2023年江蘇省南京重點(diǎn)大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年江蘇省南京重點(diǎn)大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若集合M={x|log2x<4},N={x\2x>1},則MnN=（）

A.{x|0<%<8}B,{x||<%<8}C.{x\2<x<16]D.{x||<x<16}

2.已知meR,且需=l+2i,其中i是虛數(shù)單位，則等于（）

A.5B.V-5C.V-2D.1

3.等比數(shù)列{a3的前n項(xiàng)和為2,若S3=15,a3=5,則公比q的值為（）

A.—B.1C.—：或1D.：或1

4.如圖是世界最高橋一一貴州北盤(pán)江斜拉橋.如圖是根據(jù)如圖作的簡(jiǎn)易側(cè)視圖（為便于計(jì)算,

側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿P4PB,PC,PD的一端P在垂直于水平面的塔柱

上，另一端4,B,C,D與塔柱上的點(diǎn)。都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知AB=8m,BO=16m,

PO=12m,而?方=0.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得g（而+麗）+2（定+而）=2詞，則CD=（）

塔柱

A.28mB.20mC.31mD.22m

y/~3b—a

5.已知實(shí)數(shù)a>0,bVO,則下一的取值范圍是()

Ja2+dz

A.[-2,-1)B.(-2,-1)C.(-2.-1]D.[-2,-1]

6.已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且f(2x+1)為偶函數(shù),/(久)=/(%+l)-/(x+2),若f(l)=

2,則“18)=()

A.1B.2C.—1D.-2

7.已知/(x)=%3+6%2+9%+11,/(%)的一條切線g(x)=kx+b與f(%)有且僅有一個(gè)交

點(diǎn)，貝!J()

A.k=-3,b=3B.k=-3,b=-3

C.k=3,b=3D.fc=3>b=-3

rc

8.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是

由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最

早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24,棱長(zhǎng)為的半

正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一

樣的四面體所得.若點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線。E與直線ZF所成角的余弦值的取值范圍

為()

A?百爭(zhēng)B.白爭(zhēng)C.[1,￡?]D.有令

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知事件4B滿足P(4)=0.5,P(B)=0.2,則()

A.若BU4則P(AB)=0.5

B.若4與B互斥，則P(A+B)=0.7

C.若4與B相互獨(dú)立，則P(a3)=0.9

D.若P(B⑷=0.2,則4與B相互獨(dú)立

10.已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為次町=含屋卷(a>0,b>0)，且/(x)的極大值

點(diǎn)為x=2a,記f(k)=P(X<k),g(k)=P(X>k+a),則()

A.X?N(b,a)B.X?N(2a,a2)

C.f(a)=g(2a)D.f(2a)+g(2a)(a)+g(a)

11.下列說(shuō)法中，其中正確的是()

A.命題：“mxNO,x3-x-l>0"的否定是"Vx<0,x3-x-l<0"

B.化簡(jiǎn)黑2卻噫:的結(jié)果為2

sin40sinSO

C.C°+2盤(pán)+22鬣+23%+…+2y=3"

D.在三棱錐P-ABC中，P4=AB=PB=4C=2q，CP=2，％，點(diǎn)D是側(cè)棱PB的中點(diǎn)，

且CD=則三棱錐P-ABC的外接球。的體積為生

12.同學(xué)們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線;

峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線

在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰

當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為/(x)=。"+3一(其中a,b是非零常數(shù)，無(wú)理數(shù)

e=2.71828...),對(duì)于函數(shù)/(x)以下結(jié)論正確的是()

A.a=b是函數(shù)/(x)為偶函數(shù)的充分不必要條件

B.a+b=0是函數(shù)/(x)為奇函數(shù)的充要條件

C.如果ab<0,那么f(x)為單調(diào)函數(shù)

D.如果ab>0,那么函數(shù)f(x)存在極值點(diǎn)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.過(guò)點(diǎn)P(3,—2)且與圓C：x2+y2-2x-4y+l=0相切的直線方程為.

14.數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理的

內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過(guò)四個(gè)自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)12=32+#+

M+i2=22+22+22+o2^25=a2+b2+c2+d2,其中a,b,c,d均為自然數(shù)，則滿

足條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是.

