多邊形及其內(nèi)角和導(dǎo)學(xué)案

課題3:多邊形及其內(nèi)角和第1課時(shí)（11.3.1多邊形）【導(dǎo)學(xué)目標(biāo)】1.知道多邊形、多邊形的內(nèi)角、多邊形的外角、多邊形的對(duì)角線和正多邊形的有關(guān)概念。2.能夠解決與多邊形的對(duì)角線有關(guān)的問題?！緦?dǎo)學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：多邊形的相關(guān)概念。難點(diǎn)：多邊形對(duì)角線?！緦?dǎo)學(xué)流程】一、學(xué)前準(zhǔn)備知識(shí)點(diǎn)一：多邊形、多邊形的內(nèi)角、多邊形的外角、多邊形的對(duì)角線和正多邊形的有關(guān)概念。二、探索思考1.自學(xué)課本，完成下列問題。（1）在平面內(nèi)，由一些線段_________相接組成的_______叫做多邊形。圖1中分別是什么多邊形？（2）多邊形_______組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，圖2中內(nèi)角有_______。（3）多邊形的邊與它的的鄰邊的_______組成的角叫做多邊形的外角。圖2中外角有_______。（4）連接多邊形的_______兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。（5）_______都相等，_______都相等的多邊形叫做正多邊形。2.對(duì)應(yīng)練習(xí)（1）n邊形有_______條邊，_______個(gè)頂點(diǎn)，_______個(gè)內(nèi)角。（2）下列圖形不是凸多邊形的是（）。知識(shí)點(diǎn)二：解決與多邊形的對(duì)角線有關(guān)的問題1.探究：畫出下列多邊形的對(duì)角線，回答問題：（1）從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫______條對(duì)角線，把四邊形分成了______個(gè)三角形；四邊形共有條______對(duì)角線。（2）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫______條對(duì)角線，把五邊形分成了______個(gè)三角形；五邊形共有條對(duì)角線。（3）從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫______條對(duì)角線，把六邊形分成了______個(gè)三角形；六邊形共有條對(duì)角線。（4）猜想：①?gòu)?00邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫______條對(duì)角線，把100邊形分成了______個(gè)三角形；100邊形共有條對(duì)角線。②從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫條______對(duì)角線，把n分成了______個(gè)三角形；n邊形共有______條對(duì)角線。練習(xí)：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作條______對(duì)角線，從n邊形n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可作條______對(duì)角線，除去重復(fù)作的對(duì)角線，則n邊形的對(duì)角線的總數(shù)為______條。（2）過m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，n邊形沒有對(duì)角線，k邊形有2條對(duì)角線，則（m-k）=______。（3）過十邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可作出幾條對(duì)角線？把十邊形分成了幾個(gè)三角形？（4）十二邊形共有______條對(duì)角線，過一個(gè)頂點(diǎn)可作______條對(duì)角線，可把十二邊形分成______個(gè)三角形。三、當(dāng)堂反饋1.下列圖形中，是正多邊形的是（）。A.直角三角形B.等腰三角形C.長(zhǎng)方形D.正方形2.九邊形的對(duì)角線有（）。A.25條B.31條C.27條D.30條3過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，把多邊形分成8個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______。4.一個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)等于它的邊數(shù)的4倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)是______。5.如圖，∠1,∠2,∠3是三角形ABC的不同三個(gè)外角，則∠1+∠2+∠3=________。6.三角形的三個(gè)外角中最多有_______銳角，最多有_______個(gè)鈍角，最多有_______個(gè)直角7.△ABC的兩個(gè)內(nèi)角的一平分線交于點(diǎn)E，∠A=52°，則∠BEC=_______。8.已知△ABC的∠B,∠C的外角平分線交于點(diǎn)D，∠A=40°，那么∠D=_______。9.如圖，∠BDC是_______外角，∠BDC=_______+_______，∠EFC是外角，∠EFC=_______+_______，∠BFC是外角，∠BFC=_______+_______，∠BFC>_______,∠BFC>_______。10.在△ABC中∠A等于和它相鄰的外角的四分之一，這個(gè)外角等于∠B的兩倍，那么∠A=_______,∠B=_______,∠C=_______。第2課時(shí)（11.3.2多邊形的內(nèi)角和）【導(dǎo)學(xué)目標(biāo)】1.知道多邊形的內(nèi)角和與外角和定理；2.運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算?！緦?dǎo)學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和與外角和定理。難點(diǎn)：內(nèi)角和定理的推導(dǎo)?！緦?dǎo)學(xué)流程】一、學(xué)前準(zhǔn)備1.三角形的內(nèi)角和是多少_______。2.正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和是多少_______。3.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫_______條對(duì)角線，把n邊形分成了_______個(gè)三角形。二、探索思考知識(shí)點(diǎn)一：多邊形的內(nèi)角和定理探究1：任意畫一個(gè)四邊形，量出它的4個(gè)內(nèi)角，計(jì)算它們的和。再畫幾個(gè)四邊形，量一量、算一算。你能得出什么結(jié)論？能否利用三角形內(nèi)角和等于180°得出這個(gè)結(jié)論？結(jié)論：_______。探究2：從上面的問題，你能想出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？觀察右圖，請(qǐng)?zhí)羁眨海?）從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引_______條對(duì)角線，它們將五邊形分為_______個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°_______。