2022年廣東省深圳市南山區(qū)三月份中考數(shù)學(xué)模擬試題（含答案解析）

2022年廣東省深圳市南山區(qū)三月份中考數(shù)學(xué)模擬試題

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.若一個正方形的面積是28,則它的邊長為（）

A.y/28B.2出C.-277D.不

2.下列事件是必然事件的是（）

A.通常溫度降到OC以下，純凈的水結(jié)冰

B.隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是奇數(shù)

C.汽車?yán)鄯e行駛10000km,從未出現(xiàn)故障

D.購買1張彩票，中獎

3.一副直角三角板如圖放置，點C在的延長線上，ABHCF,ZF=AACB=90°,則

A.10°B.15°C.18°D.30°

4.一種商品每件成本為80元，原來按成本增加30%定出價格.現(xiàn)由于庫存積壓，按

原價的85%出售，則每件商品的盈虧情況為（）

A.盈利8.4元B.盈利9.2元C.虧損8.4元D.虧損9.2元

5.線段A3是直線y=5x+l的一部分，點A的坐標(biāo)為（0,1）,點B的縱坐標(biāo)是6,曲

線BC是雙曲線的一部分，點C的橫坐標(biāo)是6.由點C開始，不斷重復(fù)曲線

X

“ATBTC，，形成一組波浪線.已知點P（18,m）,Q（22,n）均在該組波浪線上，

分別過點P,。向x軸作垂線段，垂足分別為。和E,則四邊形尸。E。的面積是

（）

A.6B.5C.9D.12

6.普通火車從綿陽至成都?xì)v時大約2小時，成綿城際快車開通后，時間大大縮短至幾

十分鐘，現(xiàn)假定普通火車與城際快車兩列對開的火車于同一時刻發(fā)車，其中普通火車

由成都至綿陽，城際快車由綿陽至成都，這兩車在途中相遇之后，各自用了80分鐘和

20分鐘到達(dá)自己的終點綿陽、成都，則城際快車的平均速度是普通火車平均速度的

（）倍.

A.2B.2.5C.3D.4

7.勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.英國佩里加(H.Perigal,

1801-1898)用“水車翼輪法”(圖1)證明了勾股定理.該證法是用線段QX,ST,

將正方形分割成四個全等的四邊形，再將這四個四邊形和正方形ACYZ拼成大正

3

方形AEF8(圖2).若AO=JB,tan/AON=1,則正方形MNUV的周長為

8.已知拋物線y=/+(2a-1)x-3,當(dāng)-1勺區(qū)3時，函數(shù)最大值為1,則〃值為

()

A.—B.—C.—或—D.-1或—

23233

9.“數(shù)形結(jié)合”思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重大思想.通過巧妙運用幾何代數(shù)的結(jié)合性有時

能將某些難題迎刃而解.已知mb,c,d均為實數(shù)，*+62=/+/=應(yīng)，則

號42d2+j2d2"值為，）

B近

A.72C.1D.2

2

10.如圖，AB是。O的直徑，AB=10,P是半徑OA上的一動點，PCLAB交。。于

點C,在半徑OB上取點Q,使得OQ=CP,DQLAB交。。于點D,點C,D位于

AB兩側(cè)，連接CD交AB于點E點P從點A出發(fā)沿AO向終點O運動，在整個運動

過程中，△CEP與ADEQ的面積和的變化情況是()

C.先變大后變小D.先變小后變大

二、填空題

11.已知NA=100°,則NA的補角等于°.

12.有五張正面分別標(biāo)有數(shù)字-2,-1,0,1,2的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其

余全部相同.現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為。，

將該卡片放回洗勻后從中再任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為〃，則而為非負(fù)數(shù)的概

率為?

13.若非零實a,b滿足a2=ab-上,即可得的值為___.

4a

14.如圖，在半徑為5的。O中，弦AB=8,P是弦AB所對的優(yōu)弧上的動點，連接

AP,過點A作AP的垂線交射線PB于點C,當(dāng)APAB是等腰三角形時,線段BC的長

為.