15.已知直線I：y=-l,拋物線C：/=4y的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線C于4,B兩

點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P.若過(guò)點(diǎn)4B的圓與直線/相切，且與直線PB交于點(diǎn)Q,則當(dāng)麗=

3及時(shí)，直線4B的斜率為.

16.三個(gè)元件a,b,c獨(dú)立正常工作的概率分別是A，P2,P3(0<P1<P2<P3<1),把它

們隨意接入如圖所示電路的三個(gè)接線盒71，T2,T3中(一盒接一個(gè)元件)，各種連接方法中，

此電路正常工作的最大概率是—.

Ta

------1?------

T,

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知函數(shù)/⑶=Asin^x+乎)+B(A>0,B>0,3>0,切<方在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所

示.

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式：

(2)把y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的|(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖象向下

平移一個(gè)單位，再向左平移看個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若xG[0,芻，求函數(shù)y=g(x)

的值域.

18.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛廝｝,｛bn｝滿足的=-2瓦=4,且｛aj是公差為1的等差數(shù)列，(an+bn｝是公比為2的

等比數(shù)列.

(1)求｛a.｝,｛bn｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛|bn|｝的前n項(xiàng)和7.

19.(本小題12.0分)

某百科知識(shí)競(jìng)答比賽的半決賽階段，每?jī)扇艘唤M進(jìn)行PK,勝者晉級(jí)決賽，敗者終止比賽.比賽

最多有三局，第一局限時(shí)答題，第二局快問(wèn)快答，第三局搶答.比賽雙方首先各自進(jìn)行一局限

時(shí)答題，依據(jù)答對(duì)題目數(shù)量，答對(duì)多者獲勝，比賽結(jié)束，答對(duì)數(shù)量相等視為平局，則需進(jìn)入

快問(wèn)快答局；若快問(wèn)快答平局，則需進(jìn)入搶答局，兩人進(jìn)行搶答，搶答沒(méi)有平局.已知甲、乙

兩位選手在半決賽相遇，且在與乙選手的比賽中，甲限時(shí)答題局獲勝與平局的概率分別為全

快問(wèn)快答局獲勝與平局的概率分別為搶答局獲勝的概率為且各局比賽相互獨(dú)立.

(1)求甲至多經(jīng)過(guò)兩局比賽晉級(jí)決賽的概率；

(2)已知乙最后晉級(jí)決賽，但不知甲、乙兩人經(jīng)過(guò)幾局比賽，求乙恰好經(jīng)過(guò)三局比賽才晉級(jí)決

賽的概率.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)棱PD_L矩形4BCD,S.PD=CD,過(guò)棱PC的中點(diǎn)E,作EF1PB

交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.

(1)證明：PB1DF；

(2)若PO=1,平面。EF與平面4BC。所成二面角的大小為半求/“EF的值.

p

21.(本小題12.0分)

已知片(一，石,0),尸2(，%，。)為雙曲線。的焦點(diǎn)，點(diǎn)「(2，—1)在。上.

(1)求C的方程；

(2)點(diǎn)4B在C上，直線P4PB與y軸分別相交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線4B上，若麗+ON=0,

PQAB=0,是否存在定點(diǎn)T，使得|Q7|為定值？若有，請(qǐng)求出該定點(diǎn)及定值；若沒(méi)有，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=x+ksinx,其中0<kW1.

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=：x2-/(x),證明：

①g(x)有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)；

②記是g(x)的唯一極小值點(diǎn)，則g(xo)<-呆o；

(2)若k=L直線/與曲線y=/(x)相切，且有無(wú)窮多個(gè)切點(diǎn)，求所有符合上述條件的直線I的

方程.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：M={x|log2x<4}={x|0<x<16},N={x\x>%

則MflN={x|；Wx<16}.

故選：D.

直接解出集合M,N,再求交集即可.

本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由需=l+2i得(l+2i)(l+i)=m+3i,即-1+3i=m+3i,解得巾=一1,

故—2i|=|-1—2i|=V1+4=V-5-

故選：B.

利用復(fù)數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算，得到m=-l,再使用模長(zhǎng)公式求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前71項(xiàng)和公式即可得出.

【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列{斯}的公比為q，

,**?S*3—15,=5,

當(dāng)q=1時(shí)，%=g=。3=5,符合題意，

當(dāng)q01時(shí)，有1-q-'

2

.atq=5,

解得q=_：.

