§1級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義41復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是()

§1.級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)1.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)就是其中 為復(fù)數(shù)定義4.2對(duì)于復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)第

四

章 復(fù)

級(jí)

數(shù)若 存在，則稱級(jí)數(shù) 收斂，否則為發(fā)散據(jù)此定義，我們立即推出：若級(jí)數(shù) 收斂，則其次，由復(fù)數(shù)的性質(zhì)易于推得定理4.1

設(shè)其中 均為實(shí)數(shù)，則級(jí)數(shù) 收斂的充要條件為基數(shù)

與 均收斂，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)具有與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)完全相同的性質(zhì)，不再一一給出.定理4.2（柯西收斂準(zhǔn)則）級(jí)數(shù)條件是 ，使

及收斂的充要，均有收斂，則稱級(jí)數(shù)為絕定義4.3若級(jí)數(shù)對(duì)收斂.由關(guān)系式

及及定理4.1即可推得.定理4.3級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)

及絕對(duì)收斂的充要條件為：絕對(duì)收斂.再由定理4.2可知：絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)必為收斂級(jí)數(shù).例1.對(duì)于級(jí)數(shù)

當(dāng) 時(shí)，由于而當(dāng)時(shí)，，，于是收斂且有

， ，時(shí)，級(jí)數(shù) 亦為絕對(duì)收斂的因此級(jí)數(shù)顯然，當(dāng)級(jí)數(shù).在復(fù)平面點(diǎn)集上有2.復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義4.4設(shè)函數(shù)定義，則稱級(jí)數(shù)為定義在上的復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).定義4.5設(shè)函數(shù)在上有定義，如果，級(jí)數(shù)均收斂于，則稱級(jí)數(shù)收斂于，或者說級(jí)數(shù)和函數(shù)記作，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)定義4.6如果任一 ，均有則稱級(jí)數(shù) 在一致收斂于

.與定理4.2類似地我們有定理4.4

級(jí)數(shù)

在 上一致收斂的充要條件是： ，使當(dāng) 時(shí)，對(duì)任一及均有由此我們即得一種常用的一致收斂的判別法：定理4.5

（魏爾斯特拉斯 -判別法）設(shè) 在點(diǎn)集 上有定義為一收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若在上成立則級(jí)數(shù)

在 上一致收斂于 ，則

在上一致收斂.與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一樣，不難證明以下定理：定理4.6

設(shè) 在復(fù)平面點(diǎn)集上連續(xù)，級(jí)數(shù) 在

上一致收斂于 ，則 在上連續(xù).定理4.7

設(shè) 在簡(jiǎn)單曲線上連續(xù)，級(jí)數(shù)

在 上一致收斂于

，則

.對(duì)于復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)問題，我們考慮解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，首先，引入一個(gè)新概念.定義4.7設(shè)函數(shù)

在區(qū)域內(nèi)解析,如果,

則稱級(jí)數(shù)

在 內(nèi)閉一致收斂級(jí)數(shù)

在 內(nèi)任一有界閉區(qū)域上一致收斂于函數(shù)于

.由此,我們有下列重要的魏爾斯特拉斯定理.定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)解析,級(jí)在 內(nèi)中閉一致收斂于函數(shù)

,數(shù)則在 內(nèi)解析,

且 在內(nèi)成立證明: ,取作一條簡(jiǎn)單閉曲線理,使得 .在 內(nèi)任,根據(jù)定理 及柯西定推得.在內(nèi) 解析,再由因而由莫勒拉定理知的任意性即得

在內(nèi)解析。,由已知條件得在其次,設(shè) 的邊界上一致收斂于,從而,根據(jù)定理即于是定理結(jié)論成立.在 上一致收斂于,我們有作業(yè):第178頁(yè)1.§2冪級(jí)數(shù)是復(fù)變量,是復(fù)常數(shù).定義 形如的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù),其中特別地,當(dāng) 時(shí),級(jí)數(shù)就變?yōu)閮缂?jí)數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中有著特殊重要意義,它不僅是研究解析函數(shù)的工具,而且在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)用也比較方便.我們首先研究級(jí)數(shù) 的收斂性.顯然,當(dāng) 時(shí),級(jí)數(shù) 總是收斂的.當(dāng)定理時(shí),則有如果冪級(jí)數(shù)

