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文檔簡(jiǎn)介
2023年山東省泰安市泰山實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷
一、選擇題。(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,
只有一項(xiàng)是符合題目要求。)
1.(4分)實(shí)數(shù)2023的相反數(shù)是()
A.-2023B.2023c.1D.1
20232023
2.(4分)下列各式計(jì)算正確的是()
A.B.(x2)3=/C.x6-rx2=x3D.爐/=4
3.(4分)禽流感病毒的半徑大約是0.00000045米,它的直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為()
A.0.9X10〃米B.9X107米c.9X10飛米口.9X1()7米
4.(4分)不考慮顏色,對(duì)如圖的對(duì)稱性表述,正確的是()
A.軸對(duì)稱圖形
B.中心對(duì)稱圖形
C.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形
D.既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形
5.(4分)將等腰直角三角形紙片和矩形紙片按如圖方式疊放在一起,若Nl=30°,則N2
的度數(shù)為()
A.10°B.15°C.20°D.30°
6.(4分)下表是抽查的某班10名同學(xué)中考體育測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表.
成績(jī)(分)30252015
人數(shù)(人)2Xy1
若成績(jī)的平均數(shù)為23,中位數(shù)是“,眾數(shù)是4則的值是()
A.-5B.-2.5C.2.5D.5
3(x+1)>x-l
7.(4分)不等式組|x+7、的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是()
號(hào)>2x-l
A.3B.4C.5D.6
8.(4分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題:“一條竿子一條索,
索比竿子長(zhǎng)一托.折回索子卻量竿,卻比竿子短一托.“其大意為:現(xiàn)有一根竿和一條繩
索,用繩索去量竿,繩索比竿長(zhǎng)5尺;如果將繩索對(duì)半折后再去量竿,就比竿短5尺.設(shè)
繩索長(zhǎng)x尺,竿長(zhǎng)y尺,則符合題意的方程組是()
'x=y+5'X=y-5
A.V]B.<1
yx=y-5yx=y+5
C.(X=y+5D.x=y-5
\2x=y-52x=y+5
9.(4分)一個(gè)不透明的袋子中有三個(gè)完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3,隨機(jī)
摸出一個(gè)小球,記下標(biāo)號(hào)后放回,再隨機(jī)摸出一個(gè)小球并記下標(biāo)號(hào),兩次摸出的小球標(biāo)
號(hào)的和是偶數(shù)的概率是()
A.AB.Ac.AD.立
3929
10.(4分)如圖,一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向,距離燈塔60mw7e的小島A
出發(fā),沿正南方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔。的南偏東450方向上的3處,這時(shí)
A.B.60nmile
C.12QnmileD.(30+3073)nmile
11.(4分)如圖,AB,AC分別是。。的直徑和弦,OQLAC于點(diǎn)D,連接BD,BC,且
AB=10,AC=8,則80的長(zhǎng)為()
I//O/
o
A.275B.4C.2VI3D.4.8
12.(4分)如圖,矩形ABC。中,AB=2,BC=3,以4為圓心,1為半徑畫A,E是圓A
上一動(dòng)點(diǎn),P是8c上一動(dòng)點(diǎn),則PE+P力最小值是()
二、填空題。(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上。)
13.(4分)若關(guān)于x的一元二次方程--X-工=0QW0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則點(diǎn)
4
P(a+1,-a-3)在第象限.
14.(4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知。。經(jīng)過原點(diǎn)0,與x軸、y軸分別交于A、
8兩點(diǎn),點(diǎn)8坐標(biāo)為(0,2禽),0C與。。交于點(diǎn)C,/OC4=30°,則圓中陰影部分
15.(4分)如圖,矩形ABC。的邊長(zhǎng)A£>=3,AB=2,E為AB的中點(diǎn),F(xiàn)在邊BC上,且
BF=2FC,AF分別與DE、相交于點(diǎn)M,N,則MN的長(zhǎng)為.
16.(4分)已知二次函數(shù)yua?+fov+c(“W0)的圖象如圖所示,有5個(gè)結(jié)論:
①abc>0;
②b>a+c;
③9a+3/?+c>0;
?c<-3a;
⑤a+b、m(am+b).
