2021年中國科學(xué)院大學(xué)601高等數(shù)學(xué)（甲）考試大綱解析合集

目錄專題1函數(shù)、極限、連續(xù)第1部分考試內(nèi)容第2部分考試要求第3部分考試大綱詳解專題2一元函數(shù)微分學(xué)第1部分考試內(nèi)容第2部分考試要求第3部分考試大綱詳解專題3一元函數(shù)積分學(xué)第1部分考試內(nèi)容第2部分考試要求第3部分考試大綱詳解專題4向量代數(shù)和空間解析幾何第1部分考試內(nèi)容第2部分考試要求第3部分考試大綱詳解專題5多元函數(shù)微分學(xué)第1部分考試內(nèi)容第2部分考試要求

第3部分考試大綱詳解專題6多元函數(shù)積分學(xué)第1部分考試內(nèi)容第2部分考試要求第3部分考試大綱詳解專題7無窮級(jí)數(shù)第1部分考試內(nèi)容第2部分考試要求第3部分考試大綱詳解專題8常微分方程

第1部分考試內(nèi)容第2部分考試要求第3部分考試大綱詳解附錄中國科學(xué)院大學(xué)601高等數(shù)學(xué)（甲）考試大綱

專題1函數(shù)、極限、連續(xù)第1部分考試內(nèi)容函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念無窮小和無窮大的概念及其關(guān)系無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較極限的四則運(yùn)算極限存在的單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限：，函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)間斷點(diǎn)的類型初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的一致連續(xù)性概念第2部分考試要求（1）理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，并會(huì)建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式.（2）理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性.掌握判斷函數(shù)這些性質(zhì)的方法.（3）理解復(fù)合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念.會(huì)求給定函數(shù)的復(fù)合函數(shù)和反函數(shù).（4）掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形.（5）理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系.（6）掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行一些基本的判斷和計(jì)算.（7）掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限.掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法.（8）理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限.（9）理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.（10）掌握連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，熟悉閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì).（11）理解函數(shù)一致連續(xù)性的概念.

第3部分考試大綱詳解一、函數(shù)1．函數(shù)的定義設(shè)數(shù)集DR，則稱映射：D→R為定義在D上的函數(shù)，簡記為，其中x稱為自變量，y稱為因變量．D稱為定義域，記作，即．2．函數(shù)的表示方法（1）表格法（2）圖形法（3）解析法（公式法）二、函數(shù)的性質(zhì)1．有界性（1）上界：若存在K1，對(duì)任意上界，而K1稱為函數(shù)有，則稱函數(shù)在Ｉ上的一個(gè)上界.，則稱函數(shù)在Ｉ上有在Ｉ上有在I上（2）下界：若存在K2，對(duì)任意有下界，而K2稱為函數(shù)在Ｉ上的一個(gè)下界.（3）有界：若對(duì)任意有界.，存在M＞0，總有，則稱2．單調(diào)性（1）單調(diào)遞增當(dāng)（2）單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，時(shí)，..3．周期性（1）定義（T為正數(shù)）.（2）最小正周期函數(shù)所有周期中最小的周期稱為最小正周期.4．奇偶性f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則：（1）偶函數(shù)f（－x）＝f（x），圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.（2）奇函數(shù)f（－x）＝－f（x），圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.三、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)1．反函數(shù)（1）定義設(shè)函數(shù)f：D→f（D）是單射，則它存在逆映射f－1：f（D）→D，稱此映射f－1為函數(shù)f的反函數(shù).（2）特點(diǎn)①當(dāng)f在D上是單調(diào)遞增函數(shù)，f－1在f（D）上也是單調(diào)遞增函數(shù)；②當(dāng)f在D上是單調(diào)遞減函數(shù)，f－1在f（D）上也是單調(diào)遞減函數(shù)；③f的圖像和f－1的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，如圖1－1所示．圖1－12．復(fù)合函數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)概念設(shè)函數(shù)y＝f（u）的定義域?yàn)?，函?shù)u＝g（x）的定義域?yàn)?，且其值域，則函數(shù)稱為由函數(shù)u＝g（x）與函數(shù)y＝f（u）構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)?，變量u稱為中間變量.注：函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，即按“先g后f”的次序復(fù)合的函數(shù)，記為，即.（2）構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件g與f能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是：函數(shù)g的值域Rg必須包含于函數(shù)f的定義域Df，即3．隱函數(shù).如果變量ｘ，ｙ滿足一個(gè)方程，在一定條件下，當(dāng)ｘ取區(qū)間I任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足該方程的唯一的ｙ存在，則稱方程區(qū)間I確定了一個(gè)隱函數(shù)．在四、基本初等函數(shù)1．初等函數(shù)定義由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).2．基本初等函數(shù)性質(zhì)和圖形（1）冪函數(shù)①表達(dá)式：；②定義域：使有意義的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合；③性質(zhì)：a．當(dāng)n＞0時(shí)，圖象過點(diǎn)（0，0）和（1，1），在區(qū)間數(shù);上是增函b．當(dāng)n＜0時(shí)，圖象過點(diǎn)（1，1），在區(qū)間④圖像：圖像如圖1－2所示：上是減函數(shù)圖1－2（2）指數(shù)函數(shù)①表達(dá)式：；②定義域：R；③值域：④性質(zhì)：a．當(dāng)a＞1時(shí)，圖象過點(diǎn)（0，1），在R上是增函數(shù)；b．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖象過點(diǎn)（0，1），在R上是減函數(shù)．⑤圖像：圖像如圖1－3所示：圖1－3（3）對(duì)數(shù)函數(shù)①表達(dá)式：；②定義域：③值域：R④性質(zhì)：；a．當(dāng)a＞1時(shí)，圖象過點(diǎn)（1，0），在上是增函數(shù)；b．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，圖象過點(diǎn)（1，0），在⑤圖像：圖像如圖1－4所示：上是減函數(shù)．圖1－4（4）三角函數(shù)表1－1三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像（5）反三角函數(shù)表1－2反三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像五、極限1．?dāng)?shù)列極限設(shè)為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時(shí)，不等式都成立，則稱常數(shù)a是數(shù)列的極限，又稱數(shù)列2．函數(shù)極限的定義（1）函數(shù)的極限收斂于a，記為．