（2）從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引條對(duì)角線，它們將六邊形分為個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°。探究3：一般地，怎樣求n邊形的內(nèi)角和呢？請(qǐng)?zhí)羁眨簭膎邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引_________條對(duì)角線，它們將n邊形分為_______個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和等于180°_______。結(jié)論：多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系是_______。練習(xí)一1.十二邊形的內(nèi)角和是_______。2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于900°，求它的邊數(shù)。知識(shí)點(diǎn)二：多邊形的外角和探究4：如圖，在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和。六邊形的外角和等于多少？問題：如果將六邊形換為n邊形（n是大于等于3的整數(shù)），結(jié)果還相同嗎？因此可得結(jié)論：____________________。練習(xí)二1.七邊形的外角和是___________；十二邊形的外角和是_________；三角形的外角和是_________。2.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則這個(gè)多邊形是邊形。3.在每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形中，若一個(gè)外角是它相鄰內(nèi)角的1/2，則這個(gè)多邊形是________邊形。三、當(dāng)堂反饋1.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°，則它的邊數(shù)是；一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于140°，則它的邊數(shù)是。2.如果四邊形有一個(gè)角是直角，另外三個(gè)角的度數(shù)之比為2：3：4，那么這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為________。3.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)是________。4.當(dāng)一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1時(shí)，它的內(nèi)角和增加度。3.正十邊形的一個(gè)外角為。4.________邊形的內(nèi)角和與外角和相等。5.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為1080°，則這個(gè)多邊形是________邊形。6.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的比為7：2，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。知識(shí)鏈接三角形的五心重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。上述交點(diǎn)叫做三角形的重心。外心：三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。這點(diǎn)叫做三角形的外心。垂心：三角形的三條高線交于一點(diǎn)。這點(diǎn)叫做三角形的垂心。內(nèi)心：三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的旁心。三角形有三個(gè)旁心。三角學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史三角學(xué)是以研究三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)，應(yīng)用于測(cè)量，同時(shí)也研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的一門學(xué)科。三角學(xué)起源于生活實(shí)踐。例如古埃及人為了建筑金字塔，整理尼羅河泛濫后的耕地以及通商航海觀察天象等測(cè)量的需要，產(chǎn)生和積累了有關(guān)的三角學(xué)知識(shí)；又如古印度人也是由天文測(cè)量的需要而得到三角學(xué)的有關(guān)內(nèi)容。古代三角學(xué)的萌芽可以說是古希臘哲學(xué)家泰勒斯的相似理論，而希臘的天文學(xué)家喜帕恰斯，曾著有《三角學(xué)》12卷，大概可以認(rèn)為是古代三角學(xué)的創(chuàng)始人。三角測(cè)量在中國(guó)也很早出現(xiàn)，公元前一百多年的《周髀算經(jīng)》就有較詳細(xì)的說明，例如它的首章記錄“周公曰，大哉言數(shù)，請(qǐng)問用矩之道。商高曰，平矩以正繩、偃矩以望高、覆矩以測(cè)深、臥矩以知遠(yuǎn)?！保ㄉ谈哒f的矩就是現(xiàn)今工人用的兩邊互相垂直的曲尺，商高說的大意是將曲尺置于不同的位置可以測(cè)目標(biāo)物的高度、深度與廣度。）1世紀(jì)時(shí)的《九章算術(shù)》中有專門研究測(cè)量問題的篇章，3世紀(jì)時(shí)劉徽所著的《海島算經(jīng)》中更有運(yùn)用“重差術(shù)”，通過多次觀察來解決不可達(dá)高度與距離問題。但古代三角學(xué)只是作為天文學(xué)的一部分內(nèi)容而已，直到13世紀(jì)中亞數(shù)學(xué)家納速拉丁在總結(jié)前人成就的基礎(chǔ)上，著成《完全四邊形》一書，才為把三角學(xué)從天文學(xué)中獨(dú)立出來奠定了基礎(chǔ)。直到15世紀(jì)，德國(guó)的雷格蒙塔努斯的《論三角》一書的出版，才標(biāo)志古代三角學(xué)正式成為獨(dú)立的學(xué)科。這本書中不僅有很精密的正弦表、余弦表等，而且給出了現(xiàn)代三角學(xué)的雛形。16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)則更進(jìn)一步將三角學(xué)系統(tǒng)化，在他對(duì)三角法研究的第一本著作《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)法則》中，就有解直角三角形、斜三角形等的詳述，并且還有正切定理以及和差化積定理等。使人注目的是18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，他首先研究了三角函數(shù)，使三角學(xué)從原先靜態(tài)研究三角形的解法中解脫出來，成為反映現(xiàn)實(shí)世界中某些運(yùn)動(dòng)和變化的一門具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)特征的學(xué)科。歐拉不僅用直角坐標(biāo)來定義三角函數(shù)，徹底解決了三角函數(shù)在四個(gè)象限中的符號(hào)問題，還引進(jìn)了弧度值。