17.(4分)如圖,過點(diǎn)Ao(0,1)作y軸的垂線交直線L:于點(diǎn)A,過點(diǎn)4,作
直線L的垂線,交y軸于點(diǎn)A2,過點(diǎn)A2作〉軸的垂線交直線乙于點(diǎn)A,這樣依次下去,
得到△AO442,AA2A3A4,△4A5A6,…其面積分別記為Si,52,S3,-,則5100為.
18.(4分)如圖,矩形A8CO與菱形EFGH的對(duì)角線均交于點(diǎn)O,且EG〃BC,將矩形折
疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合,折痕MN恰好過點(diǎn)G,若AB八用,EF=2,NH=120°,則
ON的長(zhǎng)為.
D'
三、解答題。(本大題共7個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟。)
2_
19.(6分)先化簡(jiǎn),再求值(1--A_)+x-2x+l,其中x=J,+i.
x+32x+6
20.(11分)辰星旅游度假村有甲種風(fēng)格客房15間,乙種風(fēng)格客房20間.按現(xiàn)有定價(jià):若
全部入住,一天營(yíng)業(yè)額為8500元;若甲、乙兩種風(fēng)格客房均有10間入住,一天營(yíng)業(yè)額
為5000元.
(1)求甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價(jià)分別是多少元?
(2)度假村以乙種風(fēng)格客房為例,市場(chǎng)情況調(diào)研發(fā)現(xiàn):若每個(gè)房間每天按現(xiàn)有定價(jià),房
間會(huì)全部住滿;當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加20元時(shí),就會(huì)有兩個(gè)房間空閑.如果游客
居住房間,度假村需對(duì)每個(gè)房間每天支出80元的各種費(fèi)用.當(dāng)每間房間定價(jià)為多少元時(shí),
乙種風(fēng)格客房每天的利潤(rùn)m最大,最大利潤(rùn)是多少元?
21.(10分)某班數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)本班同學(xué)一天飲用飲品的情況進(jìn)行了調(diào)查,大致可分為四
種:A.白開水,B.瓶裝礦泉水,C.碳酸飲料,D.非碳酸飲料.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如
下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問題:
(1)這個(gè)班級(jí)有多少名同學(xué)?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該班同學(xué)每人每天只飲用一種飲品(每種僅限一瓶,價(jià)格如表),則該班同學(xué)每
天用于飲品的人均花費(fèi)是多少元?
飲品名稱白開水瓶裝礦泉水碳酸飲料非碳酸飲料
平均價(jià)格(元/瓶)0234
(3)為了養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣,班主任決定在飲用白開水的5名班委干部(其中有兩位
班長(zhǎng)記為A,B,其余三位記為C,D,E)中隨機(jī)抽取2名班委干部作良好習(xí)慣監(jiān)督員,
兩點(diǎn),與坐標(biāo)軸分別交于M、N兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出區(qū)+b-9>0中x的取值范圍;
23.(13分)如圖,在正方形ABC。中,E是8c上的一點(diǎn),連接AE,作垂足為
H,交CD于F,作CG〃AE,交BF于G.求證:
(1)CG=BH;
(2)Fd=BF,GF;
⑶也=空.
AB2GB
24.(14分)已知二次函數(shù)y=o?+當(dāng)+c(a#0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交
2
于點(diǎn)8、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接A8、AC.
(1)求出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)4、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),求出此
時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo),并說明理由;
(4)如圖2,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)8、C重合),過點(diǎn)N作N何〃AC,交
A8于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).
圖1圖2
25.(13分)在△ABC中,AB=BC,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P
不與點(diǎn)A,O,C重合).過點(diǎn)A,點(diǎn)C作直線BP的垂線,垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F,連接
OE,OF.
(1)如圖1,請(qǐng)直接寫出線段0E與。尸的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)NABC=90°時(shí),請(qǐng)判斷線段0E與。尸之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,
并說明理由
(3)若|CF-AE1=2,EF=2M,當(dāng)△POF為等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出線段OP的長(zhǎng).
2023年山東省泰安市泰山實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題。(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,
只有一項(xiàng)是符合題目要求。)
I.(4分)實(shí)數(shù)2023的相反數(shù)是()
A.-2023B.2023C.D.一」
20232023
【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義,即可解答.
【解答】解:實(shí)數(shù)2023的相反數(shù)是-2023,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì),相反數(shù),熟練掌握相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.
2.(4分)下列各式計(jì)算正確的是()
A.x+x2=x3B.(x2)3=/C.x6-^-x2=x3D.x,x2=x3
【分析】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及同底數(shù)基的乘除運(yùn)算法則及基的乘方分別計(jì)算得
出答案.
