初級中學(xué)數(shù)學(xué)實踐案例集

27/27初中數(shù)學(xué)與科學(xué)實驗背景介紹我們選取《初中代數(shù)與科學(xué)實踐》的前言作為本部分內(nèi)容的選題背景。為使教師和學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與自然及數(shù)學(xué)與社會的密切聯(lián)系，認識數(shù)學(xué)的價值，并通過有效地組織實驗、調(diào)查、設(shè)計方案等活動，更好地啟發(fā)學(xué)生運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，解決日常生活中的問題，形成勇于探索和創(chuàng)新的科學(xué)精神，國家教育發(fā)展研究中心中美數(shù)學(xué)課程與教學(xué)比較項目組組織編譯了本書《初中代數(shù)與科學(xué)實踐》。本書包括兩部分內(nèi)容：數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)與科學(xué)實驗。第一部分是數(shù)學(xué)活動的設(shè)計，包括調(diào)查研究和專題研究，這部分為教師、學(xué)生和家長提供了大量的信息和材料。學(xué)生學(xué)完每章后，要進行一項與此節(jié)教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的活動，目的是在學(xué)校、家長和學(xué)生之間建立起一種緊密的聯(lián)系，督促學(xué)生進行總結(jié)性的學(xué)習(xí)。形式上分為：調(diào)查研究A和調(diào)查研究B。調(diào)查研究A是為學(xué)生提供完成本活動的有關(guān)信息，讓家長了解活動的要求。調(diào)查研究B側(cè)重于對數(shù)學(xué)知識的探討，且結(jié)合各章節(jié)具體內(nèi)容，而不是關(guān)注數(shù)學(xué)的外部世界。當(dāng)學(xué)生每學(xué)完2、3章后，為了加強這幾部分之間的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，進行專題研究。其專題研究報告包括教學(xué)要求(有關(guān)活動的詳細說明、數(shù)學(xué)活動的目標(biāo))、具體探討的材料(包括如何進行調(diào)查的有關(guān)信息和一系列外部材料)、教師注意事項、成績判定和評分標(biāo)準(zhǔn)卡(記錄了學(xué)生的調(diào)查工作)。第二部分主要是通過科學(xué)實驗，建立起數(shù)學(xué)與科學(xué)的聯(lián)系。這種直觀的方法有助于學(xué)生探索生命科學(xué)、地球科學(xué)、物理科學(xué)、生物學(xué)和化學(xué)的規(guī)律，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法進行思考，即用數(shù)學(xué)工具來分析他們收集的數(shù)據(jù)，刻劃出科學(xué)概念的數(shù)學(xué)特征和加強數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用。第二部分內(nèi)容的主要目的是在教學(xué)中實現(xiàn)各學(xué)科知識的綜合和應(yīng)用，這主要通過科學(xué)實驗來實現(xiàn)。具體實驗包括6個部分：背景介紹、目的、材料、程序、數(shù)據(jù)與觀察、分析。每個實驗后是教學(xué)建議。其中既有部分試樣答案，也有教學(xué)和進一步探索的建議。本書集實用性、前沿性和指導(dǎo)性于一體，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力為主線，重視學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律，關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和經(jīng)驗，軟化或者排除僵死的科目界限，更多地注重科學(xué)、數(shù)學(xué)和技術(shù)之間的相互聯(lián)系，體現(xiàn)教育內(nèi)容的現(xiàn)代化。