在意滿足的 ,級(jí)數(shù)收斂,則對(duì)任絕對(duì)收斂.若級(jí)在 發(fā)散,則對(duì)任意滿足的

,數(shù)級(jí)數(shù)證明:發(fā)散.級(jí)數(shù)

在 收斂.從而,使得其次,級(jí)數(shù) 可寫成,因此由于級(jí)數(shù) 收斂,故級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂.根據(jù)上述結(jié)論用反證法即可推得定理第二部分成立,于是定理得證.由此,我們可知存在實(shí)數(shù)

,當(dāng) 時(shí)絕對(duì)收斂,當(dāng),使得級(jí)數(shù)時(shí)發(fā)散.稱為收斂稱為級(jí)數(shù) 的收斂半徑,圓,當(dāng) 時(shí),我們說的收斂半徑是

,收斂圓為復(fù)平面.當(dāng)時(shí),我們說 的收斂半徑是 ,收斂圓只有一點(diǎn)有收斂圓均指收斂半徑大于,以下說冪級(jí)數(shù)的情況.通常,冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑可用以下公式求得:定理

(柯西阿達(dá)瑪公式).若以下條件之一成立.定理 (柯西 阿達(dá)瑪 公式).若以下條件之一成立.則當(dāng) 時(shí), 的收斂半徑

,當(dāng)

, 時(shí),

.下面我們證明冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析.定理 設(shè)冪級(jí)數(shù) 的收斂圓為

.則它的和函數(shù)在 內(nèi)解析,且證明:事實(shí)上,對(duì),則在 上由定理上絕對(duì)收斂,從而根據(jù)判別知級(jí)數(shù)

在法知

在 上一致收斂,故中內(nèi)閉一致收斂,在 內(nèi),在的和函數(shù)解析且 成立,由 的任意性即知定理成立.但冪級(jí)數(shù)在其收斂圓上可能收斂,也可能發(fā)散.例 級(jí)數(shù)的收斂半徑為由于在收斂圓 上,此級(jí)數(shù)一般不趨于 ,因而在 上級(jí)數(shù)處處發(fā)散,但其和函數(shù)卻除

處處解析.的收斂半徑為例 級(jí)數(shù)在收斂圓上, 而級(jí)數(shù)收斂,故此技術(shù)在收斂圓上也處處收斂.作業(yè):

第178頁(yè)

2

(1)

(3) 3

(2)§3解析函數(shù)的泰勒展式一．定理設(shè)函數(shù)(泰勒在圓展式)內(nèi)解析,則在

內(nèi)證明:使,以 為心作一圓 ,且,(如圖 )則由柯西公式而當(dāng)時(shí),,因此有由于 右端級(jí)數(shù)當(dāng) 時(shí)是一致收斂的,把代入 后逐項(xiàng)積分得其中由

為 內(nèi)任意一點(diǎn)知定理成立.與 我們就可推出:結(jié)合定理推論 冪級(jí)數(shù)是它的和函數(shù) 在收斂圓內(nèi)的泰勒展式.即推論 函數(shù) 在一點(diǎn)解析的充要條件是:在 的某一鄰域內(nèi)有泰勒展式

.與實(shí)變數(shù)的情形相同,我們不難求得某些初等函數(shù)的泰勒展式.二．

求泰勒展式的方法1．求Taylor系數(shù)

=如求 在z=0的展開式=

=1

==,==1+z+

+

+2.利用級(jí)數(shù)的運(yùn)算。如如在展開=3．逐項(xiàng)微分法如：逐項(xiàng)積分法如：求

在 的展開式。（主支）

（其中取K=0分支，即分支）又一般地

=ln(1+z)+5．級(jí)數(shù)代入級(jí)數(shù)法如作業(yè):

第178頁(yè)

5(1)

(3) 7(1)

(3)§4.解析函數(shù)的零點(diǎn)及唯一性定義且設(shè)函數(shù)

在，則稱為的鄰域 內(nèi)解析的零點(diǎn).如果

在內(nèi)的泰勒展式為：則可能有下列兩種情形，此時(shí)在

內(nèi)，使得不全為 ，則存在正整數(shù)且對(duì)一切 均有，此時(shí)我們說

為的單零點(diǎn)，的 階零點(diǎn)，時(shí)稱

為時(shí)稱

為的 重零點(diǎn).設(shè) 為解析函數(shù) 的一個(gè) 階零點(diǎn)，則在

的某個(gè)鄰域內(nèi)其中

在 內(nèi)解析.由

, ,使得當(dāng)時(shí), 于是 ,此即說明存在 的一個(gè)鄰域使得在此鄰域內(nèi)

