課下梯度訓(xùn)練（十二）導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十二）導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義層級(jí)(一)“四基”落實(shí)練1．(多選)下列說法中正確的是()A．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在x＝x0處沒有切線B．若曲線y＝f(x)在x＝x0處有切線，則f′(x0)必存在C．若f′(x0)存在，則曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率存在D．若曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率不存在，則曲線在該點(diǎn)處的切線方程為x＝x0解析：選CDf′(x0)不存在，曲線y＝f(x)在x＝x0處可能沒有切線，也可能有切線x＝x0，故A錯(cuò)誤；當(dāng)曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線為直線x＝x0時(shí)，f′(x0)不存在，故B錯(cuò)誤；C顯然正確；當(dāng)曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率不存在時(shí)，其切線方程為x＝x0，故D正確．2．若一個(gè)函數(shù)的瞬時(shí)變化率處處為0，則這個(gè)函數(shù)的圖象是()A．圓 B．拋物線C．橢圓 D．直線解析：選D因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)的瞬時(shí)變化率處處為0，所以當(dāng)這個(gè)函數(shù)的自變量x變化時(shí)，函數(shù)值y沒有變化，即這個(gè)函數(shù)為一常數(shù)函數(shù)，所以這個(gè)函數(shù)的圖象是x軸或平行于x軸的一條直線．故選D.3．函數(shù)y＝x2在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變化率為k2，則k1與k2的大小關(guān)系為()A．k1>k2 B．k2<k2C．k1＝k2 D．不確定解析：選Dk1＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝2x0＋Δx；k2＝eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝eq\f(x\o\al(2,0)－x0－Δx2,Δx)＝2x0－Δx.因?yàn)棣可正也可負(fù)，所以k1與k2的大小關(guān)系不確定．4．已知曲線f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：選D∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq\f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq\f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq\f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)Δx＋1))＝x＋1.由x＋1＝3，得x＝2，即該切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.5.如圖，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線l過點(diǎn)(2,0)，且f′(1)＝－2，則f(1)的值為()A．－1 B．1C．2 D．3解析：選C曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線l過點(diǎn)(2,0)，且f′(1)＝－2，所以切線方程為y＝－2(x－2)．因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上也在切線上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故選C.6．已知y＝eq\r(x)，則y′＝________.解析：∵Δy＝eq\r(x＋Δx)－eq\r(x)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)＝eq\f(x＋Δx－x,Δx\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))＝eq\f(1,2\r(x))，即y′＝eq\f(1,2\r(x)).答案：eq\f(1,2\r(x))7．過點(diǎn)P(－1,2)且與曲線y＝3x2－4x＋2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程是____________．解析：由題意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3(Δx)2＋2Δx.∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1())x＝1＝eq\f(Δy,Δx)＝2，∴所求直線的斜率k＝2.故直線方程為y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝08．曲線y＝x2－3x的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為________．解析：設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝x2－3x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，f′(x0)＝eq\f(x0＋Δx2－3x0＋Δx－x\o\al(2,0)＋3x0,Δx)＝eq\f(2x0Δx－3Δx＋Δx2,Δx)＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝xeq\o\al(2,0)－3x0＝4－6＝－2，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－2)．答案：(2，－2)9．利用導(dǎo)數(shù)的定義，求f(x)＝eq\r(x2＋1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\r(1＋Δx2＋1)－eq\r(2)＝eq\r(Δx2＋2Δx＋2)－eq\r(2)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(Δx2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)，∴f′(1)＝eq\f(\r(Δx2＋2Δx＋2)－\r(2),Δx)＝leq\f(Δx2＋2Δx,Δx[\r(Δx2＋2Δx＋2)＋\r(2)])＝eq\f(Δx＋2,\r(Δx2＋2Δx＋2)＋\r(2))＝eq\f(\r(2),2).10．已知曲線f(x)＝eq\f(a,x)－eq\r(x)在x＝4處的切線方程為5x＋16y＋b＝0，求實(shí)數(shù)a與b的值．解：∵直線5x＋16y＋b＝0的斜率k＝－eq\f(5,16)，∴f′(4)＝－eq\f(5,16).