彈性力學課件

第二章彈性力學的基本方程和一般定理§2-1彈性力學中的幾個基本概念§2-2平衡（運動）微分方程§2-3幾何方程和連續(xù)性方程§2-4廣義Hooke定律§2-5斜面應力公式與應力邊界條件§2-6位移邊界條件§1-2彈性力學中的幾個基本概念基本概念：外力、應力、形變、位移。1.外力體力、面力（材力：集中力、分布力。）(1)體力——彈性體內(nèi)單位體積上所受的外力——體力分布集度（矢量）xyzOX、Y、Z為體力矢量在坐標軸上的投影單位：N/m3kN/m3說明：(1)F是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；(2)F的加載方式是任意的

(如：重力，磁場力、慣性力等)(3)X、Y、Z的正負號由坐標方向確定。(2)面力——作用于物體表面單位面積上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐標軸上投影單位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)說明：(1)F是坐標的連續(xù)分布函數(shù)；(2)F的加載方式是任意的;(3)的正負號由坐標方向確定。2.應力(1)一點應力的概念ΔAΔQ內(nèi)力(1)物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力.(不考慮)P(1)P點的內(nèi)力面分布集度(2)應力矢量.----P點的應力的極限方向由外力引起的在P點的某一面上內(nèi)力分布集度應力分量n(法線)應力的法向分量——正應力應力的切向分量——剪應力單位:與面力相同MPa(兆帕)應力關于坐標連續(xù)分布的(2)一點的應力狀態(tài)通過一點P的各個面上應力狀況的集合——稱為一點的應力狀態(tài)x面的應力：y面的應力：z面的應力：用矩陣表示：其中，只有6個量獨立。剪應力互等定理應力符號的意義：第1個下標x

表示τ所在面的法線方向；第2個下標y

表示τ的方向.應力正負號的規(guī)定：正應力——拉為正，壓為負。剪應力——坐標正面上，與坐標正向一致時為正；坐標負面上，與坐標正向相反時為正。xyzO與材力中剪應力τ正負號規(guī)定的區(qū)別：xy規(guī)定使得單元體順時轉的剪應力τ為正，反之為負。在用應力莫爾圓時必須用此規(guī)定求解問題xyzO3.形變形變——物體的形狀改變xyzO（1）線段長度的改變（2）兩線段間夾角的改變。PBCA——用線（正）應變ε度量——用剪應變γ度量（剪應變——兩垂直線段夾角（直角）的改變量）三個方向的線應變：三個平面內(nèi)的剪應變：(1)一點形變的度量應變的正負：線應變：伸長時為正，縮短時為負；剪應變：以直角變小時為正，變大時為負；(2)一點應變狀態(tài)——代表一點P的鄰域內(nèi)線段與線段間夾角的改變xyzOPBCA其中應變無量綱；4.位移注：一點的位移——矢量S應變分量均為位置坐標的函數(shù)，即xyzOSwuvP位移分量：u——x方向的位移分量；v——y方向的位移分量；w——z方向的位移分量。量綱：m或mm彈性力學問題：已知外力、物體的形狀和大?。ㄟ吔纾?、材料特性（E、μ）、約束條件等，求解應力、應變、位移分量。需建立三個方面的關系：（1）靜力學關系：應力與外力(體力、面力)間的關系；（2）幾何學關系：形變與位移間的關系；（3）物理學關系：(本構關系)形變與應力間的關系?！?-2平衡(運動)微分方程

在物體內(nèi)的任意一點P，割取一個微小的平行六面體，棱邊的長度分別為PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以連接六面體前后兩面中心的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程整理，并略去微量后，得同樣可以得出剪應力互等定理列出x軸方向的力的平衡方程

由其余兩個平衡方程和可以得出與之相似的兩個方程?；?，除以dxdydz，得空間問題的平衡微分方程（納維葉方程）如物體處于運動狀態(tài),根據(jù)達朗伯(d’Alembert)原理,在體力項中引入慣性力:運動微分方程§2-3幾何方程和連續(xù)性方程第二節(jié)有關力學基本概念描述已知:

*在載荷作用下,物體的形狀和位置要發(fā)生變化,

*力學中用應變來度量一點形狀的改變;用位移來度量一點位置的改變.

如已知物體中每一點的位移,則受載物體的位置和形狀均可確定.即位移與應變之間存在一定的關系.

描述位移與應變之間關系的方程稱為幾何方程

研究在oxy平面內(nèi)投影的變形，PABCA’B’C’P’PA=dxPB=dyPC=dz一.幾何方程一點的變形線段的伸長或縮短；線段間的相對轉動；xyOP考察P點鄰域內(nèi)線段的變形：AdxBdyuv變形前變形后PABuv注：這里略去了二階以上高階無窮小量。xyOPAdxBdyuvPA的正應變：PB的正應變：P點的剪應變：P點兩直角線段夾角的變化xyOPAdxBdyuv整理得：——幾何方程同樣方法研究另外兩平面yoz和zox上投影線元的變形可得到類似的方程。綜合起來，得彈性力學幾何方程。也稱柯西(Cauchy)方程幾何方程（1）幾何方程反映任一點的位移(3個分量)與該點應變(6個分量)間的關系，是彈性力學的基本方程之一。（2）當位移分量u、v

