0),

設(shè)P(2,t,2),0</<4,

則而=(2,t,2),EP=(0,t-2,2),DF=(0,2,0),DE=(2,2,0),FP=(2,

r-2,2),BP=(0,L4,2),

取平面PEB的一個法向量為藍(lán)=&=(2,0,0),

設(shè)平面PO尸的法向量三=(x,y,z),

第16頁共27頁

則已皆=2y=。，取x=],得曾=(b0,7),

(.n?DP=2%+ty+2z=0

設(shè)平面PQE的法向量5=(xi,y\,zi),

/->T

p-DP=2%i4-tyi4-2zi=0小/日一_3八、

貝mi|Jl二T1九1,取用=2,得口=(2,-2,/-2),

.p-DE=2x1+2yl=0

設(shè)平面PFB的法向量為7=(X2,”,Z2),

則也子=2x2+(-2)%+2Z2=0,取m=2,得4=(2,-2"4),

、q?BP=(t—4)y2+2z2—0

對于A,設(shè)直線尸。與平面尸母所成角為a,

I而葡=4=2

則sina=|cos<DP,m>\=

\DP\-\m\27+8Jt2+8

V0<?<4時,函數(shù)y=—=單調(diào)遞減，沒有最大值，故A錯誤;

對于8,設(shè)直線PE與平面尸。尸所成角為0,

貝！)sinp=|cos<DP,m>\=邛？-=---/?==/?=,

IEPHMV2-J(t-2)2+4J(t-2)2+4

0<f<2,函數(shù)產(chǎn),,W,■單調(diào)遞增,2<f<4時，函數(shù)尸,壇單調(diào)遞減,

，當(dāng)f=2時，即P是481中點時，sin0取最大值，此時夾角0最大，故B正確；

對于C,設(shè)平面P￡?E與平面PF8折夾角為0,

則cos0=|cos<p,q>\—夕田=?土

IPHqlj8+(J2)2」8+(t-爐

下面研究函數(shù)y=?6t之二6：+16在怎(0)4)上的單調(diào)性，

j8+(t—2).j8+(t—4)

令/-3=s,(/-3)2=s2=r,

t2-6/4-16=Ct-3)2+7=52+7,

8+(r-2)2=8+[(f-3)+1?=9+(r-3)2+2(r-3)=9+J+2s,

8+(r-4)2=8+[(r-3)-1]2=9+(z-3)2-2(t-3)=9+，-2s,

則[8+(1-2)2]?[8+(7-4)2]=(9+S2+2S)(9+S2-2s)=(9+/)2-452=/+14y2+81

=(S2+7)2+32,

第17頁共27頁

產(chǎn)―6t+16S2+711

2

出+舊戶如上爐J(S2+7)+32部+7)2+32

6+7)2

/G(0,4),r=(/-3)2在正(o,3)遞減，在正(3,4)遞增，且rG[0,9),

又尸11在，<0,9)時遞增，

1+-^

J(r+7)”

故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷原理可知：

t—6亡+16

在正(0,3)遞減，在左(3,4)遞增,

Js+(t-2)2-j8+(t-4)

則cos6在t=3時取最小值，此時。最大，叩平面PDE與平面PFB的夾角取到了最大

值，故C正確；

對于。，設(shè)平面POF與平面PEB的夾角為lp,

則cos(p=[cosn>|=--^=—貝I]年=45°為定值，故。錯誤.

故選：BC.

(多選)12.(5分)由倍角公式COS2JC=2COS2X-1,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項

式.一般地,存在一^個n(?GN*)次多項式尸"(f)=aof'+ai1+a2t"2+,,,+an(ao>a\,

“2…a,￡R),使得cosnx=P/；(cosx),這些多項式稱為切比雪夫(P.L.Tschebyscheff')

多項式.運用探究切比雪夫多項式的方法可得()

A.P3(/)=-4P+3ZB.P4(力=8八81+1

解："."cos3x=4cos;1x-3cosx,

/.P3(t)=4?-3t,故選項A錯誤；

"."cos4x=2cos22x-1

—2(2COS2X-1)2-1=8COS4X-8cos2x+1>

：.P4(/)=8r4-8?+l,故選項B正確；

Vcos5x=cos2xcos3x-sin2^sin3x

=(2COS2X-1)(4cos\-3cosx)-2sinxcosx(3sinA-4sin\)

