新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2導(dǎo)數(shù)的運算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課件新人教A版選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2導(dǎo)數(shù)的運算5.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(數(shù)學(xué)運算)2．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并會利用公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(數(shù)學(xué)運算)3．能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問題．(數(shù)學(xué)運算)必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01

知識點1幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2提醒這6個函數(shù)都是冪函數(shù)f(x)＝xα，對它們的求導(dǎo)要熟練記住公式，就沒必要再利用定義求導(dǎo)了．知識點2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝_f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝_______f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝________0αxα-1cosx－sinx原函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝__________f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝__axlnaex

思考函數(shù)f(x)＝lnx與f(x)＝logax的求導(dǎo)有什么內(nèi)在聯(lián)系？

√√√ABC

[由公式易知ABC正確．]

√關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)類型2利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問題類型3導(dǎo)數(shù)公式的實際應(yīng)用

(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln5．

反思領(lǐng)悟

求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的基本方法(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)，但運算比較煩瑣；(2)用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡化運算過程，降低運算難度．解題時根據(jù)所給問題的特征，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進行調(diào)整，再選擇合適的求導(dǎo)公式．

(3)y＝sin(π－x)＝sinx，∴y′＝cosx．類型2利用導(dǎo)數(shù)公式解決切線問題【例2】

(源于人教B版教材)已知函數(shù)f(x)＝x2，而l是曲線y＝f(x)的切線，且l經(jīng)過點(2，3)．(1)判斷(2，3)是否是曲線y＝f(x)上的點；(2)求l的方程．[思路引導(dǎo)]利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，但要注意(2，3)點不在曲線上，應(yīng)另設(shè)切點求解．

[母題探究]1．將本例變?yōu)椤扒笄€f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”處的切線方程．[解]

由題意f′(x)＝－2x-3，所以曲線f(x)＝x-2在點(a，a-2)處的切線方程為y－a-2＝－2a-3·(x－a)，即y＝－2a-3x＋3a-2．2．將本例變?yōu)椤耙阎獃＝kx是曲線y＝lnx的一條切線”，試求k的值．反思領(lǐng)悟

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù)．(2)如果已知點不是切點，則應(yīng)先設(shè)出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解．

(2)求曲線y＝lnx的斜率等于4的切線方程．

類型3導(dǎo)數(shù)公式的實際應(yīng)用【例3】某城市近10年間房價年均上漲率為10%，房價p(單位：萬元)與時間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5個年頭，房價上漲的速度大約是多少(精確到0.01萬元/年)？(參考數(shù)據(jù)：1.15≈1.611，ln1.1≈0.095)[解]

由題意得p′(t)＝1.1tln1.1，所以p′(5)＝1.15ln1.1≈1.611×0.095≈0.15(萬元/年)，所以在第5個年頭，該市房價上漲的速度大約是0.15萬元/年．反思領(lǐng)悟

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，導(dǎo)數(shù)是瞬時變化率，所以求某個量的變化速度，就是求相關(guān)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)．[跟進訓(xùn)練]3．從時刻t＝0開始的t(s)內(nèi)，通過某導(dǎo)體的電量(單位：庫侖)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒時的電流強度(單位：安)．[解]

由q＝cost得q′＝－sint，所以q′(5)＝－sin5，q′(7)＝－sin7，即第5秒，第7秒時的電流強度分別是－sin5安，－sin7安．學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)031．已知f(x)＝x2，則f′(3)等于(

)A．0 B．2xC．6 D．9C

[因為f(x)＝x2，所以f′(x)＝2x，所以f′(3)＝6．]1234√

1234√

12343．曲線f(x)＝x3在點(1，f(1))處的切線的斜率為________．3

[因為f(x)＝x3，所以f′(x)＝3x2，所以在點(1，f(1))處的切線斜率為f′(1)＝3．]123434．函數(shù)y＝sinx＋ex在點(0，1)處的切線方程為________________．2x－y＋1＝0

[當(dāng)x＝0時，y＝sin0＋e0＝1，即點(0，1)在函數(shù)y＝sinx＋ex的曲線上．y＝sinx＋ex的導(dǎo)數(shù)y′＝cosx＋ex，在點(0，1)處的切線斜率為k＝cos0＋e0＝2，即在點(0，1)處的切線方程為2x－y＋1＝0．]12342x－y＋1＝0回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：(1)如何理解常見的幾個冪函數(shù)的求導(dǎo)？[提示]幾個常見函數(shù)的求導(dǎo)，也包括根式函數(shù)的求導(dǎo)，都可以統(tǒng)一為f(x)＝xα(α∈R，且a≠0)時，f′(x)＝αxα-1．(2)對于三角函數(shù)關(guān)系式，如何求導(dǎo)？[提示]對含有三角函數(shù)式的函數(shù)求導(dǎo)，往往需要利用三角恒等變換公式，對函數(shù)式進行化簡，使函數(shù)的種類減少，次數(shù)降低，結(jié)構(gòu)盡量簡單，從而便于求導(dǎo)．(3)求函數(shù)“在”或“過”某點處的切線方程時，有什么策略？遵循什么步驟？[提示]

①求解以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的步驟：?。蟪龊瘮?shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；ⅱ．求切線的斜率f′(x0)；ⅲ．寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．

閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野04導(dǎo)數(shù)法研究圓的面積與周長的關(guān)系我們知道，圓周長l是圓的半徑r的函數(shù)，即l＝2πr．你知道嗎？利用前面我們學(xué)習(xí)過的導(dǎo)數(shù)