更可貴的是他發(fā)現(xiàn)了著名的歐拉公式eix=cosx＋isinx，把原來人們認(rèn)為互不相關(guān)的三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來了，為三角學(xué)增添了新的活力。由上述可見三角學(xué)是源于測(cè)量實(shí)踐，其后經(jīng)過了漫長(zhǎng)時(shí)間的孕育，眾多中外數(shù)學(xué)家的不斷努力，才逐漸豐富，演變發(fā)展成為現(xiàn)在的三角學(xué)。三角學(xué)的歷史演變?nèi)菍W(xué)是以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關(guān)系為基礎(chǔ)，達(dá)到測(cè)量上的應(yīng)用為目的的一門學(xué)科。同時(shí)還研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。三角學(xué)的拉丁文拼法為trigonometria，是三角形triangulum和測(cè)量metricus兩字的合并，由德國(guó)人皮蒂斯楚斯于1595年創(chuàng)用，原意指三角形的測(cè)量，即解三角形。早期的三角學(xué)是天文學(xué)的一部分，后來研究范圍逐漸擴(kuò)大，變成以三角函數(shù)為主要對(duì)象的學(xué)科。早在公元前300年，古代埃及人已有了一定的三角學(xué)知識(shí)，主要用于測(cè)量。例如建筑金字塔、整理尼羅河泛濫后的耕地、通商航海和觀測(cè)天象等。公元前600年左右古希臘學(xué)者泰勒斯游埃及，利用相似三角形的原理測(cè)出金字塔的高，成為西方三角測(cè)量的肇始。據(jù)中國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》記載，約與泰勒斯同時(shí)代的陳子已利用勾股定理測(cè)量太陽的高度，其方法后來稱為“重差術(shù)”。公元前2世紀(jì)前后希臘天文學(xué)家喜帕恰斯為了天文觀測(cè)的需要，作了一個(gè)和現(xiàn)在三角函數(shù)表相仿的“弦表”，即在固定的圓內(nèi)，不同圓心角所對(duì)弦長(zhǎng)的表，他成為西方三角學(xué)的最早奠基者。公元2世紀(jì)，希臘天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家托勒密繼承喜帕恰斯的成就，加以整理發(fā)揮，著成《天文學(xué)大成》13卷，包括從0°到90°每隔半度的弦表及若干等價(jià)于三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系式，被認(rèn)為是西方第一本系統(tǒng)論述三角學(xué)理論的著作。約同時(shí)代的門納勞斯寫了一本專門論述球面三角學(xué)的著作《球面學(xué)》，內(nèi)容包球面三角形的基本概念和許多平面三角形定理在球面上的推廣，以及球面三角形許多獨(dú)特性質(zhì)。他的工作使希臘三角學(xué)達(dá)到全盛時(shí)期。公元6世紀(jì)初，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多制作了一個(gè)第一象限內(nèi)間隔3°45′的正弦表，依照巴比倫人和希臘人的習(xí)慣，將圓周分為360度，每度為60分，其中用同一單位度量半徑和圓周，孕育著最早的弧度制概念。他在計(jì)算正弦值的時(shí)候，取圓心角所對(duì)弧的半弦長(zhǎng)，比起希臘人取全弦長(zhǎng)更近于現(xiàn)代正弦概念。印度人還用到正矢和余弦，并給出一些三角函數(shù)的近似分?jǐn)?shù)式。13世紀(jì)納西爾丁在《論完全四邊形》中第一次把三角學(xué)作為獨(dú)立的學(xué)科進(jìn)行論述，首次清楚地論證了正弦定理。他還指出，由球面三角形的三個(gè)角，可以求得它的三個(gè)邊，或由三邊去求三個(gè)角。這是區(qū)別球面三角與平面三角的重要標(biāo)志。至此三角學(xué)開始脫離天文學(xué)，走上獨(dú)立發(fā)展的道路。近代三角學(xué)始于歐拉的《無窮分析引論》（1748年），他第一次以函數(shù)線與半徑的比值作為三角函數(shù)的定義，并令圓的半徑為1，使三角研究大為簡(jiǎn)化。歐拉創(chuàng)用a、b、c表示三角形三邊，A、B、C表示對(duì)應(yīng)的三個(gè)角，大大簡(jiǎn)化了三角公式，這標(biāo)志著三角學(xué)從研究三角形解法進(jìn)一步轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯咳呛瘮?shù)及其應(yīng)用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。我國(guó)古代沒有出現(xiàn)角的函數(shù)概念，只用勾股定理解決了一些三角學(xué)范圍內(nèi)的實(shí)際問題。1631年西方三角學(xué)首次傳入中國(guó)，以德國(guó)傳教士鄧玉函、湯若望和我國(guó)學(xué)者徐光啟合編的《大測(cè)》為代表。同年徐光啟等人還編寫了《測(cè)量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述。1653年薛風(fēng)祚與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角算法》，以“三角”取代“大測(cè)”，確立了“三角”名稱。1877年華蘅煦等人對(duì)三角級(jí)數(shù)展開式等問題有過獨(dú)立的探討?，F(xiàn)代的三角學(xué)主要研究角的特殊函數(shù)及其在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，如幾何計(jì)算等，多發(fā)展于20世紀(jì)中。古希臘人看三等分任意角問題對(duì)于古典時(shí)期的希臘人來說，二等分角是一件易事?？墒?，當(dāng)他們?cè)诔晒Φ赜弥背吆蛨A規(guī)作出圓內(nèi)接正五邊形后，試圖作出邊數(shù)更多的正多邊形時(shí)，不可避免地遇到了如何按給定比將角分成兩部分的問題。如正九邊形的情形，這個(gè)比為2：1，于是三等分角問題產(chǎn)生了。希臘人以尺規(guī)來解該問題的嘗試一次又一次地以失敗告終。他們漸漸意識(shí)到光靠直線和圓是不頂用的，必須借助于其他復(fù)雜的曲線才能成功。第一個(gè)意識(shí)到這一點(diǎn)的希臘人是希皮亞斯（Hippias）。他是伯羅奔尼撒的厄里城人，生于公元前460年左右，是蘇格拉底（Socrates）的同代人。希皮亞斯為解三等分角問題發(fā)明了一種稱作割圓曲線的新曲線，如圖11-1所示。ABCD為一正方形，BED是以A為圓心的四分之一圓弧。假設(shè)半徑繞A點(diǎn)從AB位置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)到AD位置，而在相同時(shí)間內(nèi)直線BC從BC位置勻速平移到AD位置（端點(diǎn)B始終沿BA運(yùn)動(dòng)）。則平動(dòng)直線與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的交點(diǎn)軌跡就是割圓曲線。其性質(zhì)是：∠BAD：∠EAD＝BED：ED＝AB：FH設(shè)∠FAD＝θ，AF＝θ，AB＝a，則割圓曲線的極坐標(biāo)方程為：ρ=2aθπsinθ有了割圓曲線，就可以輕而易舉地三等分任意角了。如圖11-1，要三等分∠EAD，只需取FH的三等分點(diǎn)F′，過F′作B″C″平行于AD，交割圓曲線于L，連接AL，交BED于N，易證∠EAD：∠NAD=FH：LM=FH：F′H=3∶1因此AN三等分∠EAD。實(shí)際上，利用割圓曲線可以將角任意等分。