連續(xù)小波變換

第二章連續(xù)小波變換2.1連續(xù)小波基函數(shù)小波，即小區(qū)域的波，是一種特殊的長度有限、平均值為零的波形。小波的可容許條件：小波特點(diǎn)：（一）“小”。即在時域都具有緊支集或近似緊支集。（二）正負(fù)交替的“波動性”。即直流分量為零。信號可分解為一系列由同一個母小波函數(shù)經(jīng)平移與尺度伸縮得到的小波函數(shù)的疊加。將小波母函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，就可以得到函數(shù)：小波函數(shù)基，它們是由同一母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)序列。伸縮和平移的含義1.尺度伸縮2.時間平移由于小波基函數(shù)在時間、頻率域都具有有限或近似有限的定義域，顯然，經(jīng)過伸縮平移后的函數(shù)在時、頻域仍是局部性的。小波基函數(shù)的窗口隨尺度因子的不同而伸縮，當(dāng)a逐漸增大時，基函數(shù)的時間窗口也逐漸增大，而其對應(yīng)的頻域窗口逐漸減小；反之亦然。Haar小波定量分析-時域假定小波母函數(shù)窗口寬度為△t，窗口中心為t0，則相應(yīng)可求出連續(xù)小波的窗口中心為at0+τ，窗口寬度為a·△t。即信號限制在時間窗內(nèi)：[at0+τ-△t·a/2,at0+τ+△t·a/2]定量分析-頻域同樣，對于小波母函數(shù)的頻域變換，其頻域窗口中心為ω0，窗口寬度為△ω，則相應(yīng)的連續(xù)小波的傅立葉變換為：其頻域窗口中心為：窗口寬度為：信號在頻域窗內(nèi)：從上面的時頻域的討論可見，連續(xù)小波的時頻域窗口中心及其寬度都隨a的變化而伸縮，如果我們稱△t·△ω為窗口函數(shù)的窗口面積，則：可見：連續(xù)小波基函數(shù)的窗口面積不隨參數(shù)的變化而變化。幾點(diǎn)結(jié)論：（1）尺度的倒數(shù)1/a在一定意義上對應(yīng)于頻率ω。即尺度越小，對應(yīng)的頻率越高。如果我們將尺度理解為時間窗口的話，則小尺度信號為短時間信號，大尺度信號為長時間信號。（2）在任何τ值上，小波的時頻窗口大小△t和△

ω都隨頻率ω（或a）的變化而變化。與短時傅立葉變換中的基不同。（3）在任何尺度a，時間點(diǎn)τ上，窗口面積保持不變，也可以說時間、尺度分辨率是相互制約的，不可能同時得到提高。（4）品質(zhì)因素不隨尺度變化而變化?！昂鉗性質(zhì)”：假設(shè)(t)的中心為t0，有效寬度為Dt；(

)的中心為0，有效寬度為D

；則

a,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2,b+at0+aDt/2]|中的性質(zhì)，相應(yīng)地從頻域上說

a,b(

)提取地是F(

)在窗口[

0/a-D

/(2a),0/a+D

/(2a)]中的性質(zhì)，因此對于小波來說時域窗口寬度和頻域窗口寬度的乘積始終為DtD

。圖2.1常用的基本小波

Haar小波2.Daubechies小波D4尺度函數(shù)與小波

D6尺度函數(shù)與小波

常用的基本小波

3、雙正交小波雙正交B樣條小波（5-3）、

（9-7）小波濾波器bior2.2,bior4.4（7-5）小波濾波器:常用于圖形學(xué)中。其中尺度函數(shù)是一個三次B樣條。常用的基本小波

4.Morlet小波Morlet小波不存在尺度函數(shù);快速衰減但非緊支撐.Morlet小波是Gabor小波的特例。Gabor小波Morlet小波常用的基本小波

5.高斯小波這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。

特性：指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；關(guān)于0軸反對稱。常用的基本小波

6.Marr小波（也叫墨西哥草帽小波）

這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和Dirac邊緣的提取。

特性：指數(shù)級衰減，非緊支撐；具有非常好的時間頻率局部化；關(guān)于0軸對稱。常用的基本小波

7.Meyer小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下：常用的基本小波

8.Shannon小波在時域，Shannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。常用的基本小波

9.Battle-Lemarie樣條小波

常用的基本小波

X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct0連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct0連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖X

(s,t)x(t)×Innerproduct連續(xù)小波---運(yùn)算過程示意圖Magnitude20Hz80Hz120Hz

正弦信號在位置500處有一間斷點(diǎn)，由于間斷點(diǎn)持續(xù)的時間很短，因此在波形圖中無法辨識出間斷點(diǎn)來。如圖2-5。連續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析圖2-5原始信號