在自變量的某個(gè)變化過程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)，則這個(gè)確定的數(shù)就稱為在這一變化過程中函數(shù)的極限.（2）函數(shù)f（x）極限的兩種情形①自變量x趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限a．定義設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)使得當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式則常數(shù)A稱為函數(shù)f（x）當(dāng)時(shí)的極限，記作.注：定義中表示，所以時(shí)f（x）有沒有極限，與f（x）在點(diǎn)是否有定義并無關(guān)系.e．時(shí)極限存在的充分必要條件左極限及右極限各自存在并且相等．②自變量x趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限a．定義設(shè)函數(shù)f（x）當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義．如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在著正數(shù)X，使得當(dāng)x滿足不等式|x|＞X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式，則常數(shù)A就稱為函數(shù)f（x）當(dāng)時(shí)的極限，記作b．簡單表述3．函數(shù)極限的性質(zhì)（1）唯一性如果存在，則這極限唯一．（2）局部有界性如果≤M．則存在常數(shù)M＞0和＞0，使得當(dāng)時(shí)，有|f（x）|（3）局部保號(hào)性①如果時(shí)，有且A＞0（或A＜0），則存在常數(shù)使得當(dāng)②如果，則存在著的某一去心鄰域當(dāng)時(shí)，有．③如果在的某去心鄰域內(nèi)f（x）≥0（或f（x）≤0），而且A≥0（或A≤0）．則4．四則運(yùn)算法則如果，則（1）（2）（3）若，則六、極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限1．極限存在準(zhǔn)則（1）夾逼準(zhǔn)則①夾逼準(zhǔn)則1如果數(shù)列及滿足下列條件：a．從某項(xiàng)起，即當(dāng)時(shí)，有；b．，則數(shù)列的極限存在，且．②夾逼準(zhǔn)則2如果a．當(dāng)b．（或）時(shí)，，；則存在，且等于A．（2）單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限．2．兩個(gè)重要極限七、無窮小與無窮大1．無窮小如果函數(shù)f（x）當(dāng)（或）時(shí)的極限為零，則稱函數(shù)f（x）為當(dāng)為（或）時(shí)的無窮小．特別地，以零為極限的數(shù)列時(shí)的無窮小．稱（1）相關(guān)無窮小的定義①高階無窮小如果，則β是比α高階的無窮小，記作．②低階無窮?、弁A無窮小如果，則β與α是同階無窮?。躪階無窮小如果，則β是關(guān)于α的k階無窮小．⑤等價(jià)無窮小如果，則β與α是等價(jià)無窮小，記作．（2）常用的等價(jià)無窮小2．無窮大設(shè)函數(shù)f（x）在的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義）．如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M（不論它多么大），總存在正數(shù)（或正數(shù)X），只要x適合不等式（或|x|＞X），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x）總滿足不等式|f（x）|＞M，則稱函數(shù)時(shí)的無窮大．是當(dāng)八、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1．函數(shù)的連續(xù)性（1）連續(xù)設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)．（2）左連續(xù)和右連續(xù)①左連續(xù)如果存在且等于f（x0），即存在且等于f（x0），即，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)，則稱函數(shù)f（x）在x0左連續(xù)．②右連續(xù)如果點(diǎn)x0右連續(xù)．2．函數(shù)的間斷點(diǎn)（1）第一類間斷點(diǎn)①可去間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)處函數(shù)左右極限相等．②跳躍間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)處函數(shù)左右極限不相等．（2）第二類間斷點(diǎn)①無窮間斷點(diǎn)：在間斷點(diǎn)處函數(shù)極限為無窮大（或無窮小）．②振蕩間斷點(diǎn)：在趨近間斷點(diǎn)的過程中，函數(shù)值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)變動(dòng)無限多次．九、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性1．連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在點(diǎn)x0連續(xù)，則它們的和（差）商（當(dāng)時(shí)）都在點(diǎn)x0連續(xù)．、積及2．初等函數(shù)的連續(xù)性（1）基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．（2）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．定義區(qū)間，就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間．十、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，在左端點(diǎn)a右連續(xù)，則函數(shù)f（x）就是在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)．2．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性與最大值最小值定理①定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值．②最大值與最小值對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f（x），如果有，都有，使得對(duì)于任一則稱是函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的最大值（最小值）．（2）零點(diǎn)定理與介值定理①零點(diǎn)如果，則稱為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)．②零點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)（即f（a）·f（b）＜0），則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使．③介值定理設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值則對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得3．一致連續(xù)性（1）一致連續(xù)性定義設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義．如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得對(duì)于區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x1、x2，當(dāng)時(shí)，有則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)．（2）一致連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)，則f（x）在區(qū)間I上一定連續(xù)；當(dāng)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，f（x）在區(qū)間I上不一定一致連續(xù)．（3）一致連續(xù)性定理如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則它在該區(qū)間上一致連續(xù)．專題2一元函數(shù)微分學(xué)第1部分考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系平面曲線的切線和法線基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的求法微分的概念和微分的幾何意義函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系微分的運(yùn)算法則及函數(shù)微分的求法一階微分形式的不變性微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分中值定理洛必達(dá)法則泰勒公式函數(shù)的極值函數(shù)最大值和最小值函數(shù)單調(diào)性函數(shù)圖形的凹凸性、拐點(diǎn)及漸近線函數(shù)圖形的描繪弧微分及曲率的計(jì)算

