2023年北京重點中學(xué)高三數(shù)學(xué)3月考試卷及答案解析

2023年北京重點中學(xué)高三數(shù)學(xué)3月考試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合4={刈-1<尢<3},集合8={幻⑶±2},則（）

A.AC\B={x\—2<x<3}B.4ufi={x|-2<x<3}

C.AnB={制-1<%<2}D.4cB={x\x<3}

2.雙曲線合一［=1的焦點坐標(biāo)為()

A.(±1,0)B.(0,±V3)C.(±V3,0)D.(0,±l)

3.已知a=G)°s,b=log42,c=log23,則()

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

4.已知cosa=5，a是第一象限角，且角a,￡的終邊關(guān)于y軸對稱，則￡加0=（）

3344

C

------

A.4433

5.已知a,/?是兩個不同的平面，直線/Ca,且a10,那么“〃/a”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.如圖，在同一平面內(nèi)沿平行四邊形4BCD兩邊4B,4。向外分別作

正方形4BE尸，ADMN,其中AB=2,AD=1,/.BAD=則正.

FN=（）

A.-2V2

B.2V2

C.0

D.-1

7.函數(shù)/（x）=ex\lnx\-1的零點個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

8.設(shè)2尸2分別是橢圓務(wù)，=l（a>b>0）的左、右焦點，過尸2的直線交橢圓于P,Q兩

點，若NFiPQ=60。，|PF/=|PQ|,則橢圓的離心率為（）

9.己知數(shù)列｛每｝是公差為d的等差數(shù)列，且各項均為正整數(shù)，如果的=3,即=45,那么n+d

的最小值為（）

A.13B.14C.17D.18

10.如表是某生活超市2021年第四季度各區(qū)域營業(yè)收入占比和凈利潤占比統(tǒng)計表：

生鮮區(qū)熟食區(qū)乳制品區(qū)日用品區(qū)其它區(qū)

營業(yè)收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%

凈利潤占比65.8%-4.3%16.5%20.2%1.8%

該生活超市本季度的總營業(yè)利潤率為32.5%（營業(yè)利潤率是凈利潤占營業(yè)收入的

百分比），給出下列四個結(jié)論：

①本季度此生活超市營業(yè)收入最低的是熟食區(qū)；

②本季度此生活超市的營業(yè)凈利潤超過一半來自生鮮區(qū)；

③本季度此生活超市營業(yè)利潤率最高的是日用品區(qū)；

④本季度此生活超市生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率超過40%.

其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.②④C.②③D.②③④

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

11.拋物線M=2y的準線方程是.

12.設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x+i）6的展開式中含/的項為（用數(shù)字作答）.

13.已知半徑為1的圓C經(jīng)過點（2,3）,則圓C上的點到直線3x—4y-4=0距離的最大值

為一.

14.已知函數(shù)/'（X）=｛；蒙＞*若函數(shù)f（x）在R上不是增函數(shù)，則a的一個取值為.

15.聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是

函數(shù)y=4s譏0t.我們聽到的聲音是由純音合成的，稱為復(fù)合音.已知一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是

函數(shù)/（%）=sinx+gsin2x.給出下列四個結(jié)論：

①/Q）的最小正周期是兀；

②/⑺在［0,2捫上有3個零點；

③/⑺在［0,夕上是增函數(shù)；

④/（x）的最大值為苧.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

三、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題12.0分）

在△ABC中，acosB+^b=c,b=2.

（I）求4

（II）從下列三個條件中選擇一個作為已知，使△力BC存在且唯一確定，求BC邊上的高.

條件①：sinB=￡；條件②：cosB=-,；條件③：△ABC的面積為孑箸.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（n）問得o分：如果選擇多個符合要求的條件分別解答,

按第一個解答計分.

17.（本小題12.0分）

如圖，在四棱錐P-力BCD中，PA，底面ABCC.在底面力BCD中，BC〃AC,CD=CD=

1,BC=2.

（I）求證:4cl平面，B；

（口）若平面P4B與平面PCD的夾角等于半求點B到平面PCD的距離.

