2023屆北京二高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入加=1995,〃=228,則計算機(jī)輸出的數(shù)是()

(W)

//

|求m除以腦余幽|

IEI

/輸出m/

A.58B.57C.56D.55

2./+〃=］是asine+》cos6Wl恒成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)/(x)=Asin(0x+g］-a(O<a<A)在區(qū)間0,二有三個零點七，A,芻，且王〈/〈七，若

\6y|_3co

S

%+2々+七=與TC，則/(6的最小正周期為()

712444

A.—B.—C."D.--

233

4,已知數(shù)列｛《,｝的前”項和為S“，且%+|=及二1,q=l,nwN：則｛4｝的通項公式4=()

2n—i

A.nB.H+1C.2n-lD.2n+l

5.已知x=0是函數(shù)/(x)=x(依-tanx)的極大值點，則。的取值范圍是

A.(f,T)B.(fl]

C.[0,+oo)D.[1,-Hx>)

6,若函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移自個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,。］上單調(diào)遞增,

6

則〃的最大值為().

715萬7乃

D.

~12~12

7.設(shè)集合知={乂/+3%+2>0},集合N={x|(—)*44},則M<JN=()

A.1x|x>-2|B.1x|x>-11C.{%|x<-21D.R

8.下列函數(shù)中，在區(qū)間(O,+8)上為減函數(shù)的是()

2

A.y=x/x+1B.y=x-\D.y=10g2X

9.已知f(x)=ax?+bx是定義在［a-L2a］上的偶函數(shù)，那么a+b的值是

2

33

]_

22

2

10.已知實數(shù)X,y滿足、+y24l,貝!1產(chǎn)+丁—2|+,+y2—6x+7］的最小值等于()

A.672-5B.6A/2-7C.76-73D.9-60

11.已知集合4={小2一2左一3<0}3=何％<2},則AD8=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

12.設(shè)而，7為非零向量，貝!］“存在正數(shù)zl,使得正=43”是“百4>0”的()

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.充分不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知一個圓錐的底面積和側(cè)面積分別為97和15萬，則該圓錐的體積為

14.已知。>0,b>0,c>4,且。+匕=2,則竺+工_￡+4的最小值為

bah2c-2

15.設(shè)G，鳥分別是橢圓C：「+%=1Ca>b>0)的左、右焦點，直線/過6交橢圓C于A,8兩點，交y軸

a~b

于E點，若滿足電=2福，且/Ef；K=60,則橢圓C的離心率為.

16.如圖，在體積為V的圓柱ac中，以線段QQ上的點O為項點，上下底面為底面的兩個圓錐的體積分別為匕，

v+V

匕，則七上的值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在AA5c中，設(shè)。、h>c分別為角A、B、。的對邊，記AABC的面積為S,且25=通?/.

（1）求角A的大小；

4

（2）若c=7,cosB=—,求。的值.

18.（12分）已知。力都是大于零的實數(shù).

(1)證明^—I--..a-\-b\

ba

2a1,

⑵若“出證明-LR>4.

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線￡：丫2=22》（，>0）的焦點為/，準(zhǔn)線為/,P是拋物線上￡上

一點，且點P的橫坐標(biāo)為2,|月典=3.

（1）求拋物線E的方程；

（2）過點尸的直線，"與拋物線七交于A、B兩點,過點尸且與直線加垂直的直線〃與準(zhǔn)線/交于點用，設(shè)AB的

中點為N,若。、MN、尸四點共圓，求直線〃?的方程.

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點。為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線/的參數(shù)方程

二1一名

“為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=4cos。；

二g

（1）求直線/的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;

（2）若直線/與曲線C交點分別為A，B,點P（l,0）,求高+看的值?

21.（12分）記無窮數(shù)列｛可｝的前〃項中最大值為此，最小值為加“，令”=乂,則稱圾｝是｛。，卜極差數(shù)

列

⑴若見=3〃-2,求｛>｝的前〃項和;

(2)證明：也｝的“極差數(shù)列”仍是也｝;

(3)求證：若數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛《,｝也是等差數(shù)列.

22.(10分)已知a>b=O,a》c》d,且必2cd.

(1)請給出a,》,c,d的一組值，使得a+b22(c+d)成立;

(2)證明不等式a+/?》c+d恒成立.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉(zhuǎn)相除法計算即可.

【詳解】

本程序框圖的功能是計算m，〃中的最大公約數(shù)，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故當(dāng)輸入加=1995,〃=228,則計算機(jī)輸出的數(shù)

是57.

故選：B.

【點睛】

本題考查程序框圖的功能，做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

a=cosa

設(shè)｛asinO+bcosff=sin6^cos?+cossina=sin(0+a)<1成立；反之，a=b=0滿足

h=sina

asin6+灰x)s"l,Oa2+b2^1,故選A.