第2部分考試要求（1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念，理解導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，掌握函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。（2）掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。（3）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。（4）會(huì)求分段函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。（5）會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)（6）會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（7）理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。（8）理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。（9）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。（10）掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。（11）了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

第3部分考試大綱詳解一、導(dǎo)數(shù)和微分（1）導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地，因變量取得增量．當(dāng)Δx→0時(shí)，如果Δy與Δx之比的極限存在，則稱函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為，即又記作（2）微分的定義設(shè)函數(shù)y＝f（x）在某區(qū)間內(nèi)有定義，的增量在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)可表示為其中A是不依賴于Δx的常數(shù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，而AΔx稱為函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作，即（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'（x0）在幾何上表示曲線y＝f（x）在點(diǎn)M（x0，f（x0））處的切線的斜率，即角．，其中α是切線的傾（4）平面曲線的切線方程和法線方程①切線方程曲線y＝f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程為②法線方程如果，法線方程為．（5）導(dǎo)數(shù)的物理意義①路程②速度；；③加速度．（6）連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系圖2－1（7）導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算法則表2－1（8）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如果u＝g（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y＝f（u）在點(diǎn)u＝g（x）可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y＝f［g（x）]在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為（9）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、微分公式表2－2（11）一階微分形式的不變性設(shè)的微分為都可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)二、高階導(dǎo)數(shù)1．二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)數(shù)仍然是x的函數(shù)．則把的導(dǎo)數(shù)稱為．函數(shù)y＝f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，記作，即2.n階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)，一般地，（n－1）階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n階導(dǎo)數(shù)，分別記作或3．簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)（2）正弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)（3）余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)（4）的n階導(dǎo)數(shù)（5）冪函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)（是任意常數(shù)）特別：三、特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）對(duì)于不是分界點(diǎn)的區(qū)間，直接利用求導(dǎo)法則和公式進(jìn)行求導(dǎo)；（2）判斷分界點(diǎn)x0處的可導(dǎo)性：①若函數(shù)在x0點(diǎn)不連續(xù)，則它在x0點(diǎn)不可導(dǎo)；②若函數(shù)在x0點(diǎn)連續(xù)，且在x0的鄰域內(nèi)（x0除外）可導(dǎo)，則a．當(dāng)存在時(shí)，設(shè)其為A，函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)可導(dǎo)，且；b．當(dāng)c．當(dāng)不存在時(shí)，要用定義判斷；與都存在，但不相等時(shí)，函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)不可導(dǎo)．2．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝y(tǒng)（x）是由方程F（x，y）＝0所確定的可導(dǎo)函數(shù)，為求得，可在方程F（x，y）＝0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得到一個(gè)含有的方程，從中解出即可．3．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程（1）一階導(dǎo)數(shù)其中，φ（t）和ψ（t）都可導(dǎo)，且（2）二階導(dǎo)數(shù)．其中，φ（t）和ψ（t）二階可導(dǎo)，且4．反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．如果函數(shù)x＝f（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，則它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo)，且四、微分中值定理1．羅爾定理如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在[a，b]上連續(xù)；（2）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3），則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)2．拉格朗日中值定理使得如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在[a，b]上連續(xù)；（2）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，有3．柯西中值定理如果函數(shù)f（x）及F（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）對(duì)任意；（4）F（b）≠F（a），則在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，有4．泰勒定理如果函數(shù)f（x）在x0處具有n階導(dǎo)數(shù)，則存在x0的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意x，有其中五、函數(shù)的極值、最大值和最小值1．函數(shù)的極值及其求法（1）極大值設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)的任一x，有，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值．（2）極小值設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0的某鄰域U（x0）內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)的任一x，有，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值．2．求f（x）的極值點(diǎn)和極值的步驟若函數(shù)f（x）在所討論的區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)，則：（1）求出導(dǎo)數(shù)；（2）求出f（x）的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)；（3）考察的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右鄰近的情形，以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；（4）求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得函數(shù)f（x）的全部極值．3．函數(shù)單調(diào)性的判定方法設(shè)函數(shù)y＝f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則：（1）如果在（a，b）內(nèi)，且等號(hào)僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，則y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；（2）如果在（a，b）內(nèi)，且等號(hào)僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，則y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)減少．４．最大值和最小值的求法若f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)外可導(dǎo)，且至多有有限個(gè)駐點(diǎn)，則：（1）求出f（x）在（a，b）內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（2）計(jì)算f（x）在上述駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值及f（a），f（b）；（3）比較步驟（2）中各值的大小，其中最大的便是f（x）在[a，b]上的最大值，最小的便是f（x）在[a，b]上的最小值．六、凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線1．凹凸性的判定定理設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則：（1）若在（a，b）內(nèi)（2）若在（a，b）內(nèi)2．拐點(diǎn)，則f（x）在[a，b]上的圖形是凹的；，則f（x）在[a，b]上的圖形是凸的．（1）定義設(shè)y＝f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I內(nèi)的點(diǎn)．如果曲線y＝f（x）在經(jīng)過點(diǎn)（x0，f（x0））時(shí)，曲線的凹凸性改變了，則稱點(diǎn)（x0，f（x0））為這曲線的拐點(diǎn)．（2）求函數(shù)的拐點(diǎn)①求；②令的點(diǎn)；，解出方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間I內(nèi)不存在③對(duì)于②中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x0，檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào)，則當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí)，點(diǎn)（x0，f（x0））是拐點(diǎn)，當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí)，點(diǎn)（x0，f（x0））不是拐點(diǎn)．3．漸近線設(shè)曲線y＝f（x）：（1）斜漸近線y＝kx＋b特別地，當(dāng)k＝0時(shí)，曲線有水平漸近線y＝b．（2）垂直漸近線若（或者左、右極限趨于無窮），則垂直漸近線為．4．函數(shù)圖形的描繪步驟（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域及函數(shù)所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；（2）求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點(diǎn)，并求出函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)及義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間；和不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把函數(shù)的定（3）確定在這些部分區(qū)間內(nèi)升降、凹凸和拐點(diǎn)；和的符號(hào)，并由此確定函數(shù)圖形的（4）確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢；（5）算出和的零點(diǎn)以及不存在的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，定出圖形上相應(yīng)的點(diǎn)；為了把圖形描繪得準(zhǔn)確些，有時(shí)還需要補(bǔ)充一些點(diǎn)，然后結(jié)合第三、四步中得到的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)y＝f（x）的圖形．七、洛必達(dá)法則1．未定式如果當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)f（x）與F（x）都趨于零或都趨于無窮大，則極限可能存在、也可能不存在．通常稱這種極限為未定式，并分別簡記為或．2．洛必達(dá)法則（1）時(shí)，的洛必達(dá)法則①當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）及F（x）都趨于零；②在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，都存在且；③存在（或?yàn)闊o窮大），則（2）①當(dāng)②當(dāng)時(shí)，的洛必達(dá)法則時(shí)，函數(shù)f（x）及F（x）都趨于零；時(shí)，都存在，且；③存在（或?yàn)闊o窮大），則注：對(duì)于或時(shí)的未定式，也有相應(yīng)的洛必達(dá)法則．（3）使用洛必達(dá)法則的注意事項(xiàng)①如果不是未定式，則不能應(yīng)用洛必達(dá)法則．②其他還有一些0·∞、∞－∞、00、1∞、∞0型的未定式，也可通過或型的未定式來計(jì)算．③洛必達(dá)法則可以和其他求極限方法結(jié)合使用，可以應(yīng)用等價(jià)無窮小或重要極限．a(chǎn)．常用的等價(jià)無窮小b．重要極限八、曲率和曲率半徑1．曲率及其計(jì)算公式（1）平均曲率設(shè)曲線C是光滑的，在曲線C上選定一點(diǎn)M0作為度量弧s的基點(diǎn)．設(shè)曲線上點(diǎn)M對(duì)應(yīng)于弧s，在點(diǎn)M處切線的傾角為α，曲線上另外一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于弧在點(diǎn)處切線的傾角為，則弧段的長度為．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從M移動(dòng)到時(shí)切線轉(zhuǎn)過的角度為，則平均曲率．（2）曲率①曲率平均曲率的極限又稱曲線C在點(diǎn)M處的曲率，記作K，即在存在的條件下，K可表示為②直角坐標(biāo)方程的曲率公式③參數(shù)方程的曲率公式2．曲率圓與曲率半徑（1）曲率圓設(shè)曲線y＝f（x）在點(diǎn)M（x，y）處的曲率為K（K≠0）．在點(diǎn)M處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D，使．以D為圓心，為半徑作圓（圖2－2），這個(gè)圓稱為曲線在點(diǎn)M處的曲率圓．圖2－2（2）曲率半徑曲率圓的半徑稱為曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑．（3）曲率K和曲率半徑的關(guān)系專題3一元函數(shù)積分學(xué)第1部分考試內(nèi)容原函數(shù)和不定積分的概念不定積分的基本性質(zhì)基本積分公式定積分的概念和基本性質(zhì)定積分中值定理變上限定積分定義的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓－萊布尼茨公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式和簡單無理函數(shù)的積分廣義積分（無窮限積分、瑕積分）定積分的應(yīng)用

第2部分考試要求（1）理解原函數(shù)的概念，理解不定積分和定積分的概念。（2）熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理。掌握牛頓－萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。（3）會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。（4）理解變上限定積分定義的函數(shù)，會(huì)求它的導(dǎo)數(shù)。（5）理解廣義積分（無窮限積分、瑕積分）的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會(huì)計(jì)算一些簡單的廣義積分。（6）掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力）及函數(shù)的平均值。