【解答】解:A、x+W,無法計(jì)算,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、(x2)3=x6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、尤6+/=/,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、jfx2=x3,故此選項(xiàng)正確;
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)累的乘除運(yùn)算法則及幕的乘方,正確掌握
相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
3.(4分)禽流感病毒的半徑大約是0.00000045米,它的直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為()
A.0.9X104米B.9X10"米C.9X10F米D.9Xl(f米
【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示,一般形式為“X10”,與較大
數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)累,指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)
字前面的。的個(gè)數(shù)所決定.
【解答】解:0.00000045X2=9X107.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù),一般形式為“X10”,其中l(wèi)W|a|<10,
n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.
4.(4分)不考慮顏色,對(duì)如圖的對(duì)稱性表述,正確的是()
A.軸對(duì)稱圖形
B.中心對(duì)稱圖形
C.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形
D.既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形
【分析】直接利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出答案.
【解答】解:如圖所示:是中心對(duì)稱圖形.
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的性質(zhì),正確把握定義是解題關(guān)鍵.
5.(4分)將等腰直角三角形紙片和矩形紙片按如圖方式疊放在一起,若/1=30°,則N2
的度數(shù)為()
A.10°B.15°C.20°D.30°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì),即可得出Nl=/ADC=30°,再根據(jù)等腰直角三角形AOE
中,ZADE=45°,即可得到N2=45°-30°=15°.
【解答】解:
.".Zl=ZADC=30",
又;等腰直角三角形ADE中,NAOE=45°,
:.Z2=45°-30°=15
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì),解題時(shí)注意:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.
6.(4分)下表是抽查的某班10名同學(xué)中考體育測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表.
成績(jī)(分)30252015
人數(shù)(人)2Xy1
若成績(jī)的平均數(shù)為23,中位數(shù)是0,眾數(shù)是4則a-b的值是()
A.-5B.-2.5C.2.5D.5
【分析】首先根據(jù)平均數(shù)求得x、y的值,然后利用中位數(shù)及眾數(shù)的定義求得?和6的值,
從而求得a-6的值即可.
【解答】解:?.?平均數(shù)為23,
.30X2+25x+20y+15?
10
,25x+20y=155,
即:5x+4y=31,
??"+y=7,
x=31y=4,
???中位數(shù)a=22.5,b=20,
:?a-6=2.5,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的定義,求得x、y的值是解答本題的關(guān)鍵,難度不大.
3(x+1)>x-1
7.(4分)不等式組|x+7、的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是()
Jy->2x-l
A.3B.4C.5D.6
【分析】先求出不等式組的解集,在取值范圍內(nèi)可以找到非負(fù)整數(shù)解.
3(x+1)>xT①
解①得:x>-2,
解②得xW3,
則不等式組的解集為-2<xW3.
故非負(fù)整數(shù)解為0,1,2,3共4個(gè)
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】考查不等式組的解法及整數(shù)解的確定.求不等式組的解集,解不等式組應(yīng)遵循
以下原則:同大取較大,同小取較小,大小小大中間找,大大小小解不了.
8.(4分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問題:“一條竿子一條索,
索比竿子長(zhǎng)一托.折回索子卻量竿,卻比竿子短一托.“其大意為:現(xiàn)有一根竿和一條繩
索,用繩索去量竿,繩索比竿長(zhǎng)5尺;如果將繩索對(duì)半折后再去量竿,就比竿短5尺.設(shè)
繩索長(zhǎng)x尺,竿長(zhǎng)y尺,則符合題意的方程組是()
x=y+5
—x=y-5yx=y+5
x=y+5x=y-5
2x=y-52x=y+5
【分析】設(shè)索長(zhǎng)為尤尺,竿子長(zhǎng)為y尺,根據(jù)“索比竿子長(zhǎng)一托,折回索子卻量竿,卻
比竿子短一托”,即可得出關(guān)于X、的二元一次方程組.
【解答】解:設(shè)索長(zhǎng)為x尺,竿子長(zhǎng)為y尺,
'x=y+5
根據(jù)題意得:J1
qx=y-5
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組
是解題的關(guān)鍵.