、w已知，則6個應變分量可完全確定；反之，已知6個應變分量，不能確定位移分量。（∵積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）說明：（3）幾何方程是純幾何變形分析結果，不涉及產(chǎn)生運動的原因和材料的物理性能，對一切連續(xù)介質(zhì)力學問題都適用。二.連續(xù)性方程應變分量與位移分量之間的關系由幾何方程表示；已知位移分量,可通過求偏導數(shù)得到6個應變分量；這是唯一確定的。反之,已知應變分量求位移分量,需通過積分運算。-------從數(shù)學上看，6個方程求3個未知量，如有解，則6個方程是相關的，即應變之間必須滿足某種關系才有可能得到唯一的位移解。-------從物理上看，為保證變形后物體連續(xù)和單值，應變間必須滿足一定關系。稱為相容性。表示應變分量間的這種關系的方程稱為變形連續(xù)性方程，也稱為變形相容方程或變形協(xié)調(diào)方程。第1式對y求兩階偏導第2式對x求兩階偏導兩式相加：將第4式代入得：同理：后三式分別對z、y、x求偏導得：同理：連續(xù)性方程連續(xù)性方程是單連體小變形連續(xù)的必要和充分條件。如應變分量滿足連續(xù)性方程，可保證位移分量存在?！?-4廣義Hooke定律(物理方程,本構方程)由材料力學已知，Hooke定律可表示為：單向拉壓純剪切E為拉壓彈性模量；橫向與縱向變形關系G為剪切彈性模量為泊松比一.各向同性材料的廣義Hooke定律對復雜應力狀態(tài)，在彈性力學假設條件下，應用疊加原理：考慮x方向的正應變：產(chǎn)生的x方向應變：產(chǎn)生的x方向應變：產(chǎn)生的x方向應變：疊加同理：剪應變：物理方程：說明：1.方程表示了各向同性材料的應力與應變的關系，稱為廣義Hooke定義。也稱為本構關系或物理方程。2.方程組在線彈性條件下成立。二.體積應變與體積彈性模量令：則：令：sm稱為平均應力;q稱為體積應變?nèi)?物理方程的其他表示形式物理方程：物理方程：用應變表示應力：或：

各種彈性常數(shù)之間的關系四.廣義Hooke定律(物理方程)的一般表達式廣義虎克定律(物理方程)描述應力與應變的關系,6個應力分量可表述為6個應變分量的函數(shù)。

當自變量(應變)很小時，式（１）中的各表達式可用泰勒級數(shù)展開．略去二階及以上的高階微量，則式（１）中的第一式展開為：表示應變分量為零時的值，由基本假設，初始應力為零．故表示函數(shù)f1對應變分量的一階偏導數(shù)在應變分量為零時的值，等于一個常數(shù)故,式（１）可用一個線性方程組表示式（２）是純數(shù)學推導結果，實際上與虎克定律線性關系一致，是在彈性小變形條件下彈性體內(nèi)任一點的應力與應變的一般關系式．式（２）中的系數(shù)稱為彈性常數(shù)，共有３６個．由均勻性假設，彈性體各點作用同樣應力時，必產(chǎn)生同樣的應變，反之亦然．因此為常數(shù)，其數(shù)值由彈性體材料的性質(zhì)而定．式（２）推導過程未引用各向同性假設，故可適用于極端各向異性體、正交各向異性體、二維各向同性體以及各向同性體等．式(3)可用簡寫為稱為彈性矩陣.式（２）可用矩陣表示

物體內(nèi)的任一點,沿各個方向的性能都不相同,則稱為極端各向異性體.(這種物體的材料極少見)五.彈性常數(shù)1.極端各向異性體:

由能量守恒定律和應變能理論可證明,彈性常數(shù)之間存在關系

即使在極端各向異性條件下,式(2)中的36個彈性常數(shù)也不是全部獨立.36個彈性常數(shù)減少到21個.彈性矩陣是對稱矩陣.彈性矩陣為極端各向異性體的特點:

(1)當作用正應力時,不僅會產(chǎn)生正應變,還會引起剪應變。(2)當作用正應力時,不僅會產(chǎn)生剪應變,也會引起正應變。2.正交各向異性體

如在均勻體內(nèi),任意一點都存在著一個對稱面,在任意兩個與此面對稱的方向上,材料的彈性性質(zhì)都相同。稱為具有一個彈性對稱面的各向異性體。該對稱面稱為彈性對稱面,垂直于彈性對稱面的方向稱為物體的彈性主方向。

具有一個彈性對稱面的各向異性體,彈性常數(shù)有13個。單斜晶體(如正長石)具有這類彈性對稱。如果在物體內(nèi)的任意一點有三個互相正交的彈性對稱面,這種物體稱為正交各向異性體。如:煤塊、均勻的木材、疊層膠木、復合材料等正交各向異性體有9個彈性常數(shù)。其彈性矩陣為3.橫觀各向同性體

如物體內(nèi)任意一點,在平行于某一平面的所有各個方向都有相同的彈性性質(zhì),這類正交異性體為橫觀各向同性體。如不同層次的土壤、復合板材等。橫觀各向同性體只有五個彈性常數(shù),彈性矩陣為

物體內(nèi)任意一點,沿任何方向的彈性性質(zhì)都相同。4.各向同性體各向同性體只有兩個獨立的彈性常數(shù),彈性矩陣為:可見:§2-5斜面應力公式與應力邊界條件

已知物體在任一點P的六個應力分量，求經(jīng)過P點的任一斜面上的應力。令平面ABC的外法線為N，其方向余弦為

設三角形ABC的面積為

S，則三角形BPC、CPA、APB的面積分別為l

S

、m

S、n

S。四面體PABC的體積用

V表示。三角形ABC上的應力在坐標軸方向的分量用XN、YN、ZN代表。根據(jù)四面體的平衡條件，得除以

S，移項后，得

當斜面ABC趨近于P點時，由于V是比S更高一階的微量，所以

V/

S趨于零。于是得出下式中的第一式。同樣，由平衡條件可以得出其余兩式。設三角形ABC上的正應力為N,則由投影可得將上式代入，得斜面應力(Cauchy)公式設三角形ABC上的剪應力為N，由于所以有

在物體的任意一點，如果已知六個應力分量就可以求得任一斜面上的正應力和剪應力。就是說，六個應力分量完全決定了一點的應力狀態(tài)。

如果ABC是物體的邊界面，則XN、YN、ZN成為面力分量，于是得出即彈性體的應力邊界條件。它表明了應力分量的邊界值與表面力分量之間的關系。§2-6位移邊界條件在位移邊界問題中，位移分量在邊界上還應當滿足位移邊界條件在給定位移的表面Su上注：在給定某方向的面力后，就不能再給定該方向的位移；反之亦然。但可某些方向給定位移，其它方向給定面力，即混合邊界條件。前幾節(jié)中給出的力分量、應力分量、應變分量和位移分量，其表示方法引用的是記號法； 這是一種公認的彈性力學參量表示方法?！?-7彈性力學參量的指標表示法近年來，數(shù)學理論中的指標表示法開始出現(xiàn)在力學文獻及教科書中。指標表示法書寫簡潔，便于力學問題的理論推導。一.指標表示法1.指標符號