同時本書摒棄了傳統(tǒng)自然科學(xué)學(xué)科教學(xué)的知識傳授模式，從開放教育與主體性學(xué)習(xí)的角度來組織教學(xué)，學(xué)生的主體性參與活動貫穿于教學(xué)過程的設(shè)計思想與具體方案之中。為中小學(xué)教育改革突破傳統(tǒng)的應(yīng)試教育模式，改變單純的知識、技能傳授，更好地關(guān)注學(xué)生的態(tài)度、價值觀、知識、技能、方法、能力、行為、習(xí)慣等各方面能力的和諧發(fā)展提供了范例。為了有效地講授科學(xué)、數(shù)學(xué)和技術(shù)知識以及其他的知識和技能，教師不但應(yīng)讓學(xué)生進行系統(tǒng)研究、認真驗證和親身體驗，而且要普及科學(xué)基礎(chǔ)知識、增強學(xué)生的科學(xué)探索精神，使學(xué)生擁有科學(xué)的價值觀。為此，建議教師采用以下教學(xué)方法，由學(xué)生們感興趣或熟悉的問題和現(xiàn)象開始講授，讓學(xué)生積極地運用假設(shè)、搜集和運用證據(jù)，設(shè)計調(diào)查和處理方案，鼓勵學(xué)生的好奇心和創(chuàng)造性。學(xué)生要熟悉周圍的事物，要會觀察、收集、處理和描述它們，并對比提出問題、展開爭論，然后試著為這些問題找出答案。讓學(xué)生積極地參與。學(xué)生需要各種各樣的機會進行搜集、篩選和分類；觀察、做筆記和繪制草圖；訪問、調(diào)查。他們還需要學(xué)會使用放大鏡、顯微鏡、溫度計、照相機和其他普通儀器。他們還應(yīng)該學(xué)會仔細分析、記數(shù)、畫圖和計算；探索一般物質(zhì)的特征；系統(tǒng)地觀察人類和其他動物的社會行為。在這些活動中，最重要的是測量。在測量時，首先要指出測量什么，用什么測量，怎樣檢驗測量結(jié)果的正確性，怎樣解釋測量結(jié)果，并使其具體化，這些是很多科學(xué)和工程學(xué)的核心問題。讓學(xué)生學(xué)會清晰地表達思想。生活中口頭和書面表達思想都很重要。每位教師都要求學(xué)生把準(zhǔn)確地表達思想放在優(yōu)先地位。此外，講授科學(xué)的教師更應(yīng)強調(diào)清晰地表達思想。因為不能準(zhǔn)確地向其他人表達自己的方法、發(fā)現(xiàn)和觀念，別人就無法搞清證據(jù)的作用和確切的用途。采取小組學(xué)習(xí)方式。經(jīng)常性的課堂小組活動有助于強化科學(xué)技術(shù)工作所需要的協(xié)作意識。大部分科學(xué)家和工程師是以小組方式，而不是以孤立的個人方式開展工作。同樣，學(xué)生應(yīng)與同學(xué)商量工作如何進行，互相交流學(xué)習(xí)步驟、概念意義，對調(diào)查結(jié)果進行辯論。小組學(xué)習(xí)與過去通常采用的那種個人的課本——作業(yè)——背誦方法相比，信息反饋和信息交流更具有現(xiàn)實性。關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)實驗的書在我國基礎(chǔ)教育中還不多見，本書的出版主要起拋磚引玉作用?？梢灾笇?dǎo)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)實踐，啟發(fā)他們的思路，幫助他們從整體上理解數(shù)學(xué)并展開科學(xué)教育，使他們能夠創(chuàng)造性地搞好數(shù)學(xué)科學(xué)教育，提高我國中小學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的整體水平。二、目錄第一部分數(shù)學(xué)活動第一章調(diào)查研究A文字表達能力調(diào)查研究B進行統(tǒng)計第二章調(diào)查研究A有益的食品調(diào)查研究B游戲時間第三章調(diào)查研究A高等教育調(diào)查研究B數(shù)系專題研究一溫室效應(yīng)第四章調(diào)查研究A姓名的世界調(diào)查研究B如此之多第五章調(diào)查研究A劇場和收入 