微專題Ⅱ－1 力學中的追及相遇模型

力學中的追及相遇模型微專題Ⅱ－1｜強化“科學思維”·強調(diào)應用建?！ぞC合考法“精細研”01020304目錄模型(一)運動圖像模型模型(二)交通實際模型模型(三)拋體運動模型模型(四)天體運動模型05專題跟蹤檢測01模型(一)

運動圖像模型

[典例]

如圖所示為三個運動物體A、B、C的速度—時間圖像，其中A、B兩物體從不同地點出發(fā)，A、C兩物體從同一地點出發(fā)，A、B、C均沿同一直線運動，且A在B前方3m處。則以下說法正確的是(

)A．A、C兩物體的運動方向相反B．在t＝4s時，A、B兩物體相遇C．在t＝4s前，A、C兩物體相遇D．在t＝2s時，A、B兩物體相距最遠[典例示法][解題關鍵點]切入點物體相遇時一定在同一時刻來到同一位置遷移點v－t圖像與t軸所圍面積表示物體的位移隱藏點物體速度相等時，常是相距最近或最遠的時刻易錯點(1)物體出發(fā)點的不同(2)v－t圖像交點表示速度相同，而x－t圖像的交點表示物體相遇[答案]

C[解析]由題圖知，在t＝4s之前，A、C兩物體的速度都為正值，可知A、C運動方向相同，故A錯誤；[思維建模]運動圖像模型問題的常見解法(1)識圖像——在解決此類問題時，首先要對給出的運動圖像進行識別，識別時要特別注意圖像的截距、交點、拐點、面積、斜率等所表示的物理意義。(2)畫草圖——根據(jù)圖像所反映的物體的運動情況，畫出物體的運動草圖。(3)找關系——根據(jù)運動草圖反映的物理過程，找出物體運動的三個關系：①時間關系；②位移關系；③速度關系。(4)列方程——根據(jù)找出的三個關系，列出物體的運動學方程，求出結(jié)果并對結(jié)果的合理性進行討論。題點1

x-t圖像中的追及相遇問題1．(2023·浙江嘉興調(diào)研)甲、乙兩質(zhì)點在同一直線上運動，從t＝0時刻起同時出發(fā)，甲做勻加速直線運動，x-t圖像如圖1所示。乙做勻減速直線運動，整個運動過程的x－v2圖像如圖2所示，下列說法正確的是(

)[應用體驗]答案：C

2．(2023·浙江模擬預測)在平直的公路上有甲、乙兩輛汽車從同一地點、沿同一方向做勻變速直線運動，它們的速度—時間圖像如圖所示。在0～6s時間內(nèi)，根據(jù)圖像可以判斷出(

)A．甲運動的加速度大小大于乙運動的加速度大小B．在t＝4s時，甲、乙運動的加速度大小相等C．甲、乙在t＝4s時相遇D．在t＝4s時，甲、乙相距最遠，且最遠距離為24m題點2

v-t圖像中的追及相遇問題答案：D

解析：v－t圖像斜率的絕對值表示加速度的大小，由題圖可知0～6s時間內(nèi)，甲運動的加速度大小小于乙運動的加速度大小，故A、B錯誤；v－t圖像與t軸圍成的面積表示位移的大小，由題圖可知在t＝4s時乙在甲的前方，故C錯誤；3．(多選)假設高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛。甲車在前，乙車在后，速度均為v0＝30m/s，距離s0＝100m。t＝0時刻甲車遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時間變化關系如圖1、2所示。取原運動方向為正方向。下面說法正確的是(

)題點3

a－t圖像中的追及相遇問題A．t＝3s時兩車相距最近B．0～9s內(nèi)兩車位移之差為45mC．t＝6s時兩車距離最近為10mD．兩車在0～9s內(nèi)會相撞答案：BC02模型(二)

交通實際模型交通實際模型是以交通運動的真實情境為背景，解決交通運動中的追及相遇及避碰問題，在高考中可以以選擇題或計算題的形式出現(xiàn)。[典例]