第3部分考試大綱詳解一、原函數(shù)、不定積分和定積分1．原函數(shù)如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對(duì)任意一，都有，則函數(shù)就稱為在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)．2．不定積分（1）概念在區(qū)間I上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為（或）在區(qū)間I上的不定積分，記作，其中稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量．（2）基本公式（3）性質(zhì)①性質(zhì)1設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，則注：性質(zhì)1對(duì)于有限個(gè)函數(shù)都是成立的．②性質(zhì)2設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則3．定積分（1）概念設(shè)有常數(shù)I，對(duì)于任意正數(shù)ε，總存在一個(gè)正數(shù)δ，使得對(duì)于區(qū)間[a，b]的任何分法，不論在中怎樣選取，只要δ，總有在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作成立，則稱I是f（x）．（2）性質(zhì)①性質(zhì)1設(shè)α與β均為常數(shù)，則注：性質(zhì)1對(duì)于任意有限個(gè)函數(shù)的線性組合也是成立的．②性質(zhì)2設(shè)a＜c＜b，則注：不論a，b，c的相對(duì)位置如何，總有等式成立．③性質(zhì)3如果在區(qū)間[a，b]上f（x）≡1，則④性質(zhì)4如果在區(qū)間[a，b]上f（x）≥0，則a．推論1如果在區(qū)間[a，b]上f（x）≤g（x），則b．推論2⑤性質(zhì)5設(shè)M及m分別是函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值及最小值，則4．定積分中值定理若函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則在[a，b]上至少存在一點(diǎn)，有三、牛頓－萊布尼茨公式、換元積分法和分部積分法1．牛頓－萊布尼茨公式其中F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)．2．不定積分的換元積分法與分部積分法（1）不定積分的換元積分法①第一類換元法設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則有換元公式②第二類換元法設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，并且數(shù)，則有換元公式又設(shè)具有原函其中的反函數(shù)．（2）不定積分的分部積分法①分部積分法設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為移項(xiàng)，得對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得稱為分部積分公式．注：②運(yùn)用分部積分法需注意a．v要容易求得；b．要比容易積出；c．遵循“反對(duì)冪指三”原則：“反對(duì)冪指三”分別指反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)．“反對(duì)冪指三”原則是指在用分部積分法計(jì)算積分時(shí)，若出現(xiàn)上面相關(guān)函數(shù)，把被積表達(dá)式按照“反對(duì)冪指三”的積分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．3．定積分的換元法和分部積分法（1）定積分的換元積分法①定理設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：a．b．；上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域，則有該公式稱為換元公式．②應(yīng)用換元公式的注意事項(xiàng)a．用把原來變量x代換成新變量t時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新變量t的積分限；b．求出的一個(gè)原函數(shù)后，不必像計(jì)算不定積分那樣再要把入變換成原來變量x的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別代中然后相減即可；c．換元公式也可反過來使用，即d．在使用換元公式中，三角函數(shù)在去絕對(duì)值或者開根號(hào)時(shí)要考慮上下限區(qū)間．（2）定積分的分部積分法四、有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分1．有理函數(shù)的積分對(duì)能化簡成多個(gè)真分式之和的有理函數(shù)，先化簡，然后對(duì)每個(gè)真分式分別求積分，最后求出積分和．2．三角函數(shù)有理式積分（1）萬能代換（令）有關(guān)、、之間的轉(zhuǎn)化公式令，則，．（2）簡單方法（三角變形，換元，分部）3．簡單無理函數(shù)的積分如果被積函數(shù)中含有簡單根式五、變上限定積分及其導(dǎo)數(shù)或可以令這個(gè)簡單根式為u．如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在[a，b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)六、反常積分及其審斂法1．無窮限的反常積分（1）上的反常積分設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間極限上連續(xù)，任取t＞a，作定積分，再求這個(gè)對(duì)變上限定積分的算式稱為函數(shù)f（x）在無窮區(qū)間上的反常積分，記為，即（2）上的反常積分設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，任取t＜b，算式稱為函數(shù)f（x）在無窮區(qū)間上的反常積分，記為，即（3）上的反常積分①定義設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，反常積分與反常積分之和稱為函數(shù)f（x）在無窮區(qū)間上的反常積分，記為，即②收斂和發(fā)散設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，如果反常積分與反常積分均收斂，則稱反常積分收斂，并稱反常積分的值與反常積分反常積分的值之和為反常積分的值，否則就稱發(fā)散．2．無窮限的反常積分審斂法（1）定理1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，且若函數(shù)在上有上界，則反常積分收斂．（2）定理2（比較審斂原理）設(shè)函數(shù)①如果在區(qū)間上連續(xù)，并且收斂，則也收斂；②如果并且發(fā)散，則也發(fā)散．（3）定理3（比較審斂法1）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，且①如果存在常數(shù)M＞0及p＞1，使得則反常積分收斂；②如果存在常數(shù)N＞0，使得則反常積分發(fā)散．（4）定理4（極限審斂法1）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，＋∞）上連續(xù)，且①如果存在常數(shù)p＞1，使得．，則反常積分收斂；②如果（或），則反常積分發(fā)散．（5）定理5設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，＋∞）上連續(xù)．如果反常積分收斂，則反常積分也收斂．3．瑕積分無界函數(shù)的反常積分稱為瑕積分．（1）f（x）在上的反常積分設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間上連續(xù)，點(diǎn)a為f（x）的瑕點(diǎn)．任取t＞a，作定積分，再求極限上式稱為函數(shù)f（x）在區(qū)間上的反常積分，記為，即（2）f（x）在上的反常積分設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間式上連續(xù)，點(diǎn)b為f（x）的瑕點(diǎn)．任取t＜b，算稱為函數(shù)f（x）在區(qū)間上的反常積分，記為，即（3）f（x）在上的反常積分①定義設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間及區(qū)間，即上連續(xù)，點(diǎn)c為f（x）的瑕點(diǎn)．反常積分與反常積分之和稱為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的反常積分，記為②收斂和發(fā)散設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間果反常積分及區(qū)間上連續(xù)，點(diǎn)c為f（x）的瑕點(diǎn)．如與反常積分均收斂，則稱反常積分收斂，并稱反常積分的值與反常積分的值之和為反常積分的值；否則，就稱反常積分發(fā)散．4．瑕積分的審斂法（1）定理1（比較審斂法2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b]上連續(xù)，且f（x）≥0，x＝a為f（x）的瑕點(diǎn)．①如果存在常數(shù)M＞0及q＜1，使得則反常積分收斂；，使得②如果存在常數(shù)則反常積分發(fā)散．（2）定理2（極限審斂法2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且使得為f（x）的瑕點(diǎn)．①如果存在常數(shù)存在，則反常積分②如果收斂；或則反常積分發(fā)散．七、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用1．平面圖形的面積（1）直角坐標(biāo)情形①設(shè)由曲線y＝f（x）及直線x＝a，x＝b（a＜b）與x軸所圍成的曲邊梯形的面積是A，則：a．當(dāng)f（x）≥0時(shí)b．當(dāng)f（x）＜0時(shí)②設(shè)由曲線y＝f（x）、y＝g（x）及直線x＝a，x＝b（a＜b）與x軸所圍成的曲邊梯形的面積是A，則注：根據(jù)區(qū)間來去絕對(duì)值符號(hào)．（2）極坐標(biāo)情形①曲邊扇形由曲線及射線圍成的圖形稱為曲邊扇形．②極坐標(biāo)的面積公式2．平面曲線的弧長（1）參數(shù)方程其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且不同時(shí)為零，則（2）直角坐標(biāo)方程y＝f（x）（a≤x≤b）其中f（x）在[a，b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則（3）極坐標(biāo)方程其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則3．旋轉(zhuǎn)體的體積（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積由連續(xù)曲線y＝f（x）、直線x＝a、x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，其體積公式（2）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積①由連續(xù)曲線、直線y＝c、y＝d（c＜d）與y軸所圍成的曲邊梯形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積公式②由連續(xù)曲線y＝f（x）、直線x＝a、x＝b及x軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，其體積公式4．側(cè)面積曲線y＝f（x）（f（x）≥0）和直線x＝a，x＝b（0≤a＜b）及x軸所圍成區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為5．平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)定軸為x軸，立體在過點(diǎn)x＝a、x＝b且垂直于x軸的兩個(gè)平面之間．以A（x）表示過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面面積．A（x）為已知的x的連續(xù)函數(shù)，則八、定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用1．變力沿直線所作的功變力沿曲線L作的功為．2．引力質(zhì)量分別為m1、m2，相距為r的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為其中，G為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向．3．水壓力（1）水深為h處的壓強(qiáng)為，其中是水的密度，g是重力加速度；（2）面積為A的平板水平地放置在水深為h處，則平板一側(cè)所受的水壓力為P＝p·A．4．平均值函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的平均值專題4向量代數(shù)和空間解析幾何第1部分考試內(nèi)容向量的概念向量的線性運(yùn)算向量的數(shù)量積、向量積和混合積兩向量垂直、平行的條件兩向量的夾角向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算單位向量方向數(shù)與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念平面方程、直線方程平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離球面母線平行于坐標(biāo)軸的柱面旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程常用的二次曲面方程及其圖形空間曲線的參數(shù)方程和一般方程空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程

第2部分考試要求（1）熟悉空間直角坐標(biāo)系，理解向量及其模的概念．（2）熟練掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），掌握兩向量垂直、平行的條件．（3）理解向量在軸上的投影，了解投影定理及投影的運(yùn)算。理解方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算．（4）熟悉平面方程和空間直線方程的各種形式，熟練掌握平面方程和空間直線方程的求法．（5）會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題．（6）會(huì)求空間兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離以及點(diǎn)到平面的距離．（7）了解空間曲線方程和曲面方程的概念．（8）了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程．了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程．（9）了解常用二次曲面的方程、圖形及其截痕，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程．