希皮亞斯利用割圓曲線，通過線段三等分來完成角的三等分。或許受此啟發(fā)，170多年后大數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)明了另一種后人以其名字命名的新曲線——阿基米德螺線。它是這樣產(chǎn)生的：一條射線OA從一起始位置出發(fā)繞固定端點(diǎn)O做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而在射線開始轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，一個(gè)點(diǎn)從O出發(fā)沿著它做勻速運(yùn)動(dòng)。則該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是阿基米德螺線。其極坐標(biāo)方程是ρ=aθ。如圖11-2所示。利用該曲線的第一圈來三等分角AOB時(shí)，只需以角的一邊OA作為原始位置，以O(shè)為固定端點(diǎn)，作一螺線交OB于P。取OP的三等分點(diǎn)Q，以O(shè)為圓心，OQ為半徑作圓交螺線于R，則OR三等分∠AOB。希臘人還巧妙地將三等分角問題作了轉(zhuǎn)化。如圖11-3所示，設(shè)∠ABC是須三等分的銳角，AC⊥BC。作矩形ACBF，延長(zhǎng)FA至E，而E是這樣的點(diǎn)：若連接BE交AC于D，則DE＝2AB。取DE的中點(diǎn)G，連AG，則DG＝GE＝AG＝AB。因此∠ABG＝∠AGB＝2∠AEG＝2∠DBC，DE三等分∠ABC。這樣問題轉(zhuǎn)化為：在AE和AC之間插入長(zhǎng)為2AB的線段ED，使ED斜向B點(diǎn)。這就是希臘人所謂的斜向問題。阿基米德的同代人尼可米德（Nicomedes，約前280—前210年）為解決上述斜向問題，發(fā)明了一種稱作蚌線（或蝸線）的新曲線。它是通過一種機(jī)械裝置畫出來的，如圖11-4所示。AB是一直尺，其上有平行于尺長(zhǎng)方向的狹孔，F(xiàn)E是垂直固定在AB上的第二把直尺，其上固定一釘子C。第三把直尺PC以P為尖端，其上也有平行于尺長(zhǎng)方向的狹孔，釘子C可沿狹孔自由移動(dòng)。D是PC上一固定的釘子，與狹孔同在一線上，且D可沿AB上的狹孔自由移動(dòng)。移動(dòng)PC，則尖端P就畫出了蚌線。尼可米德稱AB為“直尺”，固定點(diǎn)C為“極點(diǎn)”，不變長(zhǎng)度PD為“距離”。設(shè)PD＝a，CF＝b，∠FCP＝θ，則尼可米德蚌線的極坐標(biāo)方程為ρ=a+bsecθ。若在圖11-3中以B為極點(diǎn)，AC為直尺，長(zhǎng)度2AB為距離作蚌線，交FA的延長(zhǎng)線于E，則BE即為∠ABC的三等分線。希臘人對(duì)于三等分角問題的轉(zhuǎn)化是意猶未盡的。阿基米德便是其中一例。如圖11-5所示，將須三等分的角AOB作為圓O的圓心角。延長(zhǎng)BO至C，連AC交圓O于D。如果CD＝OA，那么，∠AOB＝∠A＋∠C＝∠ADO＋∠C＝2∠C＋∠C＝3∠C于是過O且平行于CA的直線OE即為∠AOB的三等分線。因此三等分角問題又轉(zhuǎn)化為：在BO延長(zhǎng)線和圓周之間插入線段CD，使它與半徑等長(zhǎng)且斜向A。這是另一種斜向問題。到了中世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家坎伯努斯（Campanus，1220—1296年）在其《幾何原本》的拉丁文譯本中給出了一種斜向法，如圖11-6所示。設(shè)∠AOB是須三等分的圓心角，OC⊥OB。過A作圓的弦AD交OC于E，使得ED＝OA，則∠A＝23∠AOB。過O引DA的平行線OF，OF即為∠AOB的三等分線。易證坎伯努斯的方法與阿基米德斜向法是一樣的?？膊挂郧暗募s當(dāng)努斯（NJordanus，?—1237年）其實(shí)已在他的著作中給出過同樣的方法。正如尼可米德為解斜向問題而發(fā)明了后人以其名字命名的蚌線一樣，在他1800年后的法國(guó)數(shù)學(xué)家、著名數(shù)學(xué)家帕斯卡之父埃廷內(nèi)·帕斯卡（Pascal，1588—1651年）為解決上述阿基米德斜向問題而發(fā)明了另一種蚌線，今稱帕斯卡蝸線。如圖11-7所示，A是圓O上一點(diǎn)，從A向圓周上任一點(diǎn)P引射線，并在射線上的P點(diǎn)兩側(cè)截取PQ＝PQ′＝a（常數(shù)），則Q和Q′的軌跡即為帕斯卡蝸線。A稱為極點(diǎn)。設(shè)圓半徑為R，則帕斯卡蝸線的極坐標(biāo)方程為Ρ=A+2Rcosθ。1896年，奧布里（Aubry）利用圓錐給出妙法。如圖11-9所示，∠AOB是須三等分的圓O的圓心角。以圓O為底作一正圓錐VO，使斜高等于底半徑的3倍。則展開圓錐得的∠AVB＝1/3∠AOB。折飛機(jī)解幾何“三分角”難題以直尺和圓規(guī)把一角分作三等份，是經(jīng)典三大數(shù)學(xué)難題之一。折飛機(jī)的玩意又如何和“三分角”的解法扯上關(guān)系呢？若我們將“折紙飛機(jī)”攤開，便會(huì)發(fā)現(xiàn)如圖11-10所示的折痕——一束束直線從一點(diǎn)散發(fā)出來。原來我們可以利用這些折痕找出“三分角”的方法。首先我們可利用折痕繪出一軌跡曲線，稱之為“C曲線”。在離P點(diǎn)若干距離折出橫線AB，然后在每一條原先的折痕與AB相交處，找出相同長(zhǎng)度的位置，并以點(diǎn)為記。將這些點(diǎn)連起來，便形成“C曲線”。如圖11-11所示。若我們想把∠QPR分作三等份，可采用以下的步驟：(一)PX∶XR＝1∶2的比值，在AB線上定出X點(diǎn)。(二)由X點(diǎn)畫出一垂直線XS，與“C曲線”相交于S點(diǎn)。（三）以直線連接P和S，PS便可將∠QPR的1/3解分出來（即∠QPS=1/3∠QPR）。(四)最后，可用圓規(guī)直尺把∠SPR平分。我們更可進(jìn)一步利用幾何原理，去驗(yàn)證第三步驟所得出來的結(jié)果：(一)在TS線段上，作中點(diǎn)M。由于∠TXS＝90°，T、X、S共圓(concyclic)，得SM＝MX＝MT（M為T、X、S共圓的圓心）。(二)設(shè)∠MSX＝θ，則∠MXS＝∠MSX＝θ，得∠TMX＝2θ［三角形外角(ext.∠ofΔ)］(三)由于TS＝2PX(“C曲線”特點(diǎn))，PX＝TM＝MS＝MX，得∠MPX=∠XMP=2θ。(四)由于∠QPS=∠PSX＝θ［內(nèi)錯(cuò)角，(alt.∠s，QP∥SX)］，因此，∠QPS=1/3∠QPX。難求的完美正方形20世紀(jì)30年代，在英國(guó)劍橋大學(xué)的一間學(xué)生宿舍里，聚集了4名學(xué)生，他們叫塔特、斯東、史密斯、布魯克斯。他們?cè)谘芯恳粋€(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——完美正方形。什么是完美正方形呢？如果一個(gè)大的正方形是由若干個(gè)大大小小的不同的正方形構(gòu)成，這個(gè)大正方形叫做完美正方形。許多人認(rèn)為，這樣的正方形是根本不存在的。假如有，為什么沒有人把它畫出來呢？但是聚集在這里的四名大學(xué)生，敢于迎接挑戰(zhàn)，相信完美正方形是存在的。3年之后，4個(gè)人再一次聚在一起，每個(gè)人都有了成績(jī)。布魯克斯發(fā)現(xiàn)了一種完美正方形，史密斯和斯東發(fā)現(xiàn)了另一種，而塔特找到了進(jìn)一步研究的途徑。又過了幾年，他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)由39個(gè)大小不等的正方形組成的完美正方形。這個(gè)完美正方形不是碰運(yùn)氣找到的而是在理論指導(dǎo)下完成的。