江蘇省揚(yáng)州市儀征市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚(yáng)州市儀征市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)，其中a，，i是虛數(shù)單位，則（）A.-5 B.-1 C.1 D.5〖答案〗B〖解析〗由，得，∴，即，，∴．故選：B2.在中，若，，，則=（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，若，，，由正弦定理得：，所以.故選：B3.若函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，則整數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由為增函數(shù)，且，可得零點(diǎn)所在的區(qū)間為，所以.故選：C.4.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C5.已知正方形的邊長為（）A.3 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)檎叫蔚倪呴L為3，，則.故選：.6.已知，且α為銳角，則cosα＝（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋姚翞殇J角，則﹣＜＜，即cos（）＝＝，則cosα＝cos[（）+]＝cos（）cos﹣sin（）sin＝（﹣）＝.故選：C.7.平面內(nèi)三個(gè)單位向量，，滿足，則（）A.，方向相同 B.，方向相同C.，方向相同 D.，，兩兩互不共線〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故選：A.8.中若有，則的形狀一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A. B.z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.z的虛部為 D.z的共軛復(fù)數(shù)為〖答案〗AB〖解析〗由題意，因?yàn)閦＝1＋，所以|z|＝＝，其對應(yīng)的為在第一象限，且其虛部為1，其共軛復(fù)數(shù)為1－，所以選項(xiàng)A，B正確，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤，故選：AB.10.如圖，每一個(gè)小方格邊長為1個(gè)單位，在的方格紙中有一個(gè)向量（以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)，格點(diǎn)為終點(diǎn)），則（）A.分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與是相反向量的共有11個(gè)B.滿足的格點(diǎn)共有3個(gè)C.存在格點(diǎn)滿足D.存在格點(diǎn)，使得〖答案〗BCD〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：對于A選項(xiàng)，利用向量平移以及相反向量的概念可知，將向量分別向左、右、下各方向平移的過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)都在圖中的格點(diǎn)處的向量都與向量相等，取相反方向即可得出與是相反向量的共有18個(gè)，即A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，可設(shè)，且，易知，則，所以，解得，共3個(gè)，即格點(diǎn)共有3個(gè)，所以B正確；對于C選項(xiàng)，若，即滿足，可得共4個(gè)，即存在格點(diǎn)滿足，故C正確；對于D選項(xiàng)，易知當(dāng)時(shí)，滿足，所以D正確.故選：BCD11.下列四個(gè)等式其中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗A選項(xiàng)，所以正確；B選項(xiàng)，，，所以錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，所以錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所以正確故選：AD.12.已知滿足，且的面積，則下列命題正確的是（）A.周長為B三個(gè)內(nèi)角滿足關(guān)系C.外接圓半徑為D.中線的長為〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)闈M足，由正弦定理得，可設(shè)，其中，又由余弦定理得，因?yàn)?，可得，所以，所以，所以B正確；又因?yàn)榈拿娣e，可得，解得，所以，所以的周長為，所以A正確；設(shè)的外接圓的半徑為，可得，即，所以C錯(cuò)誤；在中，可得，所以，所以，即中線的長為，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則_______．〖答案〗3〖解析〗1－i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，可知1＋i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，∴(1＋i)(1﹣i)＝c，∴c＝3．故〖答案〗為：3．14.設(shè)向量，且，則＝________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)兩向量垂直，可得，解得.故〖答案〗為：.15.已知，且，求的值為_____．〖答案〗〖解析〗，則，注意到，于是，不妨記，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：，而，于是.故〖答案〗為：.16.斯特瓦爾特（Stewart）定理是由世紀(jì)的英國數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論．根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，點(diǎn)在邊上，且，則．已知中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，，點(diǎn)在上，且的面積與的面積之比為，則______．〖答案〗〖解析〗由及正弦定理可得，，則，所以，，則，，故，，，由余弦定理可得，，則，故，由斯特瓦爾特定理可得，因此，.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知平面向量，滿足，，，的夾角為.（1）求；（2）求.解：（1）因?yàn)?，，，的夾角為，根據(jù)數(shù)量積的定義，；（2）.18.已知復(fù)數(shù)（其中，，為虛數(shù)單位）在①；②z為純虛數(shù)；③z的實(shí)部與虛部相等．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．（1）若______，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)的模為5，求實(shí)數(shù)m的值．解：（1）若選①，因?yàn)?，則，解得；若選②，因?yàn)閦為純虛數(shù)，則，解得；若選③，因?yàn)閦的實(shí)部與虛部相等，則，解得.（2）因?yàn)?，所以，解得?9.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由題意，所以．（2）由（1）得，，所以．20.已知向量．（1）若，求x的值；（2）記，求函數(shù)y＝f（x）的最大值和最小值及對應(yīng)的x的值．解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴當(dāng)時(shí)，即x＝0時(shí)f（x）max＝3；當(dāng)，即時(shí)．21.為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號召，農(nóng)民王大伯?dāng)M將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個(gè)功能區(qū)：△BNC區(qū)域?yàn)槔笾α趾头硼B(yǎng)走地雞，△CMA區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣.為安全起見，在魚塘△MNC周圍筑起護(hù)欄.已知，，，.（1）若時(shí)，求護(hù)欄的長度（△MNC的周長）；（2）當(dāng)為何值時(shí)，魚塘△MNC的面積最小，最小面積是多少？解：（1）由，，，則，所以，，則，在△ACM中，由余弦定理得，則，所以，即，又，所以，則，綜上，護(hù)欄的長度（△MNC的周長）為.