第3部分考試大綱詳解一、空間直角坐標(biāo)系1．坐標(biāo)分解式如圖4－1所示，，則設(shè)則上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式，xi、yj和zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量．2．向徑向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑．圖4－1二、向量1．向量和向量的模（1）向量的定義既有大小，又有方向的這一類量稱為向量（或矢量）．（2）向量的模向量的大小稱為向量的模．2．向量的線性運(yùn)算（1）向量的加法①定義設(shè)有兩個(gè)向量a與b，任取一點(diǎn)A，作，再以B為起點(diǎn)，作，連接AC（圖4－2），則向量＋b．稱為向量a與b的和，記作a＋b，即c＝a圖4－2②運(yùn)算規(guī)律a．交換律a＋b＝b＋a；b．結(jié)合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．（2）向量的減法（差）①負(fù)向量a為一向量，與a的模相同而方向相反的向量稱為a的負(fù)向量，記作－a．②向量的差向量b與a的差－a．，即把向量－a加到向量b上，便得b與a的差b③向量加法和減法的不等式（3）向量與數(shù)的乘法①定義向量a與實(shí)數(shù)λ的乘積記作λa．②乘積的模模．③乘積的運(yùn)算規(guī)律a．結(jié)合律b．分配律3．兩向量的數(shù)量積（1）定義向量a與b的數(shù)量積等于|a|、|b|及它們的夾角θ的余弦的乘積，記作a·b，即（2）性質(zhì)①；②a·b＝0?a⊥b（a、b都為非零向量）．（3）運(yùn)算規(guī)律①交換律a·b＝b·a；②分配律（a＋b）·c＝a·c＋b·c；③結(jié)合律．（4）兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式4．兩向量的向量積（1）定義，則稱向量c為向量a與b的向量積，記作a×b，即c＝a×b，其中θ為a、b間的夾角．（2）方向c的方向垂直于a與b所決定的平面．（3）性質(zhì)a．a(chǎn)×a＝0；b．a(chǎn)×b＝0?a∥b（a、b都為非零向量）．（4）運(yùn)算規(guī)律a．b×a＝－a×b；b．分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c；c．結(jié)合律（λa）×b＝a×（λb）＝λ（a×b）（λ為數(shù)）．（5）向量積的坐標(biāo)表示式，則即5．兩向量垂直、平行的條件（1）兩向量垂直的條件a⊥b?a·b＝0（a、b都為非零向量）．（2）兩向量平行的條件當(dāng)向量時(shí)，向量相當(dāng)于，坐標(biāo)表示式為即．6．向量在軸上的投影（1）定義如圖4－3所示，點(diǎn)O及單位向量e確定u軸．任給向量r，作M作與u軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)M在u軸上的投影，向量稱為向量r在u軸上的分向量．設(shè)，則數(shù)λ稱為向量r在u軸，再過點(diǎn)上的投影，記作或（r）u．圖4－3（2）符號(hào)表示向量a在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)、、為a在三條坐標(biāo)軸上的投影，即或記作（3）投影的運(yùn)算①，其中為向量a與u軸的夾角；②③．7．方向數(shù)與方向余弦（1）方向數(shù)直線的任一方向向量S的坐標(biāo)m、n和p稱為這個(gè)直線的一組方向數(shù)．（2）方向余弦稱為向量r的方向余弦，且．8．用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算（1）線性運(yùn)算設(shè)，λ為實(shí)數(shù)，則（2）向量積，則即三、平面方程和空間直線方程1．平面的點(diǎn)法式方程（1）法線向量如果一非零向量垂直于一平面，則稱這向量為該平面的法線向量．（2）平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面上一點(diǎn)（平面方程表達(dá)式為）和它的一個(gè)法線向量n＝（A，B，C），其此表達(dá)式又稱平面的點(diǎn)法式方程.2．平面的—般方程方程Ax＋By＋Cz＋D＝0稱為平面的一般方程，其中x，y，z的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法線向量n的坐標(biāo)，即n＝（A，B，C）.（1）當(dāng)D＝0時(shí)，平面的一般方程成為Ax＋By＋Cz＝0，它表示一個(gè)通過原點(diǎn)的平面；（2）當(dāng)A＝0時(shí)，平面的一般方程成為By＋Cz＋D＝0，法線向量n＝（0，B，C）垂直于x軸，方程表示一個(gè)平行于（或包含）x軸的平面；同理，方程Ax＋Cz＋D＝0和Ax＋By＋D＝0分別表示平行于（或包含）y軸和z軸的平面；（3）當(dāng)A＝B＝0時(shí)，平面的一般方程成為Cz＋D＝0或z＝－，法線向量n＝（0，0，C）同時(shí)垂直x軸和y軸，方程表示一個(gè)平行于（或重合于）xOy面的平面．同理，方程Ax＋D＝0和By＋D＝0分別表示一個(gè)平行于（或重合于）yOz面和xOz面的平面．3．空間直線的—般方程空間直線L可以看做是兩個(gè)平面的方程：A1x＋B1y＋C1z＋D1＝0的交線的方程：A2x＋B2y＋C2z＋D2＝0直線L上的任—點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程，即則稱該方程組為空間直線的—般方程．4．空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程（1）方向向量如果—個(gè)非零向量平行于—條已知直線，則稱該向量為這條直線的方向向量．（2）直線的對(duì)稱式方程如果直線L上一點(diǎn)和它的一方向向量s＝（m，n，p），則直線Ｌ的對(duì)稱式方程（或點(diǎn)向式方程）為（3）直線的參數(shù)方程令直線的對(duì)稱式方程則稱方程為直線的參數(shù)方程．四、夾角1．平面與平面之間的夾角（1）定義兩平面的法線向量的夾角（銳角或直角）稱為兩平面的夾角．（2）計(jì)算公式設(shè)平面的法線向量依次為和，則平面的夾角應(yīng)是或兩者中的銳角,因此，則（3）結(jié)論①互相垂直?；②互相平行或重合?．2．平面與直線之間的夾角（1）定義當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線和它在平面上的投影直線的夾角（0≤＜），稱為直線與平面的夾角．當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面的夾角為．（2）計(jì)算公式設(shè)直線的方向向量為s＝（m，n，p），平面的法線向量為n＝（A，B，C），直線與平面的夾角為，則則，因此，（3）結(jié)論①直線與平面垂直?；②直線與平面平行或直線在平面上?Am＋Bn＋Cp＝0．3．直線與直線之間的夾角（1）定義兩直線的方向向量的夾角（銳角或直角）稱為兩直線的夾角．（2）計(jì)算公式直線L1和L2的方向向量依次為和，則的夾角應(yīng)是和兩者中的銳角，因此，則（3）結(jié)論①兩直線互相垂直?；②兩直線五、距離互相平行或重合?．1．空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)間的距離2．點(diǎn)到直線的距離平面上的點(diǎn)到平面直線Ax＋By＋C＝0的距離公式3．點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離公式六、空間曲線及其方程1．空間曲線的一般方程設(shè)F（x，y，z）＝0和G（x，y，z）＝0是兩個(gè)曲面的方程，兩曲面的交線為C,則空間曲線C的一般方程為2．空間曲線的參數(shù)方程稱方程組為空間曲線的參數(shù)方程．3．空間曲線在坐標(biāo)面上的投影以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸（即垂直于xOy面）的柱面稱為曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面，投影柱面與xOy面的交線稱為空間曲線C在xOy面上的投影曲線，又稱投影．七、曲面及其方程1．曲面方程的概念如果曲面S與三元方程F（x，y，z）＝0有下述關(guān)系：（1）曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足F（x，y，z）＝0；（2）不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足F（x，y，z）＝0，則方程F（x，y，z）＝0就稱為曲面S的方程.2．曲面的分類（1）球面方程①球心在點(diǎn)，半徑為R的球面的方程②球面的一般方程（2）旋轉(zhuǎn)曲面①定義以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸．②分類a．圓錐面直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面稱為圓錐面．兩直線的交點(diǎn)稱為圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的夾角的半頂角．稱為圓錐面b．旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面（圖4－4），方程為圖4－4c．旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面稱為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面（圖4－5），方程為圖4－5（3）柱面①定義直線L沿定曲線C平行移動(dòng)形成的軌跡稱為柱面，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L稱為柱面的母線．②分類a．圓柱面凡是通過xOy面內(nèi)圓上一點(diǎn)M（x，y，0），且平行于z軸的直線l都在這曲面上，稱這曲面為圓柱面（圖4－6），圓直線l稱為母線．稱為準(zhǔn)線，圖4－6b．拋物圓柱面方程表示母線平行于z軸的柱面，它的準(zhǔn)線是xOy面上的拋物線，該柱面稱為拋物柱面（圖4－7）．圖4－7c．母線平行于x軸的柱面只含y、z而缺x的方程B（y，z）＝0表示母線平行于x軸的柱面．d．母線平行于y軸的柱面只含x、z而缺y的方程G（x，z）＝0表示母線平行于y軸的柱面．e．母線平行于z軸的柱面只含x、y而缺z的方程F（x，y）＝0表示母線平行于z軸的柱面．（4）二次曲面①定義把三元二次方程F（x，y，z）＝0所表示的曲面稱為二次曲面．②分類a．橢圓錐面b．橢球面；；c．單葉雙曲面d．雙葉雙曲面；；e．橢圓拋物面f．雙曲拋物面；.專題5多元函數(shù)微分學(xué)第1部分考試內(nèi)容多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)的極限和連續(xù)有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念及求法全微分存在的必要條件和充分條件多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法高階偏導(dǎo)數(shù)的求法空間曲線的切線和法平面曲面的切平面和法線方向?qū)?shù)和梯度二元函數(shù)的泰勒公式多元函數(shù)的極值和條件極值拉格朗日乘數(shù)法多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