這個(gè)完美的正方形的每邊長(zhǎng)為4639個(gè)單位長(zhǎng)，39個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)依次為：1564，1098，1033，944，1163，65，491，737，242，249，7，235，256，259，478，324，296，219，620，697，1231，1030，201，829，440，992，283，157，126，31，341，519，409，163，118，140，852，712，2378個(gè)單位長(zhǎng)。四位當(dāng)年的大學(xué)生通過完美正方形的研究，都成了組合數(shù)學(xué)和圖論專家。他們的研究成果被應(yīng)用到物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、語言學(xué)、建筑學(xué)等諸多領(lǐng)域。數(shù)學(xué)家又提出一個(gè)新的問題：存不存在由最少數(shù)目的正方形組成的完美正方形呢？1978年，借助于電子計(jì)算機(jī)的幫助，終于找到這個(gè)由最少數(shù)目的正方形組成的完美正方形，它的邊長(zhǎng)為112個(gè)單位長(zhǎng)，由21個(gè)小正方形組成（如圖11-13）。這些小正方形的邊長(zhǎng)依次為：2，4，6，7，8，9，11，15，16，17，18，19，24，25，27，29，33，35，37，42，50個(gè)單位長(zhǎng)。塔特教授曾于1980年來我國(guó)講學(xué)，他是世界上最著名的圖論學(xué)專家。他滿懷深情地向人們講述了研究了40年的完美正方形的故事。吳文俊和機(jī)器證明吳文俊是我國(guó)當(dāng)代的著名數(shù)學(xué)家，中國(guó)科學(xué)院院士。他研究的幾何定理的機(jī)器證明旨在尋求一般性的方法，它不僅適用于個(gè)別的定理，而且適用于整個(gè)某一類型的定理，甚至可以說是某一種幾何的所有定理。只要依照他所述的方法機(jī)械地進(jìn)行，在有限步之后，就可對(duì)整個(gè)一類定理得到統(tǒng)一的證真和證偽，而無分難易。要做到這一點(diǎn)，必須通過以數(shù)量關(guān)系為主的代數(shù)方法，而幾何的代數(shù)化乃是關(guān)鍵性的一步。吳文俊不僅論述了初等幾何機(jī)械化的原理與方法，還研究了這些理論與方法在計(jì)算機(jī)上的具體實(shí)施，其中包括程序的編制，計(jì)算量的估計(jì)，具體定理的證明，新定理的發(fā)明以及幾何的理論和方法對(duì)計(jì)算機(jī)使用效率的改進(jìn)與各種應(yīng)用等等。后來，他還致力于研究微分幾何的機(jī)械化問題以及各種有關(guān)的理論問題。吳文俊關(guān)于機(jī)器證明的成果已引起國(guó)內(nèi)外邏輯學(xué)家和人工智能學(xué)者的高度重視。此外，他還致力于中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的研究。1983年，吳文俊當(dāng)選為中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)，這是繼華羅庚之后的第二任理事長(zhǎng)。數(shù)學(xué)中的推理、邏輯與證明數(shù)學(xué)中的推理方法有歸納推理和演繹推理。我們看到這兩種方法都有用處，但是各有缺點(diǎn)，歸納推理能用以發(fā)現(xiàn)新的東西，但如果所考慮的事例并不具有代表性，或者被誤解了，那么就可能推得錯(cuò)誤的結(jié)論。演繹推理能用以產(chǎn)生正確的結(jié)論，但必須從正確的假定出發(fā)。在數(shù)學(xué)中經(jīng)常一起使用這兩種方法：用歸納法去導(dǎo)出可接受的假設(shè)，用演繹法從假設(shè)去推導(dǎo)正確的結(jié)論。人類最初的數(shù)學(xué)知識(shí)是由歸納法得到的。遠(yuǎn)古的埃及人和巴比倫人，通過觀察和實(shí)驗(yàn)獲得了許多數(shù)學(xué)知識(shí)，并把這些數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于他們的日常生活之中。古希臘人對(duì)哲學(xué)和邏輯很有興趣，十分強(qiáng)調(diào)推理。他們接受了一些基本的數(shù)學(xué)假設(shè)，然后從這些假設(shè)出發(fā)，用演繹法證明了大部分我們今天知道的幾何定理。所以，演繹證明是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要部分。從古希臘的時(shí)代起，演繹法就成為數(shù)學(xué)中最重要的一種推理方法。但是，數(shù)學(xué)家們像其他科學(xué)家一樣，仍然通過預(yù)感、想象、類比、推測(cè)、實(shí)驗(yàn)等各種方法繼續(xù)發(fā)現(xiàn)新的思想，然后他們?yōu)榱蓑?yàn)證新的思想確實(shí)成立，苦心作成嚴(yán)格的證明。這種嚴(yán)格的形式證明完全不同于想象。他們應(yīng)用假設(shè)、定義和先前已證明過的命題去證明新的命題。他們決不說：“如此這般是正確的”，而是說，“如果A成立，那么B成立”。他們了解，結(jié)論B依賴于作為出發(fā)點(diǎn)的假設(shè)A，而且可能只在數(shù)學(xué)的世界里是成立的，在物理世界里可能沒有明顯的應(yīng)用或解釋。例如兩個(gè)波蘭數(shù)學(xué)家，斯蒂凡·巴拿赫與艾爾弗雷德·塔斯基，從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)用一種邏輯證明了：一粒豌豆大小的固體球能夠分割成有限多數(shù)目的薄片，然后裝配成太陽大小的一個(gè)球！難怪?jǐn)?shù)學(xué)被認(rèn)為是一門不尋常的科學(xué)。泰勒斯：幾何證明的初試古埃及人與巴比倫人，通過長(zhǎng)期（約三千年）的生活實(shí)踐，累積了大量直觀的、經(jīng)驗(yàn)的、實(shí)驗(yàn)的幾何知識(shí)──可能對(duì)也可能錯(cuò)。然后傳到了古希臘（泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯、德謨克里特……，這些希臘先哲都曾到過埃及與巴比倫旅行、游學(xué)，帶回了許多幾何知識(shí)），加上希臘人自己所創(chuàng)造的幾何遺產(chǎn)，經(jīng)過一群愛智、求完美、講究論證、追根究底、為真理奮斗的哲學(xué)家們之增益與整理，開始發(fā)酵而產(chǎn)生質(zhì)變。在古希臘文明的早期，希臘人編造許多神話來解釋各種現(xiàn)象。但是當(dāng)他們面對(duì)幾何時(shí)，毅然決定給經(jīng)驗(yàn)注入論證與證明，迫使神話與獨(dú)斷讓位給理性（mythanddogmagavewaytoreason），這是數(shù)學(xué)史也是文明史上了不起的創(chuàng)舉，最重大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。古希臘人花了約三百年的時(shí)間（從公元前600—300年），才將經(jīng)驗(yàn)式的幾何精煉成演繹式的幾何。首先由泰勒斯（Thales，約公元前624—547年，被尊稱為演繹式幾何之父）發(fā)端，他試圖將幾何結(jié)果排成邏輯鏈條（logicalchain）：排在前面的可以推導(dǎo)出排在后面的，因而有了“證明”的念頭。根據(jù)亞里士多德的學(xué)生歐德孟斯（Eudemus，公元前330年左右）的說法，泰勒斯曾游學(xué)埃及，他是第一位將埃及的幾何知識(shí)引進(jìn)希臘的人。泰勒斯自己也發(fā)現(xiàn)了許多命題，并且勤教后進(jìn)，展示其背后的原理。