=8COS5X-10COS\+3COSX-2cosx(3sin2x-4sin4x)

=8COS5X-10COS\+3COSX-2cosx(3(1-cos2x)-4(1-cos2x)2)

第18頁共27頁

=8cos\-1OCOS3X+3COSX-2cosx(3(1-cos2x)-4(1-cos2x)2)

=8COS5X-10cos\+3cosx-2cosx(3-3cos2x-4+8cos2x-4cos4x)

=8COS5A-10COS3X+3COSX+2COSX-1Ocos3r+8cos5x

=16COS5X-20COS3%+5COSX,

Acos90o=16COS518°-20COS318°+5COS18°=0,

即16cos丸80-20COS2180+5=0,

2

2,o?20+j20-4xl6x55+店海2lQ?5-75

解得cos18=-------------------------=~~或cos18=-g—,

VCOS218°>COS230°=7,Acos218°=舍去,

45o

?2iQO5+75..2iQO_]5+店3-75,花―I、2

..cos18=-g-,..sin18=1-----g—=―g—=(―

.".sin18°=41,故選項C正確；

而(粵產(chǎn)=爭力"巨，故選項。錯誤.

故選：BC.

三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分。

13.（5分）我國古代數(shù)學(xué)算經(jīng)十書之一《九章算術(shù)》有一衰分問題（即分層抽樣問題）：今

有北鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人.凡三鄉(xiāng)，發(fā)役五

百人，則北鄉(xiāng)遣人0人.

5001

解：由題意，抽樣的比例為

8100+7488+691245,

北鄉(xiāng)應(yīng)抽取8100x^=180人,

故答案為：180.

14.（5分）韋伯望遠(yuǎn)鏡必須在不受任何其它熱源干擾的情況下保持在-223℃以下才能觀察

紅外線中的微弱信號.為了防止熱傳遞，M4sA工程師們開發(fā)了由Kaph〃材料組成的遮

9

陽板.太陽光通過一層普通玻璃時，其中的紫外線的強度減弱為原來的而通過韋伯

10

望遠(yuǎn)鏡遮陽板則能將其中的紫外線的強度減弱為原來的a則要達(dá)到韋伯望遠(yuǎn)鏡遮陽板的

減弱效果，至少需要的普通玻璃層數(shù)為21.（參考數(shù)據(jù)：々3^0.477）

解：設(shè)原紫外線強度為1,設(shè)至少需要的普通玻璃層數(shù)為x層，

則扁尸」

第19頁共27頁

?、，1_喝_-2lg3_2lg3

??啟/o^9=破=2^1=1=2^3a2。？

??.至少需要的普通玻璃層數(shù)為21層,

故答案為：21.

X2V2

15.(5分)已知橢圓C：—+rr=1(a>b>0)的左、右焦點分別為為，尸2,橢圓C外

a2b2

一點P滿足PF2_LA尸2,且|以切=尸聲2|,線段PP1,尸放分別交橢圓。于點A,B,若|網(wǎng)

=|AFi|,則瞿!='

\PF2\—4—

解:設(shè)|尸冏=四尸2|=2C,\PA\=\AF\\^t,

由于尸2_1_尸1尸2,可得|A尸2|=|M|=f,

由橢圓的定義可得|AFi|+|A尸2|=2f=2",即t=a,

又2a=2V2c,即t=a=V2c,

16.(5分)正方體ABC。-AIBICIQI的棱長為2,動點尸在對角線上，過點P作垂直

于BD\的平面a,記平面a截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y=/(x),

設(shè)BP=x,xe(0,2V3).

(I)下列說法中，正確的編號為②③.

①截面多邊形可能為四邊形；②f(空)=3應(yīng)；③函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=K對稱.

(II)當(dāng)％=K時，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為9n.