而f′(4)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4＋Δx)－\r(4＋Δx)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)－\r(4))),Δx)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4＋Δx)－\f(a,4)))－\r(4＋Δx)－2,Δx)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－a,44＋Δx)－\f(1,\r(4＋Δx)＋2)))＝－eq\f(a＋4,16)，∴－eq\f(a＋4,16)＝－eq\f(5,16)，解得a＝1.∴f(x)＝eq\f(1,x)－eq\r(x)，f(4)＝eq\f(1,4)－eq\r(4)＝－eq\f(7,4)，即切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4))).∵點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))在切線5x＋16y＋b＝0上，∴5×4＋16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,4)))＋b＝0，即b＝8，從而a＝1，b＝8.層級(jí)(二)能力提升練1．已知函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為12，則eq\f(fx0－fx0－Δx,3Δx)等于()A．－4 B．4C．－36 D．36解析：選B根據(jù)題意，函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為12，則eq\f(fx0－fx0－Δx,3Δx)＝eq\f(1,3)×eq\f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝eq\f(12,3)＝4，故選B.2．過正弦曲線y＝sinx上的點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))的切線與y＝sinx的圖象的交點(diǎn)有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)解析：選D由題意，y＝f(x)＝sinx，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋Δx))－sin\f(π,2),Δx)＝eq\f(cosΔx－1,Δx).當(dāng)Δx→0時(shí)，cosΔx→1，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0.∴曲線y＝sinx的切線方程為y＝1，且與y＝sinx的圖象有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)．3．曲線f(x)＝x3＋x－2在點(diǎn)P處的切線平行于直線y＝4x－1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1,0) B．(－1，－4)C．(1，－4) D．(－1，－4)或(1,0)解析：選D由f(x)＝x3＋x－2，得f′(x)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\f(x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2,Δx)＝[3x2＋1＋(Δx)2＋3x·Δx]＝3x2＋1.設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則有3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1.又點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x)＝x3＋x－2上，所以y0＝－4或y0＝0，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－4)或(1,0)．故選D.4.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則()A．2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)B．2f′(4)<2f′(2)<f(4)－f(2)C．2f′(2)<2f′(4)<f(4)－f(2)D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2)解析：選A由圖可知，經(jīng)過點(diǎn)(2，f(2))和點(diǎn)(4，f(4))的割線的斜率大于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率，且小于曲線y＝f(x)在點(diǎn)(4，f(4))處的切線斜率，即f′(2)<eq\f(f4－f2,4－2)<f′(4)，所以2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)．故選A.5．已知曲線y＝f(x)＝x3－3x上一點(diǎn)P(1，－2)，過點(diǎn)P作直線l.(1)求與曲線y＝f(x)相切且以P為切點(diǎn)的直線l的方程；(2)求與曲線y＝f(x)相切且切點(diǎn)異于點(diǎn)P的直線l的方程．解：(1)f′(x)＝eq\f([x＋Δx3－3x＋Δx]－x3－3x,Δx)＝3x2－3，則過點(diǎn)P且以P(1，－2)為切點(diǎn)的直線l的斜率為f′(1)＝0，所以所求直線l的方程為y＝－2.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)(x0≠1)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，所以直線l的方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)．又直線l過點(diǎn)P(1，－2)，則－2－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(1－x0)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2).故直線l的斜率為－eq\f(9,4)，于是直線l的方程為y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即9x＋4y－1＝0.層級(jí)(三)素養(yǎng)強(qiáng)化練已知曲線f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋2x2－3x＋1.(1)求該曲線的斜率為－3的切線方程；(2)當(dāng)曲線的切線斜率最大時(shí)，切點(diǎn)為P，過點(diǎn)P作直線l分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值．解：(1)f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝－x2＋4x－3.由－x2＋4x－3＝－3，解得x＝0或x＝4.又f(0)＝1，f(4)＝－eq\f(1,3).∴所求切線方程為y－1＝－3x或y＋eq\f(1,3)＝－3(x－4)，即3x＋y－1＝0或9x＋3y－35＝0.(2)∵f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，切線的斜率取得最大值1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3))).由題意，設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，則直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝1.S△OAB＝eq\f(1,2)ab＝eq\f