調(diào)查研究B集資專題研究二去釣魚第六章調(diào)查研究A分析移民調(diào)查研究B種植圖第七章調(diào)查研究A選擇職業(yè)調(diào)查研究B健康范圍專題研究三被動吸煙第八章調(diào)查研究A游戲調(diào)查研究B線性思維第九章調(diào)查研究A歷史的構(gòu)成調(diào)查研究B瀕臨滅絕的動物專題研究四預(yù)備、開始、降落第十章調(diào)查研究A電影中的數(shù)字調(diào)查研究B成功的公式第十一章調(diào)查研究A志愿者調(diào)查調(diào)查研究B構(gòu)造拋物線專題研究五造磚廠第十二章調(diào)查研究A瑪雅時期調(diào)查研究B焦距第十三章調(diào)查研究A基本調(diào)查調(diào)查研究B螺旋專題研究六消費熱點第二部分科學(xué)與數(shù)學(xué)實驗室實驗1利用物理性質(zhì)實驗2酸雨的pH值實驗3光的反射實驗4電磁鐵強度的變化實驗5密度與濃度的關(guān)系實驗6繪制太陽能收集器的效率圖實驗7風(fēng)力和盒形圖實驗8測定醋中醋酸的百分比實驗9天文距離和科學(xué)記數(shù)法實驗10發(fā)射運動實驗11過度繁殖實驗12土壤的物理因素使用說明三、內(nèi)容選介3．1數(shù)學(xué)活動第一章這一章，學(xué)生要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)表達式及其性質(zhì)，同時學(xué)習(xí)如何借助圖來表達數(shù)據(jù)。調(diào)查研究A文字表達能力學(xué)生將進行一項關(guān)于各種工作中文字表達能力重要性的調(diào)查。下面所列的是完成這項調(diào)查所必須進行的活動。1．至少調(diào)查20多種工作，按重要程度排序，并回答如下問題：最重要的工作；工作中最重要的事情；工作中不重要的事情。2．用l中所獲得的數(shù)據(jù)計算出各項所占的百分比。3．到圖書館查閱有關(guān)工作介紹的書籍，列出需要較強寫作能力的工作。4．研究一項你所列的職業(yè)，你可以采訪一些在工作中需要大量寫作的人員，找出每個人寫作的目的，并弄清寫作究竟涉及哪些內(nèi)容。5．制訂一個小冊子幫助低年級的同學(xué)理解具有寫作技能的重要性。調(diào)查研究B進行統(tǒng)計學(xué)生將進行一項關(guān)于運動統(tǒng)計的調(diào)查。下面所列的是完成這項調(diào)查所必須進行的活動。1．統(tǒng)計一下這學(xué)期足球甲A聯(lián)賽中每個球隊獲勝的場次數(shù)量，你可以從每周報紙的體育欄目找到這些信息。2．用1所獲得的數(shù)據(jù)在遼寧隊和申花隊之間的比賽用樹圖表示。3．用一個完整的樹圖對遼寧隊和申花隊之間進行對比，比較一下誰較好，誰較差。4．選擇一個你認為是最好的或最差的隊，計算出每隊獲勝的百分比。5．記錄下另外5場比賽的結(jié)果，用圖粗略地勾畫出這個隊在5場比賽中獲勝的百分比。6．寫一篇新聞報道，報道一下在主要的球賽中最好的或最差的隊的成績，并作圖列出其發(fā)展的趨勢。第十章這一章，學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解，他們將要學(xué)會如何對二項式進行因式分解，學(xué)會用分配律和因式分解方法來解方程。調(diào)查研究A電影中的數(shù)字學(xué)生將進行一項關(guān)于電影名稱中數(shù)字的調(diào)查。下面所列的是完成這項調(diào)查所必須進行的活動。1．在電影中的標(biāo)題中經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)字，例如“101Dalamatians”、“阿克波羅13”和“12只猴子”。這項研究需要小組合作，列出至少20部電影名中包含數(shù)字的電影，可以用報紙上關(guān)于電影的報道或參觀音像書店等。2．確定在電影題目中的數(shù)字哪些是素數(shù)哪些是合數(shù)。3．找出這些合數(shù)的素數(shù)因子。4．交換各組的游戲。調(diào)查研究B成功的公式學(xué)生將進行一項關(guān)于數(shù)學(xué)公式的調(diào)查。下面所列的是完成這項調(diào)查所必須進行的活動。1．在你的生活中，你可能用過許多公式，特別是在你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)科目時。由于你或多或少是位公式專家，雜志編輯讓你和其他同學(xué)寫一篇題目是“20個真正有用的公式”的文章，此文章的目的是想證實人們是否在實際中應(yīng)用代數(shù)公式。