P

18.（本小題12.0分）

北京2022年冬奧會、向全世界傳遞了挑戰(zhàn)自我、積極向上的體育精神，引導(dǎo)了健康、文明、

快樂的生活方式.為了激發(fā)學(xué)生的體育運動興趣，助力全面健康成長，某中學(xué)組織全體學(xué)生

開展以“筑夢奧運，一起向未來”為主題的體育實踐活動.為了解該校學(xué)生參與活動的情況，

隨機抽取100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計他們參加體育實踐活動時間（單位：分鐘），得到下表：

時間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60J0)[70,80)[80,90)[90,100

男51213898

性別

女69101064

初中10

學(xué)段

高中m1312754

(I)從該校隨機抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計該學(xué)生參加體育實踐活動時間在

［50,60)的概率;

(II)從參加體育實踐活動時間在［80,90)和［90,100)的學(xué)生中各隨機抽取1人，其中初中學(xué)生的

人數(shù)記為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(HI)假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替，樣本中的100名學(xué)生參加體育實踐活動時間

的平均數(shù)記為的，初中、高中學(xué)生參加體育實踐活動時間的平均數(shù)分別記為出,“2,當(dāng)小滿

足什么條件時，仰之空.(結(jié)論不要求證明)

19.(本小題12.0分)

已知橢圓C：圣+5=l(a>b>0)的一個頂點為(0,-1),一個焦點為(1,0).

(I)求橢圓C的方程和離心率；

(II)已知點P(0,2),過原點0的直線交橢圓C于M,N兩點，直線PM與橢圓C的另一個交點為Q.

若AMNQ的面積等于警，求直線PM的斜率.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=(%—l)ez—^ax2(a6R).

(1)當(dāng)a=0時，求曲線y=/(x)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)0<a<l時，證明：/(x)有且只有一個零點；

⑶求函數(shù)f(x)在［1,2］上的最小值.

21.(本小題12.0分)

已知數(shù)集4=｛%,。2，。3,…,即｝(1=a1<a2<-??<an,n>2)具有性質(zhì)P：對任意的k(2<

/c<n),3i,yeN*(l<i<;<n),使得%=為+%成立.

(I)分別判斷數(shù)集｛135｝與｛1,236｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

(H)已知%=%+a2T---￥an(neN*'),求證：2an—1<5n；

(IE)若斯=36,求數(shù)集4中所有元素的和的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合4={x|-1<x<3},集合B={x||x|<2)={x|-2<x<2},

則4nB={x|-1<xW2},故ACO均錯誤；

A\JB=(x\—2<x<3],故B正確.

故選：B.

求出集合B,利用交集、并集的定義能求出結(jié)果.

本題考查集合的運算，考查交集、并集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為

其中a=l,b=V2,其焦點在x軸上，

則c=y/a2+b2=V3>

所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為(士國,0)；

故選：C.

根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準方程，可得a、b的值以及焦點的位置，然后求出c的值，從而得到焦

點坐標(biāo).

本題考查雙曲線的標(biāo)準方程以及幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是由雙曲線的標(biāo)準方程得到a、b的值.

3.【答案】A

【解析】解：a=(y5==苧e0,1)，b=的42=；，c=log23>log22=1,

所以c>a>b,

故選：A.

根據(jù)a=苧"=>1即可比較大小.

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：ra是第一象限角，且角a,0的終邊關(guān)于y軸對稱，

二￡=兀-a+2kn,k&Z,

,4

:.tanp=tan(兀-a+2kn)=tan(?！猘)=~tana=—=---j-2—=---

5

故選：D.

根據(jù)題意可知口=兀-a+2卜兀，k€Z,再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.

本題考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：當(dāng)直線ICa,且al/?,1〃a,則〃/。，I與0相交，故充分性不成立；

當(dāng)直線ICa,且a_L4，時，l//a,故必要性成立，

al//a"是1/?’的必要而是不充分條件.

故選：B.

根據(jù)空間線面位置關(guān)系，結(jié)合必要不充分條件的概含判斷即可.

本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運算問題，是基礎(chǔ)題.

由題意得出前=荏+同，F(xiàn)N=FA+AN，再求前?前的值.

【解答】

解：由題意知，

AC=AB+AD>'FN=~FA+AN，

所以前-~FN=(AB+AD)■(FA+AN)

AB-FA+AB-AN+AD-FA+AD-AN

jLIL

COS-r-COS-r

=2X2XCOS-25-4-2X1X4+1X2X44-1X1XCOS52-

=0.

故選：c.

7.【答案】C

【解析】解：由f(x)=0可得12nxl=e~x,作出函數(shù)y=|/nx|與

y=的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數(shù)y=|"x|與y=e-x的圖象的交點個數(shù)為2,

故函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.

故選：C.

由/(x)-?？傻脇mx|=e~x,分析可知函數(shù)/(x)的零點個數(shù)即為函數(shù)y=|1nx|與y=b方的圖象的

交點個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.