15.如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=120°,交8c的延長線于點E.連結(jié)

AE交8。于點F,交CD于點、G.FHLCD于點、H,連結(jié)CF.則cos/CF”的值為

三、解答題

16.先化簡，再求值：(x+1)(x-1)+(2-x)x,其中x=——

2

17.為弘揚中華民族傳統(tǒng)文化，某市舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”，比賽項目為:

A.唐詩；B.宋詞；C.論語；D.三字經(jīng).比賽形式分“單人組”和“雙人組”.

(1)小華參加“單人組”，他從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“論語”的概率是多

少？

(2)小明和小紅組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則是：同一小組的兩名隊員

的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次.則恰好小明抽中“唐詩’’且小紅抽中

“宋詞”的概率是多少？小明和小紅都沒有抽到“三字經(jīng)”的概率是多少？請用畫樹狀圖

或列表的方法進(jìn)行說明.

18.如圖，某天然氣公司的主輸氣管道途經(jīng)4小區(qū)，繼續(xù)沿A小區(qū)的北偏東60。方向

往前鋪設(shè)，測繪員在A處測得另一個需要安裝天然氣的M小區(qū)位于北偏東30。方向，

測繪員從4處出發(fā)，沿主輸氣管道步行到達(dá)C處，此時測得M小區(qū)位于北偏西60。方

向.

(1)求ZAMC與N4CM度數(shù).

(2)現(xiàn)要在主輸氣管道AC上選擇一個支管道連接點N,使從N處到M小區(qū)鋪設(shè)的管道

最短，且AC=2000米，求A小區(qū)與支管道連接點N的距離.

19.如圖，△ABC內(nèi)接于。0(NACB>90。)，連接。4,OC.記NBAC=a,ZBCO

=B，/BAO=y.

(1)探究a與夕之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)設(shè)OC與A8交于點￡>,。。半徑為1,

①若￡=>+45。，AD=2OD,求由線段2。，CD,弧8c圍成的圖形面積S.

②若a+2y=90。，設(shè)sina=Z,用含上的代數(shù)式表示線段0。的長.

20.小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時間都相同.第一天

步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘.第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘.已知騎自行

車的速度是步行速度的1.5倍.

(1)求小李步行的速度和騎自行車的速度；

(2)有一天小李騎自行車出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障.小李立即跑步去上

班(耽誤時間忽略不計)為了至少提前5分鐘到達(dá).則跑步的速度至少為多少千米每

小時？

21.在中，NBAD=a,以點。為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧，分別交邊

A。、C￡＞于點M、N,再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于

點K,作射線。K,交對角線AC于點G,交射線A8于點E,將線段繞點E順時針

旋轉(zhuǎn)ga得線段EP.

(1)如圖1,當(dāng)a=12()。時，連接AP,線段AP和線段AC的數(shù)量關(guān)系為；

(2)如圖2,當(dāng)a=90。時，過點B作于點F,連接AF,請求出/項C的度

數(shù)，以及4片AB,A。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)當(dāng)a=120。時，連接AP,若BE=；AB,請直接寫出線段AP與線段DG的比值.

22.已知：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(4,0),點B在y軸的正半

3

軸上，且tanNOA5=：，點P是線段A3上的一個動點，以點尸為圓心，出為半徑作

(DP交X軸于C點，記過點A、B、。的拋物線頂點為。點，設(shè)B4=5m.

圖1圖2

(1)求線段0A和AB的長.

(2)①求用含字母m的代數(shù)式來表示點C的坐標(biāo).

②當(dāng)點C在x軸的正半軸上，且OC雨=8：15時，求拋物線的解析式.

(3)如圖2,過點。作。E〃x軸交y軸于點E,作直線8交y軸于點尸，當(dāng)。尸與

△OEF其中一邊所在的直線相切時，求所有滿足條件的m的值.

