浙江七年級第二學(xué)期數(shù)學(xué)競賽沖刺卷三

2021-2022學(xué)年浙江七年級第二學(xué)期數(shù)學(xué)競賽沖刺卷03一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）a、b是兩個(gè)給定的整數(shù)，某同學(xué)分別計(jì)算當(dāng)x＝﹣1，1，2，4時(shí)，代數(shù)式ax+b的值，依次得到下列四個(gè)結(jié)果，已知其中只有三個(gè)是正確的，那么錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A．﹣a+b＝﹣1 B．a(chǎn)+b＝5 C．2a+b＝7 D．4a+b＝14【分析】先聯(lián)合A、B，把所得的解代入C、D，若只有一個(gè)錯(cuò)，說明符合題意；若C、D都錯(cuò)則說明A、B中有一個(gè)錯(cuò)誤，以此類推，可找出答案．【解答】解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，ax+b＝﹣a+b；當(dāng)x＝1時(shí)，ax+b＝a+b；當(dāng)x＝2時(shí)，ax+b＝2a+b；當(dāng)x＝4時(shí)，ax+b＝4a+b；若A、B正確，解關(guān)于AB的二元一次方程組可得，把a(bǔ)、b的值代入C、D，可知2a+b＝8≠7，4a+b＝14，即C錯(cuò)誤；若B、C正確，解關(guān)于B、C的二元一次方程組可得，把a(bǔ)、b的值代入A、D，可知a+b＝5≠﹣1，4a+b＝11≠14，即A、D錯(cuò)誤，說明B、C里有一個(gè)錯(cuò)誤，同理，若C、D正確，可得，而A、B都錯(cuò)，說明C、D里有一個(gè)錯(cuò)誤，綜合可知C錯(cuò)．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了代數(shù)式的求值、解方程．解題的關(guān)鍵是采用排除法選擇答案．2．（5分）方程（x2+x﹣1）x+3＝1的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【分析】方程的右邊是1，有三種可能，需要分類討論．第1種可能：指數(shù)為0，底數(shù)不為0；第2種可能：底數(shù)為1；第3種可能：底數(shù)為﹣1，指數(shù)為偶數(shù)．【解答】解：（1）當(dāng)x+3＝0，x2+x﹣1≠0時(shí)，解得x＝﹣3；（2）當(dāng)x2+x﹣1＝1時(shí)，解得x＝﹣2或1．（3）當(dāng)x2+x﹣1＝﹣1，x+3為偶數(shù)時(shí)，解得x＝﹣1因而原方程所有整數(shù)解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4個(gè)．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了：a0＝1（a是不為0的任意數(shù)）以及1的任何次方都等于1．本題容易遺漏第3種可能情況而導(dǎo)致誤選C，需特別注意．3．（5分）已知a﹣b＝3，那么a3﹣b3﹣9ab的值是（）A．3 B．9 C．27 D．81【分析】把所求的式子用已知的式子a﹣b表示出來，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【解答】解：a3﹣b3﹣9ab，＝（a﹣b）（a2+b2+ab）﹣9ab，＝（a﹣b）[（a﹣b）2+3ab]﹣9ab，＝3（9+3ab）﹣9ab，＝27+9ab﹣9ab，＝27．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了完全平方式，整理成已知條件的形式是求解的關(guān)鍵，也是解答本題的難點(diǎn)．4．（5分）如圖，矩形ABCD被分割成六個(gè)正方形，其中最小正方形的面積等于1，則矩形ABCD的面積等于（）A．152 B．143 C．132 D．108【分析】可設(shè)右下角的正方形的邊長為未知數(shù)，表示出其余正方形的邊長，根據(jù)最大正方形邊長的兩種表示方法相等可得未知數(shù)的值，進(jìn)而得到矩形的邊長，相乘即可．【解答】解：∵最小正方形的面積等于1，∴最小正方形的邊長為1，設(shè)右下角的正方形的邊長為x．∴AB＝x+1+（x+2）＝2x+3，BC＝2x+（x+1）＝3x+1，∵最大正方形可表示為2x﹣1，也可表示為x+3，∴2x﹣1＝x+3，解得x＝4，∴AB＝11，BC＝13，∴矩形的面積為11×13＝143，故選：B．【點(diǎn)評】考查一元一次方程的應(yīng)用；得到最大正方形的兩種表達(dá)形式是解決本題的突破點(diǎn)．5．（5分）觀察以下數(shù)組：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…．問2005在第（）組．A．44 B．45 C．46 D．無法確定【分析】首先確定2005在（1），（2，3），（4，5，6），…中第1003的位置，再計(jì)算出有1開始加到哪個(gè)數(shù)時(shí)還小于1003可再加一個(gè)卻大于1003時(shí)，就可以了．