第2部分考試要求（1）理解多元函數(shù)的概念、理解二元函數(shù)的幾何意義。（2）理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念及基本運(yùn)算性質(zhì)，了解二元函數(shù)累次極限和極限的關(guān)系會(huì)判斷二元函數(shù)在已知點(diǎn)處極限的存在性和連續(xù)性了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（3）理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念了解二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)的關(guān)系，會(huì)求偏導(dǎo)數(shù)和全微分，了解二元函數(shù)兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。（4）熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。（5）熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。（6）理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。（7）理解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。（8）了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。（9）理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡單多元函數(shù)的最大值、最小值，并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題。（10）了解全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

第3部分考試大綱詳解一、多元函數(shù)1．多元函數(shù)的概念設(shè)D是Rn的一個(gè)非空子集，稱映射f：D→R為定義在D上的n元函數(shù)，記作或其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，x1，x2，…，xn稱為自變量，u稱為因變量．當(dāng)n≥2時(shí)，n元函數(shù)就稱為多元函數(shù)．2．二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)z＝f（x，y）在空間直角坐標(biāo)系中表示的是一個(gè)曲面．3．二元函數(shù)的極限設(shè)二元函數(shù)f（P）＝f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）是D的聚點(diǎn)．如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)點(diǎn)時(shí)，都有成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f（x，y）當(dāng)（x，y）→（x0，y0）時(shí)的極限，記作4．二元函數(shù)的連續(xù)性（1）連續(xù)性的定義設(shè)二元函數(shù)f（P）＝f（x，y）的定義域?yàn)镈，P0（x0，y0）為D的聚點(diǎn)，且．如果，則稱函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）處連續(xù)．（2）二元函數(shù)累次極限和極限的關(guān)系①若累次極限和，極限都存在，則三者相等．②若累次極限限和存在但不相等，則極必不存在．（3）有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)①有界性與最大值最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值．注：若f（P）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則必定存在常數(shù)M＞0，使得對(duì)一切，有；且存在，使得②介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值．③一致連續(xù)性定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上一致連續(xù)．注：若f（P）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得對(duì)于D上的任意兩點(diǎn)P1，P2，只要當(dāng)|P1P2|＜δ時(shí)，都有成立．二、偏導(dǎo)數(shù)1．偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量如果存在，則稱此極限為函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作2．偏導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)z＝f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)（x，y）處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則該偏導(dǎo)數(shù)是x，y的函數(shù)，稱為函數(shù)z＝f（x，y）對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作同理，函數(shù)z＝f（x，y）對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作3．高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)于是在D內(nèi)fx（x，y），fy（x，y）都是x，y的函數(shù)．如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z＝f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù)．按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)其中第二、三兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)．同樣可得三階、四階……以及n階偏導(dǎo)數(shù)．二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)．4．二元函數(shù)兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件如果函數(shù)z＝f（x，y）的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等．三、全微分1．全微分存在條件（二元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在及連續(xù)的關(guān)系）如果函數(shù)z＝f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)可微分．在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)2．全微分計(jì)算（1）二元函數(shù)z＝f（x，y）的全微分：；（2）三元函數(shù)u＝f（x，y，z）的全微分：3．全微分存在的必要條件和充分條件．（1）必要條件如果函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)與必定存在，且函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全微分為．（2）充分條件如果函數(shù)z＝f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)可微分．在點(diǎn)（x，y）連續(xù)，則函數(shù)在該4．全微分形式不變性設(shè)函數(shù)z＝f（u，ν）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分注：無論u和ν是自變量還是中間變量，函數(shù)z＝f（u，ν）的全微分形式是一樣的，即復(fù)合函數(shù)．的全微分四、多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則1．一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形如果函數(shù)及都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z＝f（u，ν）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，ν）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)t可導(dǎo)，且有2．多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形如果函數(shù)及都在點(diǎn)（x，y）具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z＝f（u，ν）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，ν）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z＝在點(diǎn)（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有3．其他情形如果函數(shù)u＝φ（x，y）在點(diǎn)（x，y）具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)v＝ψ（y）在點(diǎn)y可導(dǎo)，函數(shù)z＝f（u，v）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)（u，v）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)有在點(diǎn)（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則1．隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)F（x，y）在點(diǎn)P（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程F（x，y）＝0在點(diǎn)（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)恒能惟一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y＝f（x），它滿足條件y0＝f（x0），并有2．隱函數(shù)存在定理2．設(shè)函數(shù)F（x，y，z）在點(diǎn)P（x0，y0，z0）的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)，則方程F（x，y，z）＝0在點(diǎn)數(shù)，且，（x0，y0，z0）的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z＝f（x，y），它滿足條件z0＝f（x0，y0），并有3．隱函數(shù)存在定理3設(shè)偏導(dǎo)數(shù)，又列式（又稱雅可比式）在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行在點(diǎn)數(shù)不等于零，則方程組在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函，滿足條件，并有六、方向?qū)?shù)與梯度1．方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，且方向?qū)?shù)為可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向其中cosα和cosβ是方向l的方向余弦．2．梯度在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)f（x，y）在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)量稱為函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)即，都可定出一個(gè)向量的梯度，記作這向，或其中稱為向量微分算子.3．方向?qū)?shù)與梯度關(guān)系方向el是與方向l同向的單位向量，該向量與梯度在三種特殊情況下的關(guān)系有：（1）當(dāng)θ＝0，即方向el與梯度的方向相同時(shí)，函數(shù)f（x，y）增加最快．函數(shù)在這個(gè)方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值，此最大值就是梯度的模，即（2）當(dāng)θ＝π，即方向el與梯度的方向相反時(shí)，函數(shù)f（x，y）減少最快，函數(shù)在這個(gè)方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最小值，即（3）當(dāng)零，即，即方向el與梯度的方向正交時(shí)，函數(shù)的變化率為七、多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1．空間曲線的切線與法平面（1）若空間曲線Г的參數(shù)方程為是曲線Γ上的一個(gè)點(diǎn)，則曲線Γ在點(diǎn)M處的切線方程為法平面方程為（2）若空間曲線Γ的方程為是曲線Γ上的一個(gè)點(diǎn)，則曲線Γ在點(diǎn)M處的切線方程為法平面方程為（3）若空間曲線Γ的方程為是曲線Γ上的一個(gè)點(diǎn)．又設(shè)F、G有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且曲線Γ在點(diǎn)M處的切線方程為法平面方程為2．曲面的切平面與法線（1）隱式形式的曲面方程F（x，y，z）＝0已知M（x0，y0，z0）是曲面上一點(diǎn)，則：①切平面方程②法線方程③曲面法向量（2）曲面方程z＝f（x，y）已知M（x0，y0，z0）是曲面上一點(diǎn)，則：①切平面方程②法線方程③曲面法向量八、二元函數(shù)的泰勒公式設(shè)z＝f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有（n＋1）階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有其中表示；表示；表示．九、多元函數(shù)的極值及其求法1．多元函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）的定義域?yàn)镈，為D的內(nèi)點(diǎn)．若存在P0的某個(gè)鄰域，使得對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的任何點(diǎn)（x，y），都有則稱函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)稱為函數(shù)f（x，y）的極大值點(diǎn)；若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于P0的任何點(diǎn)（x，y），都有有極大值，點(diǎn)則稱函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)有極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)f（x，y）的極小值點(diǎn)．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．使得函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)．2．定理（1）必要條件設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則有（2）充分條件設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)數(shù)，又f（x，y）在的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)則，令處是否取得極值的條件如下：①AC－B2＞0時(shí)具有極值，且當(dāng)A＜0時(shí)有極大值，當(dāng)A＞0時(shí)有極小值；②AC－B2＜0時(shí)沒有極值；③AC－B2＝0時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論．3．條件極值拉格朗日乘數(shù)法：要找函數(shù)z＝f（x，y）在附加條件格朗日函數(shù)下的可能極值點(diǎn)，可先作拉其中λ為參數(shù)．求其對(duì)x與y的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，建立方程組由該方程組解出x、y及λ，可得點(diǎn)（x，y）就是函數(shù)f（x，y）在附加條件下的可能極值點(diǎn)．4．簡單多元函數(shù)的最大值、最小值設(shè)函數(shù)f（x，y）在有界區(qū)域D上連續(xù)：（1）求f（x，y）在D內(nèi)的極值點(diǎn)；（2）求f（x，y）在邊界上的最大、最小值；（3）比較（1）和（2）中的最值，得到最終的最值．十、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用如果二元函數(shù)z＝f（x，y）在點(diǎn)P（x，y）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且寫成都較小時(shí)，則有近似等式，即專題6多元函數(shù)積分學(xué)第1部分考試內(nèi)容二重積分、三重積分的概念及性質(zhì)二重積分與三重積分的計(jì)算和應(yīng)用兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲線積分之間的關(guān)系格林公式平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件已知全微分求原函數(shù)兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算兩類曲面積分之間的關(guān)系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及計(jì)算曲線積分和曲面積分的應(yīng)用