參考答案：

1.B

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：設(shè)正方形的邊長為d則有：/=28,

a=2汨;

故選B.

【點睛】

本題主要考查二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵.

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)隨機事件的概念可進(jìn)行排除選項.

【詳解】

解：A、通常溫度降到以下，純凈的水結(jié)冰，屬于必然事件，故符合題意；

B、隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是奇數(shù)，屬于隨機事件，故不符合題意;

C、汽車?yán)鄯e行駛10000km,從未出現(xiàn)故障，屬于隨機事件，故不符合題意；

D、購買1張彩票，中獎，屬于隨機事件，故不符合題意；

故選A.

【點睛】

本題主要考查隨機事件，熟練掌握隨機事件的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

3.B

【解析】

【分析】

直接利用三角板的特點，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出/48力=45。，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

解：由題意可得：ZEDF=45°,ZABC=30°,

'：AB//CF,

答案第1頁，共27頁

，NABD=/EDF=45。,

/.ZDBC=45o-30o=15°.

故選：B.

【點睛】

本題考查的是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)“售價-成本=利潤”、"售價=原價x85%”列出方程求解即可.

【詳解】

解：設(shè)該商品每件盈利x元，

則由題意得：80x(1+30%)x85%=80+x,

88.4=80+%,

x=8.4.

故選：A.

【點睛】

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，掌握“進(jìn)價”“標(biāo)價”“賣價"及‘利潤'間關(guān)系是解決本題的關(guān)

鍵.

5.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意和題目中的函數(shù)解析式，可以先求得點8、C的坐標(biāo)，再根據(jù)題意，可以得到點

戶和。的坐標(biāo)，從而可以計算出四邊形POEQ的面積.

【詳解】

解：???線段AB是直線y=5x+l的一部分，點8的縱坐標(biāo)是6,

.*.6=5x+l,

解得x=l,

.??點B的坐標(biāo)為(1,6),

k

???曲線8c是雙曲線y=的一部分，點B的坐標(biāo)為(1,6),

答案第2頁，共27頁

解得％=6,

；?雙曲線y=2,

X

???點C在該雙曲線上，點C的橫坐標(biāo)是6,

y=6+6=1,

即點C的坐標(biāo)為(6,1),

???點P(18,m),。(22,〃)均在該組波浪線上，18?6=3,22+6=3……4,

,63

/.m=\,n=—=~，

42

：.PD=\,QE=|,D￡=22-18=4,

二四邊形POEQ的面積是：("3x4

-J

2

本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出加、〃的值.

6.A

【解析】

【分析】

設(shè)普通火車的平均速度為x千米/小時，城際快車的平均速度為y千米〃J、時，則兩地間的距

離為2x千米，利用路程=速度x時間，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程，解之即可得出

y=2x,進(jìn)而可得出城際快車的平均速度是普通火車平均速度的2倍.

【詳解】

解：設(shè)普通火車的平均速度為x千米〃J、時，城際快車的平均速度為y千米/小時，則兩地間

的距離為2x千米，

依題意得跳x+1?〉=2x,

答案第3頁，共27頁

解得：y=2x,

,2=2.

X

故選：A.

【點睛】

本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

【分析】

延長QN交AE于H.解直角三角形求出OH,HN,0M即可解決問題.

【詳解】

延長QN交4E于”.

由題意AO=A4=￡>E=屈，AE=2回,

AH3

在Rt&40”中，?.?tanNAO"=—二一，

A02

22

A0H=7OA+AH=—,DH=AH=AD=—f

22

?:△NHDs^HAO,

?DNHNPH

OA-AH-OH*

3

ADN=1,HN=一，

2

：.ON=OH-HN=5f

答案第4頁，共27頁

?；OM=DN=1,

：.MN=5-1=4,

二正方形MNUV的周長為16,

故選c.

【點睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.

8.D

【解析】

【分析】

根據(jù)頂點的位置分兩種情況討論即可.