【解答】解：2005在（1），（2，3），（4，5，6），…中第1003的位置，設(shè)所在組數(shù)為n，則∵＜1003＜∴n＝45在第45組．【點(diǎn)評】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．6．（5分）若x1，x2，x3，x4，x5為互不相等的正奇數(shù)，滿足（2005﹣x1）（2005﹣x2）（2005﹣x3）（2005﹣x4）（2005﹣x5）＝242，則x12+x22+x32+x42+x52的末位數(shù)字是（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】可將242分解為5個(gè)數(shù)，然后再求其平方和，展開得出其末位數(shù)的值，進(jìn)而通過推理即可得出所求末位數(shù)的值．【解答】解：（2005﹣x1）（2005﹣x2）（2005﹣x3）（2005﹣x4）（2005﹣x5）＝242，而242＝2×（﹣2）×4×6×（﹣6），（2005﹣x1）2+（2005﹣x2）2+…（2005﹣x5）2＝22+（﹣2）2+42+62+（﹣6）2＝96，即5×20052﹣2005×2×（x1+x2+x3+x4+x5）+（x12+x22+x32+x42+x52）的末位數(shù)為6，由上式可知：5×20052的末位數(shù)為5，2005×2×（x1+x2+x3+x4+x5）的末位數(shù)為0，而96的末位數(shù)為6，所以6﹣5＝1，即x12+x22+x32+x42+x52的末位數(shù)為1．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了尾數(shù)特征和數(shù)字變化類的一些簡單問題，能夠掌握其內(nèi)在規(guī)律，并熟練求解．7．（5分）平面內(nèi)6條直線兩兩相交，但僅有3條通過同一點(diǎn)，則截得不重疊線段共（）A．24條 B．21條 C．33條 D．36條【分析】先根據(jù)題意畫出6條符合直線，再找出每條直線上不相交的線段，再把所得線段相加即可．【解答】解：AE上共有不重合的線段4條，AM上共有不重合的線段4條，BM上共有不重合的線段3條，CL上共有不重合的線段3條，DK上共有不重合的線段3條，EF上共有不重合的線段4條．共計(jì)21條．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是相交線的有關(guān)知識(shí)，此題的易錯(cuò)點(diǎn)在于“不重疊線段”而不是所有的線段．8．（5分）已知a2+4a+1＝0，且＝3，則m的值為（）A． B． C．19 D．﹣19【分析】先判斷出a≠0，給a2+4a+1＝0兩邊同時(shí)除以a得，a+＝﹣4，再兩邊平方得出a2+＝14，給＝3的左邊的分子和分母同時(shí)除以a2得＝3，再將a+＝﹣4和a2+＝14代入，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：當(dāng)a＝0時(shí)，a2+4a+1≠0，∴給a2+4a+1＝0兩邊同時(shí)除以a得，a+＝﹣4，兩邊平方得a2++2＝16，∴a2+＝14，給＝3的左邊的分子和分母同時(shí)除以a2得＝3，∴，∴m＝，經(jīng)檢驗(yàn)：m＝是方程的解，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了等式的性質(zhì)，完全平方公式，求出a2+＝14是解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分30分，每小題5分）9．（5分）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，且滿足方程3x+5[x]﹣49＝0，則x＝．【分析】在一個(gè)方程中有些變量在取整符號中，有些變量在取整符號外，這類方程一般要利用不等式[x]≤x＜[x]+1，求出[x]的范圍，然后再代入原方程求出x的值．【解答】解：令[x]＝n，代入原方程得3x+5n﹣49＝0，即x＝．又∵[x]≤x＜[x]+1，∴n≤＜n+1．整理得3n≤49﹣5n＜3n+3，即＜n≤，∴n＝6．代入原方程得3x+5×6﹣49＝0，解得x＝．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是原方程的解．【點(diǎn)評】通過本題我們總結(jié)解這類方程的一般步驟：（1）設(shè)取整部分為n代入原方程，并把x表示為n的形式；（2）利用[x]≤x＜[x]+1可得到關(guān)于n的不等式，并求出n的可能值；（3）分別將這些“可能值”代入原方程進(jìn)行求解；（4）驗(yàn)根，在第（2）步運(yùn)算時(shí)，實(shí)際上將n的范圍擴(kuò)大了，也就將x的范圍擴(kuò)大了，所以必須驗(yàn)根．10．（5分）已知實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足ax+by＝3，ay﹣bx＝5，則（a2+b2）（x2+y2）的值是34．【分析】將ax+by＝3，ay﹣bx＝5這兩式兩邊平方后相加，最經(jīng)過提取公因式，左邊可得（a2+b2）（x2+y2）至此問題解決．