故選：C.

4.【答案】D

【解析】解：由超+而）+；（正+而）=2而，

貝礙畫(huà)+而-2而）+g（元+而-2而）=2同，

即方+0B+0C+0D=0^

又己知AB=8m,BO=16m,PO=12m,而?PC=0>

則。A=24,OB=16,OC=9,

即OD=31,

則CD=31-9=22,

故選：D.

Etl|（M+PB）+（PC+PD）=IPO,貝心（引+話―2而）+g（冠+前一2而）=2而，即

OA+~OB+0C+0D=0,然后結(jié)合已知求解即可.

本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)直線心ax+by=0恒過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)A（l,-C）,

_,|a-Gb|

那么點(diǎn)4（1,--3）到直線/的距離為：d=r~^,

Ja2+b

ja-Gb

因?yàn)閍>0,b<0,所以d=-「二且直線l的斜率k=一?）；>0,

Ja2+b2b

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，d=T/=l,

Ja2+b2

所以d>1,

當(dāng)041/時(shí)，dmax=\0A\=V1+3=2,

K￡za<2

所以l<dS2,即Ja2+b2

\T~3b-aa-y/~3b

因?yàn)镮,2;-

Ja2+b

-2<<-i

所以Ja2+b2

故選：A.

根據(jù)題意設(shè)直線八ax+by=0,點(diǎn)4(1,-/號(hào))，利用點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)4到直線的勺距離為

>a.—V~3b

d=~m^由直線，的斜率不存在得d>l,由041/得dma%=2,化簡(jiǎn)即可求解.

Ja2+b

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.

6.【答案】力

【解析】解：因?yàn)?(2x+l)為偶函數(shù)，所以，(2x+l)=/(-2x+l),

所以f(x+1)=/(-x+1),則/(比)關(guān)于x=1對(duì)稱，

設(shè)/0)=2S譏爭(zhēng)+蘇，f(l)=2sin(1+1)=2,關(guān)于久=1對(duì)稱，

5

X+=

/-(%)+/(X+2)=2sin(^x+T)+2sin[|(x+2)+^]=2[sin(1x+看)6-

2[sin^xcos2+cos^xsm^+sin^xcos-^4-cos=2cos^x./(%4-1)=2sin(^x+勺=

363o36363JN

2cos藍(lán)x,所以f(x+l)=/Q)+/(x+2),

即/'(x)=2sin(^Tix+3)符合條件，

所以f(18)=2s配(6兀+弓)=1.

故選：A.

設(shè)/(x)=2sinCx+S),滿足題意，即可求解.

本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)值的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7.【答案】a

【解析】解：由/(x)=x3+6x2+9x+11,得/''(x)=3x2+12%+9,

設(shè)切點(diǎn)(t/3+6/+9t+11),則/(t)=3t2+12t+9,

???過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y-(戶+6t2+9t+11)=(3t2+12t+9)(x一t),①

把y=x3+6x2+9x+11代入并整理，可得(x—t)2(x+2t+6)=0,

???/(尤)的一條切線g(x)=kx+b與/(x)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

?1.t=-2t—6,即t=—2,代入①，可得切線方程為y=—3x+3.

即k=-3,b=3.

故選：A.

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程，與已知切線方程聯(lián)立，可得關(guān)于x的一元方

程，由方程有唯一解求得￡,得到切線方程，貝必與b可求.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，設(shè)切點(diǎn)是關(guān)鍵，是中檔

8.【答案】C

【解析】解：如圖,

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則4(2,1,0),F(2,2,l),

C(0,l,2),。(1,2,2),設(shè)謔=%方=4(1,-1,0)=(尢一九0)(0?1),

則DE——DC+CE—(—1,—1,0)+(A,—X,,0)——(A—1,—A—1,0)>

酢=(0,1,1)，

5g?而_____/T________1-2/112

???cos<DE,AF>=1+而「1+告(2工0),

|DE||/1F|巾J(4-i)2+a+1)2~2

當(dāng);Ie(0,1］時(shí),cos<'DE,~AF>e

當(dāng)a=0時(shí)，cos<D^E,AF>=—I，

cos<DE.AF>6[-好,T，可得直線DE與直線4F所成角的余弦值的取值范圍為原子].