3.C

【解析】

根據(jù)題意，知當(dāng)時，cox+-^—,由對稱軸的性質(zhì)可知%土和+七='工，即可求出卬,

x=+W=2X,即可求

3a)623a>3a)

出/(x)的最小正周期.

【詳解】

fJTA771

解：由于/(x)=AsinGX+：-。(Ovo<A)在區(qū)間0,—有三個零點再，馬，占，

當(dāng)犬二無■時,715兀

5+—

6T

717C71

???由對稱軸可知西，馬滿足公^^---1-coxH—=-X29

6262

即生

~3①

I——r兀兀371crr8兀

同理尤2，，3滿足&X?H----F(OXmH--------X2,即/+F=---9

?6623(0

10兀_5兀

，%+2%+占0=2,

3693

所以最小正周期為：丁=2=兀?

故選：C.

【點睛】

本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期，涉及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，考查計算能力.

4.C

【解析】

利用an=S?-S1Ts>2)證得數(shù)列言、:為常數(shù)列，并由此求得｛??)的通項公式.

【詳解】

4s-1

由%+i=二"「得(2”一1)。2二4s〃-1,可得(2〃一3)。“=45〃_]-1(n>2).

2〃一1

相減得(2〃+l)a“=(2〃-1)4…則善_廣#i1?(〃22),又

2n-\2〃+1

—所以島為常

由a.□'得-3,所以品

2n-12x1+1

數(shù)列，所以￥^=T匚=1，故%=2〃-1.

2〃—12x1—1

故選：C

【點睛】

本小題考查數(shù)列的通項與前〃項和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應(yīng)用意識.

5.B

【解析】

方法一：令g(x)=ax-tanx,則f(x)=x-g(x),g'(x)=a-----,

cos-X

當(dāng)小,^^(一/，^)時，g'(X)40，g(X)單調(diào)遞減，

TT

/.X€(——,0)時，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且尸(x)=xg'(x)+g(x)>0,

2

TT

.-./，U)>0,即/(%)在(一一,0)上單調(diào)遞增，

2

JT

xe(0,—)時，g(x)<g(0)=0,f(x)=xg(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)<0,

2

：.f\x)<0,即/(x)在(0,々)上單調(diào)遞減，.lx=0是函數(shù)/(x)的極大值點，.la<1滿足題意；

2

711

當(dāng)“>1時，存在止(0,5)使得cos/=&，即g⑺=0,

177

又gG)j——三在(0,不)上單調(diào)遞減，???X￡(0,。時，g(x)>g(0)=(),所以/(x)=x?g(x)>0,

cosx2

這與X=0是函數(shù)的極大值點矛盾.

綜上，a<l.故選B.

方法二：依據(jù)極值的定義，要使x=0是函數(shù)/(x)的極大值點，須在x=0的左側(cè)附近，/(幻<0,即以-tanx>0；

在x=0的右側(cè)附近，/U)<0,即5—tanx<0.易知，a=l時，y=以與y=tanx相切于原點，所以根據(jù)卜=口

與了=12111的圖象關(guān)系，可得a?l,故選B.

6.C

【解析】

由題意利用函數(shù)丫二人"成⑵+⑼的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出。的最大值.

【詳解】

7T

解：把函數(shù)/(X)=sin2x的圖象向右平移F個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x-7T-)的圖象,

63

若函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,4］上單調(diào)遞增，

在區(qū)間［。，上，2x——G［—―,2^7——］,

333

則當(dāng)。最大時，2a-g=g,求得a=W，

3212

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin(ox+e)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

試題分析：由題/=卜卜2+31+2)0}=k“〈—2或#一1},

考點：集合的運算

8.C

【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間(0,+a)上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】

對于A選項，函數(shù)y=477在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)；

對于B選項，函數(shù)y=/—i在區(qū)間(0,+紇)上為增函數(shù)；

對于C選項，函數(shù)y=(g］在區(qū)間((),+8)上為減函數(shù)；

對于D選項，函數(shù)y=log2尤在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù).

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，f(-x)=f(x),且定義域關(guān)于原點對稱，a-1=-2a,即可得解.

【詳解】

根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且f(x)是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，

得a-l=-2a,解得a=,，又f(-x)=f(x),

3

b=0,a+b=—.故選B.

3

【點睛】

本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，f(-x)=f(x)；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點對稱，定

義域區(qū)間兩個端點互為相反數(shù).