他有時(shí)采用一般方法，有時(shí)則采取較經(jīng)驗(yàn)的手法來論證。古埃及人、巴比倫人面對(duì)的是個(gè)別的、具體的這個(gè)或那個(gè)幾何圖形。泰勒斯開始加以抽象化與概念化，研究圖形本身并且給出普遍敘述的幾何命題。這是幾何要成為演繹系統(tǒng)的必要準(zhǔn)備工作。舉例說明：在日常生活中，我們看見車輪子是圓的、中秋節(jié)的月亮也是圓的……于是逐漸有了“圓形”的概念（concept）。“圓形”絕不會(huì)跟“方形”混淆。最后抽象出“圓”的理念（idea）：在平面上，跟一定點(diǎn)等距離的所有點(diǎn)，所成的圖形叫做圓；定點(diǎn)叫做圓心，定距離叫做半徑，通過圓心且兩端在圓上的線段叫做直徑。另一方面，我們觀察到車輪子由直徑裂成相等的兩半，化成“理念”得到：直徑將圓等分成兩半。這是一個(gè)普遍的幾何命題，生存在柏拉圖的“理念與形的世界”（theworldofideasandforms）。古埃及人與巴比倫人只見到這個(gè)或那個(gè)具體的圓形，而希臘人思考的是抽象理念的“圓形”本身。一般而言，數(shù)學(xué)史家公認(rèn)下面六個(gè)幾何命題應(yīng)歸功于泰勒斯：命題一兩直線相交，則對(duì)頂角相等。命題二一個(gè)圓被其直徑等分成兩半。命題三等腰三角形的兩個(gè)底角相等。命題四半圓的內(nèi)接角為一個(gè)直角。命題五兩個(gè)三角形若有兩個(gè)角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等，則兩個(gè)三角形全等。命題六兩個(gè)三角形若三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，則其對(duì)應(yīng)邊成比例。這些命題都相當(dāng)“直觀而顯明”。據(jù)猜測(cè)，古埃及人與巴比倫人可能也都知道這些結(jié)果，不過是以孤立的經(jīng)驗(yàn)幾何知識(shí)來存在。為何需要證明？最主要的理由是經(jīng)驗(yàn)知識(shí)可能錯(cuò)誤，即“眼見不完全足憑”。例如，關(guān)于半徑為r的圓面積，泰勒斯從巴比倫人得到的是3r，又從埃及人學(xué)到(8·2/9）r的答案，兩者不同，因此至少必有一個(gè)是錯(cuò)誤的。又如，在《萊因紙草算經(jīng)》中說，四邊為a，b，c，d之四邊形，其面積為1／4（a＋c）（b＋d），這只有在長(zhǎng)方形的情形才成立。人類常會(huì)“看走了眼”，明明眼見“地靜”與“地平”，怎么又有“地動(dòng)”與“地圓”的爭(zhēng)論呢？對(duì)于同一個(gè)歷史事件或物理事實(shí)，立場(chǎng)不同的人可以“英雄所見完全不同”?！傍B瞰的世界”與“人看的世界”當(dāng)然不同。人是詮釋者，也是權(quán)衡者。證明就是要以理說服自己，然后再說服他人。因此，感官經(jīng)驗(yàn)雖是知識(shí)的根源，但是若要得到正確的知識(shí)，必須再經(jīng)過論證與證明，才能分辨對(duì)錯(cuò)。這是泰勒斯深切體會(huì)到的。因此，亞里士多德說：對(duì)于泰勒斯而言，他的主要問題并不在于“我們知道什么”，而是在于“我們是怎么知道的”。進(jìn)一步，泰勒斯要問：“為何”知道？這里涉及到知識(shí)論的兩個(gè)基本問題：（Ⅰ）如何看出或發(fā)現(xiàn)猜測(cè)？（Ⅱ）如何證明或否證一個(gè)猜測(cè)？有了猜測(cè)才談得上證明，否則證明什么呢？能夠通過證明的猜測(cè)，才成為定理。對(duì)于命題一到六，泰勒斯如何給予“證明”呢？根據(jù)數(shù)學(xué)史家的看法，當(dāng)時(shí)的“證明”包括兩種：直觀的示明與演繹的示明。前者如蘇格拉底教男童倍平方問題就是一個(gè)例子。我們不要忘了，泰勒斯是為演繹數(shù)學(xué)立下“哥倫布的蛋”的第一人，因此瑕疵在所難免。命題一之證明：如圖11-15所示，∠1+∠3=∠2+∠3，兩邊同減去∠3得∠1=∠2。同理可證∠3=∠4，證畢。命題二之證明：沿著直徑將圓折疊起來，兩半恰好重合。這只是實(shí)驗(yàn)與直觀的驗(yàn)證而已。后來歐幾里得將這個(gè)命題當(dāng)作一個(gè)定義，他說：“一個(gè)圓的直徑是指通過圓心而止于圓周上的任何線段，并且此線段等分此圓?！泵}三之證明：如圖11-16所示，沿著中線AD將三角形折疊起來，兩半恰好重合，因此∠B=∠C。證畢。這個(gè)命題又叫做驢橋定理，意指“笨蛋的難關(guān)”，對(duì)初學(xué)者已構(gòu)成困難。命題四之證明：如圖11-17所示，連結(jié)A點(diǎn)與圓心O，則△AOB與△AOC都是等腰三角形。由命題三知∠1=∠B，∠2=∠C，又因?yàn)槿切蔚娜齼?nèi)角和為一平角，所以∠1+∠2=∠A=一直角，證畢。泰勒斯非常喜愛這個(gè)定理，據(jù)說他是觀察到長(zhǎng)方形的對(duì)角線互相平分而得到的。他為此而特別宰了頭牛慶祝一番。因此這個(gè)定理又叫做泰勒斯定理，再推廣就是圓周角定理。命題五之證明：利用移形的方法，可以使兩三角形完全疊合在一起，所以它們是全等的，證畢。命題六之證明：見前節(jié)的“相似三角形基本定理”?？偨Y(jié)上述之證明，所用到的基本原理計(jì)有：等量代換法、等量減法、移形疊合法、標(biāo)尺作中線、兩點(diǎn)決定一直線與三角形三內(nèi)角和為一平角等等。關(guān)于泰勒斯將幾何定理排成邏輯鏈條一事，歷史上并沒有實(shí)例。堅(jiān)持真理的羅素柏特蘭·羅素（BertrandRussell，1872—1970年）是著名數(shù)理邏輯家，也是一位哲學(xué)家，他從23歲開始寫作，不斷工作75年，共寫出一百多本書及上千篇的論文。他在1950年獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。他是一個(gè)和平主義者，他說：“在我的一生中，從未碰到過像從事和平主義運(yùn)動(dòng)這樣毫不猶豫地奉獻(xiàn)全部心靈熱誠(chéng)的工作，我生平第一次發(fā)現(xiàn)了我把全副的天性浸沉到工作的韻律中。”羅素講話很幽默風(fēng)趣。他的談話，略帶一種滑稽的味道。有一次他對(duì)他的議員朋友講了一句令他大吃一驚的話：“民主政治至少有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，那就是一個(gè)官吏或議員一定不會(huì)比他的選民更愚笨，因?yàn)楸M管他們是多么的愚笨，但是總有比他更笨的人會(huì)選舉他們的”。第一次世界大戰(zhàn)，德國(guó)人失敗時(shí)，羅素就在1915年預(yù)言：“一般的德國(guó)人，將會(huì)設(shè)法尋求如何為下一次準(zhǔn)備得更好的方法，而且將會(huì)更忠實(shí)地服從他們軍國(guó)主義領(lǐng)袖的話?！彼念A(yù)言“第一次世界大戰(zhàn)導(dǎo)致了獨(dú)裁專政的恐怖和第二次世界大戰(zhàn)”，后來果然發(fā)生。在1921年他來北京大學(xué)講學(xué)，了解中國(guó)在鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)之后受列強(qiáng)的欺凌，以及日本的軍國(guó)主義的發(fā)展。他回英國(guó)演講，談“東方問題”作了兩項(xiàng)預(yù)言：（1）日本由于人口的壓力，會(huì)實(shí)行擴(kuò)張主義的政策，侵略中國(guó)，并且以后會(huì)和美國(guó)發(fā)生正面沖突，進(jìn)而演變成全面大戰(zhàn)，可是最后將會(huì)被美國(guó)擊敗。（2）中國(guó)如果要避免外國(guó)的征服，首先必須放棄傳統(tǒng)生活方式，并且普遍地發(fā)展愛國(guó)心及足夠的武力，可是這事可能會(huì)被發(fā)展得太過分，因?yàn)橹袊?guó)人平常是冷靜的，但是也有野蠻奮激的能力，我們可以想像他們中的一部分也許會(huì)變成狂熱的布爾什維克主義者。