具有相同性質(zhì)的一組物理量，可以用一個帶下標的字母表示：如：位移分量u、v、w表示為u1

、u2、u

3，縮寫為ui（i=1,2,3）坐標x、y、z表示為x1、x2、x3

，縮寫為xi（i=1,2,3）。單位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。應力分量：可表示為：縮寫為：同理，應變分量可表示為：向量表示為三階線性方程組可表示為縮寫為2.愛因斯坦求和約定

在表達式的某項中，某指標重復出現(xiàn)一次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求和。重復指標稱為啞指標（簡稱啞標）例求和指標j求和指標i非求和指標稱為自由指標說明：（1）對于重復次數(shù)大于1的指標，求和約定無效。例：（2）啞標的有效范圍僅限于本項。（3）多重求和可采用不同的啞標表示。例：（4）啞標可局部地成對替換。（5）自由指標必須整體換名。（6）當自由指標恰好在同一項中重復出現(xiàn)一次，為避免混淆，應聲明對該指標不求和。例3.求導數(shù)的簡記方法微分算符簡記法例:求和約定4.克羅內(nèi)克(Kroneker)符號具有如下性質(zhì)(1)(2)也稱換名算子同理:4.置換符號表示，有２７個分量。定義：１２３１２３２３１１２３３１２３２１２１３１３２有兩個以上的指標相同置換符號用于簡化公式的書寫．行列式：二.彈性力學方程的指數(shù)表示(1)平衡(運動)微分方程(2)幾何方程(3)物理方程(4)邊界條件力邊界條件:位移邊界條件:1.迭加原理:

彈性體受幾組外力同時作用時的解(應力、應變和位移)等于每一組外力單獨作用時對應解的和.§2-8彈性力學的幾個基本原理 (1) 迭加原理成立的條件是微分方程和邊界條件是線性的.說明: (2) 對大變形問題,幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項,平衡方程將受到變形的影響,迭加原理不再適用。 (3) 對非線彈性或彈塑性材料,應力應變關系為非線性,迭加原理不成立。圣維南原理:

若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系 若作用在物體局部表面上的外力,用一個靜力等效的力系(具有相同的主矢和主矩)代替,則離此區(qū)域較遠的部分所受影響可以忽略不計.前幾節(jié)中給出的力分量、應力分量、應變分量和位移分量，其表示方法引用的是記號法； 這是一種公認的彈性力學參量表示方法?！?-7彈性力學參量的指標表示法近年來，數(shù)學理論中的指標表示法開始出現(xiàn)在力學文獻及教科書中。指標表示法書寫簡潔，便于力學問題的理論推導。一.指標表示法1.指標符號

具有相同性質(zhì)的一組物理量，可以用一個帶下標的字母表示：如：位移分量u、v、w表示為u1

、u2、u

3，縮寫為ui（i=1,2,3）坐標x、y、z表示為x1、x2、x3

，縮寫為xi（i=1,2,3）。單位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。應力分量：可表示為：縮寫為：同理，應變分量可表示為：向量表示為三階線性方程組可表示為縮寫為2.愛因斯坦求和約定

在表達式的某項中，某指標重復出現(xiàn)一次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內(nèi)遍歷求和。重復指標稱為啞指標（簡稱啞標）例求和指標j求和指標i非求和指標稱為自由指標說明：（1）對于重復次數(shù)大于1的指標，求和約定無效。例：（2）啞標的有效范圍僅限于本項。（3）多重求和可采用不同的啞標表示。例：（4）啞標可局部地成對替換。（5）自由指標必須整體換名。（6）當自由指標恰好在同一項中重復出現(xiàn)一次，為避免混淆，應聲明對該指標不求和。例3.求導數(shù)的簡記方法微分算符簡記法例:求和約定4.克羅內(nèi)克(Kroneker)符號具有如下性質(zhì)(1)(2)也稱換名算子同理:4.置換符號表示，有２７個分量。定義：１２３１２３２３１１２３３１２３２１２１３１３２有兩個以上的指標相同置換符號用于簡化公式的書寫．行列式：二.彈性力學方程的指數(shù)表示(1)平衡(運動)微分方程(2)幾何方程(3)物理方程(4)邊界條件力邊界條件:位移邊界條件:1.迭加原理:

彈性體受幾組外力同時作用時的解(應力、應變和位移)等于每一組外力單獨作用時對應解的和.§2-8彈性力學的幾個基本定義 (1) 迭加原理成立的條件是微分方程和邊界條件是線性的.說明: (2) 對大變形問題,幾何方程將出現(xiàn)二次非線性項,平衡方程將受到變形的影響,迭加原理不再適用。 (3) 對非線彈性或彈塑性材料,應力應變關系為非線性,迭加原理不成立。 (4) 對非線性邊界條件,迭加原理也失效。2.解的唯一性定理：

在給定載荷作用下，處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點的應力、應變解是唯一的，如物體剛體位移受到約束，則位移解也是唯一的。

無論何方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問題的真解。3.圣維南原理:

提法一：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，則 此力系對物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠的部分不產(chǎn)生 影響只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應力和變形。提法二：若在物體的一小部分區(qū)域上作用一自平衡力系，該 力系在物體中引起的應力將隨離力系作用部分的距離 的增大而迅速衰減，在距離相當遠處，其值很小，可 忽略不計。提法三：若作用在物體局部表面上的外力，用一個靜力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，則離此區(qū)域較 遠的部分所受影響可以忽略不計。利用圣維南原理可放寬邊界條件，擴大彈性力學的解題范圍。例題：（習題2-2）1.由平衡方程不計體力，則X，Y，Z等于零將應力分量代入方程，1式，3式滿足。2式為：積分：由邊界條件求積分常數(shù)C(x)上表面的方向余弦l=0，m=-1，n=0；面力分部為：由邊界條件公式例題：（習題2-10）已知位移分量由幾何方程得練習：習題2-1，2-4，2-6，2-12第三章應力張量應變張量參考教材第五章