【詳解】

解：-.-y=x2+(2?-l)x-3,

.??圖象開口向上，對稱軸為直線》=-幺9，

V-l<r<3,

/2?-1即〃..-(，％=3時有最大值1,

22

9+(2tz—1)x3—3=1,

1

/.ci=—,

3

當(dāng)-智..1時，即q,-；，X=—1時有最大值1,

.?.l+(2d-l)x(-l)-3=1,

a=-1,

-1

:.a=-\或一§，

故選：D.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值，分類討論是解題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

【分析】

答案第5頁，共27頁

由題意易得+"*+出雙=("+")，然后根據(jù)標(biāo)+/>2=/+/=應(yīng)可構(gòu)兩個直角三角

22

形，且同一斜邊，進(jìn)而問題可求解.

【詳解】

解：由42+^2=/+#=&可得如圖所示:

過點及作于點。尸J_8C于點凡令A(yù)B=a,BC=b、AD=c,CD=d,

?a2c2+b2d2,.a2c2+b2d2+2abcd(ac+bd)2

??-------------------Fabed=-----------------=---------，

222

■:AD>DE,CD>DF,

???當(dāng)OCJ_8C時，S.AB=BC=CD=AD,的值最大;

:?a=c=b=d=',

...aP+人4的最大值為91D_=2;

22

故選D.

【點睛】

本題主要考查完全平方公式、勾股定理及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想

進(jìn)行分析問題.

10.B

【解析】

【分析】

連接OC,OD,PD,CQ.設(shè)PC=x,OP=y,OF=a,利用分割法求出陰影部分的面積，

再求出a=y-x即可判斷；

【詳解】

連接OC,OD,PD,CQ.設(shè)PC=x,OP=y,OF=a,

答案第6頁，共27頁

D

VPC1AB,QD1AB,

???NCPO=NOQD=90。，

???PC=OQ,OC=OD,

ARtAOPC^RtADQO,

???OP=DQ=y,

S|9J=S四邊形PCQD—S^PFD—S^CFQ

=；(x+y)2-(y-a)y--(x+a)x

=xy+ga(y-x),

,:PC〃DQ,

*_P___C_____P___F__

^~DQ~~FQf

.x_y-a

??—―，

ya+x

/.a=y-x,

22

.,.Sm=xy+y(y-x)(y-x)(x+y)=y

故選:B.

【點睛】

本題考查勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用分割法求面積，屬于中考選擇題中的

壓軸題.

11.80

【解析】

【分析】

根據(jù)補角的概念計算即可.

【詳解】

V乙4=100°,

答案第7頁，共27頁

，NA的補角=180。-100°=80°,

故答案為：80

【點睛】

本題考查補角的概念，關(guān)鍵在于牢記基礎(chǔ)知識.

12.—

25

【解析】

【分析】

求出必為負(fù)數(shù)的事件個數(shù)，進(jìn)而得出浦為非負(fù)數(shù)的事件個數(shù)，然后求解即可.

【詳解】

解：兩次取卡片共有5x5=25種可能的事件；

兩次取得卡片數(shù)字乘積為負(fù)數(shù)的事件為

(—2,2),(7,2),(1,—2),(2,—2),(1,—1),(2,T)等8種可能的事件

...而為非負(fù)數(shù)共有25-8=17種

17

：.ab為非負(fù)數(shù)的概率為巳

17

故答案為：—.

【點睛】

本題考查了列舉法求隨機事件的概率.解題的關(guān)鍵在于求出事件的個數(shù).

13.-2

【解析】

【分析】

將已知等式變形可得為=仇代入所求式子即可求解.

【詳解】

2

2,b

a2—ab-----

4

4a2-4ab+b2=0

:.(2a-b)2=0

:.2a-b-0

2a=b

答案第8頁，共27頁

b2a.