例如公式可用于計算某一物體從初始高度以一定的速度在特定的時間虞所達到的高度，你可以通過查閱有關(guān)的數(shù)學(xué)和科學(xué)書籍，搜集更多的有用公式。2．小組合作，盡可能地寫出更多的數(shù)學(xué)公式，從中選擇出20個最好、最有用的公式。3．給出每個公式后，告訴大家它是如何用的，并用例子說明其用途，用最恰當(dāng)?shù)姆绞秸故灸阈〗M所獲取的信息，如果可能可以用圖片或照片等。4．當(dāng)你的小組完成這篇文章后，與其他小組進行交流、討論，看一下你的文章與其他組的文章的相似之處和不同之處。3．2專題研究三：被動吸煙材料：秒表、坐標(biāo)紙、3個圓形氣球、皮尺、細線。20世紀的50、60年代，科學(xué)家已經(jīng)收集了大量證據(jù)說明吸煙對人體的危害。最近開始關(guān)注被動吸煙者的受害情況。被動吸煙者指由于附近有人吸煙而不得已地吸人煙的人群。1993年環(huán)境保護機構(gòu)(EPA)估計，美國每年數(shù)千位非吸煙者因被動吸煙而患癌癥。被動吸煙已成為直2種危害人體健康的環(huán)境污染之一。作為一個意識到吸煙危害性的公民和一名關(guān)注健康的年輕人，你希望組織一個活動將被動吸煙的影響限制到最小。本項研究中，你要研究呼吸時吸人了多少空氣以及房間中有多少是有煙氣體。你也可以從經(jīng)濟和健康方面來考察這個問題。3人一組，進行研究。研究A收集數(shù)據(jù)重．制作如下表格。1232．小組的每位成員吹起一個氣球，然后放氣，如此反復(fù)3次。注意給每位成員休息的時間。3．將64厘米長的線兩端打結(jié)在一起。4．小組中的一位成員用線環(huán)繞著氣球，另一位將氣球吹到線圍成的那么大(即此時氣球的周長大約為64厘米)，第三位記錄需要吹多少次才能吹足氣球。每個成員都要吹起一個氣球。5．測量每個吹足的氣球的周長，利用公式求出氣球的半徑。分析數(shù)據(jù)1．將你所獲得的數(shù)據(jù)作圖。2．計算吹足一個氣球的平均次數(shù)。3．用公式估計每個氣球的體積，然后估計每次吹氣的體積。研究B現(xiàn)在我們要比較每吸一口煙呼出到房間空氣中的煙量和深呼吸時呼出的氣體量。吸煙者平均要抽重0次就可抽完一支煙。重．假設(shè)每吹一次氣球吹出的氣體量就近似等于每吸一口煙排放到空氣中的煙量。一個氣球的體積相當(dāng)于多少支煙呢?2．作一張抽一支煙排放到房間中煙量的圖，橫軸表示抽了幾口煙，縱軸為房間中累積的煙量。描述這張圖，并寫出相應(yīng)的函數(shù)來。3．作圖，橫軸為氣球半徑，縱軸為氣球的周長。寫出反映它們之間關(guān)系的等式來。4．靜止?fàn)顟B(tài)時每呼吸一次平均排出大約500毫升的氣體。從研究A中得到你吹起一個氣球需要吹的次數(shù)為n，那么靜止?fàn)顟B(tài)呼吸n次排出的氣體量與氣球的體積相比如何?是什么原因造成這個差異?研究C我們已經(jīng)假設(shè)每吹一次氣球吹出的氣體量就近似等于每吸一口煙排放到空中的煙量。重．與小組成員吹起一個氣球需要吹的平均次數(shù)比較，哪個同學(xué)的次數(shù)最接近這個平均值呢?現(xiàn)在假設(shè)這個同學(xué)是一個吸煙者，進行下面的實驗。2．請這個同學(xué)吹起氣球。他每吹一下(就等于抽了一口煙)，就用皮尺測量氣球的周長，記錄每次的測量結(jié)果。3．計算每吹一下氣球的體積，用所得數(shù)據(jù)作圖。描述這張圖，它是否反映了某種函數(shù)關(guān)系?如果是，函數(shù)的定義域和值域是什么?4．每盒煙有20支。如果吸煙者抽完這整整一盒的煙，相當(dāng)于吹起了多少個氣球?有多少煙被排放到空氣中?5．作一張抽一盒煙排放到房間中煙量的圖，橫軸表示抽了多少支煙，縱軸為房間中累積的煙量。6．每條煙有10包煙。如果吸煙者抽完這整整一條煙，相當(dāng)于吹起了多少個氣球?有多少煙排放到空氣中?研究D現(xiàn)在，美國有大約5千萬的煙民，平均每個煙民每天要抽30支煙。1．計算每個煙民重年排放的煙量。2．計算這5千萬煙民重年呼出的煙量。3．估計你的房間里空氣的體積。寫出一個不等式來估計需要抽多少口煙來充滿你的房間?4．假設(shè)將一個煙民和幾條煙一起鎖在你的房間里。他是否有可能用與呼出的煙相同密度的煙充滿你的房間?請解釋你的答案。研究E吸煙增加了健康出問題的機會。常常處于被動吸煙狀態(tài)也會危及不吸煙者的健康。一家煙草公司的報告書中說，一個不吸煙者同一群吸煙者共同工作的話，他相當(dāng)于每月抽了重．