對該信號進(jìn)行快速Fourier變換，得到信號的頻譜圖。觀察信號的頻譜，除了正弦信號的基頻之外，無任何額外的信息。如圖2-6。

連續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析圖2-6頻譜圖

選取db4小波，尺度a=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，對信號實(shí)施連續(xù)小波變換，得到小波系數(shù)分布圖。在空間位置500處間斷點(diǎn)的信息一目了然地顯現(xiàn)出來。在尺度為1處，在整個時間范圍（空間位置）內(nèi)分布的小波系數(shù)是正弦信號的基頻信息。而空間位置500處的間斷點(diǎn)在時間上是局部的，小波系數(shù)集中發(fā)生在間斷位置的各個尺度上，將間斷信息凸現(xiàn)了出來。如圖2-7。連續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析

傳統(tǒng)的快速Fourier變換對此卻無能為力，究其原因在于間斷分布的能量在整個信號中所占的比例太小，而Fourier變換并無時間局部化能力。連續(xù)小波變換用于斷點(diǎn)分析圖2-7連續(xù)小波變換原始信號FFTCWT樣本點(diǎn)n/個樣本點(diǎn)n/個頻率/Hz尺度時域幅值頻域幅值在整個時間范圍內(nèi)存在同一頻率成分根據(jù)能量最大時對應(yīng)的尺度，可以求出信號頻率應(yīng)用1---正弦信號原始信號FFT樣本點(diǎn)n/個樣本點(diǎn)n/個頻率/Hz尺度時域幅值頻域幅值不能體現(xiàn)頻率出現(xiàn)的時間尺度越大頻率越小，對應(yīng)20Hz信號CWT能體現(xiàn)頻率出現(xiàn)的時間應(yīng)用2---正弦組合信號尺度=40尺度=10尺度=3應(yīng)用2---正弦組合信號原始信號FFT樣本點(diǎn)n/個樣本點(diǎn)n/個頻率/Hz尺度時域幅值頻域幅值反映出頻率隨時間的變化CWT尺度大，則信號的頻率低尺度小，則信號的頻率高應(yīng)用3---調(diào)頻信號原始信號FFT樣本點(diǎn)n/個樣本點(diǎn)n/個頻率/Hz時域幅值頻域幅值CWT尺度檢測出脈沖信號并給出時間不能檢測出脈沖信號應(yīng)用4---脈沖信號原始信號FFTCWT樣本點(diǎn)n/個樣本點(diǎn)n/個樣本點(diǎn)n/個頻率/Hz樣本點(diǎn)n/個時域幅值頻域幅值尺度檢測出沖擊信號并給出時間能檢測出沖擊信號，但不能給出時間應(yīng)用5---衰減沖擊信號

用齒輪齒數(shù)為30，軸的轉(zhuǎn)速fr=1500/60=25Hz，因此齒輪的嚙合頻率fm

=fr×30=750Hz。試驗(yàn)用齒輪的一齒根部有一線切割裂紋，用來模擬齒輪的裂紋故障。實(shí)驗(yàn)中采樣頻率為20kHz。選取f0=2000Hz，a=1～2，這樣可知其中心頻率落在1000～2000Hz，得到的變換結(jié)果齒輪振動信號的頻譜圖齒輪振動信號應(yīng)用5---齒輪故障

小波分析對信號高頻成分的刻劃能力要優(yōu)于其它時頻分析方法，而且它在突變信號的檢測中具有很大的優(yōu)勢。采用連續(xù)小波變換可以檢測到齒輪振動信號的幅值突變點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對齒輪局部缺陷的診斷。結(jié)論：齒輪振動信號的尺度譜圖(a=1~2)齒輪振動信號有尺度譜圖(a=1.3)TTTt=4ms，a=1.3~1.5t=44ms，a=1.3~1.5信號能量突變點(diǎn)表示齒輪的嚙合發(fā)生了異常應(yīng)用5---齒輪故障實(shí)驗(yàn)：

軸系動態(tài)固有頻率：機(jī)組在運(yùn)行條件下轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)的固有頻率，主要考察機(jī)組運(yùn)行偏離共振點(diǎn)的程度。采用運(yùn)動質(zhì)量撞擊水輪機(jī)軸，產(chǎn)生瞬態(tài)沖擊形成沖擊激振，獲取振動信號進(jìn)行分析。應(yīng)用6---軸系動態(tài)固有頻率檢測前后差別不大，難以區(qū)分出軸系動態(tài)固有頻率應(yīng)用6---軸系動態(tài)固有頻率檢測方法：對振動信號非線性建模，得到殘差信號，進(jìn)行連續(xù)小波變換尺度a=3.7，時間t=1.9秒有一個能量相對集中點(diǎn)尺度a=3.7，時間t=1.0，4.0，5.8秒附近有三個連續(xù)能量集中點(diǎn)應(yīng)用6---軸系動態(tài)固有頻率檢測連續(xù)小波變換用于自相似性檢測