在給定載荷作用下，物體內(nèi)的任意斜截面上應力（應變）的大小和方向是確定的，即一點的應力狀態(tài)是確定的。不隨所取坐標系的不同而變化。

一點的應力（應變）狀態(tài)是用6個應力（應變）分量來定義，而應力（應變）分量是在一定的坐標系下確定的，且隨坐標系的不同的變化。本章重點是討論坐標變換時應力分量和應變分量的變化規(guī)律?！?-1應力分量的坐標變換應力張量坐標變換包括平移、旋轉和反射。對右手坐標系，平移和旋轉變換后仍保持右手系，反射變換則變成左手系。對平移變換，一點的應力分量保持不變。本節(jié)主要討論坐標旋轉變換是應力分量的變化規(guī)律考察物體內(nèi)任一點o，設oxyz為舊坐標系，其單位矢量為e1、e2、e3，相應的應力分量為xyze1e2e3z’x’y’e1’e2’e3’設ox’y’z’為新坐標，其單位矢量為e1’、e2’、e3’

。相應的應力分量為新舊坐標系下坐標軸間的方向余弦為xyzx’l1=a1’1m1=a1’2n1=a1’3y’l2=a2’1m2=a2’2n2=a2’3z’l3=a3’1m3=a3’2n3=a3’3作斜面abc垂直于x’軸，該斜面上的應力矢量為T。T在舊坐標系下的三個分量為T1，T2

和T3

，則xyzz’x’y’TT1T2T3由斜面應力(Cauchy)公式在新坐標系下，T在新坐標軸上的三個分量即為新系下該斜面上的三個應力分量。因為簡寫同理統(tǒng)一的變換式可見：應力分量在經(jīng)坐標變換后，仍保持其對稱性統(tǒng)一的變換式數(shù)學上將滿足上式的一組量稱為二階張量，即決定一點應力狀態(tài)的9個應力分量是一個二階張量，稱為應力張量§5-2主應力與應力張量不變量已知一點的應力分量，則任意斜截面上的應力矢量斜截面上的應力矢量T不僅與該點的應力狀態(tài)有關，且與斜面的方向有關。問：是否存在一特定的斜截面，其上應力矢量T與截面法線同向。即T為該截面上的正應力，而剪應力為零。設斜截面法線方向余弦為：應力矢量T在坐標軸上的投影為：由斜面應力(Cauchy)公式故或將上式展開當斜面法線方向滿足上述方程時，該斜面上只有正應力，沒有剪應力，稱該平面為主平面；主平面上的正應力稱為主應力；主應力方向（即主平面法線方向）稱為主方向。上述方程為的齊次線性方程組，且常數(shù)項都為零。因為：，故不能同時為零，所以方程組的系數(shù)行列式應為零，即將行列式展開，得到求解主應力的三次方程，稱為應力張量的特征方程。式中設特征方程的三個根為，則展開后有比較上兩式，有對一個給定的應力狀態(tài)，其主應力的大小和方向是確定的，不隨坐標系的變換而變化。故是不隨坐標系的變換而變化的量，稱為應力張量不變量。（特征方程）

分別稱為應力張量的第一、第二、第三不變量。主應力的重要性質(zhì)1.主應力為實數(shù)；2.三個主應力相互垂直；即物體內(nèi)任意一點，一定存在三個互相垂直的應力主平面，及對應的三個主應力。（1）當，有3個相互垂直的主應力；（2）當，與垂直的平面上的任意方向都為主應力方向，即該平面上任意方向都是主方向，且應力值相同。（3）當，空間任意方向都是主方向，且應力值相同。3.主應力的極值性；（1）最大（或最?。┑闹鲬κ窍鄳c處任意截面上正應力的最大（或最小）值；設：，則（2）絕對值最大（或最小）的主應力是相應點處任意截面上全應力T的最大（或最?。┲怠！?-3最大剪應力將三個坐標軸取在三個相互垂直的主應力方向上，稱為應力主軸。則應力分量為：由斜面應力公式，斜面上應力矢量T的分量斜面上的正應力：斜面上的剪應力：教材93頁公式（3）有誤由

是m，n的函數(shù)，取極值（也取極值）的條件是即上式第一式除，第二式除，得（1）當對應主平面，其剪應力為零。第二組解：第一組解：對應于經(jīng)過主軸之一，而平分其他兩主軸夾角（與主平面成45°）的平面，設，最大剪應力為：（2）兩主應力相等，設由第二式，得方程的解為

表示通過oz軸的平面，該組平面上，剪應力為零。

表示任一個與圓錐面相切的微分面。在該組面上剪應力取最大值。（3）三個主應力相等

空間任一方向都為主方向，即任一平面都是主平面，剪應力均為零。

該應力狀態(tài)稱為均勻受力狀態(tài)，也稱為靜水應力狀態(tài)?！?-4應力張量的分解描述一點應力狀態(tài)的9個應力分量構成一個對稱應力張量其中稱為應力張量的分量。引入平均應力則應力張量可分解為兩個張量之和簡寫為式中稱為應力偏量，為應力球形張量，為單位張量。球形張量是代表各向均勻拉伸或壓縮的應力狀態(tài)。

球形張量應力（靜水應力）作用下，物體只產(chǎn)生各向相同的線應變而無剪應變。對應物體的體積改變，而形狀不變。應力偏量代表各面正應力中偏離靜水應力的量，是正應力之和為零的應力狀態(tài)。該應力狀態(tài)下，物體的體積不改變而形狀改變。靜水壓力實驗研究表明，在均勻受力情況下，即使應力達到很大值，材料也不產(chǎn)生塑性變形。故：應力球形張量不產(chǎn)生材料的塑性變形；應力偏量是產(chǎn)生塑性變形的真正原因。應力偏量也是一種應力狀態(tài)，同樣存在著不變量。用表示。式中：§3-5物體內(nèi)無限相鄰兩點的位置變化