5支煙。一個在吸煙環(huán)境中工作的餐館服務(wù)人員也就相當(dāng)于每月抽了2支煙。環(huán)境保護機構(gòu)(EPA)不同意這些數(shù)據(jù)。1．一個在吸煙環(huán)境中工作的餐館服務(wù)人員工作1年，相當(dāng)于抽了多少支煙呢?請寫出一個不等式來進行估計。2．有一場官司涉及煙草工業(yè)和環(huán)境保護機構(gòu)(EPA)。訴訟說環(huán)境保護機構(gòu)(EPA)在各項研究中評價數(shù)據(jù)時沒有使用標(biāo)準(zhǔn)的顯著性水平5％。顯著性水平5％是指得出的統(tǒng)計結(jié)論錯誤的概率不超過5％。3．1995年1月在美國，一盒香煙的平均價格為$2．06，其中聯(lián)邦和州政府要抽56％的稅。香煙的價格現(xiàn)在又漲了。計算一個煙民平均每年要抽掉多少錢?4．稅務(wù)局如何通過煙的銷售量來估計美國有多少煙民?小結(jié)EPA最近一項關(guān)于被動吸煙的長期研究表明，與吸煙者結(jié)婚的不吸煙者，得肺癌的機會要增加19％。12項研究說明，被動吸煙者不僅易患肺癌，而且易得心臟病。與吸煙者結(jié)婚的被動吸煙者要比其他的不吸煙者患心臟病的機會高30％。EPA通過許多研究得出結(jié)論：被動吸煙導(dǎo)致美國550萬的18個月以下嬰幼兒中，額外增加了重5~30萬人次的呼吸道感染。美國加利弗尼亞大學(xué)的環(huán)境與健康專家KatharineHamm。nd對被動吸煙者的致癌物質(zhì)苯進行了分析。她發(fā)現(xiàn)“在同一間屋子里，在同一時刻，不吸煙者苯的攝人量等同于吸煙者吸6只煙的苯攝人量”。兩位統(tǒng)計學(xué)家對被動吸煙的研究還發(fā)現(xiàn)，若長期處于有煙環(huán)境中，每立方米的尼古丁超過6．8微克，那么，1000個人當(dāng)中就有重個人會患上肺癌。分析你已經(jīng)做過實驗并以不同方式組織了這些數(shù)據(jù)。現(xiàn)在需要你分析一下你的發(fā)現(xiàn)并得出結(jié)論。1．被動吸煙危害的根源主要是來自香煙燃燒一端飄出的煙。這些煙霧比吸煙者所吸人的煙毒性更大。這些信息對你研究在室內(nèi)的不吸煙者吸人有煙氣體的含量有什么影響?2．如果你是一個不吸煙者，但和一個吸煙者生活在一起。你將花費在哪些方面?解釋一下你的考慮。3．描述一下你被動吸煙的個人經(jīng)歷。報告假設(shè)你想告訴人們被動吸煙的危害，請給當(dāng)?shù)貓蠹垖懸环庑?，記述一下你對被動吸煙者的研究結(jié)果。1．用你實驗所得的數(shù)據(jù)和發(fā)現(xiàn)以及上面所作的介紹，寫一篇關(guān)于被動吸煙危害不吸煙者健康的文章。2．如果想進一步研究，可與國家癌癥協(xié)會等一些組織聯(lián)系，獲取這方面的有關(guān)資料。3．用數(shù)據(jù)、表和圖來證明你的立場，用數(shù)學(xué)方法來使你的讀者相信你的結(jié)論?；卮鹣旅娴膯栴}以及你們列在下面需要考慮的問題。·如果你與某人在一間密封的房間里，而這個人吸了兩盒煙(每盒有20支煙)，估計一下你吸入煙的量，它等于多少支煙！·基于你的研究，你是否贊成禁止在公共場所和比較封閉的房間中吸煙的法律?請解釋原因。知識點數(shù)據(jù)的收集和分析、利用公式、作圖、寫出方程式并求解。教學(xué)建議·在介紹本項研究時可以先和學(xué)生討論一下吸煙對人體的潛在危害。·鼓勵每個學(xué)生都要參與，提供意見和看法?！す膭顚W(xué)生有組織、有步驟地進行工作?！ぬ嵝褜W(xué)生仔細記錄實驗結(jié)果、有關(guān)數(shù)據(jù)和現(xiàn)象。提醒學(xué)生將記錄保存完整，存放在適當(dāng)?shù)牡胤揭苑纴G失。?至少3人一組。?調(diào)查可以分幾部分進行，也可以在一個較完整的時間內(nèi)完成。?每個小組提供調(diào)查實驗用的材料和評分標(biāo)準(zhǔn)。時間安排步驟時間調(diào)查1課時，預(yù)備調(diào)查的工作每人20分鐘，共4次結(jié)束調(diào)查1課時，小結(jié)評分標(biāo)準(zhǔn)3．3數(shù)學(xué)實驗室：土壤的物理因素初中數(shù)學(xué)案例集初中網(wǎng)絡(luò)教育資源集錦數(shù)學(xué)問題集2．1秦王暗點兵