：.——=------=-2

aa

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查代數(shù)式求值，涉及完全平方公式的運用，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

14.8,些出

153

【解析】

【分析】

分3種情況分析：(1)當(dāng)AB=AP時，如圖(1),作OHJ_AB于點H,延長A0交PB于

3PC24

點G；sinZOAH=sinZPAG,-=----,PG=—,ZAOH=ZP,cosZAOH=cosZP,

585

ApCH

—=—,BC=PC—2PG；(2)當(dāng)PA=PB時，如圖(2),延長PO交AB于點K,類似

PCAO

ApOK

(1)可知0K=3,PK=8,ZAPC=ZAOK,cosZAPC=cosZAOK,一=—,

PCAO

==BC=PC-PB=—；(3)當(dāng)BA=BP時，如圖(3),NONCAB,

333

BC=AB.

【詳解】

解：(1)當(dāng)AB=AP時，如圖(1),作OHLAB于點H,延長AO交PB于點G；

VAB=AP,

??AP=AB

VA0過圓心,

???AG_LPB,

???PG=BG,ZOAH=ZPAG,

V0H1AB,

.\ZAOH=ZBOH,AH=BH=4,

VZAOB=2ZP,

AZAOH=ZP,

VOA=5,AH=4,

/.0H=3,

VZOAH=ZPAG,

答案第9頁，共27頁

sinZOAH=sinZPAG,

.3PG

’.—=，，，

58

APG=—,

5

VZAOH=ZP,

ApCH

/.cosZAOH=cosZP,----=------

PCAO

PC=-AP=—

33

BC=PC-2PG哼*56

I?

(2)當(dāng)PA=PB時，如圖(2),延長PO交AB于點K,類似(1)可知0K=3,PK=8,

ZAPC=ZAOK,

PB=PA=>JAK2+PK2=4后,

ZAPC=ZAOK,cosZAPC=cosZAOK,

.APOK

??----=-----,

PCAO

：.PC=-AP=^^~,

33

.?.BC=PC-PB=—；

3

(3)當(dāng)BA=BP時,如圖(3),

VBA=BP,

AZP=ZBAP,

VZP+ZC=90°,ZCAB+ZBAP=90°,

AZC=ZCAB,

ABC=AB=8.

故答案為8c=8或秒或延.

153

答案第10頁，共27頁

K

3'B

P

圖(1)圖(2)圖(3)

【點睛】

本題考查等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形.

15.叵

7

【解析】

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可得帖=4),AB//CD,AD//CB,則有NCDE=30。，設(shè)

則有然后根據(jù)勾股定理及三角函數(shù)解答即可.

AD=CD=BC=m,CE=g%=f,

【詳解】

解：??,四邊形ABC。是菱形,

:.AB=AD,ABIICD,AD//CB,

T^AD=CD=BC=m,設(shè)CE=f,

VZBAD=120°,

/.ZABC=60°,

???ZDCE=60°,

VDE1BC,

AZC￡>￡=30°,

/.CE=—m=t

2

RtACDE中，CD=2t=AD,DE=y/3t,

RlABDE中，BD=2DE=2?,

ADUBE,

答案第11頁，共27頁

.DFAFAD_2

一~BF~~EF~~BE~39

.-.￡>F=-BD=-r,

55

在RtADF"中，F(xiàn)H=-DF=^-t,DH=《DF?-FH?=3,

255

4

二CH=CD-DH=-t,

：.在RtACFH中，CF=-]FH2+CH2，

2x/3

.…/3_FH~fV2T

.?cos/CFH-=—j=-=.

FC近7

~5~

故答案為：叵.

7

【點睛】

此題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理及三角函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答.

16.2x-l,3&-1

【解析】

【分析】

先利用平方差公式及整式的乘法可進(jìn)行化簡,然后再代值求解即可.

【詳解】

解：原式=x2—i+2x-d=2x-l；

把》=逑代入得：原式=2x逑-1=3點-1.

22

【點睛】

本題主要考查整式的化簡求值及二次根式的運算，熟練掌握整式的混合運算及二次根式的

運算是解題的關(guān)鍵.