（2）設(shè)，在△BCN中，由，得，在△ACM中，由，得，所以，而，所以，僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值為，此時(shí)△CMN的面積取最小值為.22.法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這個(gè)三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”.如圖，在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.解：（1）由，得，即，即即，∵，∴，由正弦定理得，∵，∴，∴，∵，∴.（2）如圖，連接?，則，，正面積，∴，而，則，∴中，由余弦定理得：，有，則，在中，，，由余弦定理得，則，∴，，∴，所以的周長為.江蘇省揚(yáng)州市儀征市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中調(diào)研數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知復(fù)數(shù)，其中a，，i是虛數(shù)單位，則（）A.-5 B.-1 C.1 D.5〖答案〗B〖解析〗由，得，∴，即，，∴．故選：B2.在中，若，，，則=（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在中，若，，，由正弦定理得：，所以.故選：B3.若函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為，則整數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由為增函數(shù)，且，可得零點(diǎn)所在的區(qū)間為，所以.故選：C.4.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C5.已知正方形的邊長為（）A.3 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)檎叫蔚倪呴L為3，，則.故選：.6.已知，且α為銳角，則cosα＝（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，且α為銳角，則﹣＜＜，即cos（）＝＝，則cosα＝cos[（）+]＝cos（）cos﹣sin（）sin＝（﹣）＝.故選：C.7.平面內(nèi)三個(gè)單位向量，，滿足，則（）A.，方向相同 B.，方向相同C.，方向相同 D.，，兩兩互不共線〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以所以，所以，方向相同，故選：A.8.中若有，則的形狀一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等腰直角三角形〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A. B.z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C.z的虛部為 D.z的共軛復(fù)數(shù)為〖答案〗AB〖解析〗由題意，因?yàn)閦＝1＋，所以|z|＝＝，其對應(yīng)的為在第一象限，且其虛部為1，其共軛復(fù)數(shù)為1－，所以選項(xiàng)A，B正確，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤，故選：AB.10.如圖，每一個(gè)小方格邊長為1個(gè)單位，在的方格紙中有一個(gè)向量（以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)，格點(diǎn)為終點(diǎn)），則（）A.分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與是相反向量的共有11個(gè)B.滿足的格點(diǎn)共有3個(gè)C.存在格點(diǎn)滿足D.存在格點(diǎn)，使得〖答案〗BCD〖解析〗以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：對于A選項(xiàng)，利用向量平移以及相反向量的概念可知，將向量分別向左、右、下各方向平移的過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)都在圖中的格點(diǎn)處的向量都與向量相等，取相反方向即可得出與是相反向量的共有18個(gè)，即A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，可設(shè)，且，易知，則，所以，解得，共3個(gè)，即格點(diǎn)共有3個(gè)，所以B正確；對于C選項(xiàng)，若，即滿足，可得共4個(gè)，即存在格點(diǎn)滿足，故C正確；對于D選項(xiàng)，易知當(dāng)時(shí)，滿足，所以D正確.故選：BCD11.下列四個(gè)等式其中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗A選項(xiàng)，所以正確；B選項(xiàng)，，，所以錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，所以錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所以正確故選：AD.12.已知滿足，且的面積，則下列命題正確的是（）A.周長為B三個(gè)內(nèi)角滿足關(guān)系C.外接圓半徑為D.中線的長為〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)闈M足，由正弦定理得，可設(shè)，其中，又由余弦定理得，因?yàn)?，可得，所以，所以，所以B正確；又因?yàn)榈拿娣e，可得，解得，所以，所以的周長為，所以A正確；設(shè)的外接圓的半徑為，可得，即，所以C錯(cuò)誤；在中，可得，所以，所以，即中線的長為，所以D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則_______．〖答案〗3〖解析〗1－i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，可知1＋i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，∴(1＋i)(1﹣i)＝c，∴c＝3．故〖答案〗為：3．14.設(shè)向量，且，則＝________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)兩向量垂直，可得，解得.故〖答案〗為：.15.已知，且，求的值為_____．〖答案〗〖解析〗，則，注意到，于是，不妨記，于是，而，于是（負(fù)值舍去），又，則（正值舍去），于是計(jì)算可得：，而，于是.故〖答案〗為：.16.斯特瓦爾特（Stewart）定理是由世紀(jì)的英國數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論．根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，點(diǎn)在邊上，且，則．已知中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，，，點(diǎn)在上，且的面積與的面積之比為，則______．〖答案〗〖解析〗由及正弦定理可得，，則，所以，，則，，故，，，由余弦定理可得，，則，故，由斯特瓦爾特定理可得，因此，.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知平面向量，滿足，，，的夾角為.（1）求；（2）求.解：（1）因?yàn)?，，，的夾角為，根據(jù)數(shù)量積的定義，；（2）.18.已知復(fù)數(shù)（其中，，為虛數(shù)單位）在①；②z為純虛數(shù)；③z的實(shí)部與虛部相等．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．（1）若______，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若復(fù)數(shù)的模為5，求實(shí)數(shù)m的值．解：（1）若選①，因?yàn)椋瑒t，解得；若選②，因?yàn)閦為純虛數(shù)，則，解得；若選③，因?yàn)閦的實(shí)部與虛部相等，則，解得.（2）因?yàn)?，所以，解得?9.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由題意，所以．（2）由（1）得，，所以．20.已知向量．（1）若，求x的值；（2）記，求函數(shù)y＝f（x）的最大值和最小值及對應(yīng)的x的值．解：（