秦王暗點兵問題和韓信亂點兵問題，都是后人對物不知其數(shù)問題的一種故事化。

物不知其數(shù)問題出自一千六百年前我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》。原題為：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何？”

這道題的意思是：有一批物品，不知道有幾件。如果三件三件地數(shù)，就會剩下兩件；如果五件五件地數(shù)，就會剩下三件；如果七件七件地數(shù)，也會剩下兩件。問：這批物品共有多少件？

變成一個純粹的數(shù)學(xué)問題就是：有一個數(shù)，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求這個數(shù)。

這個問題很簡單：用3除余2，用7除也余2，所以用3與7的最小公倍數(shù)21除也余2，而用21除余2的數(shù)我們首先就會想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本題的一個答案。

這個問題之所以簡單，是由于有被3除和被7除余數(shù)相同這個特殊性。如果沒有這個特殊性，問題就不那么簡單了，也更有趣兒得多。

我們換一個例子；韓信點一隊士兵的人數(shù)，三人一組余兩人，五人一組余三人，七人一組余四人。問：這隊士兵至少有多少人？

這個題目是要求出一個正整數(shù)，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的數(shù)盡可能地小。

如果一位同學(xué)從來沒有接觸過這類問題，也能利用試驗加分析的辦法一步一步地增加條件推出答案。

例如我們從用3除余2這個條件開始。滿足這個條件的數(shù)是3n+2，其中n是非負整數(shù)。

要使3n+2還能滿足用5除余3的條件，可以把n分別用1，2，3，…代入來試。當(dāng)n=1時，3n+2=5，5除以5不是余3，不合題意；當(dāng)n=2時，3n+2=8，8除以5正好余3，可見8這個數(shù)同時滿足用3除余2和用5除余3這兩個條件。

最后一個條件是用7除余4。8不滿足這個條件。我們要在8的基礎(chǔ)上得到一個數(shù)，使之同時滿足三個條件。

為此，我們想到，可以使新數(shù)等于8與3和5的一個倍數(shù)的和。因為8加上3與5的任何整數(shù)倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我們讓新數(shù)為8+15m，分別把m=1，2，…代進去試驗。當(dāng)試到m=3時，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎題目要求。

我國古代學(xué)者早就研究過這個問題。例如我國明朝數(shù)學(xué)家程大位在他著的《算法統(tǒng)宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝，

七子團圓月正半，

除百零五便得知?！霸抡搿卑抵?5。“除百零五”的原意是，當(dāng)所得的數(shù)比105大時，就105、105地往下減，使之小于105；這相當(dāng)于用105去除，求出余數(shù)。

這四句口訣暗示的意思是：當(dāng)除數(shù)分別是3、5、7時，用70乘以用3除的余數(shù)，用21乘以用5除的余數(shù)，用15乘以用7除的余數(shù)，然后把這三個乘積相加。加得的結(jié)果如果比105大，就除以105，所得的余數(shù)就是滿足題目要求的最小正整數(shù)解。

按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數(shù)可得：

70×2+21×3+15×4=263，

263=2×105+53，所以，這隊士兵至少有53人。

在這種方法里，我們看到：70、21、15這三個數(shù)很重要，稍加研究，可以發(fā)現(xiàn)它們的特點是：

70是5與7的倍數(shù)，而用3除余1；

21是3與7的倍數(shù)，而用5除余1；

15是3與5的倍數(shù)，而用7除余1。因而

70×2是5與7的倍數(shù)，用3除余2；

21×3是3與7的倍數(shù)，用5除余3；

15×4是3與5的倍數(shù)，用7除余4。

如果一個數(shù)除以a余數(shù)為b，那么給這個數(shù)加上a的一個倍數(shù)以后再除以a，余數(shù)仍然是b。所以，把70×2、21×3與15×4都加起來所得的結(jié)果能同時滿足“用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，

70m+21n+15k(1≤m＜3,1≤n＜5,1≤k＜7)

能同時滿足“用3除余m、用5除余n、用7除余k”的要求。除以105取余數(shù)，是為了求合乎題意的最小正整數(shù)解。

我們已經(jīng)知道了70、21、15這三個數(shù)的性質(zhì)和用處，那么，是怎么把它們找到的呢？要是換了一個題目，三個除數(shù)不再是3、5、7，應(yīng)該怎樣去求出類似的有用的數(shù)呢？

為了求出是5與7的倍數(shù)而用3除余1的數(shù)，我們看看5與7的最小公倍數(shù)是否合乎要求。5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我們得到了“三人同行七十稀”。

為了求出是3與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)，我們看看3與7的最小公倍數(shù)是否合乎要求。3與7的最小公倍數(shù)是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我們得到了“五樹梅花廿一枝”。

