浙江省衢州市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題

浙江省衢州市2022-2023學年高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．已知集合A={1，2}，則集合A．7個 B．6個 C．4個 D．3個2．若復數(shù)z=21+i，則復數(shù)A．2 B．2 C．1 D．1?i3．函數(shù)f(x)=x+eA．[?12，0] B．[?1，?4．用一個平面去截一個正方體，所得截面形狀可能為：（）①三角形②四邊形③五邊形④六邊形⑤圓A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤5．已知向量a=(m，2)，b=(2，A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．函數(shù)f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)A．[74，134] B．(7．已知函數(shù)f(x)=|lnx?1|，0<x≤e2x?2A．(e，9] B．(e2，9e]8．在矩形ABCD中，BC=4，M為BC的中點，將△ABM和△DCM沿AM，DM翻折，使點B與點C重合于點P，若∠APD=135°，則三棱錐M?PAD外接球的表面積為（）A．12π B．36π C．(36?162)π 二、多選題9．給出下列說法，其中正確的是（）A．數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差與中位數(shù)之積為6B．已知一組數(shù)據(jù)x1，xC．已知一組數(shù)據(jù)x1D．已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)為10．函數(shù)f(x)=3A．f(x)的最大值為3B．對任意的x∈R，都有f(C．f(x)在(?πD．由y=2sin2x的圖象向右平移π611．窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，圖1是一個正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點，則下列說法正確的是（）A．若函數(shù)f(x)=|AD?xAB|B．PA?PBC．AG在AB方向上的投影向量為?D．OA12．某同學在研究函數(shù)f(x)=x2+2x+2+x2?6x+10A．f(x)的圖象是中心對稱圖形 B．f(x)的圖象是軸對稱圖形C．f(x)的值域為[25，+∞) 三、填空題13．在平面直角坐標系中，角α的終邊經(jīng)過點P(?1，2)，則sin14．設x>0，則函數(shù)y=x+22x+115．已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，且對任意的x1，x2∈(0，2)，x116．若點M為邊長為2的正△ABC內(nèi)的一個動點且∠BMC=2π3，則MAMC四、解答題17．已知函數(shù)f(x)=cos2x?sin（1）求f(π（2）求函數(shù)f(x)的值域.18．隨著現(xiàn)代社會物質(zhì)生活水平的提高，中學生的零花錢越來越多，消費水平也越來越高，因此滋生了一些不良的攀比現(xiàn)象.某學校為幫助學生培養(yǎng)正確的消費觀念，對該校學生每周零花錢的數(shù)額進行了隨機調(diào)查，現(xiàn)將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按[0，20)，[20，40)，…，（1）求頻率分布直方圖中a，b的值；（2）估計該校學生每周零花錢的第55百分位數(shù)；（3）若按照各組頻率的比例采用分層隨機抽樣的方法從每周零花錢在[60，120)內(nèi)的人中抽取11人，求19．衢州市某公園供市民休息的石凳是阿基米德多面體，它可以看做是一個正方體截去八個一樣的四面體得到的二十四等邊體（各棱長都相等），已知正方體的棱長為30cm.（1）證明：平面ABE//平面GNK；（2）求石凳所對應幾何體的體積.20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b+ca（1）求角A的大??；（2）求b221．如圖在三棱臺ABC?A1B1C1中，AA1⊥（1）求點A到平面A1（2）求二面角C?A22．已知函數(shù)f(x)=a(2x?1)|x+1|?2x?1，（1）當a=1時，求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若f(x)有三個零點x1，x①1②a(x

答案解析部分1．【答案】C【知識點】集合的包含關系判斷及應用【解析】【解答】集合子集的個數(shù)為2n個（n為集合A的元素個數(shù)），

∴集合A的子集個數(shù)為22=4，

故答案為：C.

2．【答案】A【知識點】復數(shù)的?！窘馕觥俊窘獯稹縵=21+i=21?i1+i3．【答案】B【知識點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)零點的判定定理【解析】【解答】fx為增函數(shù)，f?1=1e?1<0，f?14．【答案】C【知識點】棱柱的結(jié)構特征【解析】【解答】用一個平面去截一個正方體，分別是所在棱A，B，C，D，E，F(xiàn)的中點，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形.

故選：C.