轉動張量一.單元的轉動單元e不變形時，由相鄰單元變形引起單元e繞oz軸的轉動（方位變化）rayxaxyxy注：為負單元e的剪應變單元e有變形時，由相鄰單元的變形引起的單元e的方位變化r’axy+ayxxyrayxaxy上式為繞oz軸的轉動，令同理，繞ox,oy軸的轉動為：

稱為轉動分量幾何方程由幾何方程和轉動分量可求出三個位移分量u,v,w的9個偏導數(shù)。簡記為對稱部分，反對稱部分，

為對作標的一階偏導數(shù)，為二階張量，稱為相對位移張量。稱為應變張量稱為轉動張量相鄰兩點P，Q間的位移變化量（即相對位移）剛體的平動部分。線元PQ自身變形部分。繞P點的剛性轉動部分，由相鄰單元的變形引起。Q點的位移P點的位移展開為§3-6應變的坐標變換應變張量一.微線元dr的相對伸長（正應變）設微線元dr的方向余弦為n=(l,m,n)；變形后線元為dr’，方向余弦為n’=(l’,m’,n’)。xyz線元兩端點A，B的位移分別為微線元dr的分量而變形后的線元矢量dr’的分量變形后的線元dr’長度略去二次項，且有設線元dr的相對伸長，即線應變?yōu)閯t將上式展開，并運用幾何方程，有上式為任意線元的正應變計算式二.兩微線元夾角的變化設兩線元，變形后為變形前后線元夾角分別為和線元方向余弦變形前后線元的方向余弦變形后兩線元矢量分別為變形后兩線元的長度分別為

分別為兩線元的線應變線元的方向余弦展開同理展開變形前、后線元夾角余弦：將有關結果代入得已知某點的6個應變分量，可求過該點任意兩個微線元間的夾角的變化初始兩線元垂直，小變形條件下△

表示兩垂直線元直角的變化，即剪應變。三.任意3個正交線元的線應變和剪應變xzz’x’y’xyzx’y’z’該3個線元分別為

以3個正交線元方向為軸建立新坐標系ox’y’z’。新坐標系軸在舊坐標系下的方向余弦為：已知任一線元的正應變公式

由此：三線元的正應變分量（新坐標系下的正應變）與舊坐標系下應變分量間的關系由兩正交線元直角的變化（剪應變）公式

三線元間夾角的變化（即新坐標系下的剪應變分量）與舊坐標系下應變分量的關系為應變分量的坐標變換統(tǒng)一表達式符合二階張量的定義。故：一點的應變狀態(tài)是一個二階張量，因為：，所以，應變張量是對稱張量§3-7主應變應變張量不變量一點的應變狀態(tài)由6個應變分量確定，但應變分量的數(shù)值與選定的坐標系有關，即一點的應變分量隨坐標系的變換而變化。問：是否存在一個坐標系，在該坐標系下，只有正應變，而剪應變?yōu)榱?。即沿該坐標系軸方向的3個正交線元只有相對伸長，

如存在上述性質(zhì)坐標系，則將該坐標系的3個軸方向稱為應變主方向，沿該坐標系軸方向的3個正交線元的相對伸長稱為主應變方向余弦為（l，m，n）的線元dr，變形后為dr’，相應的方向余弦為（l’，m’，n’）。由得設線元dr的方向為應變主方向，如不考慮方位的轉動，即，由主方向的定義，變形后應有，則上式與求主應力方向的方程相似，故有非零解的條件是：展開后得

稱為應變張量的三個不變量。由上式可求出應變張量的三個主應變，且三個主應變方向相互正交。

對各向同性體，主應力方向和主應變方向重合！可見：第一應變不變量就是體積應變！注：由于應變張量為二階張量，主應變有與主應力相同的性質(zhì)。與應力張量分解相似，應變張量也可分解為應變球形張量和應變偏量兩個張量之和，最大剪應變?yōu)椋簯兦蛐螐埩恐淮眢w積改變部分，應變偏量代表形狀改變部分，應變偏量在塑性力學中很重要，END課件上傳FTPIP:0Username:mechanicPassword:888888Port:210第四章平面問題的直角坐標解法要點——建立直角坐標下的平面問題基本方程包括：平衡微分方程；幾何方程；物理方程；變形協(xié)調(diào)方程；邊界條件的描述；方程的求解方法等主要內(nèi)容§4-1兩類平面問題§4-2平面問題的基本方程和邊界條件§4-3位移解法§4-4應力解法§5-5應力函數(shù)與應力函數(shù)解法§5-6多項式逆解法解平面問題§5-7幾種平面問題的直角坐標求解應力、應變和位移是彈性力學的3類基本未知函數(shù)，當這3類基本未知函數(shù)與第3個坐標方向（一般取z方向）無關時，則將該類問題稱為平面問題?！?-1兩類平面問題平面問題是在一個平面域內(nèi)的求解問題，但并非數(shù)學上的二維問題。彈性力學平面問題分為平面應變與平面應力問題兩類。1.平面應力問題(1)幾何特征xyyztba

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸小得多?！群癖∑桨迦纾喊迨降蹉^，旋轉圓盤，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿

z

方向不變化。xyyztba(3)應力特征如圖選取坐標系，以板的中面為xy

平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z軸方向不變。可認為整個薄板的各點都有：由剪應力互等定理，有結論：平面應力問題只有三個應力分量：xy應變分量、位移分量也僅為x、y的函數(shù)，與z無關。2.平面應變問題(1)幾何特征水壩滾柱厚壁圓筒