故選：C.

把多面體放入正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，再由空間向量求解.

本題考查空間中異面直線所成角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是

中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于4因?yàn)镻(4)=0.5,P(B)=0.2,BQA,

所以P(4B)=P(B)=0.2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)?與B互斥，

所以P(A+B)=P(4)+P(B)=0.5+0.2=0.7,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)镻(B)=0.2,

所以P(B)=1-0.2=0.8，

所以P(4B)=0.5x0.8=0.4，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)镻(B|4)=0.2,即號(hào)嫖=0.2,

所以P(AB)=0.2xP(4)=0.1,

又因?yàn)镻(4)xP(B)=0.5x0.2=0.1,

所以P(AB)=PQ4)P(B),

所以4與B相互獨(dú)立，故。正確.

故選：BD.

對(duì)于4由題意可得P(AB)=P(B),從而即可判斷；

對(duì)于B,由互斥事件的概率計(jì)算公式計(jì)算即可；

對(duì)于C,先求得P(3)=0.8,再根據(jù)獨(dú)立事件的計(jì)算公式計(jì)算即可；

對(duì)于0,判斷P(4B)=P(4)-P(B)是否成立即可.

本題主要考查條件概率公式，以及相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查了概率密度函數(shù)，以及正態(tài)分布的概率計(jì)算，屬中檔題.

利用隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)可得到〃=be=a,可判斷A；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得(p(x)在

(-8溥)上遞增，在(b,+8)上遞減，即s(x)的極大值點(diǎn)為x=b=2a,故可判斷B；根據(jù)密度曲線

關(guān)于久=〃=2a對(duì)稱，可判斷CD.

【解答】

解：對(duì)于A,由隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為以切=懸^-嘿可得〃=%，/=a?,

因?yàn)閍>0,所以<7=a,所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~M"a2).故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,因?yàn)槎魏瘮?shù)y=-與歲在(一8,b)上遞增，在(瓦+8)上遞減，

由函數(shù)y=「在R上單調(diào)遞增，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得0(g=等_6一力/(。>°，6>0)在(一8/)上遞增，在(b,+8)上遞

減，

所以￥(%)的極大值點(diǎn)為％=b,所以2a=b,所以隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布X~N(2a,〃?)，故8

正確；

對(duì)于C,因?yàn)閒(a)=P(XVa),g(2a)=P(X>3a),

又a+3a=2x2a,所以P(X<Q)=P(X>3a),即f(a)=g(2a),故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閒(2a)=P(X<2a)=j,g(a)=P(X>2a)=

所以f(2a)+g(2a)=|+/(a)=g(a)+/(a),故。正確；

故選：BCD.

11.【答案】BCD

【解析】解：4：命題：'勺xNO,x3-x-1>0"的否定是"VxNO,x3-x-l<0",故A

錯(cuò)；

22八十工〃

cos50-sin5°_cos10°_coslO°_sin80°_Qu

B：S譏40°sin50。=SE40°COS40。=聶就=顓而='故？止確；

C：以+2*+22髭+23髭+…+2"二=(1+2尸=3%故C正確；

D：如圖所示，

c

由/M=4C=2q，CP=2y/~6,則P/P+人。2=,得「力工人。，

由。是PB的中點(diǎn)，PA=AB=PB=2C，易知：△P4B為等邊三角形且AD=3,

又CD=Ui，所以CA2+=。。2,得CAj.A。，

V.ADCtAP=A,AP,4。u平面P4B,所以AC_L平面P4B.

設(shè)球心為0且在過(guò)△P4B中心垂直于面P4B的垂線上，點(diǎn)。到底面P4B的距離為d=\AC=C，

P42\T-3

由正弦定理得△PAB的外接圓半徑r=病而=—=2,

ZX2

球。的半徑04=R=Vd2+r2=J(V-3)2+22=V-7>

所以三棱錐P-ABC的外接球。的體積為U=5/?3='(「)3=變p.故。正確.

故選：BCD.

根據(jù)存在性量詞命題的否定即可判斷4根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可判斷B；

根據(jù)二項(xiàng)式定理即可判斷C；利用線面垂直的判定定理可得AC1平面P48,結(jié)合正弦定理、勾股

定理和球的體積公式計(jì)算即可判斷D.