本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：設(shè)|PFi|=t,

v\PFr\=\PQ\,N&PQ=60。，

.-.\PQ\=t,\FrQ\=t,

由^F1PQ為等邊三角形，得|F]P|=|FiQ|,

由對稱性可知，PQ垂直于x軸，

尸2為PQ的中點，仍現(xiàn)乏，

???匹昌=1t，即2c=爭，

由橢圓定義：\PF1\+\PF2\=2a,即2a=t+

!=梟，

橢圓的離心率為：e=￡=*=3.

Q為3

故選O.

設(shè)|PFil=t,則由NFJQ=60。，|PF/=|PQ|,推出PQI=3|F1Q|=3且F2為PQ的中點，根

據(jù)橢圓定義可知|P&|+IPF2I=2a用t表示，根據(jù)等邊三角形的高，求出2c用t表示，再由橢圓的

離心率公式e=即可得到答案.

本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，離心率的求法，考查了學(xué)生對橢圓定義的理解和運用.

9.【答案】B

【解析】解：由等差數(shù)列的通項公式a“=%+(71-1)小得

3+(n—l)d=45,

(n—l)d=42=42x1=21x2=6x7,

只有n-l=6,d=7,或n-l=7,d=6時，

即n=7,d=7,或n=8,d=6時，n+d有最小值為14.

故選:B.

由%=3,a“=45,得到(n-l)d=42,然后分析出般，d的所有可能取值，從而得到答案.

本題考查了等差數(shù)列的通項公式,解答的關(guān)鍵是由各項均為正整數(shù)得到公差d為正整數(shù)，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】解：由題中數(shù)據(jù)知，其它類營業(yè)收入占比4.7%,為最低的，故①錯;

生鮮區(qū)的凈利潤占比65.8%>50%,故②正確：

生鮮區(qū)的營業(yè)利潤率為暗警x32.5%=44%>40%,故④正確；

熟食區(qū)的營業(yè)利潤率為法靜X32.5%<0；

1D.O70

乳制品區(qū)的營業(yè)利潤率為需x32.5%=26.68%；

其他區(qū)的營業(yè)利潤率為擺X32.5%=12.45%；

4./%

日用品區(qū)為魯煞x32.5%=60.787%,最高，故③正確.

1U.OTO

故選：D.

根據(jù)表中數(shù)據(jù)以及營業(yè)利潤率的概念逐項進行分析并判斷.

本題考查了概念與統(tǒng)計的相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】y=-^

【解析】

【分析】

本題的考點是拋物線的簡單性質(zhì)，主要考查拋物線的標(biāo)準方程，屬于基礎(chǔ)題.

先根據(jù)拋物線的標(biāo)準方程得到焦點在y軸上以及2P的值，再直接代入即可求出其準線方程.

【解答】

解：因為拋物線的標(biāo)準方程為：M=2y,焦點在y軸上；

所以：2P=2,即p=1,

所以：1=1,

所以準線方程y=-：.

故答案為：y=—

12.【答案】-15x4

【解析】解：(x+i)6的展開式中含P的項為c"4.,2=一15婷，

故答案為:-15x4.

利用二項展開式的通項公式即可得到答案.

本題考查二項式定理，深刻理解二項展開式的通項公式是迅速作答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】4

【解析】解：因為半徑為1的圓C經(jīng)過點(2,3),

所以圓C的圓心的軌跡是以(2,3)為圓心，半徑為1的圓，(2,3)到直線3%-4、-4=0距離為

|6-12-4|_?

―5——2，

所以圓C的圓心到直線3x-4y-4=0距離的最大值為2+1=3,

圓C上的點到直線3K-4y-4=0距離的最大值為4.

故答案為:4.

先求得圓心的軌跡，然后結(jié)合點到直線的距離公式求得正確答案.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】一2(答案不唯一，滿足a<-1或0<a<1即可)

【解析】解：y=x和y=式的圖象如圖所示：

.,.當(dāng)a<-1或0<a<1時，y=/有部分函數(shù)值比y=%的函數(shù)值小，

故當(dāng)a<-1或0<a<1時，函數(shù)/'(x)在R上不是增函數(shù).

故答案為：—2.

作出y=x和y="的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得a的范圍，從而得到a的可能取值.