中國(guó)人必須以他們自己的力量去尋求解救之道，而不是靠外國(guó)列強(qiáng)的仁慈心，但是最值得擔(dān)心的一件事是：在中國(guó)發(fā)憤圖強(qiáng)的過程中，不但會(huì)發(fā)展足夠的力量維持獨(dú)立，而且可能過分地強(qiáng)大到開始其帝國(guó)主義的生涯?！边@些話果然在以后大部分都實(shí)現(xiàn)了。在1916年，他45歲時(shí)由于反戰(zhàn)的活動(dòng)，被“三一學(xué)院”免除教職，美國(guó)哈佛大學(xué)卻邀請(qǐng)他去講學(xué)，但英國(guó)外交部不給他護(hù)照。因此他決定留在英國(guó)，以公開演說為他的職業(yè)，并且準(zhǔn)備好“政治的哲學(xué)原理”的演講?？墒顷戃姴繀s發(fā)禁令：只能在英國(guó)內(nèi)地如曼徹斯特作演說，不能在“禁區(qū)”——所有英國(guó)的沿海城市發(fā)表演說。理由是：“羅素的言論無疑已經(jīng)妨礙了戰(zhàn)爭(zhēng)的進(jìn)行……我們已獲得了可靠的情報(bào)，證明羅素將要發(fā)表一連串會(huì)嚴(yán)重打擊士氣的演說?！钡_素聽了后說：“我唯一熱誠(chéng)的希望是，我們的情報(bào)人員，以后對(duì)有關(guān)德國(guó)人的情報(bào)不會(huì)像對(duì)我個(gè)人的這么不正確?！绷_素參加了反戰(zhàn)的NCF委員會(huì)，據(jù)后來成為英國(guó)社會(huì)主義國(guó)會(huì)議員的費(fèi)納·布羅克威回憶這時(shí)期的羅素說：“他是令人愉快的，充滿了好開玩笑的精神，正像一個(gè)忍不住氣的聰明的淘氣鬼，在那段時(shí)間，他的經(jīng)濟(jì)情況相當(dāng)苦，所以來委員會(huì)時(shí)常會(huì)遲到，有一次是因?yàn)樗麤]有錢付車費(fèi)——但這也許是因?yàn)樗袝r(shí)候?qū)κ浪椎默嵤潞芙⊥年P(guān)系。還有一次，當(dāng)羅素在赴會(huì)途中，碰到一個(gè)身世可憐的乞丐，結(jié)果他把口袋里的錢，全部送給那位乞丐，因此他不得不走路了?！庇袝r(shí)NCF害怕政府會(huì)禁止他們活動(dòng)，而另外組織了一個(gè)地下組織，并且他們有精密的暗碼系統(tǒng)來控制。有一次，布羅克威把藏有他們秘密計(jì)劃的公事皮包遺忘在計(jì)程車上，而被司機(jī)送到了警察局。當(dāng)布羅克威把這情況在委員會(huì)上報(bào)告，羅素便會(huì)以開玩笑的口語提議：“我們休會(huì)后，馬上到蘇格蘭場(chǎng)去，以免再麻煩警察大人來抓我們?！苯Y(jié)果還好，委員會(huì)有一個(gè)成員的哥哥是高級(jí)警官，通過他把皮包拿回來，沒有被警方打開來看。再有一次，他們聽說他們的主要辦公室將被警察搜查，于是他們跑到另外一個(gè)臨時(shí)場(chǎng)所開會(huì)，與此同時(shí)，聽說外面還有六個(gè)值探在尋找他們呢。這時(shí)羅素很興奮地說：“他們將會(huì)來找我們，那么讓我們到一位爵士之家接受逮捕吧！”于是他們分乘三輛計(jì)程車到羅素哥哥的家。羅素開心地想到當(dāng)警察要進(jìn)來逮捕時(shí)，羅素伯爵不知道要說什么而驚慌的樣子？可惜哥哥不在家，警察也沒有來逮捕，令他很失望。獲諾貝爾獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家——羅素柏特蘭·羅素（1872—1970年）是英國(guó)著名數(shù)學(xué)邏輯家。對(duì)數(shù)學(xué)的喜好羅素在5歲時(shí)，有人告訴他地球是圓的，他拒絕去相信。他跑到花園，拿了一把鏟開始掘洞，看是否能從他住的地方一直挖到澳大利亞去。有一次保姆告訴他，在他睡覺時(shí)天使會(huì)在旁邊守衛(wèi)他。他不相信地說：“可是我從來不曾見過她們呀！”保姆說當(dāng)他睜開眼時(shí)，天使就會(huì)溜走了。于是小羅素決定閉著眼睛假裝睡覺，然后用手去抓，結(jié)果什么也沒抓到，因此他不再相信天使守衛(wèi)他的故事。在他9歲時(shí)，女修道院長(zhǎng)茜普頓預(yù)言：世界末日在1881年會(huì)發(fā)生。就在那一年的某一天天空黑云密布，他看到陰沉的天空，以為世界末日到了，可是到了年底，世界還是存在。他從小就有追尋事實(shí)真相的熱忱。他在《回憶集》（PortraitsformMemory）里寫道：“我愈是對(duì)一件事情感興趣，便愈想了解有關(guān)它的事實(shí)與真相，盡管這些事實(shí)與真相，可能使我感到不快……”他最初學(xué)九九乘法表時(shí)，并不是太順利，曾因費(fèi)了很大力氣學(xué)不會(huì)而哭。他學(xué)代數(shù)也不是一帆風(fēng)順，可是后來經(jīng)過一些努力，他進(jìn)步得很快。不久他就對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，后來他說：“要不是想多了解數(shù)學(xué)，我早在年輕時(shí)就自殺了。”有一天他的哥哥說要教他幾何，他非常的高興，因?yàn)樵谶@之前他聽說幾何是用來證明東西的。他的哥哥富蘭克比他大七歲，教他的是“歐幾里得”幾何，他開始教他定義，小羅素馬上充分接受，可是當(dāng)哥哥教到“公理”時(shí)，就有問題產(chǎn)生了。他對(duì)歐幾里得第一條公理（Axiom）：“二物同時(shí)等于第三物，則此二物彼此相等?！睂懗煞?hào)是：如果A、B都有A=C，B=C，則A=B。哥哥說：“這些公理是無法證明的，但是你要證明其他問題以前，這些公理必須被假定是真的?！痹诤髞硭麑懙淖允觥稙槭裁次疫x擇了哲學(xué)？》里，他回憶起這時(shí)的學(xué)習(xí)障礙：“經(jīng)他這么一說，我的希望整個(gè)粉碎了。我曾經(jīng)想去發(fā)現(xiàn)一些能夠證明的東西，那是很美妙的一件事，但是現(xiàn)在卻必須先藉著那些證明的假定才能做進(jìn)一步的證明?！薄拔覞M肚子不高興地看著哥哥說：‘既然它們是無法證明，但是為什么我必須承認(rèn)這些東西呢？’他回答說：‘好吧！要是你不接受的話，我們就無法再繼續(xù)學(xué)下去。’”“我想，那其他一些東西是很值得一學(xué)的，因此我同意暫時(shí)承認(rèn)這些公理為真，雖然我仍然充滿了懷疑與困惑，我仍一直希望在這個(gè)公理的領(lǐng)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)不可爭(zhēng)論的明白的證明?！薄暗覍?duì)數(shù)學(xué)仍然發(fā)生了很大的興趣，事實(shí)上比任何其他的研究更能給我一種如魚得水的感覺。我很喜歡考慮如何把數(shù)學(xué)應(yīng)用到物質(zhì)世界上去，同時(shí)我也希望將來有一天會(huì)產(chǎn)生像機(jī)械的數(shù)學(xué)一樣精確的有關(guān)于人類行為的數(shù)學(xué)。我有這種希望是因?yàn)槲蚁矚g論證，而大半時(shí)間這種動(dòng)機(jī)甚至勝過我對(duì)自由意志的信仰欲望，雖然后者我也時(shí)常感到它的力量，但是無論如何我從未完全征服我對(duì)數(shù)學(xué)正確性的基本懷疑?！笨墒?，當(dāng)他學(xué)習(xí)更深的數(shù)學(xué)時(shí)，他面對(duì)一些新的困難，他的老師告訴他一些他覺得是錯(cuò)誤的證明，這些證明后來果然被承認(rèn)是錯(cuò)誤的，當(dāng)時(shí)他并不曉得，后來在離開劍橋到德國(guó)，才知道德國(guó)的數(shù)學(xué)家已經(jīng)找到更好的證明方法。