9.(4分)一個(gè)不透明的袋子中有三個(gè)完全相同的小球,把它們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3,隨機(jī)
摸出一個(gè)小球,記下標(biāo)號(hào)后放回,再隨機(jī)摸出一個(gè)小球并記下標(biāo)號(hào),兩次摸出的小球標(biāo)
號(hào)的和是偶數(shù)的概率是()
A.AB.Ac.AD.$
3929
【分析】列表得出所有等可能的情況數(shù),找出兩次摸出小球標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的情況數(shù),即可
求出概率.
【解答】解:列表得:
123
1234
2345
3456
所有等可能的情況數(shù)有9種,它們出現(xiàn)的可能性相同,其中兩次摸出的小球標(biāo)號(hào)的和是
偶數(shù)的有5種結(jié)果,
所以兩次摸出的小球標(biāo)號(hào)的和是偶數(shù)的概率為
9
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹狀圖法,用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況
數(shù)之比.
10.(4分)如圖,一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向,距離燈塔GOnmile的小島A
出發(fā),沿正南方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔C的南偏東45°方向上的8處,這時(shí)
輪船8與小島A的距離是()
北
C.\20nmileD.(30+3073)nmile
【分析】過點(diǎn)C作則在Rt^ACD中易得AD的長(zhǎng),再在直角△BCD中求出
BD,相加可得A8的長(zhǎng).
【解答】解:過C作CDLAB于。點(diǎn),
二/48=30°,ZBCD=45°,AC=60.
在RtZXACQ中,cosNACQ=里,
AC
CD=AC?cosZACD=60X近二30?.
2
在Rt^OCB中,VZBCD=ZB=45°,
:.CD=BD=30M,
:.AB=AD+BD^(30+3(h/3)nmile.
答:這時(shí)輪船B與小島A的距離是(30+3073)nmile.
故選:D.
北
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題,求三角形的邊或高的問題
一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題,解決的方法就是作高線.
11.(4分)如圖,AB,AC分別是。。的直徑和弦,0Z)_L4C于點(diǎn)。,連接BO,BC,且
)
C.2行D.4.8
【分析】先根據(jù)圓周角定理得NACB=90°,則利用勾股定理計(jì)算出BC=6,再根據(jù)垂
徑定理得到CD=AD=1AC^4,然后利用勾股定理計(jì)算BD的長(zhǎng).
2
【解答】解:為直徑,
AZACB=90'>,
???BC=VAB2-AC2=V102-82=6(
VOD1AC,
:.CD=AD=1AC=4,
2
在Rt^CB。中,8£)="+62=2\^.
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都
等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90。的
圓周角所對(duì)的弦是直徑.也考查了垂徑定理.
12.(4分)如圖,矩形ABCQ中,AB=2,8c=3,以A為圓心,1為半徑畫A,E是圓A
上一動(dòng)點(diǎn),P是BC上一動(dòng)點(diǎn),則PE+PQ最小值是()
【分析】以8c為軸作矩形ABC。的對(duì)稱圖形A'BCD1以及對(duì)稱圓A',連接A'。交
BC于P,則。E'就是尸E+尸。最小值;根據(jù)勾股定理求得A'。的長(zhǎng),即可求得尸E+P。
最小值.
【解答】解:如圖,以BC為軸作矩形ABCO的對(duì)稱圖形A'BCD'以及對(duì)稱圓4',連
接A'D交BC于P,則。E'就是尸E+尸。最小值:
:矩形4BCC中,AB=2,8C=3,圓4的半徑為1,
D'=BC=3,DD'=2OC=4,AE'=1,
.?.A'D=5,
:.DE'=5-1=4
:.PE+PD=PE'+PD=DE'=4,
故選:C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題,勾股定理的應(yīng)用等,作出對(duì)稱圖形是本題
的關(guān)鍵.
二、填空題。(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.把答案填在題中的橫線上。)
13.(4分)若關(guān)于x的一元二次方程or2-》-工=0QWO)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則點(diǎn)
4
P(a+l,-4-3)在第四象限.
【分析】由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式△>(),即可得出關(guān)于。的一元一次不等式組,
解之即可得出a的取值范圍,由a的取值范圍可得出?+1>0,-?-3<0,進(jìn)而可得出
點(diǎn)尸在第四象限,此題得解.
【解答】解:?.?關(guān)于x的一元二次方程a?-》-工=。(“wo)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
4
2,
…A=(-l)-4Xax(-1)>0
解得:a>-1且aWO.