10.D

【解析】

設(shè)x=J^cos。，y=sin￡,去絕對值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

【詳解】

因為實數(shù)8，)‘滿足J+y'i,

設(shè)x=J^cos。，y=sin￡，

.?.|x2+/-2|+|x2+y2-6x+7|=|2cos26?+sin26?-2|+|2cos2(9+sin2^-6>/2cos6?+7|=|-sin2<9|+

|cos29-6A/2COS0+81,

cos26立cos。+8=(cos，-3收f-10>0恒成立，

.-.|x2+y2-2|+|x2+y2-6x+7|=sin?O+cos?6?-6&cos6>+8=9-6點cos6L9-6夜，

故則+,2-21+lY+y2-6x+7|的最小值等于9—60.

故選：D.

【點睛】

本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學(xué)生對這些知識的理解

掌握水平.

11.C

【解析】

解不等式得出集合4,根據(jù)交集的定義寫出AC8.

【詳解】

M-BA={x|x2-2r-3<0}={x|-l<x<3},

B={x|x<2},AnB={x|-l<x<2}

故選c.

【點睛】

本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得（而,"=0,再由數(shù)量積運算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運算可得

,90j,不一定有正數(shù)X,使得行=3；,所以不成立，即可得答案.

【詳解】

充分性：若存在正數(shù)2,使得病=蘇，貝1」（加,〃）=0",]剜"cosO=|w||n|>0,得證；

必要性：若記不〉0,貝!|（五,5）e[0,90,）,不一定有正數(shù)X,使得而故不成立；

所以是充分不必要條件

故選：D

【點睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.12萬

【解析】

依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式，求出底面半徑和母線長，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，最后利用圓錐的體積公式

求出體積。

【詳解】

設(shè)圓錐的底面半徑為廣，母線長為/,高為/?,所以有

萬/-97=3___________

解得,《，.,.〃=J--/_^52-32=4

"〃二15萬1=3

故該圓錐的體積為V=1萬r2〃=_L萬X3?X4=12萬。

33

【點睛】

本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。

14.史

2

【解析】

由2=婦絲，先將：+二_一_1變形為至￥1,運用基本不等式可得最小值，再求

2bab24ab

且c+正=百己(c-2)+—+1］的最小值，運用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.

2c-22c-2

【詳解】

解：因為。>0,b>0,c>4,且a+〃=2,

c(2a2+2-ah)\[5

2abc—2

因為2=?+").?,所以2/+2-必2a'+ab

2---------=---------------

lablab

5a2+h22亞ab_亞

4ab4cib2

當(dāng)且僅當(dāng)b=時，取等號，

bi、iacccv5(a10v5

所以---1-------1----=C\1------H------

bab2c-2\bab2)c-2

C(2Q2+2-ab)y/i

labc-2

>——c+---

2c-2

=V5[^(c-2)+-^-+l]

2c-2

令f=c-2Q22),貝ij6[，(c-2)+—'―+1]=6+1+1),

2c-22t

1111

令/(。=彳1+_+1。22),則/?)=「一下〉o,

2t2r

所以函數(shù)/⑺在[2,+?))上單調(diào)遞增，

所以/Q)N/(2)=；x2+；+l=|

所以石[』(c_2)+-^-+l]=逐+1+_575

2c-22t22

則所求最小值為逃

2

故答案為：巫

2

【點睛】

此題考查基本不等式的運用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡

和運算能力，屬于中檔題.

15,昱1

3

【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，計算目以及|而然后根據(jù)橢圓的定義可得|福并使用余弦定理以及e=5,可得結(jié)果.

【詳解】

如圖

由NE/M=6(T,所以|耳目=一^=2。

11cos600

由電=2畫，所以|而;］耳耳=。

又,用+卜巴卜24,貝加A6|=2a-c

所以“二叫里我2

2回依

o-p,c2+(2cY—(2a—cY

所以cos120=———~-------L

2c2

化簡可得：7c2=(2a—c)2=>2a—c=V7c

則￡=金=①二

aV7+13

故答案為：立二1

3

【點睛】

本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用，關(guān)鍵在于根據(jù)角度求出線段的長度，考查分析能力以及計算能力，屬中檔

題.

1

16.-

3

【解析】

根據(jù)圓柱。的體積為V，以及圓錐的體積公式，計算即得.

【詳解】

由題得，V；+K=1S-oo+-soo^-s^o.o^-v,得^~

?n30OO5i3oQOs/31/3yz3

故答案為：—

3

【點睛】

本題主要考查圓錐體的體積，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

7C

17.（1）-；（2）a=5

4

【解析】

（1）由三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算可得兒sinA=Zx：cosA,結(jié)合范圍Ae（O,乃），可求tanA=l,進(jìn)而

可求A的值.

3

（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB=m，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值，由正弦定理可求得“

的值.

【詳解】

解：（1）由25=福?林,得AcsinA=AccosA,

因為Aw（0,乃）,

所以tanA=l,

可得：A=f.

