因式分解的方法與技巧

因式分解的方法與技巧晉江市東石中學(xué)姚清溫內(nèi)容摘要：因式分解,它或許很普通，但它往往能使我們進(jìn)一步地了解數(shù)學(xué)的博大精深.因式分解的應(yīng)用十分廣泛，它在我們身邊時(shí)刻存在著.讓我們來(lái)認(rèn)識(shí)一下因式分解吧：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積形式，這種變形叫做多項(xiàng)式的因式分解（也叫做分解因式）.它是初中代數(shù)中一種重要的恒等變形，也是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段和工具，它是以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分的基礎(chǔ)，又在恒等變形、代數(shù)式的運(yùn)算、解方程（組）及二次函數(shù)的恒等變形提供了必要的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用.因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng).分解因式不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必須的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力有很大的幫助.因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法.而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式輪換對(duì)稱多項(xiàng)式，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法等.下面就讓我?guī)ьI(lǐng)大家走進(jìn)因式分解的奇妙的美麗數(shù)學(xué)世界.關(guān)鍵詞：因式分解分組分解法雙十字相乘法分解因式因式分解的幾種方法與技巧一、提取公因式法將m提出來(lái)，多項(xiàng)式ma+mb+mc就可以分解成兩個(gè)因式m和（a+b+c）的乘積了，這種方法叫做提取公因式法.am+bm+cm=m(a+b+c)其中m叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，m既可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式．例1.分解因式：公因式的確定方法：(1)系數(shù)：取各系數(shù)的最大公約數(shù)；(2)字母：取各項(xiàng)相同的字母；(3)相同字母指數(shù)：取最低指數(shù).順口溜：各項(xiàng)有“公”先提“公”，首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)；某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底”.提取公因式常見思維誤區(qū)：1.漏項(xiàng)；2.變錯(cuò)符號(hào)；3.分解不徹底；4.混淆因式分解與整式乘法的意義.二、運(yùn)用公式法：例2.把下列各式分解因式：完全平方式的特點(diǎn)：1．必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）；2．有兩個(gè)同號(hào)的平方項(xiàng)；3．有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的±2倍）.簡(jiǎn)記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.三、十字相乘法1.對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為l的二次三項(xiàng)式尋找滿足ab=q，a+b=p的a，b則適用于二次三項(xiàng)式.例3.因式分解：解：（1）可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3，而一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)（2）可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)，而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)（3）這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式.所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了.簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中.四、分組分解法例4.因式分解：把各項(xiàng)適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之間進(jìn)行．分組時(shí)要用到添括號(hào)：括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；括號(hào)前面是“-”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).分組的原則：分組后要能使因式分解繼續(xù)下去.1．分組后可以提公因式；2．分組后可以運(yùn)用公式.五、巧拆項(xiàng)在某些多項(xiàng)式的因式分解過(guò)程中，若將多項(xiàng)式的某一項(xiàng)（或某幾項(xiàng)）適當(dāng)拆成幾項(xiàng)的代數(shù)和，再用基本方法分解，會(huì)使問(wèn)題化難為易，迎刃而解.

例5.

因式分解：解（1）解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，把3拆成4+（-1），則（2）解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，也可以這樣分解因式：五、拆項(xiàng)法在某些多項(xiàng)式的因式分解過(guò)程中，若將多項(xiàng)式的某一項(xiàng)（或某幾項(xiàng)）適當(dāng)拆成幾項(xiàng)的代數(shù)和，再用基本方法分解，會(huì)使問(wèn)題化難為易，迎刃而解.例6.因式分解：解（1）解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，把3拆成4+（-1），則（2）解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，也可以這樣分解因式：

拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來(lái)可以繼續(xù)因式分解，要對(duì)結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣.最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測(cè)可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測(cè)可能的系數(shù).六、添項(xiàng)法在某些多項(xiàng)式的因式分解過(guò)程中，若在所給多項(xiàng)式中加、減相同的項(xiàng)，再用基本方法分解，也可使問(wèn)題化難為易.例6.因式分解：解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，七、配方法配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解.例7.因式分解：八、待定系數(shù)法例8因式分解：解：通過(guò)十字相乘法得到(2x–3y)(x+3y)設(shè)原式=(2x–3y+a)(x+3y+b)通過(guò)比較兩式同類項(xiàng)的系數(shù)可得：解得：，∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)九、雙十字相乘法雙十字相乘法適用于二次六項(xiàng)式的因式分解，待定系數(shù)法則沒有這個(gè)限制.例9.因式分解：∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)十、求根法設(shè)原多項(xiàng)式等于零，解出方程的解…，則原式就可以分解為(x–QUOTE)(x–)(x–)……十一、換元法在某些多項(xiàng)式的因式分解過(guò)程中，通過(guò)換元，可把形式復(fù)雜的多項(xiàng)式變形為形式簡(jiǎn)單、易于分解的多項(xiàng)式，從而使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，迅速獲解.例11.因式分解：

十二、展開組合法若一個(gè)多項(xiàng)式的某些項(xiàng)是積的形式，直接分解比較困難，則可展開重新組合，然后再用基本方法分解.例12.因式分解：解：（1）將多項(xiàng)式展開再重新組合，分組分解.

十三、巧用主元法對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式，若無(wú)法直接分解，可以其中一個(gè)字母為主元進(jìn)行變形整理.

例13.因式分解：解：（1）將多項(xiàng)式以y為主元進(jìn)行整理.（2）這是一個(gè)輪換對(duì)稱多項(xiàng)式（即以a替換b，b替換c，c替換a后，多項(xiàng)式不變），不妨以a為主元進(jìn)行整理.因式分解注意三個(gè)原則分解要徹底；2.最后結(jié)果只有小括號(hào)；3.最后結(jié)果中首項(xiàng)系數(shù)為正.分解因式技巧分解因式與整式乘法是互逆變形.分解因式技巧掌握=1\*GB3①等式左邊必須是多項(xiàng)式；=2\*GB3②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；=3\*GB3③每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù)；=4\*GB3④分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止；=5\*GB3⑤分解后要整理，相同的因式應(yīng)寫成冪的形式，不含有多重括號(hào).注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩方面考慮.因式分解的一般步驟：可歸納為一“提”、二“套”、三“分組”、四“十字”、五“查”一“提”：先看多項(xiàng)式的各項(xiàng)是否有公因式，若有必須先提出來(lái).提取公因式時(shí)，首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，要連同“-”號(hào)一起提出。二“套”：若多項(xiàng)式的各項(xiàng)無(wú)公因式(或已提出公因式)，第二步則看能不能用公式法三“分組”再考慮分組分解法四“十