.,.a+l>0,-a-3<0,
點(diǎn)尸(a+1,-n-3)在第四象限.
故答案為:四.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、一元二次方程的定義以及點(diǎn)的坐標(biāo),利用二次項(xiàng)系數(shù)
非零及根的判別式A>0,找出關(guān)于?的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵.
14.(4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知經(jīng)過原點(diǎn)。,與x軸、y軸分別交于A、
8兩點(diǎn),點(diǎn)5坐標(biāo)為(0,2/§),OC與。。交于點(diǎn)C,/OCA=30°,則圓中陰影部分
的面積為2TT-273.
y
6
oN--x
【分析】連接AB,根據(jù)/力。8=90°可知AB是直徑,再由圓周角定理求出NOB4=NC
=30°,由銳角三角函數(shù)的定義得出OA及A8的長(zhǎng),根據(jù)S用*=S半例-SAAB。即可得出
結(jié)論.
【解答】解:連接AB,
VZAOB=90Q,
.?.A8是直徑,
根據(jù)同弧對(duì)的圓周角相等得/OBA=NC=30°,
?:OB=2M,
:.OA=OBtanZABO=OBtan3>00=2百*2/1_=2,A8=AO+sin30°=4,即圓的半徑
3
為2,
陰影=S半網(wǎng)-SAABO=^2£^L-J1X2X2禽=2TT-2百.
22
故答案為:2n-2料.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解
答此題的關(guān)鍵.
15.(4分)如圖,矩形ABCD的邊長(zhǎng)AO=3,AB=2,E為AB的中點(diǎn),尸在邊BC上,且
BF=2FC,AF分別與£>E、相交于點(diǎn)M,N,則MN的長(zhǎng)為
【分析】首先過下作FHLAO于〃交ED于O,于是得到FH=A3=2,根據(jù)勾股定理
求得AF,根據(jù)平行線分線段成比例定理求得OH,由相似三角形的性質(zhì)求得AM與AF
的長(zhǎng),根據(jù)相似三角形的性質(zhì),求得AN的長(zhǎng),即可得到結(jié)論.
【解答】解:過F作于",交ED于O,則F/7=AB=2
,:BF=2FC,BC=AD=3,
:.BF=AH=2,FC=HD=1,
?'-A/?=VFH2+AH2=V22+22=2^2,
OH//AE,
?HO=DH=1
**AEAD3"
.?.OH=LE=L
33
:.OF=FH-OH=2-工=$,
33
'JAE//FO,
:.叢AMESFMO,
-AM_AE_3
FMFO5_
:.AM=^-AF=^^~,
84
':AD//BF,
AANDs叢FNB,
**FNBF~2
?"N=14八平,
6V2-3V29V2
MN=AN-AM=
5420
故答案為:
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),勾股定理,比例的性質(zhì),
準(zhǔn)確作出輔助線,求出AN與AM的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.
16.(4分)已知二次函數(shù)yua^+Ox+c(aWO)的圖象如圖所示,有5個(gè)結(jié)論:
①abc>0;
②b>a+c;
③94+3Hc>0;
④c<-3a;
⑤(am+b').
【分析】根據(jù)拋物線開口方向,對(duì)稱軸位置,拋物線與y軸交點(diǎn)可判斷a,b,c符號(hào)及a
與b的關(guān)系,根據(jù)圖象可得x=-1時(shí)y<0,由拋物線對(duì)稱性可得x=3時(shí)y<0,由圖象
可得x=l時(shí),),=〃+6+c為最大值.
【解答】解:???拋物線開口向下,
/.a<0,
???拋物線對(duì)稱軸為直線x=-旦=1,
2a
:.b=-2a>0,
:拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方,
:.c>0,
/.abc<Of①錯(cuò)誤.
由圖象可得,x=-l時(shí),y—a-b+c<Of
?\a+c<h,②正確.
???拋物線對(duì)稱軸為直線%=1,x=-1時(shí)yVO,
.?.x=3時(shí),y=9a+3Z?+cVO,
???③錯(cuò)誤.
?:a-/?+c<0,b=-2a,
.*.3(7+C<0,
/.c<-3a,④正確.
由圖象可得x=l時(shí),y=〃+8+c為函數(shù)最大值,
am^+bm+cWa+b+c,
a+h2機(jī)(arn+h),⑤正確.
故答案為:②④⑤.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系,解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等
式的關(guān)系,掌握二次函數(shù)的性質(zhì).