為 的唯一零點(diǎn).根據(jù)上述討論,我們有,則或者定理 設(shè)函數(shù)

在 解析且在的一個(gè)鄰域內(nèi)恒等于,或者存在 的一個(gè)鄰域,在其中 是的 唯一零點(diǎn).定理 的后一個(gè)性質(zhì)稱為解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性.關(guān)于解析函數(shù)的唯一性問題,我們先證明下述引理

:引理

設(shè)

在 區(qū)域內(nèi)解析,如果

在

中的一個(gè)圓內(nèi)恒等于 ,則

在 內(nèi)恒等于

.證明:設(shè)在 內(nèi)一個(gè)以為心的圓內(nèi),對(duì)于 的任意一點(diǎn),用在內(nèi)的曲線連接

及 ,設(shè)取,并在上依次取使.且它的任意相鄰兩點(diǎn)間距離小于,再作每一點(diǎn)的 鄰域顯然時(shí),由于在內(nèi)恒等于,而因而,,于是

在 內(nèi)的泰勒展式的系數(shù)亦全為

,從而在內(nèi)恒等于 ,一般地,若已證明在內(nèi)恒等于 ,就可推得,由為內(nèi) 外任意一點(diǎn)即知引理成立.就可得到關(guān)于零點(diǎn)的一結(jié)合引理 及定理個(gè)重要結(jié)果:設(shè) 為區(qū)域 內(nèi)不恒等于 的解析定理函數(shù) ,則對(duì)于的每一零點(diǎn) 均存在一個(gè)鄰域,使得

為

在 內(nèi)唯一零點(diǎn)……此定理是定理 的推廣.于是,解析函數(shù)的唯一性定理可敘述如下:定理析,設(shè)函數(shù)

及 在區(qū)域?yàn)?內(nèi)互不相同的點(diǎn),且內(nèi)解.如果內(nèi),.,則在證明:若在內(nèi)內(nèi),亦即在.由已知條件可得,,其次,由于

.為 在此鄰域中產(chǎn)生矛盾,于是定理因而

在 連續(xù),于是的唯一零點(diǎn),與定理結(jié)論成立.在數(shù)學(xué)分析中我們知道,對(duì)于一般有導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的一元或多元函數(shù),已知它在定義域內(nèi)某一部分的函數(shù)值還完全不能斷定它在其它部分的函數(shù)值.而從定理

函數(shù)來講,只須知道它在區(qū)域知道,對(duì)于解析內(nèi)一個(gè)極限點(diǎn)在 內(nèi)的點(diǎn)到上的函數(shù)值就可完全確定它在內(nèi)的所有函數(shù)值,這是解析函數(shù)不同于實(shí)變數(shù)可微函數(shù)的一個(gè)重要特性.例5

在復(fù)平面上解析,在實(shí)軸上 等于的函數(shù)只能是

.證明:設(shè)函數(shù) 在復(fù)平面上解析且在實(shí)軸上等于 ,則在復(fù)平面上解析的函數(shù),因而由定理 知在復(fù)平即

.解析的函數(shù) 滿足下列條在實(shí)軸上恒等于面上,例6是否現(xiàn)在件:其中解:由于

及根據(jù)定理

知 是在解析滿足的唯一函數(shù),但此數(shù)不滿足,因而在 不存在滿足 條件的解析函數(shù)…由條件 ，由定理知 是在 解析并滿足 條件的唯一函數(shù).定理4.16(最大模原理).

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析，則除非在D內(nèi)在D內(nèi)任何點(diǎn)都不能達(dá)到最大值，恒等于常數(shù)。證明：若用M表 在D內(nèi)的最小上界，則必0<M< ,假定在D內(nèi)有一點(diǎn) ,函數(shù)

的模在 達(dá)到它的最大值,即 =M.

應(yīng)用平均值定理于以 為中心,并且連同它的周界,一起全含于區(qū)域D內(nèi)的一個(gè)圓

,就得到

=由此推出由于,而=M,從上式可看出::有.就得到=由此推出由于,而=M,從上式可看出::有.事實(shí)上,如。果對(duì)于某一個(gè)值 ,有那么根據(jù) 的連續(xù)性，在某個(gè)充分小的區(qū)間時(shí)在這個(gè)區(qū)間之外總是內(nèi)成立。同再由<M矛（4.15）得M=盾