本題考查含一個(gè)量詞的命題的否定，三角函數(shù)求值問(wèn)題，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，三棱錐的外接球問(wèn)

題，屬中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)a=b時(shí)，函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，/(-x)=ae-x+bex=

f(x),故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；

當(dāng)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，/(%)-/(-%)=0,故(a-b)ex+(b—a)e-x=0,

即(a—b)e?x=(a—b),又e?*>0,故a=b,

所以a=b是函數(shù)/(x)為偶函數(shù)的充要條件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)a+b=0時(shí)，函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)+/(-x)=(a+b}ex+(a+

b)e-x=0,故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

當(dāng)函數(shù)f(%)為奇函數(shù)時(shí),f(x)+/(-%)=(a+b)ex+(a+b)e~x=0,

因?yàn)閑%>0,e-x>0,故a+b=0.

所以a+b=0是函數(shù)/(x)為奇函數(shù)的充要條件，故3選項(xiàng)正確；

xx

對(duì)于選項(xiàng)Cf'(x)=ae-he~f因?yàn)閍bV0,

若a>0,bV0,則/'(%)=ae*-"一”>0恒成立,則/(%)為單調(diào)遞增函數(shù),

若aV0,b>。則尸(%)=aex-be-x<0恒成立,則f(〈為單調(diào)遞減函數(shù),

故ab<0,函數(shù)/(%)為單調(diào)函數(shù)，故。選項(xiàng)正確；

xx

對(duì)于選項(xiàng)D,/'(%)=ae—be~=--gX—?

令((%)=0得％=gin，，又ab>0,

若a>0,b>0,

當(dāng)xe(-8[ln》，f(x)<0,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減.

當(dāng)xe(；嗎,+8),f(x)>0,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增.函數(shù)存在唯一的極小值.

若a<0,b<0,

當(dāng)xe(—8；1哈，f(x)>0,函數(shù)/(?為單調(diào)遞增.

當(dāng)xe(；ln，,+8),f(x)<0,函數(shù)f(x)為單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)存在唯一的極大值，

所以函數(shù)存在極值點(diǎn)，故。選項(xiàng)正確.

故答案為：BCD.

根據(jù)奇偶函數(shù)的定義、充分條件和必要條件的定義即可判斷AB；利用導(dǎo)數(shù)，分類討論函數(shù)的單調(diào)

性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念即可判斷CO.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)奇偶性的判斷與性質(zhì)，考查邏輯推理能力，

屬于中檔題.

13.【答案】%=3或3尤+4y-1=0

2

【解析】解：將圓C方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(久一1)2+⑶-2)=4,得圓心C(l,2),半徑為r=2,

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(3,-2)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3是圓C的切線，滿足題意，

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(3,-2)的直線斜率存在時(shí)，

可設(shè)直線方程為y+2=k(x—3),即kx—y—3k—2=0,

|2fc+4|-

利用圓心到直線的距離等于半徑得「=-2n,解得k=_3

J/+14

即此直線方程為3x+4y-l=0,

故答案為：x=3或3x+4y-1=0.

分斜率存在與否兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可得解.

本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

14.【答案】28

【解析】解：顯然a,b,c,d均為不超過(guò)5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論.

最大數(shù)為5的情況：

①25=52+02+02+02,此時(shí)共有4；=4種情況；

最大數(shù)為4的情況：

②25=42+32+02+02,此時(shí)共有&=12種情況；

（3）25=42+22+22+I2,此時(shí)共有4：=12種情況.

當(dāng)最大數(shù)為3時(shí)，32+32+22+22>25>32+32+22+#,故沒(méi)有滿足題意的情況.

綜上，滿足條件的有序數(shù)組（a,b,c,d）的個(gè)數(shù)是4+12+12=28.

故答案為：28.

分類討論四個(gè)數(shù)的組成后，由計(jì)數(shù)原理求解即可.

本題主要考查簡(jiǎn)單的合情推理，排列與分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

15.【答案】士?