本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②④

【解析】解：因為f(x+兀)=sin(x+兀)+|sin[2(x+TT)]=—sinx+|sin2x彳/(x),故兀不是/'(x)

的周期，故①錯誤；

令/(x)=0，BPsinx+sinxcosx=0,即sinx(l+cosx)=0解得：x=0或x=?；騲=2兀，故②

正確；

因為尸(x)=cosx+cos2x=2COS2X+cosx—1,因為/'嗎)=—1<0,/嗎)=苧>0，故[0,芻上

必存在f'(x)<0的區(qū)間，此時f(x)為減函數(shù)，故③錯誤；

易知，/(X+2TT)=/(X),即該函數(shù)的最小正周期為2兀，設(shè)工€[0,2捫，

令1(x)=(2cosx-l)(cosx+1)=0得，cosx=p或-1,

所以X=今或兀,等此時,(今=苧,/⑺=0,f第=一竽,/(0)=f(2n)=0,故最大值苧，

故④正確.

故選：②④?

利用周期函數(shù)的定義判斷周期，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，在一個周期內(nèi)研究極值、端點處的函數(shù)值

進而求出最值，由此逐項判斷即可.

本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值、最值時的應(yīng)用，同時考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)方法一：在△ABC中，acosB+=c,

由正弦定理可得sinAcosB+^sinB=sinC.

因為4+8+C=7T,所以si九C=sin(/I+B)=sinAcosB+cosAsinB.

所以gs譏B=cosAsinB.

在△ABC中，sinB0,所以cos4=g,所以4=60。.

方法二：在△4BC中，acosB+gb=c,

由余弦定理cosB=a2+c2f2,可得展立出+Lb=c，

2acZac2

22

整理得+d-a=bc9

所以C0S4=3尤衛(wèi)=L解得力=60。.

2bc2

(2)選條件①：由(1)知0。<8<120。，

在A4BC中,sinB=y-B6(0。,180。),所以B=45。.

因為4+B+C=zr,所以C=75°,

所以sinC=sin(45°+30°)=s譏45°cos30°+cos45°sin30°=

設(shè)BC邊上高線的長為九，

miliI.nV6+V2x^6+V2

則九=bsinCr=2x---=---?

42

選條件②，cosB=-|<-p所以8>120。，因為4=60。，所以4+8>180。，條件不成立.

選條件③：因為S—BC=gbcsinA=csin60°=^-c=三膽，所以c=1+V3,

由余弦定理得Q2=廬+。2_2bccosA=4+4+2g一2x2x(1+遮)cos60。=6,

所以a=V6-

設(shè)BC邊上高線的長為九，

則九=2sMBC_3+抬=vs+q

【解析】(1)方法一：利用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理，即可求出4的值.

方法二：利用余弦定理結(jié)合題意即可求得4的值.

(2)選條件①，根據(jù)題意求出B和C的值，再計算BC邊上的高線長.

選條件②，可以判斷4+B>180。，條件不成立.

選條件③：根據(jù)三角形的面積計算c的值，再利用余弦定理求出a,從而求出BC邊上的高線.

本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題.

17.【答案】解：(/)證明：以。為坐標(biāo)原點，DA,DC所在直線為x,y軸，

過點。作平面4BCC的垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P4=a,則4(1,0,0),C(0,1,0),8(2,1,0),P(l,0,a),

AP=(0,0,a)>AB=(1,1,0).AC=(-1,1,0).

二巾前=0+0+0=0)，稱前=0+0+0=0，.?.而1宿AB1AC

ACLAP,AC1AB,又ABCAP=A,ABu平面PAB,4Pu平面P4B,

■■■AC1平面PAB.

(〃)由(/)可知前=(—1,1,0)為平面PAB的一個法向量,

由(/)知。(0,0,0),

~DP=(1,0,a),DC=(0,1,0).

設(shè)平面PDC的一個法向量為元=(%,y,z),

則歸變=*+az=。，令z=L則x=-a,y=0,

[n-DC=y=0

.??平面PDC的一個法向量為元=(-a,0,1),

-、n-ACa

??cosV九，AC>=—~—~~e't

\n\\AC\在x后區(qū)

又平面248與平面PC。的夾角等于?

???1有高1=8,熱解得a=l,

???平面PDC的一個法向量為元=(-1,0,1).又南=(2,0,0)，

.??點8到平面PCD的距離為d=警=熹=魚.

|n|V1+1

【解析】(/)以。為坐標(biāo)原點，DA,DC所在直線為x,y軸，過點。作平面A8CD的垂線為z軸建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明存1萬，AB1AC，從而得到4C1平面R4B；

(〃)利用平面P4B與平面PCD的夾角等于或可得=cos*求出源再利用向量法可求

點B到平面PC。的距離.