第2部分考試要求（1）理解二重積分、三重積分的概念，掌握重積分的性質(zhì)．（2）熟練掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)），掌握二重積分的換元法．（3）理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系．熟練掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法．（4）熟練掌握格林公式，會(huì)利用它求曲線積分.掌握平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件.會(huì)求全微分的原函數(shù)．（5）理解兩類曲面積分的概念，了解兩類曲面積分的性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系．熟練掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法．（6）掌握高斯公式和斯托克斯公式，會(huì)利用它們計(jì)算曲面積分和曲線積分．（7）了解散度、旋度的概念，并會(huì)計(jì)算．（8）了解含參變量的積分和萊布尼茨公式．（9）會(huì)用重積分、曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、曲面的面積、物體的體積、曲線的弧長、物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等）．

第3部分考試大綱詳解一、二重積分1．二重積分的概念2．二重積分的性質(zhì)（1）設(shè)α與β為常數(shù)，則；（2）如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和；（3）如果在D上，f（x，y）＝1，σ為D的面積，則（4）如果在D上，f（x，y）≤g（x，y），則有；．特殊地，由于，則（5）設(shè)M和m分別是f（x，y）在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有；（6）（二重積分的中值定理）設(shè)函數(shù)f（x，y）在閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)3．利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分，使得．（1）X型區(qū)域設(shè)積分區(qū)域D用不等式來表示（圖6－1），其中函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)．圖6－1計(jì)算步驟：①求截面面積過區(qū)間[a，b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為②求立體體積應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立體體積的方法，得曲頂柱體體積為該體積為所求二重積分的值，有等式這就是把二重積分化為先對(duì)y，后對(duì)x的二次積分的公式．上面公式也可以寫成（2）Y型區(qū)域設(shè)積分區(qū)域D用不等式來表示（圖6－2），其中函數(shù)、在區(qū)間[c，d]上連續(xù)，則這就是把二重積分化為先對(duì)x，后對(duì)y的二次積分的公式．上面公式也可以寫成圖6－2注：積分區(qū)域D既不是X型區(qū)域，又不是Y型區(qū)域時(shí)，可以把D分成幾部分，使每個(gè)部分是X型區(qū)域或Y型區(qū)域．4．利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式來表示（圖6－3），其中函數(shù)φ1（θ）、φ2（θ）在區(qū)間[α，β]上連續(xù)，則極坐標(biāo)系中的二重積分化為二次積分的公式為圖6－35．利用換元法計(jì)算二重積分設(shè)f（x，y）在xOy平面上的閉區(qū)域D上連續(xù)，若變換將uOv平面上的閉區(qū)域D′變?yōu)閤Oy平面上的D，且滿足：（1）x（u，v），y（u，v）在D′上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（2）在D′上雅可比式（3）變換T：D′D是一對(duì)一的，則有；二、三重積分1．定義2．三重積分的計(jì)算（1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分假設(shè)積分區(qū)域Ω可表示為Ω＝{（x，y，z）|z1（x，y）≤z≤z2（x，y），（x，y）∈Dxy}．①將x、y看做定值，將f（x，y，z）只看做z的函數(shù)，在區(qū)間[z1（x，y），z2（x，y）]上對(duì)z積分的結(jié)果是x、y的函數(shù)，記為F（x，y），即．②計(jì)算F（x，y）在閉區(qū)域Dxy上的二重積分如果閉區(qū)域分，則得到三重積分的計(jì)算公式把這個(gè)二重積分化為二次積（2）利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為其中ρ為常數(shù)，表示以z軸為軸的圓柱面；θ為常數(shù)，表示為過z軸的半平面；z為常數(shù)，表示為與xOy面平行的平面，其中則柱面坐標(biāo)形式的三重積分為，其中（3）利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M（x，y，z）為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系為其中r為常數(shù)，表示以原點(diǎn)為心的球面；為常數(shù)，表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸的圓錐面；為常數(shù)，表示過z軸的半平面，其中設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影為P，點(diǎn)P在x軸上的投影為A，則OA＝x，AP＝y(tǒng)，PM＝z．又為因此，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系則球面坐標(biāo)形式的三重積分為其中三、曲線積分1．對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)（1）概念設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)f（x，y）在L上有界．在L上任意插入一點(diǎn)列把L分成n個(gè)小段．設(shè)第i個(gè)小段的長度為．又為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)，作乘積并作和，如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值時(shí)，這和的極限總存在，且與曲線弧L的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)f（x，y）在曲線弧L上對(duì)弧長的曲線積分（第一類曲線積分），記作即其中f（x，y）稱為被積函數(shù)，L稱為積分弧段．（2）性質(zhì)①性質(zhì)l設(shè)α、β為常數(shù)，則②性質(zhì)2若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2，則③性質(zhì)3設(shè)在L上f（x，y）≤g（x，y），則特別地，有2．對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法（1）定理設(shè)f（x，y）在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為若在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且存在，且則曲線積分（2）曲線弧L的計(jì)算公式①若曲線為即則②若曲線為則③若曲線為則3．對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)（1）概念設(shè)L為xOy面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)P（x，y）與Q（x，y）在L上有界．在L上沿L的方向任意插入一點(diǎn)列把L分成n個(gè)有向小弧段．設(shè)，點(diǎn)為上任意取定的點(diǎn)，作，如果當(dāng)各小弧乘積段長度的最大值，并作和時(shí)，這和的極限總存在，且與曲線弧L的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)P（x，y）在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分，記作線弧L的分法及點(diǎn)．如果總存在，且與曲的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)Q（x，y）在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分，記作即其中P（x，y）、Q（x，y）稱為被積函數(shù)，L稱為積分弧段．（2）性質(zhì)①性質(zhì)l設(shè)α與β為常數(shù)，則②性質(zhì)2若有向曲線弧L可分成兩段光滑的有向曲線弧L1和L2，則③性質(zhì)3設(shè)L是有向光滑曲線弧，是L的反向曲線弧，則4．對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法（1）定理設(shè)P（x，y）與Q（x，y）在有向曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由α變到β時(shí)，點(diǎn)M（x，y）從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B，若與在以α及β為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分存在，且（2）坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算公式①若曲線方程為，則其中下限a對(duì)應(yīng)L的起點(diǎn)，上限b對(duì)應(yīng)L的終點(diǎn)．②若曲線方程為參數(shù)方程，則其中下限α對(duì)應(yīng)曲線的起點(diǎn)，上限對(duì)應(yīng)曲線的終點(diǎn)．5．兩類曲線積分的關(guān)系（1）平面曲線弧L上的兩類曲線積分之間的聯(lián)系其中α（x，y）與β（x，y）為有向曲線弧L在點(diǎn)（x，y）處的切向量的方向角．（2）空間曲線弧上的兩類曲線積分之間的聯(lián)系其中向量的方向角．為有向曲線弧在點(diǎn)（x，y，z）處的切四、格林公式及其應(yīng)用1．格林公式設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，若函數(shù)P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則其中L是D的取正向的邊界曲線．注：設(shè)閉區(qū)域D的面積為A，則2．平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件（1）定義．設(shè)G是一個(gè)區(qū)域，P（x，y）以及Q（x，y）在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．如果對(duì)于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L1，L2，等式恒成立，則稱曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)．（2）曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件是3．二元函數(shù)的全微分求積（1）定理設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，若函數(shù)P（x，y）與Q（x，y）在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則P（x，y）dx＋Q（x，y）dy在G內(nèi)為某一函數(shù)u（x，y）的全微分的充分必要條件是在G內(nèi)恒成立．推論：設(shè)區(qū)域G是一個(gè)單連通域，若函數(shù)P（x，y）與Q（x，y）在G內(nèi)在G內(nèi)與路徑無關(guān)的充分必具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分要條件是：在G內(nèi)存在函數(shù)u（x，y），使du＝Pdx＋Qdy．