交通路口是交通事故的多發(fā)地，駕駛員到交通路口時應格外小心。現(xiàn)有甲、乙兩汽車正沿同一平直馬路同向勻速行駛，甲車在前，乙車在后，它們行駛的速度均為v0＝9m/s。當兩車快要到十字路口時，甲車司機看到信號燈已轉(zhuǎn)換成黃燈，立即緊急剎車，乙車司機為了避免與甲車相撞也緊急剎車。已知甲車剎車時的加速度大小為a1＝5m/s2，乙車緊急剎車時的加速度大小為a2＝4.5m/s2，乙車司機的反應時間為Δt＝0.5s(乙車司機看到甲車剎車0.5s后開始剎車)。[典例示法](1)若甲車司機看到信號燈轉(zhuǎn)換成黃燈時車頭距離停車線9m，他采取上述措施能否避免闖停車線？(2)為保證兩車在緊急剎車過程中不相撞，甲、乙兩車在行駛過程中至少應保持多大的距離？[解題指導](1)看到“乙車司機的反應時間為Δt＝0.5s”，想到“乙車在Δt時間內(nèi)以速度v0做勻速直線運動”。(2)看到“為保證兩車在緊急剎車過程中不相撞”，想到“在甲車剎車后，乙車運動的總位移應小于甲車剎車位移與兩車行駛過程中的距離之和”。[解析]

(1)設甲車減速到零的位移大小為x甲，根據(jù)速度位移公式可得v02＝2a1x甲，代入數(shù)據(jù)可解得x甲＝8.1m<9m，由此可知甲車能避免闖停車線。(2)由題意分析可知，在剎車的整個過程中兩車間的距離在逐漸減小。設乙車減速到零的位移大小為x乙，則有v02＝2a2x乙，代入數(shù)據(jù)解得x乙＝9m，乙車在司機反應時間內(nèi)的位移大小為x乙′＝v0Δt＝4.5m。設甲、乙兩車應保持的距離為Δx，由題分析可知，要保證不相撞，應滿足x乙＋x乙′≤x甲＋Δx，代入數(shù)據(jù)可得Δx≥5.4m。[答案]

(1)甲車能避免闖停車線(2)5.4m[思維建模]交通安全問題中的“一、二、三、四”(1)一個條件即兩者速度相等，它往往是物體間能夠追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。(2)兩個關系即時間關系和位移關系，這兩個關系可通過題干或畫運動示意圖得到。(3)三種情況①A追上B時，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB；②要使兩物體恰好不相撞，兩物體同時到達同一位置時速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB；③要使兩物體保證不相撞，則要求當vA＝vB時，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。(4)四步解題①分別對兩個物體進行研究，分析運動性質(zhì)；②畫出運動過程示意圖；③列出運動學規(guī)律式和時間、位移的關系式；④解出結(jié)果，必要時要進行討論。1．如圖，裝備了“全力自動剎車”安全系統(tǒng)的汽車，當車速v滿足3.6km/h≤v≤36km/h，且與前方行人之間的距離接近安全距離時，如果司機未采取制動措施，系統(tǒng)就會立即啟動“全力自動剎車”，使汽車避免與行人相撞。若該車在不同路況下“全力自動剎車”的加速度取值范圍是4～6m/s2，則該系統(tǒng)設置的安全距離約為(

)A．0.08mB．1.25mC．8.33m D．12.5m[應用體驗]答案：D

2．若汽車以v0＝72km/h的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)在x＝33m遠處有人開始橫穿馬路，立即采取剎車措施。已知司機的反應時間t1＝0.75s，剎車的加速度大小為4m/s2。(1)從司機發(fā)現(xiàn)情況至汽車走完33m距離，經(jīng)過多長時間？此時車速多大？(2)如果行人橫穿20m寬的馬路，橫穿速度為5m/s，行人是否有危險？(3)如果剎車的加速度大小為12m/s2，按(2)中條件，此時行人橫穿馬路是否有危險？解析：(1)由題可知v0＝72km/h＝20m/s，在t1＝0.75s的反應時間內(nèi)，汽車行駛距離x1＝v0t1＝15m，開始剎車后汽車勻減速行駛，加速度大小a＝4m/s2，(2)汽車行駛33m時，行人橫穿馬路走過的距離L＝v人t＝5×1.75m＝8.75m，此時行人接近馬路中心，可能有危險。答案：(1)1.75s

16m/s

(2)有危險(3)沒有危險03模型(三)

拋體運動模型拋體運動模型是指多個做平拋、豎直上拋或自由落體運動的物體，在空中相遇的問題，能很好地考查學生的理解能力和綜合分析能力，在高考中可以以選擇題的形式出現(xiàn)。[典例]

如圖所示，A、B兩點在同一條豎直線上，A點離地面的高度為3h0，B點離地面的高度為2h0。將兩個小球分別從A、B兩點水平拋出，它們在C點相遇，C點離地面的高度為h0，已知重力加速度為g，不計空氣阻力，兩小球均可視為質(zhì)點，則(

)[典例示法][解題關鍵點]切入點兩球做平拋運動，且同時到達C點疑難點兩球相遇時水平位移相等，豎直位移分別為2h0和h0反思點(1)兩球相遇在軌跡交點(2)兩球軌跡相交不一定相遇[答案]