【解析】解：如圖，易知過(guò)點(diǎn)4,B且與直線［相切的圓就是以

AB為直徑的圓，

設(shè)4（孫力）,B（x2,y2）>

則<201）2），。（一久2必），

由謔=3而，可得*2=-2/，

設(shè)直線48的方程為丫=卜尢+1,代入％2=4曠中，

可得力—4kx—4=0,

X1+%2=4k,%1%2=—4，結(jié)合尤2=—2xt,

得k=±?.

故答案為：+1.

根據(jù)題意設(shè)直線AB的方程為曠=卜％+1,聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題.

16.【答案】PR+P2P3-PlP2P3

【解析】解：當(dāng)71接入a時(shí)，能正常工作的概率為P(4)=P1[1-(1-P2)(l-P3)]=PR+PR-

P]P2P3,

當(dāng)n接入b時(shí)，能正常工作的概率為P(B)=P2[l-(1-P1)(1-P3)]=P1P2+P2P3-P】P2P3，

當(dāng)T1接入C時(shí)，能正常工作的概率為P(C)=P3[1-(1-Pi)(l-P2)]=PR+P2P3-PlP2P3，

5

V0<Z1<P2<P3<1,

???P(C)-P(B)=PiR-P2)>0,P(B)-P(4)=P3W2-Pl)>0,

???P(C)>P⑻>P(A),

.??此電路正常工作的最大概率是BP3+P2P3-PlP2P3.

故答案為：Pi23+P2P3-PlP2P3.

利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)根據(jù)函數(shù)圖象可得24=3—(—1)=4,.?.4=2,3+(-l)=2B,二8=1,

又,?,照）=3,???2sin（-x合+9）+1=3,

72

f得

n^+--+-7-T+(ce9

si^7T97122/<Z,蘭+2而，kWZ,

又???0=/乃，???/(%)=2sm(Q%+/兀)+1；

io5lo

(2)把y=/(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的|(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2s譏(2x+白兀)+1,

□lo

再向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin(2x+-^zr),

lo

再向左平移養(yǎng)個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin[2(x+*+得兀]=2sin(2x+,-*?g(%)=2sin(2x+

當(dāng)工￡[0,芻時(shí)，<2%4-^<^7T,

又函數(shù)y=sinx在[-工]上單調(diào)遞增，在內(nèi)第上單調(diào)遞減，

乙乙ZZ

??--^<sin(2x+^)<1.-,.g{x}e[-V-3,2],即9(%)值域?yàn)閇-15,2].

【解析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象可得A=2,得B=l,由圖象和公式7=需求得3=+由//)=3求

得卬=,兀，即可求解；

1O

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換可得g(x)=2sm(2x+金，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出

函數(shù)g(x)的值域.

本題主要考查由y=Asin(3x+s)的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象變換，考查運(yùn)算求

解能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由題意可得：an=4+n-l=n+3,an+%=(4—2)x2〃T=2".

n

:.bn=2—n—3.

nnn

(2)???--bn=2+i-(n+1)-3-(2-n-3)=2-1>1>0,nG/V*,

"+1>bn,

???數(shù)列｛匕｝單調(diào)遞增,

23

vb1=2—1—3=—2,b2=2—2—3=—1,h3=2—3—3=2,An>3時(shí)，bn>0,

???n=1時(shí)，7\=2；

n=2時(shí)，72=2+1=3；

nN3時(shí)，〃=3+壇+/+…+b九=3+(2。+2"+…+2n)—[6+7+…+(n+3)]

n2

o,8(1-2-)(n-2)(6+n+3)

=3+~nn^----------------------2-------------

-2n+l_5_(n-2)(n+9)^

[2,n=1

"T"=(2"i-5-(=2器9),幾n2.

【解析】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、分類討論方

法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；

(2)先研究數(shù)列｛與｝單調(diào)性，對(duì)跟分類討論，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

19.【答案】解：（1）設(shè)甲至多經(jīng)過(guò)兩局比賽晉級(jí)決賽為事件4

則甲第一局獲勝或第一局平局第二局獲勝，

則2（4）="卜鴻;

（2）設(shè)乙恰好經(jīng)過(guò)一局，兩局，三局比賽晉級(jí)決賽分別為事件B,C,D,

則P(B)=1_?+勺=：,

P（D）=H（1V）=高

1

故在乙最后晉級(jí)決賽的前提下，乙恰好經(jīng)過(guò)三局比賽才晉級(jí)決賽的概率為件丁="

以+走17

【解析】（1）甲至多經(jīng)過(guò)兩局比賽晉級(jí)決賽，則甲第一局獲勝或第一局平局第二局獲勝，根據(jù)概率

計(jì)算即可；

（2）分別計(jì)算出乙恰好經(jīng)過(guò)一局，兩局，三局比賽晉級(jí)決賽的概率，再由條件概率的計(jì)算公式求解.