一個方向的尺寸比另兩個方向的尺寸大得多，且沿長度方向幾何形狀和尺寸不變化。

——近似認為無限長(2)外力特征

外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長度z方向不變化。

約束

——沿長度z方向不變化。(3)變形特征

如圖建立坐標系：以任一橫截面為xy面，任一縱線為z軸。

設z方向為無限長，則沿z方向都不變化，僅為x，y的函數(shù)。任一橫截面均可視為對稱面水壩因為任一橫截面均可視為對稱面，則有所有各點的位移矢量都平行于xy平面?！矫嫖灰茊栴}——平面應變問題注：(1)平面應變問題中但是，(2)平面應變問題中應力分量：——僅為xy的函數(shù)?？山茷槠矫鎽儐栴}的例子：煤礦巷道的變形與破壞分析；擋土墻；重力壩等。

如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應力問題還是平面應變問題？平面應力問題平面應變問題非平面問題3.平面問題的求解問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：——僅為xy的函數(shù)建立平面應力（或應變）條件下的基本方程：（1）靜力學關系：（2）幾何學關系：（3）物理學關系：形變與應力間的關系。應力與體力、面力間的關系；形變與位移間的關系；建立邊界條件：——平衡微分方程——幾何方程——物理方程（1）應力邊界條件；（2）位移邊界條件；§4-2平面問題的基本方程和邊界條件1.平衡微分方程空間問題的平衡微分方程（納維葉方程）對平面應力問題對平面應變問題—僅為xy的函數(shù)。平面問題的平衡微分方程：說明：（1）兩個平衡微分方程，三個未知量：——超靜定問題，需找補充方程才能求解。（2）對于平面應變問題，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程兩類平面問題均適用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程與材料性質(zhì)無關（鋼、石料、混凝土等）；（4）平衡方程對整個彈性體內(nèi)都滿足，包括邊界。2.幾何方程平面應變平面應力注：平面應力問題的解為近似解！平面應力問題，但由有

對薄板，可認為上兩式近似為零，故平面應力問題的解為近似解。3.物理方程1.各向同性彈性體的物理方程其中：E為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；μ為泊松比。(應力與應變的關系)（1）平面應力問題的物理方程由于平面應力問題中——

平面應力問題的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式（2）平面應變問題的物理方程由于平面應變問題中——

平面應變問題的物理方程注：(2)平面應變問題物理方程的另一形式：由式（2-13）第三式，得（2-13）(1)平面應變問題中，但？（3）兩類平面問題物理方程的轉換：——

平面應變問題的物理方程——

平面應力問題的物理方程(1)平面應力問題平面應變問題材料常數(shù)的轉換為：(2)平面應變問題平面應力問題材料常數(shù)的轉換為：4.邊界條件1.彈性力學平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：未知量數(shù)：8個方程數(shù)：8個結論：在適當?shù)倪吔鐥l件下，上述8個方程可解。2.邊界條件及其分類邊界條件：建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關系。xyOqP是力學計算模型建立的重要環(huán)節(jié)。邊界分類（1）位移邊界（2）應力邊界（3）混合邊界——三類邊界（1）位移邊界條件位移分量已知的邊界——位移邊界

用us

、

vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達為：——

平面問題的位移邊界條件說明：稱為固定位移邊界?！矫鎲栴}的應力邊界條件(2)力的邊界條件(1)邊界面力為合力時，面力正負號的確定

邊界面力分量的矢量方向指向坐標軸的正向為正，反之為負(2)邊界面力為合力矩時，力矩正負號的確定xyMs3.力的邊界條件的具體化xyMs（+）右手法則，母指指向z軸的正向為負，反之為負xyMs（-）xyMs（+）Ms（-）xy例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)(4)說明：x=0的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結果：第4章內(nèi)容回顧：1.兩類平面問題：平面應力問題平面應變問題幾何特征;受力特征;應力特征。幾何特征;受力特征;應變特征。xyyztba水壩滾柱——位移邊界條件2.平面問題的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）幾何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）（4）邊界條件：（1）（2）——應力邊界條件——平面應力問題例2如圖所示，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入邊界條件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtan

β）:N例3圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側面：由應力邊界條件公式，有右側面：例4圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點A處無應力存在。解：——平面應力問題，在AC、AB邊界上無面力作用。即AB邊界：由應力邊界條件公式，有（1）AC邊界：代入應力邊界條件公式，有（2）∵A點同處于AB和AC的邊界，∴滿足式（1）和（2），解得∴A點處無應力作用例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示構件，試寫出其邊界條件。例6例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。上側：下側：圖示構件，試寫出其應力邊界條件。例6上側：下側：N（3）混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應力邊界。(2)物體的同一部分邊界上，其中一個為位移邊界條件，另一為應力邊界條件。如：圖(a)：——位移邊界條件——應力邊界條件圖(b)：——位移邊界條件——應力邊界條件§4-3按位移求解平面問題1.彈性力學問題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）以u、v

為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v

表示，并求出u、v

，再由幾何方程、物理方程求出應力與形變分量。（2）按應力求解（力法，柔度法）以應力分量

為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應力分量表示，并求出應力分量，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。（3）混合求解以部分位移分量

和部分應力分量

為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。2.

按位移求解平面問題的基本方程（1）將平衡方程用位移表示由應變表示的物理方程將幾何方程代入，有（a）將式(a)代入平衡方程，化簡有（1）（2）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：應力邊界條件：（a）將式（a）代入，得式（1）、（2）、（3）構成按位移求解問題的基本方程說明：（1）對平面應變問題，只需將式中的E、μ作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。（3）（3）按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡方程：（1）（2）邊界條件：位移邊界條件：（2）應力邊界條件：（3）§4-4按應力求解平面問題相容方程按應力求解平面問題的未知函數(shù)：平衡微分方程：2個方程方程，3個未知量，為超靜定問題。需尋求補充方程，從形變、形變與應力的關系建立補充方程。顯然有：——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v的存在與協(xié)調(diào)，才能求得位移分量。1.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）將幾何方程：作如下運算：（1）平面應力情形將物理方程（a）2.變形協(xié)調(diào)方程的應力表示代入相容方程得：利用平衡方程將兩式相加：（b）將（a）式化簡：將(b)代入(a)，得：將上式整理得：應力表示的相容方程（平面應力情形）（2）平面應變情形將上式中的泊松比μ代為：，得應力表示的相容方程（平面應變情形）注意：當體力X、Y為常數(shù)時，兩種平面問題的相容方程相同，即3.按應力求解平面問題的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件：（平面應力情形）說明：（1）對位移邊界問題，不易按應力求解。（2）對應力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。（3）對多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。例下面給出平面應力問題（單連通域）的應力場和應變場，試分別判斷它們是否為可能的應力場與應變場（不計體力）。（1）（2）（a）（b）解（1）將式（a）——滿足將式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一組可能的應力場。代入平衡方程：（2）解將式（b）