直觀上講，小波分解可通過計(jì)算信號和小波之間的自相似指數(shù)(小波系數(shù))得到。自相似指數(shù)大，則信號的自相似程度就高；反之亦然。若一個信號在不同的尺度上都相似于它本身，那么，其自相似指數(shù)在不同的尺度上也是相似的。

對自相似信號vonkoch進(jìn)行連續(xù)小波變換。由圖2-8可見，在小波分解后顯示的自相似指數(shù)圖中，在許多尺度上，小波系數(shù)看上去是相似的，另外，垂直軸線上顯示的線條就是由于信號的自相似性產(chǎn)生的。小波系數(shù)越大，則灰度越深。由于信號的自相似性也是信號的分形特征，采用小波分解可以很好地研究信號或圖像的分形特征。開始時，分形特征隨著時間的發(fā)展而變化，隨后又不隨時間的發(fā)展而發(fā)生變化。連續(xù)小波變換用于自相似性檢測

圖2-8自相似信號連續(xù)小波變換用于自相似性檢測

圖2-9自相似信號的連續(xù)小波變換2.4尺度和頻率之間的關(guān)系a為尺度；△為采樣間隔；Fc為小波的中心頻率；Fa為偽頻率。2.5應(yīng)用實(shí)例例已知一信號f(t)＝3sin(100pt)＋2sin(68pt)＋5cos(72pt)，且該信號混有白噪聲，對該信號進(jìn)行連續(xù)小波變換。小波函數(shù)取db3，尺度為1、1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下：

t＝0：0.01：1；

f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1，length(t))；

coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，￠db3￠，￠plot￠)；

title(￠對不同的尺度小波變換系數(shù)值￠)；

Ylabel(￠尺度￠)；

Xlabel(￠時間￠)；

程序輸出結(jié)果如圖所示。

圖1.11小波變換的系數(shù)用圖所示的灰度值圖表征，橫坐標(biāo)表示變換系數(shù)的系號，縱坐標(biāo)表示尺度，灰度顏色越深，表示系數(shù)的值越大。繪圖原理

1.需要用到的小波工具箱中的三個函數(shù)

cwt（），centfrq（），scal2frq（）

COEFS=cwt(S,SCALES,‘wname’)

說明：該函數(shù)能實(shí)現(xiàn)連續(xù)小波變換，其中S為輸入信號，SCALES為尺度，wname為小波名稱。

FREQ=centfrq(‘wname’)

說明：該函數(shù)能求出以wname命名的母小波的中心頻率。

F=scal2frq(A,‘wname’,DELTA)

說明：該函數(shù)能將尺度轉(zhuǎn)換為實(shí)際頻率，其中A為尺度，wname為小波名稱，DELTA為采樣周期。

注：這三個函數(shù)還有其它格式，具體可參閱matlab的幫助文檔。

2.尺度與頻率之間的關(guān)系

設(shè)a為尺度，fs為采樣頻率，F(xiàn)c為小波中心頻率，則a對應(yīng)的實(shí)際頻率Fa為

Fa＝Fc×fs/a

(1)

顯然，根據(jù)采樣定理，為使小波尺度圖的頻率范圍為(0,fs/2)，尺度范圍應(yīng)為(2*Fc,inf),其中inf表示為無窮大。在實(shí)際應(yīng)用中，只需取尺度足夠大即可。

3.尺度序列的確定

由式(1)可以看出，為使轉(zhuǎn)換后的頻率序列是一等差序列，尺度序列必須取為以下形式：

c/totalscal,...,c/(totalscal-1),c

(2)

其中，totalscal是對信號進(jìn)行小波變換時所用尺度序列的長度(通常需要預(yù)先設(shè)定好)，c為一常數(shù)。

下面講講c的求法。

根據(jù)式(1)容易看出，尺度c/totalscal所對應(yīng)的實(shí)際頻率應(yīng)為fs/2，于是可得

c=2×Fc×totalscal

(3)

將式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。

4.時頻圖的繪制

確定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系數(shù)coefs（系數(shù)是復(fù)數(shù)時要取模），然后用scal2frq將尺度序列轉(zhuǎn)換為實(shí)際頻率序列f，最后結(jié)合時間序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能畫出小波時頻圖。

注意：直接將尺度序列取為等差序列，例如1:1:64，將只能得到正確的尺度－時間－小波系數(shù)圖，而無法將其轉(zhuǎn)換為頻率－時間－小波系數(shù)圖。這是因?yàn)榇藭r的頻率間隔不為常數(shù)。

。

下面給出一實(shí)際例子來說明小波時頻圖的繪制。所取仿真信號是由頻率分別為100Hz和200Hz的兩個正弦分量所合成的信號。

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