本題考查條件概率，考查概率的乘法公式，屬于中檔題.

20.【答案】證明：（1）因?yàn)镻D，矩形4BCD,所以PD1BC,

由底面4BC。為長(zhǎng)方形，有BC1CD,而PDnCD=D,

所以BC_L平面PCD,而DEu平面PCD,所以BC_LDE,

又因?yàn)镻D=CD,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE1PC,

而PCCBC=C,所以O(shè)E_L平面PBC,而PBu平面PBC,所以PB1OE,

又PB1EF,DFnEF=E,所以PB1平面。EF,

所以PB1DF得證；

解：（2）如圖，以。為原點(diǎn)，射線D4,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系:

因?yàn)镻O=DC=1,設(shè)BC=A,

則。(0,0,0),P(0,0,l),B(A,l,0),C(0,1,0),

所以PB=(A,l,-1)>

又因?yàn)辄c(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以E(0；［),

由PD，平面4BCD,所以平面4BCD的一個(gè)法向量為加=(0,0,1),

由(1)知，。81平面。5/，所以平面DEF的一個(gè)法向量為前=(―尢一1,1),

7T,5PDP.,1.1

則C°S§=I\BP\-\DP\I=I［~T~I=2>解得4=「，

\j入+2

所以PB=2,PF=；=；PB,

1111

1X-

Vp-DEF~^F-PDE—^B-PDE4-3-2-2-

【解析】⑴易證BC1平面PCD,所以BC1DE,又因?yàn)镈E1PC,所以DE1?平面P8C,所以PB1DE,

又PB1EF,所以PBJ_平面。EF,從而證得PB1DF；

(2)以。為原點(diǎn)，射線04,DC,DP分別為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=4,

求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出面CEF與平面4BCD的法向量，結(jié)合題目條件求出；I的值，再利用三棱

錐的體積公式求解即可.

本題主要考查了直線與平面垂直的判定定理，考查了利用空間向量求二面角的大小，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)設(shè)雙曲線方程為今一《=1,

由題意Fi(—，石,0),尸2(、廠5,0)為雙曲線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)

P(2,-1)在。上，

C的方程為［一］=1.

(2)點(diǎn)4,8在C上，直線P4PB與y軸分別相交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線48上,

y=kx+m

22

設(shè)直線AB的方程為丫=kx+rn,4(與、y。，B(x2,y2),P(2,-1)>/—y2=3(1—fc)x—

2kmx-m2—3=0,1—fc20,Z1>0,

???直線PA方程為y=狙@-2)-1,令x=0="(0,孚空1),

直線PB方程為y=”O(jiān)-2)—l,x=0可得，N(0,字斐)，二麗+麗=6,

%2一/，一第2

Xi+2yx+2y

???y”+=°=r22=0,

2-%i2-X2

.Xl+2(kX]+m)也+2(依2+m)_

'2Tl+2T2=n'

A[(2k+l)x1+2m](2—x2)+[(2k+l)x2+2m](2—xj=0,

A(4fc+2—27n)(%i+x2)—(4k4-2)xtxz+8m=0,

若^

???(4k-2m+2)-^L-(4fc+2)+8m=0,

(2k—m+1)-2km+(2k+l)(m2+3)+4m(l—fc2)=0,

???4k2m—2km24-2km+2km24-6/c4-m2+3+4m—4mk2=0,

:.m2+(2k4-4)m4-6fc4-3=0,(m4-3)(m+2k+1)=0,

當(dāng)m+2k+1=0時(shí)，m=-2k-1,此時(shí)直線AB方程為y=/ex-2k-1=fc(x-2)-1,

恒過(guò)定點(diǎn)P(2,-l),顯然不可能，

??.m=-3,直線48方程為y=kx-3恒過(guò)定點(diǎn)E(0,-3),

-~PQAB=0f?-PQ