式（b）滿足相容方程，∴（b）為可能的應變分量。代入應變表示的相容方程：例圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計體力。試根據(jù)材料力學公式，寫出彎曲應力和剪應力的表達式，并取擠壓應力=0，然后說明這些表達式是否代表正確解。解材料力學解答：式（a）滿足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否滿足邊界條件？代入平衡微分方程：顯然，平衡微分方程滿足。式（a）滿足相容方程。再驗證，式（a）是否滿足邊界條件？——滿足——滿足——近似滿足近似滿足結論：式（a）為正確解代入相容方程：上、下側邊界：右側邊界：左側邊界：平衡方程:相容方程:邊界條件:常體力下，滿足的方程：(a)4.常體力下體力與面力的變換令：將式(b)代入平衡方程、相容方程、邊界條件，有(b)(c)表明：（1）變換后的平衡方程、相容方程均為齊次方程（容易求解）；（2）變換后問題的邊界面力改變?yōu)椋航Y論：當體力X=常數(shù)，Y=常數(shù)時，可先求解無體力而面力為：問題的解：，而原問題的解為：xyxy例如：pFABCDEhh(a)圖示深梁在重力作用下的應力分析。原問題：體力：邊界面力：所求應力：ABCFDEhh(b)ph2ph變換后的問題：體力：邊界面力：(1)當y=0時，(2)當y=–h

時，(3)當y=–2h

時，所求得的應力：原問題的應力常體力下體力與面力轉換的優(yōu)點（好處）：原問題的求解方程變換后問題的求解方程常體力問題無體力問題作用：(1)方便分析計算（齊次方程易求解）。(2)實驗測試時，一般體力不易施加，可用加面力的方法替代加體力。注意：面力變換公式：與坐標系的選取有關，因此，適當選取坐標系，可使面力表達式簡單?！?-5應力函數(shù)應力函數(shù)解法常體力下問題的基本方程：邊界條件、位移單值條件。(a)(b)式(a)為非齊次方程，其解：全解

=齊次方程通解1.平衡微分方程解的形式(1)特解常體力下特解形式：+非齊次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)

的齊次方程：(c)(d)的通解。將式(d)第一式改寫為由微分方程理論，必存在一函數(shù)A(x,y)，使得(e)(f)同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得(2)通解式(a)

的齊次方程：(d)的通解。由微分方程理論，必存在一函數(shù)φ(x,y)，使得(i)(j)將式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解(k)(2)通解式(a)

的齊次方程：(d)的通解：(k)——對應于平衡微分方程的齊次方程通解。(3)全解取特解為：則其全解為：(2-26)——

常體力下平衡方程（a）的全解。

由式（2-26）看：不管φ(x,y)是什么函數(shù)，都能滿足平衡方程。φ(x,y)——平面問題的應力函數(shù)——Airy應力函數(shù)2.相容方程的應力函數(shù)表示(2-26)將式（2-26）代入常體力下的相容方程：有：注意到體力X、Y為常量，有將上式展開，有(2-27)——

應力函數(shù)表示的相容方程給出了應力函數(shù)滿足的條件。式（2-27）可簡記為：或：式中：滿足方程(2-27)的函數(shù)φ(x,y)

稱為重調(diào)和函數(shù)（或雙調(diào)和函數(shù)）結論：應力函數(shù)φ應為一重調(diào)和函數(shù)按應力求解平面問題（X=常量、Y=常量）的歸結為：（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應力分量：先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。(2-28)（無體力情形）3.

應力函數(shù)求解方法（1）逆解法（2）半逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）——主要適用于簡單邊界條件的問題。然后利用應力分量計算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應力邊界條件式（2-18），來考察這些應力函數(shù)φ(x,y)

對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。（2）半逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應力函數(shù)φ(x,y)的關系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件。——半逆解法的數(shù)學基礎：數(shù)理方程中分離變量法?！?-6多項式逆解法解平面問題應力函數(shù)表示的相容方程為四階偏微分方程