本題考查線面垂直的證明，以及面面角的求法，點到面的距離的求法，屬中檔題.

18.【答案】解：(I)方法一：女生共有6+9+10+10+6+4=45人，記事件4為“從所有調(diào)

查學(xué)生中隨機抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機抽取1人，參加體育活

動時間在［50,60)“，

由題意可知，P(4)=蓋,P(4B)=急，

9

因此「34)=需=暨=葛="，

100

所以從該校隨機抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計該學(xué)生參加體育活動時間在［50,60)的

概率為最

方法二：女生共有6+9+10+10+6+4=45人，記事件M為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機抽取1名

學(xué)生，若已知抽到的是女生，該學(xué)生參加體育活動時間在［50,60)“，

由題意知，從所有調(diào)查學(xué)生中隨機抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45個，

抽到女生且參加體育活動時間在［50,60)所包含的基本事件共9個，

所以P(M)=KJ

所以從該校隨機抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計該學(xué)生參加體育活動時間在［50,60)的

概率為/

(II)方法一：X的所有可能值為0,1,2,

時間在［80,90)的學(xué)生有10+5=15人，活動時間在［90,100)的初中學(xué)生有8+4-4=8人，

記事件C為“從參加體育活動時間在［80,90)的學(xué)生中隨機抽取1人,抽到的是初中學(xué)生”，事件。為

“從參加體育活動時間在［90,100)的學(xué)生中隨機抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，

由題意知，事件C,D相互獨立，且P(C)="=:/(￡>)=卷=|,

所以P(X=0)=P(CD)=P(C)P(6)=gx：=、

p(x=1)=P(CDUCO)=P(C)P(B)+P(C)P(D)=|x1+ix|=^

P(X=2)=P(CD)=P(C)P⑼號2X"2芯4

所以x的分布列為：

X012

144

P

999

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0xg+lxt+2x［=5=親

方法二：X的所有可能值為0,1,2,

因為從參加體育活動時間在［80,90)和［90,100)的學(xué)生中各隨機抽取1人是相互獨立，且抽到初中學(xué)

生的概率均為|,故X?B(2,|),

所以P(X=0)=以

p(x=i)=d(|)i(i_|)i=《，

P(X=2)=C/)2=A|X|=/

所以X的分布列為:

X012

144

P

999

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=np=2x：=*

(HI)根據(jù)男女生人數(shù)先補全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù):

時間人數(shù)類別[0,50)[50,60)[60J0)[70,80)[80,90)[90,100

男51213898

性別

女69101064

初中11-m81111108

學(xué)段

高中m1312754

[50,100)內(nèi)初中生的總運動時間匕=8x55+11x65+11X75+10x85+8X95=3590,

[50,100)內(nèi)高中生的總運動時間t2=13x55+12x65+7x75+5x85+4x95=2825,

則由題，m=1,2,3...11,

又的=高(11X25+3590+2825)=669%=高[25(11-m)+3590]=^+25,%=

石二(25m+2825)=25+黑匕

41+zn'741+m

由“0＞空可得

83.82署■+罌，

59—m41+m

當(dāng)m=2,3...11時成立，故m的取值范圍{m6Z|2SmW11}.

【解析】(I)方法一：根據(jù)條件概率公式求解即可；方法二：根據(jù)古典概型的方法分析即可；

(口)方法一：根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解即可：方法二：根據(jù)二項分布的公式求

解；

(DI)補全初中段的人數(shù)表格，再分別計算的，%,“2關(guān)于6的解析式，代入〃02號求解6的范

圍即可.

本題考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題.

19.【答案】(I)由題設(shè)，得b=l,c=l,則a2=/)2+c2=2,

所以橢圓C的方程為1+y2=i，離心率e=￡=W=￡.

(II)設(shè)直線PM的方程為y=fcx+2,

h+

=2

由fy+

G2ro-得(1+21)/+8"+6=0,

(T

A=(8k)2-4(1+2k2)x6>0解得/>|.

設(shè)Q(x2,y2),則匕+小=；|^，"62=日戶>0，即x「?同號.

根據(jù)橢圓的對稱性知S4OMQ=SAONQ=2s△MNQ,S^POM=1^△PO/V,所以S^OMQ=^AONQ=^APOQ—

S&PON=S&POQ-S&POM

1n..1n....r.——■——Tn——----64/22242-2V2-，

=5X2x\x21-5x2X\x^\—\x2—Xy\=J(%1+%2)-4x1x2=^+2k)—l+2k=5

整理得2k4_23爐+38=0,

解得/=2/2=3(滿足/>|)

所以k—+V2，或k=±'|反.