解：(/)正方體A8C￡>-4i8iCi￡>i的棱長為2,可得對角線長為2遮，

第20頁共27頁

x=V5時，由線面垂直的判定和性質(zhì)可得平面ABiC,△ABiC為邊長為2e的正三

角形，

其余截面與平面AB1C平行，且為正三角形，或當(dāng)截面過各棱的中點時為正六邊形，

截面為正六邊形，故①不正確；

當(dāng)苫=亭時，截面為邊長為企的等邊三角形，可得周長為3vL故②正確；

根據(jù)正方體的對稱性，可得函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于》=遮對稱，故③正確；

(〃)x=8時，截面為△ABiC,P在底面上的射影為AC的中點。,，可得球心。在0P

上，

設(shè)球的半徑為R，可得(OP-R)2+OB2=R2,即(1-R)2+2=R2,解得R=|,

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為47TR2=9n,

故答案為：②③，97T.

四、解答題(17題10分，18?22題滿分均為12分)

17.(10分)已知公差不為0的等差數(shù)列｛〃”｝滿足43=5,且G,。2,酸成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a求的通項公式;

(2)設(shè)%=77=」，數(shù)列｛為｝前〃項和為方，求使得〃成立的〃的最大值.

解：(1)因為41,CL2,45成等比數(shù)列，所以的？=。逆5，貝1(%+d)?=。1(即+4d),

又dWO,所以d=2ai,又43=4i+2d=5〃i=5,所以41=1,d=2,

所以Q九=%+(九一l)d=2n-1,(nGN*).

/c、b人n_1_1_-1,11_-lrl1,+11+.，

(2)~anan+1~(2n-l)(2n+l)2^271=4-2n+T^24-33-5

11,_n

_2n+lJ=2n+l

要使篇即/一V三解得nV攣故最大整數(shù)〃的值為io-

652n+l653

第21頁共27頁

18.(12分)已知函數(shù)/'(x)=Esizi(3x+w)+2sin?(巴左空)—1(3>0,OV^Vw)為奇函

7T

數(shù)，且/(X)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為引

(1)求f(X)的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知/(x)在[一?將時，求方程2/2(為+次/(乃一3=0的所有根的和.

解：(1)由題意知，f(x)=V3sin(u)x+(p)+2sirr(---)-1=V3sin(o)x+(p)-cos

(a)x+(p)=2sin[(o)x+(p)—

71

因為f(x)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為5,所以f(x)的最小正周期為7=71,所以

27r。

o)=7=2,

又因為/(x)為奇函數(shù)，所以"一專=攵兀，kEZjf解得叩=看+內(nèi)T,kWZ；

又因為OVtpVn,所以0=看，函數(shù)f(x)=2sin2x,

7i37r437r

令一+2kn<2x<—+2kn,kEZ,解得一+fczr<x<一+kn,kWZ,

2244

所以函數(shù)/(x)的遞減區(qū)間為蹤+/C7T,￥+時，依Z.

(2)引時，2XG[-J,yj,sin2xG[-1,1J,f(x)G[-2,2],

方程2升(%)+V3/(x)-3=0可化為[f(x)+V3][2/(x)-V3]=0,解得f(x)=-百或

f(x)=當(dāng)，

即sin2x=一空或sin2x=字，

當(dāng)sin2x=—空時，2x=—4或2x=竽或2x=挈，解得x——看或x=冬或x=等，

當(dāng)sin2x=^時，2xi+2x2—Ti,所以xi+x2=*,

綜上知，在[一先暫時，方程2f2(x)+8/(x)-3=0所有根的和為(一1+警+當(dāng)

OOUOO

,71117T

+2=--

19.(12分)某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2/-1(髭N*)個

相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p(OVpVl),各元件之間相互獨立.當(dāng)

控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正

常運行的概率為"(例如：P2表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；p3

第22頁共27頁

表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率).

(1)若p=|,當(dāng)A=2時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望，

并求P2;

(2)已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為〃件，每件產(chǎn)品的利潤為4元，設(shè)備升級后，

在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的2倍，且出現(xiàn)了高端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為

高端產(chǎn)品的概率為士每件高端產(chǎn)品的利潤是8元.記設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為丫

4

(單位：元).

(i)請用p&表示E(7)；

(ii)設(shè)備升級后，若將該設(shè)備的控制系統(tǒng)增加2個相同的元件，請分析是否能夠提高E

(D.

解：(1)因為k=2,所以控制系統(tǒng)中