為了求出是3與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)，我們看看3與5的最小公倍數(shù)是否合乎要求。3與5的最小公倍數(shù)是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我們得到了“七子團圓月正半”。

3、5、7的最小公倍數(shù)是105，所以“除百零五便得知”。

依照上面的思路，我們可以舉一反三。

例如：試求一數(shù)，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。

解：

我們先求是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù)；5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù)。

我們再求4與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)；4與7的最小公倍數(shù)是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)。

最后求是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)：4與5的最小公倍數(shù)是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)。

利用105、196、120這三個數(shù)可以求出符合題目要求的解：

105×3+196×2+120×5=1307。

由于4、5、7的最小公倍數(shù)是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎題目要求的最小的解。用1037除以140得到的余數(shù)是47，47是合乎題目的最小的正整數(shù)解。

一般地，

105m+196n+120k(1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)是用4除余m,用5除余n,用7除余k的數(shù);(105m+196n+120k)除以140所得的余數(shù)是滿足上面三個條件的最小的正數(shù)。

上面我們是為了寫出105m+196n+120k這個一般表達式才求出了105這個特征數(shù)。如果只是為了解答我們這個具體的例題，由于5×7=35既是5與7的倍數(shù)除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。

35+196×2+120×5=1027就是符合題意的數(shù)。

1027=7×140+47，由此也可以得出符合題意的最小正整數(shù)解47。

《算法統(tǒng)宗》中把在以3、5、7為除數(shù)的“物不知其數(shù)”問題中起重要作用的70、21、15這幾個特征數(shù)用幾句口訣表達出來了，我們也可以把在以4、5、7為除數(shù)的問題中起重要作用的105、196、120這幾個特征數(shù)編為口訣。留給讀者自己去編吧。

凡是三個除數(shù)兩兩互質(zhì)的情況，都可以用上面的方法求解。

上面的方法所依據(jù)的理論，在中國稱之為孫子定理，國外的書籍稱之為中國剩余定理。2．2小數(shù)點的代價1967年8月23日，前蘇聯(lián)的聯(lián)盟一號宇宙飛船在返回大氣層時，突然發(fā)生了惡性事故--減速速降落傘無法打開。前蘇聯(lián)中央領(lǐng)導(dǎo)研究后決定：向全國實況轉(zhuǎn)播這次事故。當(dāng)電視臺的播音員用沉重的語調(diào)宣布，宇宙飛船兩個小時后將墜毀，觀眾將目睹宇航員弗拉迪米·科馬洛夫殉難的消息后，舉國上下頓時被震撼了，人們沉浸在巨大的悲痛之中。

在電視臺上，觀眾看到了宇航員科馬洛夫鎮(zhèn)定自若的形象，他面帶微笑地對母親說："媽媽，您的圖像我在這里看得清清楚楚，包括您的頭上的每根白發(fā)，您能看清我嗎？""能，能看清楚。兒啊，媽媽一切都很好，你放心吧！"這時，科馬洛夫的女兒也出現(xiàn)在電視屏幕上，她只有12歲。科馬少夫說："女兒，你不要哭。""我不哭……"女兒已泣不成聲，但她強忍悲痛說："爸爸，您是蘇聯(lián)英雄，我想告訴您，英雄的女兒會像英雄那樣生活的！"科馬洛夫叮囑女兒說："學(xué)習(xí)時，要認真對待每一個小數(shù)點。聯(lián)盟一號今天發(fā)生的一切，就是因為地面檢查時忽略了一個小數(shù)點……"

時間一分一秒地過去，距離宇宙飛船墜毀只有7分鐘了，科馬洛夫向全國的電視觀眾揮揮手說："同胞們，請允許我在這茫茫的太空中與你們告別。"