【解析】(I)根據(jù)題意得到b，c,進而求出a,最后得到橢圓方程和離心率；

(H)設(shè)出直線PM的方程并代入橢圓方程然后化簡，再設(shè)出點M,Q的坐標(biāo)，進而表達出面積，然

后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出答案.

本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達定理及其應(yīng)用等知識，屬于中

等題.

20.【答案】解：(1)當(dāng)a=。時，f(x)=(x-l)ex,

???f'(x)—

/./(0)=-1,1(0)=0,

，曲線y=f(久)在％=0處的切線方程為y+1=0；

(2)證明：當(dāng)0＜。＜1.時，f(x)=xeX—CLX=x(ex—a),

令/'(%)=0，則％=0或％=Ina,且ma＜0,列表如下：

X(—co,Ina)Ina(Ena,0)0(0,+CO)

f'(X)+0—0+

/(X)增極大值減極小值增

?,?函數(shù)/(%)的極大值為/(伍a)=a(/na-1)-|a(/na)2=-1a[(/na-l)24-1]<0,

極小值為/(0)=-1V0,

?,?當(dāng)x<0時，/(%)<f(lna)<0,

又因為f(2)=e2—2a>0,由零點存在定理可知，函數(shù)/(%)在(0,2)上存在唯一零點,

綜上所述，當(dāng)0<aVl時，函數(shù)八%)有且只有一個零點；

1

(3)v/(%)=(%—l)ex--ax2{aGR),

???/'(%)=x(ex—a),

①當(dāng)aWe時，對任意的工€[1,2],ex-a>0,則/(%)N0且/'(%)不恒為零，

此時函數(shù)/'(%)在[1,2]上單調(diào)遞增，則fCOmE=/(I)=-；a；

②當(dāng)eVQ<e2時，由/'(x)V0,可得lWxVma,由/'(%)>0,可得仇Q<XW2,

此時函數(shù)/(%)在[1，仇Q)上單調(diào)遞減，在()見2]上單調(diào)遞增，

則=f(伍Q)=。(伉。-1)-^a(lna)2=-1a[(Zna-l)2+1]；

③當(dāng)a>e?時，對任意的%G[1,2],/'(%)=x(ex-a)<0且/'(%)不恒為零，

此時函數(shù)f(乃在[1,2]上單調(diào)遞減,則f(%)加口=f(2)=e2-2a.

r~^1a,a<e

綜上所述，f[x}min—<—1a[(/na—l)2+1],e<a<e2'

<e2—2a,a>e2

【解析】(1)當(dāng)a=0時，求出/(0)、/(0)的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得曲線y=/(x)在x=0

處的切線方程；

(2)當(dāng)0<a<l時，求得f'(x)=x(ex—a),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存

在定理可證得結(jié)論成立；

(3)對實數(shù)a的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/"(X)在[1,2]上的單調(diào)性，即可求得函數(shù);"(X)在

[1,2]上的最小值.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的

最值，屬中檔題.

21.【答案】解：(I)???3H1+1,{1,3,5}不具有性質(zhì)P；

???2=1x2,3=1+2,6=3+3,{1,2,3,6}具有性質(zhì)P；

證明：(U)?.?集合4=具有性質(zhì)P，

即對任意的k(2WkSn),Bi,;(l<i<;<n),使得以=q+%成立，

又丫1=^<a2<???<an,n>2,

WcijWcik-i，cifc=cij+cijW2cik_],

即W2cin—i，^n-i—2tin-2，^n-2—,…，CI3W2a2，a?W2a1，

將上述不等式相加得a2+…+CLn-1+0n-2(%+a2+…+<2n-i)>

an<2al+a?---1-an-i>由于的=1>

an-1S%+a2+…+即-1，2un—1Sa1+a2+…+un_i+an=Sn；

解：（皿）最小值為75.

首先注意到的=1,根據(jù)性質(zhì)P，得到。2=2%=2,

二易知數(shù)集4的元素都是整數(shù)，

構(gòu)造a={1,2,3,6,9,18,36}或者A={1,2,4,5,9,18,36},

這兩個集合具有性質(zhì)P,此時元素和為75；

下面，證明75是最小的和：

假設(shè)數(shù)集4={的,。2,…,冊}