4

4

(2)AABC中，cosB=-,

3

所以sin8=w.

75y

所以：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

a7

由正弦定理一g—u-J,得g=很，解得a=5,

sinAsinC5記

【點睛】

本題主要考查了三角形面積公式，平面向量數(shù)量積的運算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦

定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)答案見解析.(2)答案見解析

【解析】

(1)利用基本不等式可得±+蟾.,里+。2b,兩式相加即可求解.

ba

(2)由(1)知包色二夕，代入不等式，利用基本不等式即可求解.

<aJa

【詳解】

2j2

(1)幺+〃超一+Q2b

ba

兩式相加得

ab

、、?2],b2},b\a-b)

(2)由(1)知。..bci+b-----cibH-----------

Ia)a

2

.D2a1,b(a-b)a1

于是,crH--H--------..cibH-----------1--d---------

b3a(a-b)a護(hù)a(a-b)

(.6/A(b2(a-h)1、

Ib)aa(a—b))

..2“>4.

ba

【點睛】

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)/=4x(2)y=±V2(x-l)

【解析】

(1)由拋物線的定義可得上日=2+T，即可求出〃，從而得到拋物線方程；

(2)設(shè)直線機(jī)的方程為x=)+l,代入＞2=4x,得/_40-4=0.

設(shè)A(%,y),列出韋達(dá)定理，表示出中點N的坐標(biāo)，若。、M、N、E四點共圓，再結(jié)合

得OM上ON,則麗?麗=0即可求出參數(shù)/,從而得解；

【詳解】

解：(1)由拋物線定義，得|PF|=2+5=3,解得〃=2,

所以拋物線E的方程為V=4x.

(2)設(shè)直線加的方程為x=O+l,代入＞2=4X,得y2_4/y—4=0.

設(shè)A(W，y),8(%,%)，則乂+%=由，

由=4%,y；=4X2,得

X+x_才+犬_(凹+%)2-2必必_(左)2—2x(—4)_

'-4444

所以N(2『+12).

因為直線加的斜率為;，所以直線〃的斜率為T,則直線〃的方程為＞=-r(x-1).

由］；二(1)解得〃㈠⑵).

若。、M、N、尸四點共圓，再結(jié)合得OM上ON，

則麗?麗=-lx(2/+l)+2，-2f=2/一1=0,解得［=±4，

所以直線機(jī)的方程為丁=±3(x—1).

【點睛】

本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，直線與拋物線綜合問題，屬于中檔題.

20.(I)/：x+y-l=0,曲線。：/+/一4%=0(II)巫

3

【解析】

試題分析：(1)消去參數(shù)，可得直線/的直角坐標(biāo)系方程，由尤2+^2=22,x=0COS?？傻们€C的直角坐標(biāo)方程;

,V2

X=I------1

2L1111聯(lián)一胃_

(2)將〈(/為參數(shù))代入曲線C的方程得:廠+也.3=°，網(wǎng)+畫=同+門=而‘利用

V2

尸丁

韋達(dá)定理求解即可.

試題解析:

(1)l:x+y-l=O,曲線。:/+;/-4%=0,

V2

x=1------

2

(2)將《(/為參數(shù))代入曲線的方程得：/?

血C3=0

所以4+G=_0,?/2=_.

11年一胃J(4+12)~一曲七V14

所以1—F+1—r

1^11^|

kJ|^|卬2I33

33

21.(1)-n2--n(2)證明見解析(3)證明見解析

44

【解析】

(1)由｛《,｝是遞增數(shù)列，得",='〃-2I/-]),由此能求出也｝的前〃項和.

(2)推導(dǎo)出%冽,(〃=1,2,3,…)，max｛/?,,/?2,-??,Z??｝-min｛/?1，Z?2,=bn,由此能證明也通“極差

數(shù)列”仍是｛2｝.

⑶證當(dāng)數(shù)列也,｝是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為山",一%=""；Mi；班1=M"一人?e=^，,

｛4｝是一個單調(diào)遞增數(shù)列，從而此=?！?，叫,=%,由4'>0,d'<0,d'=0,分類討論，能證明若數(shù)列也｝是

等差數(shù)列，則數(shù)列｛。,,｝也是等差數(shù)列.

【詳解】

(1)解：?.?無窮數(shù)列｛凡｝的前〃項中最大值為M“，最小值為叫，”=%,??=3/7-2,

{4}是遞增數(shù)列，.?.\=3上；1=|(〃_]),

:.也}的前?項和S?=--〃(〃二.=-n2--n.

''n2244

(2)證明：：max{q，4,…,a“}WmaxM，生,…,4用}(〃=1,2,3,…)，

min{al,o2,---,a/l}>min{al,?