C由于兩小球在C點相遇時，從A點拋出的小球豎直方向的速度大，且兩小球在豎直方向上加速度相同，均為g，故由勻變速直線運動的規(guī)律可知，從A點拋出的小球一定先落地，選項B錯誤；[思維建模]拋體相遇問題的解題方法對于拋體運動中的相遇問題，一般是從相遇點出發(fā)，抓住兩物體相遇時一定同時到達相遇點這一條件，再利用拋體運動的規(guī)律進行求解。常見解法如下：(1)找關系——根據(jù)兩物體的相遇點，尋找兩物體相遇時的時間關系、位移(水平位移和豎直位移)關系、速度關系，以及兩物體在初始時刻的位置關系等。(2)選規(guī)律——依據(jù)拋體運動的基本規(guī)律(位移規(guī)律、速度規(guī)律等)，列方程求解。題點1平拋運動與自由落體運動的相遇問題1．如圖所示，某同學利用玩具槍練習射擊，空中用細線懸掛一個可視為質(zhì)點的小球，小球離地高度為h，玩具槍的槍口與小球相距為d且在同一水平面上，子彈以v0的初速度沿水平方向射出，同時剪斷懸掛小球的細線，不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法中正確的是(

)[應用體驗]答案：C解析：子彈從槍膛射出后做平拋運動，由Δv＝gΔt可知，子彈在相等時間內(nèi)速度的變化量相等，選項A錯誤；對子彈，由動能定理可得ΔEk＝mgΔh，由此可知，子彈動能隨高度的變化是均勻的，選項B錯誤；若子彈的初速度v0較小，則可能出現(xiàn)子彈落地時其水平位移小于d的情況，此時不能擊中小球，選項D錯誤。答案：C

答案：D

04模型(四)

天體運動模型天體運動模型即天體運動中的追及相遇問題，通常是指天體分別在各自的圓軌道上圍繞同一中心天體做圓周運動時，相距最近或最遠的問題，多以選擇題的形式出現(xiàn)。[典例]

(2023·浙江1月選考)太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，稱為“行星沖日”。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表：[典例示法]行星名稱地球火星木星土星天王星海王星軌道半徑R/AU1.01.55.29.51930則相鄰兩次“沖日”時間間隔約為(

)A．火星365天

B．火星800天C．天王星365天

D．天王星800天[答案]

B[思維建模]解決天體中追及相遇問題的兩個關鍵點天體運動中的“追及相遇”問題可以分為同向追趕和反向追趕兩種情況，解決這類問題要抓住“兩個天體運動角度”之間的關系：(1)從某次“最近(遠)”到下一次“最近(遠)”，若同向追趕，兩個天體轉(zhuǎn)動的角度差等于2π；若反向追趕，兩個天體轉(zhuǎn)動的角度和等于2π。(2)從某次“最近(遠)”到下一次“最遠(近)”，若同向追趕，兩個天體轉(zhuǎn)動的角度差等于π；若反向追趕，兩個天體轉(zhuǎn)動的角度和等于π。題點1行星相遇問題1．太陽系中某行星A運行的軌道半徑為R，周期為T，但科學家在觀測中發(fā)現(xiàn)，其實際運行的軌道與圓軌道存在一些偏離，且每隔時間t發(fā)生一次最大的偏離。天文學家認為出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可能是行星A外側(cè)還存在著一顆未知行星B，它對行星A的萬有引力引起行星A軌道的偏離，假設其運行軌道與行星A在同一平面內(nèi)，且與行星A的繞行方向相同，由此可推測未知行星B繞太陽運行的圓軌道半徑為(

)[應用體驗]答案：A解析：由于每隔時間t發(fā)生一次最大的偏離，則說明每隔時間t，A、B相距最近一次，由于A的半徑小于B的半徑，所以每經(jīng)過時間t行星A要比行星B多運動一周，2.(多選)如圖所示，赤道上空的衛(wèi)星A距地面高度為R，質(zhì)量為m的物體B靜止在地球表面的赤道上，衛(wèi)星A繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球半徑也為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球的質(zhì)量為M，引力常量為G。若某時刻衛(wèi)星A恰在物體B的正上方，下列說法正確的是(

)題點2衛(wèi)星與赤道上物體相遇問題答案：BD05專題跟蹤檢測1．如圖所示的位移—時間(x－t)圖像和速度—時間(v－t)圖像中給出四條圖線，甲、乙、丙、丁分別代表四輛汽車由同一地點向同一方向運動的情況，則下列說法正確的是(

)A．甲車做直線運動，乙車做曲線運動B．0～t1時間內(nèi)，甲車通過的路程大于乙車通過的路程C．0～t2時間內(nèi)，丙、丁兩車在t2時刻相距最遠D．0～t2時間內(nèi)，丙、丁兩車的平均速度相等答案：C