17.(2),；(2)見解析.

4

【解析】

【分析】

(1)直接利用概率公式求解即可；(2)先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找

出恰好小明抽中“唐詩”且小紅抽中“宋詞”的結(jié)果數(shù)及小明和小紅都沒有抽到“三字經(jīng)''的結(jié)

果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

答案第12頁，共27頁

【詳解】

解：(1)他從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“三字經(jīng)”的概率==.

4

(2)畫樹狀圖為：

ABC?

八八不

D

BCDAcABDABC

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)；

所以恰好小明抽中“唐詩”且小紅抽中“宋詞”的概率=上

12

小明和小紅都沒有抽至廣三字經(jīng)”的概率=&=5

122

【點睛】

本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n,再

從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.

18.(1)90°,60°；

(2)1500米.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)方向角可以證得N4WC與NACM度數(shù)；

(2)過M作MNLAC交于N點，即MN最短，根據(jù)含30度角的直角三角形即可求得AM

的長，進(jìn)而求得AN的長.

(1)

解：如圖，

ZMAC=60°-30°=30°,ZACM=180°-60°-60°=60°,

二ZAMC=180°-30°-60°=90°,

答案第13頁，共27頁

與/ACM度數(shù)分別為90。，60°；

(2)

解：作MNLAC于點N,線段MN的長度就是從N處到用小區(qū)鋪設(shè)的管道的最短距離，

在/?/△AMC中，

VZAMC=90°,NMAC=30°,AC=2000,

向向

：.AM=ACxcosZMAC=-AC=2000x4=lOOOQ(米)，

22

在RdAMN中，

■:NANM=90°,

：.AN=AMxcosZMAC=1000&x?=1500(米).

22

答：AN的長為1500米.

【點睛】

本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確作出高線，證明AAMC是直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

19.(l)a+p=90°,理由見解析;

⑵①(2)-^.

122k+1

【解析】

【分析】

(1)連接0。利用圓周角定理可得N8OC=2a,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角

和定理即可得出結(jié)論；

(2)①利用(1)的結(jié)論與已知條件可得a+y=45。，則AOAC為等腰直角三角形，利用直

角三角形的邊角關(guān)系定理可得/8AO=30。，過點。作OELO8于點E,利用等腰三角形的

性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理可求線段。E的長，利用AOBC的面積減去扇形。CB的

面積即可求得結(jié)論；

②延長AO,交圓。于點G,連接BG,利用圓周角定理可得/BOG=2%利于等腰三角形

的性質(zhì)可得NBOG=NO8C,進(jìn)而得至IJ8C〃AG；過點O作ORLBC于點兄利用等腰三角

形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系定理可求CF=&,則BC=2A,利用平行線的性質(zhì)可得

△DAOs叢DBC,由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出比例式，設(shè)。。=達(dá)則C￡>=OC-O￡>=1-

x,代入比例式，解方程即可得出結(jié)論.

(1)

答案第14頁，共27頁

解：。與￡之間的數(shù)量關(guān)系為：1+夕=90。.理由:

連接。8,如圖，

???ZB0C=2a.

?：OC=OB,

：./OCB=/OBC邛.

：.ZBOC+ZOCB+ZOBC=180°,

.,.2a+2>180°.

：.a+/3=90°.

(2)

解：①??/=>+45。，a+夕=90。，

???90°-a=y+45。.

???1+尸45。.

*//BAC=a,NBAO=y,

，ZOAC=ZBAC^-ZBAO=45°.

VOA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=45°,

：.ZAOC=90°.

9：AD=2OD,

../run0D1

.?sin/OAD=-----=—.

AD2

/.ZOAD=30°.

AZBAC=15°.

：.ZBOC=2ZBAC=30°.

答案第15頁，共27頁

9

\OA=ODf

：.ZOBA=ZBAO=30°.

：.ZDOB=ZDBO=30°,

：.DO=DB.