17.(4分)如圖,過點(diǎn)Ao(0,1)作y軸的垂線交直線L:>=多寸于點(diǎn)A,過點(diǎn)Ai,作
直線L的垂線,交y軸于點(diǎn)A2,過點(diǎn)A2作y軸的垂線交直線乙于點(diǎn)A,這樣依次下去,
得到△A0A1A2,ZVIM3A4,Z\A4A5A6,…其面積分別記為Si,S2,S3,…,則Si(x)為_3A/3
X2395.
【分析】本題需先求出和OA2的長(zhǎng),再根據(jù)題意得出04=2”,把縱坐標(biāo)代入解析
式求得橫坐標(biāo),然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求得Soo.
【解答】解:?.?點(diǎn)Ao的坐標(biāo)是(0,1),
;.OAo=l,
?.?點(diǎn)4在直線y=返^上,
3
*,?0A,1=2?AoA]=,
,OA2=4,
???OA3=8,
???OA4=16,
得出04?=2〃,
AnAn+1=2"?,
.*.O/4198=2198,Al98Al99=2198??,
VS1=A(4-1)??=且%,
22
:A2Al〃A200Al99,
,△AoA1A2s△A1984199A200,
S198
.1OOF2-A/3\2
SiV3
Sioo=2396??=,.=3Mx2395
2
故答案為32395.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了如何根據(jù)一次函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)求線段的長(zhǎng)度,以及如
何根據(jù)線段的長(zhǎng)度求出點(diǎn)的坐標(biāo),解題時(shí)要注意相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用.
18.(4分)如圖,矩形ABCQ與菱形EFGH的對(duì)角線均交于點(diǎn)。,且EG〃BC,將矩形折
疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合,折痕MN恰好過點(diǎn)G,若AB=加,EF=2,NH=120°,則
DN的長(zhǎng)為_戈二
【分析】延長(zhǎng)EG交。C于尸點(diǎn),連接GC、FH,則△GCP為直角三角形,證明四邊形
OGCM為菱形,則可證CG=OM=CM=OG=J§,由勾股定理求得GP的值,再由梯形
的中位線定理CM+ON=2GP,即可得出答案.
【解答】解:延長(zhǎng)EG交OC于P點(diǎn),連接GC、FH;如圖所示:
Df
則CP=OP=2C£>=?,△GCP為直角三角形,
22
:四邊形EFGH是菱形,NE”G=120°,
:.GH=EF=2,NOHG=60°,EGLFH,
0G=GH?sin60°=2X叵=如,
2
由折疊的性質(zhì)得:CG=OG=M,OM=-CM,NMOG=NMCG,
,JOG//CM,
:.ZMOG+ZOMC^180°,
NMCG+NO例C=180°,
:.OM//CG,
...四邊形OGCM為平行四邊形,
":OM=CM,
二四邊形OGCM為菱形,
:.CM=OG=M,
根據(jù)題意得:PG是梯形MCOV的中位線,
:.DN+CM=2PG=G
:.DN=4i-V3,
故答案為:Vs-Vs-
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì),矩形的性質(zhì),菱形的性質(zhì),勾股定理,梯形中位
線定理,三角函數(shù)等知識(shí);熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì),由梯形中位線定理得出結(jié)果是
解決問題的關(guān)鍵.
三、解答題。(本大題共7個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟。)
19.(6分)先化簡(jiǎn),再求值(1廣-2x+l,其中x=J5+i.
x+32x+6
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡(jiǎn)題目中的式子,然后將X的值代入化簡(jiǎn)后的式
子即可解答本題.
2
【解答】解:(1/-2X+1
x+32x+6
=x+3-4.2(x+3)
x+3'(x-l)2
_x-l2
1(x-l)2
=2
x-l,
當(dāng)彳=弧+1時(shí),原式=一^一=&.
V2+1-1
【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值,解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法.
20.(11分)辰星旅游度假村有甲種風(fēng)格客房15間,乙種風(fēng)格客房20間.按現(xiàn)有定價(jià):若
全部入住,一天營(yíng)業(yè)額為8500元;若甲、乙兩種風(fēng)格客房均有10間入住,一天營(yíng)業(yè)額
為5000元.
(1)求甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價(jià)分別是多少元?