（2）全微分方程①定義微分方程u（x，y）的全微分，如果它的左端恰好是某一個(gè)函數(shù)則稱該微分方程為全微分方程．②全微分方程充分必要條件③全微分方程的通解其中x0與y0是在區(qū)域G內(nèi)適當(dāng)選定的點(diǎn)M0的坐標(biāo)．五、曲面積分1．對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)（1）概念設(shè)曲面Σ是光滑的，函數(shù)f（x，y，z）在Σ上有界．把Σ任意分成n小塊（同時(shí)也代表第i小塊曲面的面積），設(shè)是上任意取定的一點(diǎn)，作乘積并作和，如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值時(shí)，這和的極限總存在，且與曲面Σ的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)f（x，y，z）在曲面Σ上對(duì)面積的曲面積分或第一類曲面積分，記作即其中f（x，y，z）稱為被積函數(shù)，Σ稱為積分曲面．（2）性質(zhì)如果Σ可分成兩片光滑曲面Σ1及Σ2（記作Σ＝Σ1＋Σ2），則2．對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法3．對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)（1）曲面的上側(cè)和下側(cè)曲面z＝z（x，y）的法向量n的指向朝上的一側(cè)稱為曲面的上側(cè),反之，朝下的一側(cè)稱為曲面的下側(cè)．（2）概念設(shè)Σ為光滑的有向曲面，函數(shù)R（x，y，z）在Σ上有界．把Σ任意分成n塊小曲面投影為（同時(shí)又表示第i塊小曲面的面積），在xOy面上的是上任意取定的一點(diǎn)，作乘積（i＝1，2，…，n），并作和，如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值λ→0時(shí)，這和的極限總存在，且與曲面Σ的分法及點(diǎn)的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)R（x，y，z）在有向曲面Σ上對(duì)坐標(biāo)x、y的曲面積分，記作，即其中R（x，y，z）稱為被積函數(shù)，Σ稱為積分曲面．（3）性質(zhì)①如果把Σ分成Σ1和Σ2，則②設(shè)Σ是有向曲面，表示與Σ取相反側(cè)的有向曲面，則4．對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法設(shè)積分曲面Σ是由方程z＝z（x，y）所給出的曲面上側(cè)，Σ在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy，函數(shù)z＝z（x，y）在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)R（x，y，z）在Σ上連續(xù)，則注：如果曲面積分取在Σ的下側(cè)，則5．兩類曲面積分之間的關(guān)系其中cosα、cosβ與cosγ是有向曲面Σ在點(diǎn)（x，y，z）處的法向量的方向余弦．六、高斯公式和斯托克斯公式1．高斯公式設(shè)空間閉區(qū)域Ω是由分片光滑的閉曲面∑所圍成，若函數(shù)P（x，y，z）、Q（x，y，z）與R（x，y，z）在Ω上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則或∑是Ω的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，cosα、cosβ與cosγ是∑在點(diǎn)（x，y，z）處的法向量的方向余弦．2．斯托克斯公式設(shè)Γ為分段光滑的空間有向閉曲線，∑是以Γ為邊界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向與∑的側(cè)符合右手規(guī)則，若函數(shù)P（x，y，z）、Q（x，y，z）與R（x，y，z）在曲面∑（連同邊界Γ）上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則即注：斯托克斯公式的另一形式為n＝（cosα，cosβ，cosγ）為有向曲面∑在點(diǎn)（x，y，z）處的單位法向量．八、散度與旋度1．散度對(duì)于一般的向量場稱為向量場A的散度．2．旋度向量場的旋度為九、含參變量的積分和萊布尼茨公式1．積分限為變量的參變量積分如果函數(shù)與及其偏導(dǎo)數(shù)都在區(qū)間[a，b]上可微，且都在矩形上連續(xù)，函數(shù)，則2．萊布尼茨公式十、多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用1．平面圖形的面積設(shè)閉區(qū)域D的面積為A，利用格林公式知，．2．曲面的面積（1）若曲面S由方程z＝f（x，y）給出，D為積分區(qū)域，且函數(shù)f（x，y）在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲面S的面積公式為（2）若曲面S由參數(shù)方程給出，其中D為平面有界閉區(qū)域，又一階偏導(dǎo)數(shù)，且在D上具有連續(xù)的不全為零，則曲面s的面積公式為其中3．物體的體積利用高斯公式知4．曲線的弧長曲線弧L參數(shù)方程為則其中，在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則物體的質(zhì)量為．5．物體的質(zhì)量已知物體的密度為6．重心（1）二維平面重心公式其中，為閉區(qū)域D的面積．（2）三維空間重心公式其中，為封閉空間Ω的體積．7．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（1）平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式①薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量②薄片對(duì)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中為點(diǎn)處的面密度．（2）空間上物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式①物體對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量②物體對(duì)于y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量③物體對(duì)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中為點(diǎn)處的密度．8．引力設(shè)物體占有空間有界閉區(qū)域它在點(diǎn)（x，y，z）處的密度為，并假定點(diǎn)的引力為在上連續(xù)．則物體對(duì)位于處的單位質(zhì)量的質(zhì)其中，G為引力常數(shù)．9．功在物體移動(dòng)了距離s時(shí)，力F對(duì)物體所作的功為W＝F·S．10．流量設(shè)有向量場其中P、Q、R均連續(xù)，是A的定義域內(nèi)的一條分段光滑的有向閉曲線，是在點(diǎn)處的單位切向量，則積分有向閉曲線的環(huán)流量．稱為向量場A沿專題7無窮級(jí)數(shù)第1部分考試內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的概念收斂級(jí)數(shù)的和的概念級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)及其收斂性正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域、和函數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)簡單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法泰勒級(jí)數(shù)初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式在近似計(jì)算中的應(yīng)用函數(shù)的傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)狄利克雷定理函數(shù)在[－l，l]上的傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)在[0，l]上的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性

第2部分考試要求（1）理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件．（2）掌握幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散情況．（3）熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的各種判別法．（4）熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法．（5）理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系．（6）了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念．（7）理解冪級(jí)數(shù)的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域的求法．（8）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和．（9）了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件．（10）掌握一些常見函數(shù)如ex、sinx、cosx、ln（1＋x）和（1＋x）α等的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)．（11）會(huì)利用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式進(jìn)行近似計(jì)算．（12）了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和狄利克雷定理，會(huì)將定義在[－l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)將周期為2l的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)．（13）了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)，會(huì)判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性．

第3部分考試大綱詳解一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)基本概念（1）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義給定一個(gè)數(shù)列由這個(gè)數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式稱為（常數(shù)項(xiàng)）無窮級(jí)數(shù)，記為第n項(xiàng)un稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)．，即，其中（2）無窮級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{sn}有極限s，即斂，極限s稱為該級(jí)數(shù)的和，并寫成s＝u1＋u2＋…＋ui＋…；如果{sn}沒，稱無窮級(jí)數(shù)收有極限，則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散．2．收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)（1）如果級(jí)數(shù)收斂于和s，則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為ks.（2）如果級(jí)數(shù)且其和為s±σ．與分別收斂于和s與σ，則級(jí)數(shù)也收斂，（3）在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)