過點。作。于點E,如圖,

則OE=EB=^OB=^.

DF

9：tanZDOB=——,

OE

：.DE=^^.

6

/.SADOB=g%OB>DE=—.

212

二S=S扇形OCB-SADBO=IzJL.

12

②：a+2y=90。，a+4=90。，

:邛=2y.

延長AO,交圓。于點G,連接8G,如圖,

答案第16頁，共27頁

?/NBOG=2NBAO=2y,

：.ZBOG=ZOCB.

?；NOBC=NOCB,

：.NBOG=/OBC.

：.BC//AG.

過點O作。尺1_8C于點F,貝ijCF=BF=gBC,ZCOF=^ZBOC=a.

CF

■:sina=k,sina=,

OC

：.CF=OC”ina=k,

：.BC=2k.

設(shè)。。二x,則

9：BC//0A,

：./\DAO^ADBC.

.OAOD

**CD'

?1x

2k\-x

【點睛】

本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)，解直角三角形，通過添加恰當(dāng)?shù)妮o助線以充分利用圓周角定理是解題的關(guān)

鍵.

20.(1)小李步行的速度為6千米/小時，則騎自行車的速度為9千米/小時；(2)7.2千米/

小時

答案第17頁，共27頁

【解析】

【分析】

（1）設(shè)小李步行的速度為X千米/小時，則騎自行車的速度為1.5x千米〃卜時，則小李第一

天步行的時間4生5小時，第二天騎自45行車的時間2小時，再根據(jù)題意列出分式方程，解

x1.5%

方程即可；

（2）設(shè)小李跑步的速度為m千米/小時，由題意：出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障.小李

立即跑步去上班（耽誤時間忽略不計）為了至少提前5分鐘到達(dá)，列出一元一次不等式，

解不等式即可.

【詳解】

解：（1）設(shè)小李步行的速度為x千米/小時，則騎自行車的速度為1.5x千米/小時，

4554510

由題意得：—

x601.5x60

解得：x=6,

經(jīng)檢驗，戶6是原方程的解，

則1.5x=9,

???小李步行的速度為6千米/小時，則騎自行車的速度為9千米/小時；

（2）小李騎自行車出發(fā)1.5千米所用的時間為1.5+9=，（小時），

6

2

小李距離上班的時間為：4.5^9+104-60=-（小時），

設(shè)小李跑步的速度為用千米/小時，

由題意得：1.5+4-￡-2；）〃?24.5,

3960

解得：論7.2,

,跑步的速度至少為7.2千米/小時.

【點睛】

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，列

出分式方程.

21.（\）AP=AC,證明見詳解；

（2）ZMC=45°,lAF^AB^AD2,3證明見詳解；

小、AP5a

（3）---=------

DG18

【解析】

答案第18頁，共27頁

【分析】

(1)數(shù)量關(guān)系為：AP=AC,連結(jié)PC,根據(jù)四邊形ABCO為平行四邊形，得出AO=8C,

ZADC=ZABC=180°-ZBAD=180°-a,先證△P8E為等邊三角形，再證△

(SAS),最后再證AAPC為等邊三角形即可；

(2)結(jié)論是24^=482+402連結(jié)CR當(dāng)a=90。時，平行四邊形A2CD為矩形，在

RIAABC中，根據(jù)勾股定理AB2+BC2=AC2，即AB2+AD2=AC2,再證ZkFEA絲MBC

(S4S),在RSAFC中AF2+CF2=2AF2=AC2即可；

(3)過點A作AN_L￡>E于N,CM_LOE于M,過點A作ASJ_C￡>于S,根據(jù)AE/DC,得

出AAGES△CG。，得出型=乂=2,設(shè)AB=3〃7,BE=m,AE=AD=2m,利用三角函數(shù)

DGCG3

求出AS=A￡)sin60°=6m,DS=ADcos600=m,,根據(jù)勾股定理AC=

《AS"+CS2=J(鬲>+Q⑼z=不皿,利用線段和差MN=DM-DN=

±8機-6〃?=■!■鬲，再證ACMGS/XANG,對稱絲=C1=3,利用比例性質(zhì)得出

NG=-MN=-?-6m-Bn,求出DG=DN+NG=-Qm+6m=地機即可.