到了德國(guó)，他的眼界大開，他才發(fā)現(xiàn)過去困擾他的那些難題，實(shí)在是微不足道的小事，而且都不是重要的東西。他說：“因?yàn)閯虼髮W(xué)的考試所要求的都是一些解題的技巧，整天死啃這東西后，我開始對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生極大的反感，這點(diǎn)鼓舞我向哲學(xué)方面去發(fā)展。為了設(shè)法獲得考試的技巧，使我想到數(shù)學(xué)不過是包括了那些玩弄技巧的魔術(shù)里的雕蟲小技罷了，它和猜字游戲那一類玩意兒太相像了。因此，當(dāng)我通過了劍橋三年級(jí)最后一次數(shù)學(xué)考試后，我發(fā)誓我再也不看數(shù)學(xué)，并且把所有的數(shù)學(xué)書都賣光了?！薄霸谶@種心情之下，閱讀哲學(xué)書籍，我仿佛感覺到由山谷的小天地中解脫出來，看到了多姿多彩的新世界?！彼降聡?guó)念黑格爾及康德的哲學(xué)，可是在讀康德的作品后覺得他在數(shù)學(xué)哲學(xué)方面的立論不僅是無知而且愚昧，他轉(zhuǎn)而去讀魏爾斯特拉斯（Weierstrass）、戴德金（Dedekind）及喬治·康托（GeorgeCantor）的理論。康托是“集合論”的創(chuàng)造者。羅素最初看他的《無窮大數(shù)目》時(shí)，覺得很難懂，有很長(zhǎng)的時(shí)間沒法子了解，因此他決定把他的書逐字逐句地抄在筆記本上，這樣慢慢咀嚼思考，可以逐步理解。當(dāng)他開始讀時(shí)，他覺得康托的理論是謬論，簡(jiǎn)直是荒唐不經(jīng)，可是等到把整本書抄完，才發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的是他而不是康托。事實(shí)上康托的無窮數(shù)的理論是近世數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的理論，可惜他提出時(shí)曲高和寡，許多有名的數(shù)學(xué)家看不起他的工作，使得他受到刺激和人論戰(zhàn)，最后病死于精神療養(yǎng)院。羅素在23歲時(shí)畢業(yè)于劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)系優(yōu)等及格第七名，他的研究論文是《幾何學(xué)的基礎(chǔ)》，然后他成為英國(guó)駐巴黎大使館隨員。第二年他到德國(guó)柏林大學(xué)研究，在24歲時(shí)被選為劍橋大學(xué)三一學(xué)院（TrinityCollege）的研究員。與懷特海德老師的合作懷特海德（AlfredNorthWhitehead，1861—1947年）是英國(guó)著名的數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家。他在1885年從三一學(xué)院畢業(yè)，就留在原校任教應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1905年在該院獲得博士學(xué)位，是羅素的老師。1890年，羅素是劍橋大學(xué)一年級(jí)新生時(shí)，去上懷特海德的靜力學(xué)。講完課后，教授指定全班念教科書上的第35篇，然后他轉(zhuǎn)過頭對(duì)羅素說：“你不必讀它，因?yàn)槟阋呀?jīng)了解了。”因?yàn)樵谑畟€(gè)月前羅素在入學(xué)資格考試中引用過它，懷特海德看過他的考卷，對(duì)他的印象很深刻，并且告訴所有劍橋大學(xué)最優(yōu)秀的學(xué)生，要注意羅素。因此羅素在到校一星期就認(rèn)識(shí)了當(dāng)時(shí)劍橋大學(xué)的精英。羅素由學(xué)生漸漸地轉(zhuǎn)變?yōu)楠?dú)立作家過程中，得益于懷特海德的指導(dǎo)很多。在懷特海德1947年去世后，羅素寫了一篇《懷念懷特海德》的文章，在文章結(jié)尾時(shí)他說：“作為一個(gè)老師，懷特海德可以說是十分完美，他能把個(gè)人的興趣整個(gè)地貫注于受教者身上，他同時(shí)了解學(xué)生們的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，他能夠把學(xué)生最好的才智引發(fā)出來，他從未犯過一些低劣的教師所常有的毛病像對(duì)學(xué)生強(qiáng)制、譏諷及自命不凡等，我深信所有與他接觸受他薰陶與鼓舞的優(yōu)秀年輕學(xué)子們將會(huì)像我一樣對(duì)他發(fā)生一種誠(chéng)摯而永恒的感情?！彼?920年去美國(guó)旅行演講，有機(jī)會(huì)深入觀察美國(guó)社會(huì)，在1922年他預(yù)言：“美國(guó)將會(huì)開始其帝國(guó)主義的生涯——不是領(lǐng)土方面的侵略，而是經(jīng)濟(jì)上的征服?！彼麑?duì)美國(guó)聽眾說：“美國(guó)不是被華盛頓政府所控制，控制你們的是油田和摩根（Morgan，1837—1913年，是當(dāng)年的財(cái)政家），美國(guó)是遍布全球的金融帝國(guó)，要是由眼光狹窄和殘忍無情的人所控制的話，人類將面對(duì)一個(gè)可怕的惡魔。”在1928年出版的《懷疑論集》中，他寫道：“世界可能會(huì)有一段長(zhǎng)的時(shí)間，在美國(guó)和蘇聯(lián)之間形成兩大對(duì)立的集團(tuán)。前者將控制西歐及美國(guó)本土，而后者將控制整個(gè)亞洲。”這些話后來都被證明是正確的。中外的數(shù)學(xué)家沒有幾個(gè)能像他這樣能獨(dú)具慧眼，對(duì)于事物的發(fā)展預(yù)測(cè)的這么準(zhǔn)確。1950年，羅素獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。盡管這位諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的得主即是作為一個(gè)數(shù)學(xué)家而聞名于世，雖然這很奇特，但瑞典文學(xué)院的選擇仍然獲得了好評(píng)。泰勒斯的傳說與軼事泰勒斯沒有留下完整的傳記。歷史上流傳著許多關(guān)于他的鐵事，從各個(gè)角度去描繪這個(gè)人物，在一定程度上反映了他的生平事跡。這些傳說未必完全真實(shí)，但和他的性格是相稱的。(一)早年的商旅活動(dòng)，使他接觸各種事物，了解各地的人情風(fēng)俗，開闊眼界。他用騾子運(yùn)鹽，某次，一頭騾滑倒在溪中，鹽被溶解了一部分，負(fù)擔(dān)頓覺減輕，于是這頭騾每過溪水就打一個(gè)滾。泰勒斯為了改變這牲畜的惡習(xí)，讓它馱海綿，吸水之后，重量倍增，這頭騾再也不敢故伎重演了。亞里士多德(Aristotle)提到另一則故事：泰勒斯利用各方面的知識(shí)，預(yù)見橄欖必然獲得特大豐收，于是就壟斷了這一地區(qū)的榨油機(jī)，事情果然不出所料。他用自定的價(jià)格出租榨油機(jī)，獲得巨額財(cái)富。他這樣做并不是想成為富翁，而是想回答有些人對(duì)他的譏諷：如果他真的聰明的話，為什么不發(fā)財(cái)呢？他現(xiàn)身說法，用事實(shí)證明發(fā)財(cái)不見得比研究天文學(xué)更加困難。他終于走上了探討大自然奧秘的道路。(二)柏拉圖(Plato)記述另一件鐵事，說泰勒斯仰觀天象，不小心跌進(jìn)溝渠中，一優(yōu)秀麗的色雷斯(Thrace)女仆嘲笑他說：近在足前都看不見，怎么會(huì)知道天上發(fā)生的事惰呢？——“智者干慮，必有一失”。(三)梭倫的故事。普盧塔克(Plutarch)記載，梭倫到米利都去探望泰勒斯，問他為什么不結(jié)婚。泰勒斯當(dāng)時(shí)沒有回答。幾天之后，一個(gè)陌生人來到梭倫面前，聲稱十天前曾去過雅典。梭