這是一次驚心動魄的告別儀式?？岂R洛夫永遠地走了，他留下了對親人對祖國永恒的愛。但更震撼人心的是他對女兒說的那番話。它警示著人們：對待人生不能有絲毫的馬虎，否則，即使是一個細枝末節(jié)，也會讓你付出深重的甚至是永遠無法彌補的代價。2．3第一個算出地球周長的人2000多年前，有人用簡單的測量工具計算出地球的周長。這個人就是古希臘的埃拉托色尼(約公元前275—前194)。埃拉托色尼博學(xué)多才，他不僅通曉天文，而且熟知地理；又是詩人、歷史學(xué)家、語言學(xué)家、哲學(xué)家，曾擔(dān)任過亞歷山大博物館的館長。細心的埃拉托色尼發(fā)現(xiàn)：離亞歷山大城約800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的陽光可以一直照到井底，因而這時候所有地面上的直立物都應(yīng)該沒有影子。但是，亞歷山大城地面上的直立物卻有一段很短的影子。他認為：直立物的影子是由亞歷山大城的陽光與直立物形成的夾角所造成。從地球是圓球和陽光直線傳播這兩個前提出發(fā)，從假想的地心向塞恩城和亞歷山大城引兩條直線，其中的夾角應(yīng)等于亞歷山大城的陽光與直立物形成的夾角。按照相似三角形的比例關(guān)系，已知兩地之間的距離，便能測出地球的圓周長。埃拉托色尼測出夾角約為7度，是地球圓周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周長大約為4萬公里，這與實際地球周長(40076公里)相差無幾。他還算出太陽與地球間距離為1.47億公里，和實際距離1.49億公里也驚人地相近。這充分反映了埃拉托色尼的學(xué)說和智慧。埃拉托色尼是首先使用“地理學(xué)”名稱的人，從此代替?zhèn)鹘y(tǒng)的“地方志”，寫成了三卷專著。書中描述了地球的形狀、大小和海陸分布。埃拉托色尼還用經(jīng)緯網(wǎng)繪制地圖，最早把物理學(xué)的原理與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，創(chuàng)立了數(shù)理地理學(xué)。2．4新婚夫妻買餐具

白羊和金牛是天上的兩個著名星座。請允許我在此作為生活中一對新婚夫妻的代號。夫妻兩人都喜歡吃西菜，所以他們決定去定購成套的西式餐具。

他們到了一家店里，發(fā)現(xiàn)身上所帶的錢正好可以購買21把叉子和21把匙；或者28把小刀。不言而喻，刀、叉和匙的個數(shù)必須相等，這樣才能配套，否則，有多有少，就不成體統(tǒng)了。

這對夫妻都是學(xué)數(shù)學(xué)的，所以，只要略施心算，便立即算出了應(yīng)采購的刀、叉和匙的數(shù)目，并且正好用完了他們身上所帶的錢，歡歡喜喜地回家去了。2．5田忌賽馬

《史記》中有這樣一個故事：有一天，齊王要田忌和他賽馬，規(guī)定每個人從自己的上、中、下三等馬中各選一匹來賽；并規(guī)定，每有一匹馬來比賽；并約定，每有一匹馬取勝可獲千兩黃金，每有一匹馬落后要付千兩黃金。

當(dāng)時，齊王的每一等次的馬比田忌同樣等次的馬都要強，因而，如果田忌用自己的上等馬與齊王的上等馬比，用自己的中等馬與齊王的中等馬比，用自己的下等馬與齊王的下等馬比，則田忌要輸三次，因而要輸黃金三千兩。但是結(jié)果，田忌沒有輸，反而贏了一千兩黃金。這是怎么回事呢？

原來，在賽馬之前，田忌的謀士孫臏給他出了一個主意，讓田忌用自己的下等馬去與齊王的上等馬比，用自己的上等馬與齊王的中等馬比，用自己的中等馬與齊王的下等馬比。田忌的下等馬當(dāng)然會輸，但是上等馬和中等馬都贏了。因而田忌不僅沒有輸?shù)酎S金三千兩，還贏了黃金一千兩。

這個故事與上一段老鼠逃跑的策略問題都表明，在有雙方參加的競賽或斗爭中，策略是很重要的。采用的策略適當(dāng)，就有可能在似乎一定會失敗的情況下取得勝利的結(jié)果。

研究這種競賽策略的數(shù)學(xué)分支，叫作博奕論，也叫對策論；它是運籌學(xué)中的一部分內(nèi)容。2．6能掐會算的本事請在心里隨便想好一個數(shù),不要告訴他我想的數(shù)是幾,只要默默地在這個數(shù)的基礎(chǔ)上按照他的指令進行加、減、來、除運算。在進行了每一步運算之后,我要記住得數(shù),但是不把得數(shù)告訴他,然后在這個得數(shù)的基礎(chǔ)上按他的指令作新的運算。當(dāng)按他的全部指令完成所有的運算之后,不用我說出來,他就知道最后得數(shù)是幾,他說他能掐會算。為什么？2．7如何解決三個幾何問題1有一雙對邊相等和一雙對角相等的四邊形是平行四邊形。2設(shè)兩個三角形有兩邊及外接圓半徑成比例,則必相似。3一個三角形的兩邊和其中一邊上的高(角平分線,中線),同另一三角形的兩邊和其中一邊上的高(角平分線,中線)對應(yīng)相等,則此兩個三角形全等。三、新課