三階及以下的多項式作為應力函數(shù)，必定滿足相容方程，不論其系數(shù)如何。

考察不同多項式能解決的問題。（不計體力）1.一次式由應力函數(shù)與應力分量的關系式得代入應力邊界條件方程，得面力結論（1）線性應力函數(shù)對應于無外力作用的零應力狀態(tài)。（2）應力函數(shù)線性項不影響應力分布。2.二次式（1）應力分量：應力分量與坐標無關，為均勻應力狀態(tài)。對應的邊界面力：左邊界：右邊界：上下邊界：對應于矩形板左右端面均勻拉伸（b>0）或均勻壓縮（b<0）。（包括軸向拉壓）xy2b（2）應力分量：xy2c對應于矩形板上下端面均勻拉伸（b>0）或均勻壓縮（b<0）。（包括軸向拉壓）（2）應力分量：a>0a對應于矩形板純剪切狀態(tài)3.三次式應力分量：左、右邊界：上下邊界：左、右端面受線性分布面力作用；面力合力對應純彎曲MM同一個應力函數(shù)由于所給出的坐標軸不同，可解決不同的問題例：應力分量：左、右邊界：如圖坐標位置，可解矩形梁偏心拉伸問題上下邊界：問：坐標位置如右圖，可解何問題？§4-6幾種平面問題的直角坐標解1.懸臂梁的彎曲P按平面應力問題求解;yx分析：橫截面上的彎矩與截面的x坐標成正比，由材料力學可知，正應力與作用點的y坐標成正比。故假設：將上式對y積分兩次，得代入相容方程，得上式在梁內(nèi)任意x和y都滿足，故對上式求積分，得將上式代回到應力函數(shù)式中，得上式中的一次項對應力分量無作用，可令由應力函數(shù)求應力分量，得由邊界條件求待定常數(shù)本章小結1.兩類平面問題：平面應力問題；平面應變問題。（兩類平面問題中基本方程的異同）2.平面問題的基本方程：平衡方程、幾何方程、物理方程、邊界條件（位移、應力）。（幾何特點、受力特點、應力或應變特點）3.平面問題的求解（1）按位移求解平面問題基本方程：（1）用位移表示的平衡微分方程；（2）用位移表示的應力邊界條件；（3）邊界條件：應力、位移邊界條件。（2）按應力求解平面問題相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）：（應變表示形式、應力表示形式、應力函數(shù)表示。）應力函數(shù)表示的應力分量表達式：(2-26)常體力下的簡化；應力函數(shù)的求解方法：（逆解法、半逆解法。）（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應力分量：先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。按應力求解平面問題的基本步驟：§4-6幾種平面問題的直角坐標解一、多項式解答適用性：由一些直線邊界構成的彈性體。目的：考察一些簡單多項式函數(shù)作為應力函數(shù)φ(x,y)

，能解決什么樣的力學問題。——逆解法其中：a、b、c

為待定系數(shù)。檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程：顯然φ(x,y)

滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應力函數(shù)。（1）1.

一次多項式（2）（3）對應的應力分量：若體力：X=Y=0，則有：結論1：（1）（2）一次多項式對應于無體力和無應力狀態(tài)；在該函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。2.

二次多項式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應力函數(shù))（3）由式（2-26）計算應力分量：xy2c2c2a2a結論2：二次多項式對應于均勻應力分布。xyxy試求圖示板的應力函數(shù)。例：xy3.

三次多項式（1）其中:a、b、c

、d為待定系數(shù)。檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應力函數(shù))(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）計算應力分量：結論3：三次多項式對應于線性應力分布。討論：可算得：xy1ll圖示梁對應的邊界條件：MM可見：——對應于矩形截面梁的純彎曲問題應力分布。常數(shù)d與彎矩M的關系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結果與材力中結果相同，說明材力中純彎曲梁的應力結果是正確的。xy1llMM說明：(1)組成梁端力偶M

的面力須線性分布，且中心處為零，結果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠處誤差較小。(3)當l

遠大于h

時，誤差較??；反之誤差較大。4.

四次多項式（1）檢驗φ(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得可見，對于函數(shù)：其待定系數(shù)，須滿足下述關系才能作為應函數(shù)：（3）應力分量：——應力分量為x、y的二次函數(shù)。（4）特例：（須滿足：a+e=0）總結：（多項式應力函數(shù)的性質(zhì)）（1）多項式次數(shù)n

<4時，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項式次數(shù)n

≥4時，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項式次數(shù)n

越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項式，對應于無體力和無應力狀態(tài)；任意應力函數(shù)φ(x,y)上加上或減去一個一次多項式，對應力無影響。二次多項式，對應均勻應力狀態(tài)，即全部應力為常量；三次多項式，對應于線性分布應力。（3）（4）用多項式構造應力函數(shù)φ(x,y)

的方法——逆解法（只能解決簡單直線應力邊界問題）。按應力求解平面問題，其基本未知量為：，本節(jié)說明如何由求出形變分量、位移分量？問題：二、位移分量的求出以純彎曲梁為例，說明如何由求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1.

形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應力分量為：平面應力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)（2）位移分量(c)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：式中：為待定函數(shù)。整理得：（僅為x的函數(shù)）（僅為y的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)（1）(f)討論：式中：u0、v0、ω由位移邊界條件確定。當x=x0=常數(shù)（2）位移分量xyl1hMM——u關于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉角。說明：

同一截面上的各鉛垂線段轉角相同。橫截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假設成立。（2）將下式中的第二式對x求二階導數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學中撓曲線微分方程2.

位移邊界條件的利用（1）兩端簡支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結果相同（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點不動）（軸線在端部不轉動）代入式（f），有可求得：(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學中結果相同說明：（1）求位移的過程：（a）將應力分量代入物理方程（b）再將應變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。（2）若為平面應變問題，則將材料常數(shù)E、μ作相應替換。（3）若取固定端邊界條件為：h/2h/2（中點不動）（中點處豎向線段轉角為零）得到：求得：此結果與前面情形相同。（1）(2-27)（2）然后將代入式（2-26）求出應力分量：先由方程（2-27）求出應力函數(shù)：(2-26)（3）再讓滿足應力邊界條件和位移單值條件（多連體問題）。按應力求解平面問題的基本步驟：按應力求解平面問題的方法：逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設各種滿足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用應力分量計算式（2-26），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應力邊界條件式（2-18），來考察這些應力函數(shù)φ(x,y)

對應什么樣的邊界面力問題，從而得知所設應力函數(shù)φ(x,y)

可以求解什么問題。（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點、邊界條件等），假設部分應力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應力函數(shù)φ(x,y)的關系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件?！肽娼夥ǖ臄?shù)學基礎：數(shù)理方程中分離變量法。半逆解法位移分量求解：（1）將已求得的應力分量（2）（3）代入物理方程，求得應變分量將應變分量代入幾何方程，并積分求得位移分量表達式；由位移邊界條件確定表達式中常數(shù)，得最終結果。三、簡支梁受均布載荷要點——用半逆解法求解梁、長板類平面問題。xyllqlql1yzh/2h/2q1.

應力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（擠壓應力）。又∵q=常數(shù)，圖示坐標系和幾何對稱，∴不隨x變化。推得：(2)由應力分量表達式確定應力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函數(shù)(3)由確定：代入相容方程：xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特點：關于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項同時為零。即：對前兩個方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項對第三個方程得：積分得：(d)(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)此處略去了f2(y)