【分析】由正方體的結(jié)構特征，做出截面即可判斷出正確選項.5．【答案】B【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面向量的數(shù)量積運算【解析】【解答】由a?·b?=2m?2<0，解得m<1，∵6．【答案】D【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】∵0≤x≤π，∴π4≤ωx+π4≤ωπ+π47．【答案】D【知識點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用；冪函數(shù)的圖象【解析】【解答】畫出函數(shù)f(x)=|lnx?1|，0<x≤e2x?2，x>e2的圖象如圖，

若0<a<b<c，由圖像可知f(a)=f(b)，即lna?1=lnb?1，

絕對值可得1?8．【答案】B【知識點】球內(nèi)接多面體；平面與平面垂直的判定；正弦定理【解析】【解答】如圖，

由已知條件可得MP⊥PA，MP⊥PD，

又因為PA，PD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，

設的外接圓半徑為r，由正弦定理可得ADsin∠APD=2r，即4sin135°=2r，解得r=22，

設三棱錐外接球的半徑為R，

則R2=PM22+r2，即9．【答案】A,C,D【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標準差【解析】【解答】A.數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差為4，中位數(shù)為1+22=32，極差和中位數(shù)的積為6正確，所以A選項正確.

B.數(shù)據(jù)4x1?1，4x2?1，?，4xn10．【答案】B,C【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】用輔助角公式化簡f(x)=3sin2x?cos2x=232sin2x?12cos2x=2sin2x?π6

A.fx的最大值為2，所以A選項錯誤.

B.f(π311．【答案】A,B【知識點】兩向量的和或差的模的最值；平面向量的坐標運算；平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角；平面向量的綜合題；空間向量的投影向量【解析】【解答】如圖，以GC為x軸，AE為y軸，建立平面直角坐標系，

設oc=a，在△COD中，∠COD=π4由余弦定理可得a2+a2?22=2a2cosπ4，解得

∴Ca，0，G?a，0，A0，?a，B2a2，?2a2，D2a2，2a2，Px，y，AB?=2a2，12．【答案】B,C,D【知識點】函數(shù)的值域；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)與方程的綜合運用【解析】【解答】C.函數(shù)f(x)=(x+1)2+(0?1)2+(x?3)2+(0?1)2=(x+1)2+(0+1)2+(x?3)2+(0?1)2的幾何意義為

x軸上一動點P（x，0）到兩個定點A（-1，-1），B（3，1）的距離和，當P、A、B三點共線（P在線段AB上）時f(x)取得最小值AB=?1?32+?1?12=25所以C選項正確.

A.由C選項f(x)的值域只有最小值無最大值，可判斷f(x)的圖像不是中心對稱圖形，所以A選項不正確.

B.∵f2?x=2?x2+213．【答案】2【知識點】任意角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】sinα=yx2+14．【答案】1【知識點】基本不等式【解析】【解答】∵x>0∴x+12>0函數(shù)y=x+22x+1?1=x+12+1x+1215．【答案】?sin【知識點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；奇函數(shù)與偶函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)的周期性；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【解答】因為f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f?x=?fx①，又∵fx+2為偶函數(shù)∴fx+2=f?x+2即fx+4=f?x②，由①②可得fx+4=?fx，∴fx+8=fx，所以f(x)是周期為8的周期函數(shù)。

對任意的x1，x2∈(0，2)，x16．【答案】3【知識點】正弦定理；三角形中的幾何計算【解析】【解答】如圖，

設∠BMC=120°，∠MBC=α，將△BMC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使邊BC和邊BA重合，連接DM，

∵△BMC?△BDA∴BM=BD，AD=MC∴∠DBM=α+∠ABM=60°，∴△BDM為等邊三角形，

∴∠BDM=60°，∠ADM=120°?60°=60°，

過點A作AH垂于于DM交DM于點H，∴AM≥AH=ADsin60°=MCsin60°=32MC，∴AMMC≥32

17．【答案】（1）解：因為f(x)=cos所以f(π（2）解：f(x)=令t=cosx，因為x∈[0，π2令g(t)=2t2?t?1則g(t)在(0，14又g(0)=?1，g(14)=?98所以函數(shù)f(x)的值域[?9【知識點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；二倍角的余弦公式；余弦函數(shù)的定義域和值域；誘導公式【解析】【分析】(1)把π6代入函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出.