解析：x－t圖像表示的是做直線運動的汽車的位移隨時間的變化情況，而不是汽車運動的軌跡，由于甲、乙兩車在0～t1時間內(nèi)做單向的直線運動，故在這段時間內(nèi)兩車通過的位移和路程均相等，A、B選項均錯；在v－t圖像中，t2時刻丙、丁速度相等，t2時刻之前v丁一直大于v丙，且丙、丁由同一地點沿同一方向運動，故t2時刻兩者相距最遠，C選項正確；由v－t圖線與坐標軸圍成的面積表示位移可知，0～t2時間內(nèi)丙的位移小于丁的位移，故丙的平均速度小于丁的平均速度，D選項錯誤。答案：D

答案：D

解析：在v－t圖像中，圖像與時間坐標軸圍成的面積表示位移，因此t1時刻甲、乙兩車的速度大小相等，但位移不同，A錯誤；在v－t圖像中圖線斜率表示加速度，因此可知t2時刻甲車的加速度大小小于乙車的加速度大小，B錯誤；由于甲車不是做勻變速直線運動，因此不能用中間時刻的瞬時速度代替平均速度，4.甲、乙兩人同時同地騎自行車出發(fā)做直線運動，前1h內(nèi)的x－t圖像如圖所示，下列表述正確的是(

)A．0.2～0.5h內(nèi)，甲的速度比乙的小B．0.2～0.5h內(nèi)，甲的加速度比乙的大C．0.6～0.8h內(nèi)，甲的位移比乙的小D．0.8h時，甲追上乙答案：D

解析：x－t圖像的斜率表示速度，0.2～0.5h內(nèi)，甲的斜率大，則甲的速度比乙的大，故A錯誤。由題圖知，0.2～0.5h內(nèi)，甲、乙都做勻速直線運動，加速度均為零，故B錯誤。物體的位移等于x的變化量，則知0.6～0.8h內(nèi)，甲的位移比乙的大，故C錯誤。0.8h時，甲、乙位移相等，甲追上乙，故D正確。5．(2023·浙江七校聯(lián)考)(多選)甲、乙兩車在同一水平路面上做直線運動，兩車從t＝0時刻開始計時的v－t圖像如圖所示。已知t＝0時，乙車在甲車前x＝6m處，且在t1＝2s和t2＝6s時兩車各相遇一次，則下列判斷正確的是(

)A．0～6s內(nèi)甲車的加速度大小是乙車的兩倍B．t＝0時乙車的速度大小為16m/sC．兩車在運動過程中一定會相遇三次D．當乙車停止運動時，甲、乙兩車仍相距6m答案：ACD

答案：B

7.小明、小華兩人各自駕車去一起燒烤，假設上高速后不久兩人的車同時經(jīng)過公路上的某一路標且速度相同，與此同時小明的車開始加速，但很快他發(fā)現(xiàn)后備廂沒關好于是立即剎車(視為勻減速直線運動)直至停止。從小明的車加速開始計時直至停止這一過程中兩人的車的v－t圖像如圖所示，則下列說法正確的是(

)答案：B

8．(2023·浙江紹興適應考試)假如你在地球赤道上，看到天空中一顆衛(wèi)星P從你頭頂正上方由西向東飛過，另一顆衛(wèi)星Q從東向西經(jīng)過頭頂正上方，恰好經(jīng)過12h兩顆衛(wèi)星都再次經(jīng)過頭頂?shù)恼戏?。假設兩顆衛(wèi)星的運動可視為勻速圓周運動，下列說法正確的是(

)A．衛(wèi)星Q比衛(wèi)星P的周期要大

B．衛(wèi)星Q比衛(wèi)星P的線速度要大C．衛(wèi)星Q比衛(wèi)星P的加速度要大

D．衛(wèi)星Q比衛(wèi)星P距地球要更近答案：A

9.如圖所示，斜面AB的傾角θ＝30°，在斜面頂端B向左水平拋出小球1、同時在底端A正上方與B等高處水平向右拋出小球2，小球1、2同時落在P點，P點為斜面AB的中點，則(

)A．小球2一定垂直撞在斜面上B．小球1、2的初速度大小可以不相等C．小球1落在P點時速度方向與斜面的夾角為30°D．改變小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向都相同答案：D

小球1落在斜面上時，位移與水平方向的夾角始終為30°，由速度方向與水平方向夾角的正切值等于位移與水平方向夾角正切值的兩倍可知，小球1落在P點時速度方向與斜面的夾角不是30°，改變小球1