552555

(1)

解：數(shù)量關(guān)系為：AP=AC,

連結(jié)PC,

,/四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD=BC,ZADC=ZABC=180°-ZBAD=180°-?,

當(dāng)a=120°時,

???ZABC=ZADC=\80°-120°=60°,

ZBEP=-a=-x120°=60°,PE=BE

229

???△P5E為等邊三角形，

:?PE=PB,NPBE=60。,

，ZPBC=ZPBE+ZABC=60°+60°=120°,

■:ZPEA=180°-ZPEB=180°-60°=120°,

；?NPBC=/PEA,

:。長平分/人。。，

答案第19頁，共27頁

:.ZADE=ZCDE=~?ADC30?,

2

■:AB//DC,

：.ZAED=ZCDE=300=ZADE9

：.AE=AD=BCf

在MEA和MBC中，

PE=PB

<NPEA=NPBC,

AE=CB

MPEAAPBC(SAS),

：.PA=PC,NAPE;NCPB,

*/NAPC=NAPE+NEPC=/BPC+NEPC=NEPB=600,

???△APC為等邊三角形，

：.AP=AC；

(2)

解：結(jié)論是2A產(chǎn)=AB2+4Q2

連結(jié)CK

當(dāng)。=90。時，平行四邊形ABC。為矩形，

???AD=BC,ZADC=ZABC=90°,

在朋ZSABC中，根據(jù)勾股定理A4+BC?=472,BPAB2+AD2=AC2，

TOK平分NAOC

；?ZADE=ZCDE=-ZADC=45°,

2

■:AB//DC,

答案第20頁，共27頁

???ZAED=ZCDE=ZADE=45°,

:?AE=AD=BC,

：.NFEB=NAED=45。,

BF1EP,

：.ZBFE=90°fZFBE=90°-ZFEB=45°,

???FE=FB,

：.ZFEA=\80°-ZFEB=180°-45°=135°,ZFBC=ZFBE+ZA^C=45°+90°=135°

：.ZFEA=ZFBCf

在△莊4和△/8c中

FE=FB

<NFEA=ZFBC

AE=CB

MFEAHFBC(SAS),

:?NAFE=/CFB,AF=CF,

：.ZAFC=ZAFE+ZEFC=ZCFB+ZEFC=ZEFB=90°,

/.ZMC=45°

在Rt^AFC中AF2+CF2=2AF2=AC2，

：?AB2+AD2=2AF\

(3)

解：過點A作ANLOE于N,CMLOE于M,過點A作4S_1_CQ于S,

TAE//DC,

：.sAGEsXCGD,

.AEEGAG

99~DC~~DG~~CG

答案第21頁，共27頁

?.?BE=-AB

39

122c

A.E-AB--AB——AB二一CD,

333

.EGAG_2

**DG-CG-3，

設(shè)AJB=3〃3BE=m,AE=AD=2mf

■:NADS=60。,

：.AS=ADsin600=y/3m,DS=ADcos600=m,

\CS=CD-DS=2m,

*-AC=^/AS2+CS2=+(2m)"=y/lm，

??OK平分NAOC,

??ZADN=ZCDN=30°f

\DN=ADcos300=2m?—6m,￡>M=CDcos30o=3/n?—地/n,

222

??MN=DM-DN=正m—Mn，0,

22

：ANLDE,CMLDE,

\CM〃AN,

?.ACMGS^ANG,

.MGCG3

*NG-AG_2)

?.NG/MN=-?LyUm

5525

??DG=DN+NG=16m+6m=空m,

APAC島i=5a

-DG-DG-67318?

-----m

答案第22頁，共27頁

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定

理，三角形相似判定與性質(zhì)，