(2)利用誘導公式和二倍角公式先化簡fx，再利用換元法轉(zhuǎn)化成二次型函數(shù)在18．【答案】（1）解：(a+0.0125+0又a=3b，所以a=0.015，（2）解：前3組的頻率和為(0.前4組的頻率和為(0.∴第55百分位數(shù)位于第4組[60，∴估計第55百分位數(shù)為60+0（3）解：[60，80)，[80，100)，[100，120)這三組的頻率分別為0.則從[100，120)內(nèi)抽取的人數(shù)分別為【知識點】分層抽樣方法；頻率分布直方圖【解析】【分析】(1)由頻率和為1可得a+2b=0.025，結(jié)合已知條件a=3b，解方程組即可求出.

（2）利用百分位數(shù)的定義，先判斷第55百分位數(shù)所在的區(qū)間，結(jié)合頻率直方圖即可求出.19．【答案】（1）解：多面體為二十四等邊體知A、B、E、G、N、K為正方體對應棱上的中點

則AB//NK，BE//GN，AB∩BE=B，AB，BE?平面ABE，GN∩NK=N，GN，則平面ABE//平面GNK.（2）解：正方體的體積V1截去的每個四面體體積為V2所以石凳所對應幾何體的體積為V1【知識點】組合幾何體的面積、體積問題；平面與平面平行的判定【解析】【分析】(1)由面面平行的判定定理即可證明.

(2)先求出八個全等的三棱錐的體積和，再利用正方體的體積減去截去的部分體積即可算出.20．【答案】（1）解：因為b+ca=2sin由正弦定理可得sinB+∴sinB+∴sinA∴cosA∴cosA+1=3sinA，即sin(A?∴A?π6=（2）解：法1：由正弦定理可得b=4因為0<B<2π30<2π3所以cos(2B?2π3所以b2+c法2：由（1）可知A=π3，在△ABC中，由余弦定理可得則b2bc>0，bc+c所以b2+c【知識點】簡單的三角恒等變換；兩角和與差的正弦公式；正弦定理；余弦定理【解析】【分析】(1)用兩角和的正弦公式把已知條件進行化簡，利用正弦定理把邊化成角的正弦，再利用三角恒等變換求出sin(A?π6)=12，利用三角形內(nèi)角的取值范圍即可求出A的值.21．【答案】（1）解：解法一：因為AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，AB?平面ABC，AC?所以AA1⊥BC，A又BC⊥AC，AA1∩AC=A，且A所以BC⊥因為CC1?所以BC⊥CC在Rt△ABC中，AB=A在Rt△A1AB過C1作C1D⊥AC則AA1=C1所以CC所以在Rt△C1BC則在△A則sin∠所以S△S△A設點A到面A1BC根據(jù)VA?即13即13×2所以點A到平面A1BC解法二：同解法一先證BC⊥平面A1如圖建系，則C(0，0，0)，A(2，0，則BA1=(2，?2設平面的法向量為n=(x由n?BA即x=0y=z，取n則點A到平面A1BC（2）解：解法一：過C1作C1E⊥由（1）知BC⊥平面A1因為C1E?平面所以BC⊥C又A1C∩BC=C，且A1則C1E⊥平面過點E作EF⊥A1B，垂足為F則∠C1FE又∠C1A1C=∠則A1由△A1EF∽所以EF=6所以C1所以sin∠所以二面角C?A1B?解法二：由（1）解法二知，C(0，0，0)，A(2，0，則CA1=(2設平面A1BC由n2?C即x=?z2y又平面A1BC則cos?則二面角C?A1B?【知識點】點、線、面間的距離計算；用空間向量研究二面角；二面角的平面角及求法；余弦定理【解析】【分析】(1)方法一：利用線面關系證明BC⊥平面A1AC，再利用余弦定理求出cos∠A1BC1，最后利用等體積轉(zhuǎn)換即可求出點到面的距離.

方法二：利用線面關系證明BC⊥平面A1AC，在建立空間直角坐標系，求出平面A1BC22．【答案】（1）解：因為a=1，所以f(當x∈[?1，14]時，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(14因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[?1，（2）解：①f(當a=0時，f(x)=?2x?1僅有一個零點，不合題意；當a<0時，1當12a?14≥?1時，f(x)在x∈當12a?14<