(2)度假村以乙種風(fēng)格客房為例,市場(chǎng)情況調(diào)研發(fā)現(xiàn):若每個(gè)房間每天按現(xiàn)有定價(jià),房
間會(huì)全部住滿;當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加20元時(shí),就會(huì)有兩個(gè)房間空閑.如果游客
居住房間,度假村需對(duì)每個(gè)房間每天支出80元的各種費(fèi)用.當(dāng)每間房間定價(jià)為多少元時(shí),
乙種風(fēng)格客房每天的利潤(rùn)m最大,最大利潤(rùn)是多少元?
【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組,從而可以解答本題;
(2)根據(jù)題意可以得到m關(guān)于乙種房?jī)r(jià)的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解
答本題.
【解答】解:設(shè)甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價(jià)分別是x元、y元,
根據(jù)題意,得:(15x+20y=850°,
I10x+10y=5000
解得卜=300,
ly=200
答:甲、乙兩種客房每間現(xiàn)有定價(jià)分別是300元、200元;
(2)設(shè)每天的定價(jià)增加了a個(gè)20元,則有2a個(gè)房間空閑,
根據(jù)題意有:,*=(20-2a)(200+20。-80)=-40a2+160a+2400=-40(a-2)2+2560,
:-40<0,
...當(dāng)a=2時(shí),m取得最大值,最大值為2560,此時(shí)房間的定價(jià)為200+2X20=240元.
答:當(dāng)每間房間定價(jià)為240元時(shí),乙種風(fēng)格客房每天的利潤(rùn)m最大,最大利潤(rùn)是2560
兀?
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題
意,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.
21.(10分)某班數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)本班同學(xué)一天飲用飲品的情況進(jìn)行了調(diào)查,大致可分為四
種:4.白開水,B.瓶裝礦泉水,C.碳酸飲料,D.非碳酸飲料.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如
下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問題:
(1)這個(gè)班級(jí)有多少名同學(xué)?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)若該班同學(xué)每人每天只飲用一種飲品(每種僅限一瓶,價(jià)格如表),則該班同學(xué)每
天用于飲品的人均花費(fèi)是多少元?
飲品名稱白開水瓶裝礦泉水碳酸飲料非碳酸飲料
平均價(jià)格(元/瓶)0234
(3)為了養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣,班主任決定在飲用白開水的5名班委干部(其中有兩位
班長(zhǎng)記為A,B,其余三位記為C,D,E)中隨機(jī)抽取2名班委干部作良好習(xí)慣監(jiān)督員,
請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到2名班長(zhǎng)的概率.
【分析】(1)由8飲品的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù),再根據(jù)各飲品的人數(shù)之和等
于總?cè)藬?shù)求出C的人數(shù)即可補(bǔ)全圖形;
(2)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義計(jì)算可得;
(3)畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)果,從中找到符合條件的結(jié)果,再根據(jù)概率公式計(jì)算可
得.
【解答】解:(1)這個(gè)班級(jí)的學(xué)生人數(shù)為:15+30%=50(人),
選擇C飲品的人數(shù)為50-(10+15+5)=20(人),
補(bǔ)全圖形如下:
(2)10X0+15X2+20X3+5X4=°」(元),
50,,
答:該班同學(xué)每天用于飲品的人均花費(fèi)是2.2元;
(3)畫樹狀圖如下:
由樹狀圖知共有20種等可能結(jié)果,其中恰好抽到2名班長(zhǎng)的有2種結(jié)果,
所以恰好抽到2名班長(zhǎng)的概率為
_2_=J_
20Io,
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所
有可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件;解
題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總
情況數(shù)之比.
22.(11分)如圖,一次函數(shù)丫=丘+6與反比例函數(shù)),=匡的圖象交于ACm,4),B(2,〃)
x
兩點(diǎn),與坐標(biāo)軸分別交于M、N兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象直接寫出質(zhì)+b-2>0中x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
【分析】(1)將點(diǎn)A、點(diǎn)3的坐標(biāo)分別代入解析式即可求出小、”的值,從而求出兩點(diǎn)坐
標(biāo);
(2)根據(jù)題意,結(jié)合圖象確定出尤的范圍即可;
(3)將△AOB的面積轉(zhuǎn)化為S.ACW-SMON的面積即可.
【解答】解:(1)???點(diǎn)A在反比例函數(shù)>=匹上,
X
.'.—=4,解得,〃=1,
m
.?.點(diǎn)4的坐標(biāo)為(1,4),
又???點(diǎn)B也在反比例函數(shù)上,
x
'.—=n,解得〃=2,
2
.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,2),
又;點(diǎn)4、B在的圖象上,
*+b=4,解得產(chǎn)2.
12k+b=2Ib=6
,一次函數(shù)的解析式為y=-2x+6.
(2)根據(jù)圖象得:自+8-a>0時(shí),x的取值范圍為x<0或l〈x<2;
x
(3)?.?直線y=-2x+6與x軸的交點(diǎn)為N,
二點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),
SMOB=SAAON-S"ON=」X3X4-!X3X2=3.
22
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,熟練
掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.
23.(13分)如圖,在正方形A8CZ)中,E是BC上的一點(diǎn),連接AE,作8FLAE,垂足為
H,交C。于F,作CG〃4E,交8F于G.求證:
(1)CG=BH;
(2)FC?=BF?GF;
(3)Ki=GF.
AB2GB
【分析】(1)由互余關(guān)系得出NBAH=NCBG,而NAH3=N8GC=90°,AB=BC,可
證△ABH畛ABCG,得出結(jié)論;
(2)在Rt^BCF中,CG1BF,利用互余關(guān)系可證△CFGs^BFC,利用相似比得出結(jié)
論;
(3)根據(jù)RtZXBCF中,CGLBF,同理可證△BCGsZsBbC,利用相似比得出BC2=BG
?BF,BPAB2=BG*BF,結(jié)合(2)的結(jié)論求比.
【解答】證明:(1),JBFA.AE,CG//AE,
:.CG±BF,
;在正方形ABCD中,NABH+/CBG=90°,NCBG+NBCG=90°,
ZBAH+NABH=9Q°,
:.NBAH=NCBG,NABH=/BCG,
AB=BC,
:.LAB曄/XBCG,
:.CG=BH-,
(2)':ZBFC=ZCFG,ZBCF=ZCGF=90°,
:.叢CFGs叢BFC,
?FC_GF
BFFC
即Fd=BF,GF;
(3)同(2)可知,Bd=BG'BF,
":AB=BC,
:.AB1=BG'BF,
.F,2一FG?BF=FG
''7?BG'BFBG
gpFCl=GF
AB2GB
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性
質(zhì).關(guān)鍵是由垂足得出互余關(guān)系求角相等,由邊相等證明三角形全等,由角相等證明相
似三角形,利用性質(zhì)解題.
24.(14分)已知二次函數(shù)y=a/+&+c(a#0)的圖象與y軸交于點(diǎn)4(0,4),與x軸交
2
于點(diǎn)8、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB、AC.
(1)求出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),求出此
時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo),并說明理由;
(4)如圖2,若點(diǎn)N在線段8c上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合),過點(diǎn)、N作NM〃AC,交
圖1圖2
【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;
(2)根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標(biāo),然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20,AC2=
80,8c=10,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角三角形;
(3)分別以A、C兩點(diǎn)為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫弧,與x軸交于三個(gè)點(diǎn),由AC的垂直平
分線與x軸交于一個(gè)點(diǎn),即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo);
(4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(〃,0),則BN="+2,過M點(diǎn)作軸于點(diǎn)。,根據(jù)三角形
相似對(duì)應(yīng)邊成比例求得MO=2(〃+2),構(gòu)建二次函數(shù),根據(jù)函數(shù)解析式求得即可.
5
【解答】解:(1)?.?二次函數(shù)、=,儲(chǔ)+當(dāng)+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于
2
點(diǎn)、B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),
.(c=4
164a+12+c=0
'J
解得:<a-^4.
c=4
...拋物線表達(dá)式:y=-:+Zr+4;
42
(2)ZSABC是直角三角形,理由如下:
令y=0,則--Xr+Ax+4=0,
42
解得xi=8,X2=-2,
...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0),
由己知可得,
在RtZ\4B。中:AB2=^BO2+AO2=22+41=20,
在RtZXAOC中:AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又,/BC=OB+OC=2+8=10,
:.BC1=\00,
.?.在△ABC中:AB2+AC2=2Q+S0=BC2,
...△ABC是直角三角形;
(3)(0,4),C(8,0),
22
AC=^4+g=4A/5,
①以A為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑作圓,交x軸于N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(-8,0),
②以C為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑作圓,交x軸于M此時(shí)N的坐標(biāo)為(8-4代
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