【解答】解：由題意得，ax+by＝3①ay﹣bx＝5②①2得a2x2+b2y2+2abxy＝9③②2得a2y2+b2x2﹣2abxy＝25④③+④得a2x2+b2y2+a2y2+b2x2＝34a2（x2+y2）+b2（x2+y2）＝34（a2+b2）（x2+y2）＝34故答案為34【點(diǎn)評】本題主要考查了完全平方式即化簡求值．在化簡過程中巧妙運(yùn)用了a2x2+b2y2+a2y2+b2x2可直接分解為（a2+b2）（x2+y2）的形式．11．（5分）已知：a、b、c都不等于0，且的最大值為m，最小值為n，則（m+n）2004＝0．【分析】當(dāng)取最大值時(shí)，a，b，c都為正數(shù)；當(dāng)取最小值時(shí)，a，b，c都為負(fù)數(shù)，即m＝4，n＝﹣4，代入求值即可．【解答】解：∵的最大值為m，最小值為n，∴m＝4，n＝﹣4，∴（m+n）2004＝（4﹣4）2004＝0，故答案為0．【點(diǎn)評】本題考查了絕對值的性質(zhì)，正數(shù)的絕對值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，0的絕對值等于0．12．（5分）分解因式：x3+2x2y+2xy2+y3＝（x+y）（x2+xy+y2）．【分析】可用分組分解法來解，x3和y3一組，剩下的兩項(xiàng)一組．【解答】解：x3+2x2y+2xy2+y3＝（x3+y3）+（2x2y+2xy2）＝（x+y）（x2﹣xy+y2）+2xy（x+y）＝（x+y）（x2+xy+y2）故答案為：（x+y）（x2+xy+y2）【點(diǎn)評】本題考查因式分解里面的分組分解法以及立方公式，要熟記公式和方法．13．（5分）如圖，直線AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝50°，則∠GHM的大小是40°．【分析】作輔助線：延長PM、EG交于點(diǎn)K；PM延長線交AB于點(diǎn)L．利用平行線性質(zhì)進(jìn)行求解．【解答】解：輔助線延長PM、EG交于點(diǎn)K，PM延長線交AB于點(diǎn)L．如圖：∵AB∥CD，∴∠ALM＝∠LND＝50°；∴∠MKG＝∠BFG+∠ALM＝80°．∵∠HMN＝30°，∴∠HMK＝150°；∵∠FGH＝90°，∴∠GHM＝360°﹣∠HMK﹣∠MKG﹣∠MGH＝360°﹣150°﹣80°﹣90°＝40°．【點(diǎn)評】考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用．本題綜合性較強(qiáng)．14．（5分）若整數(shù)x，y，z滿足方程組，則xyz＝0或1984．【分析】先把方程組中的兩個(gè)方程相減后，因式分解等號左側(cè)，根據(jù)x，y，z都是整數(shù)，得到四個(gè)方程，再把方程組中的兩個(gè)方程相加后，因式分解等號左側(cè)，與前面的四個(gè)方程一起，計(jì)算出xyz的值．【解答】解：，②﹣①，得x+yz﹣xy﹣z＝1，∴y（z﹣x）﹣（z﹣x）＝1．∴（y﹣1）（z﹣x）＝1．∵x，y，z都是整數(shù)，∴y﹣1＝1，z﹣x＝1或y﹣1＝﹣1，z﹣x＝﹣1．即y＝2，z﹣x＝1或y＝0，z﹣x＝﹣1．②+①，得x+yz+xy+z＝189，∴y（z+x）+（z+x）＝189．∴（y+1）（z+x）＝189．當(dāng)y＝2，z﹣x＝1時(shí)，，∴x＝31，y＝2，z＝32．∴xyz＝31×2×32＝1984．當(dāng)y＝0時(shí)，xyz＝0．故答案為：0；1984．【點(diǎn)評】本題考查了高次方程組，題目綜合性較強(qiáng)難度較大，把方程組中的兩個(gè)方程分別相加減后因式分解是解決本題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題，滿分50分）15．（12分）已知：x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，求x+y的值．【分析】由x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，即可求得x2+2xy+y2+x+y＝42，則變形得（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，將x+y看作整體，利用因式分解法即可求得x+y的值．【解答】解：∵x2+xy+y＝14①，y2+xy+x＝28②，∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y＝42，∴（x+y）2+（x+y）﹣42＝0，∴（x+y+7）（x+y﹣6）＝0，∴x+y+7＝0或x+y﹣6＝0，解得：x+y＝﹣7或x+y＝6．【點(diǎn)評】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用與因式分解法解一元二次方程．注意整體思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．16．（12分）定義新運(yùn)算“⊕”如下：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b＝ab﹣a；當(dāng)a＜b時(shí)，a⊕b＝ab+b．（1）計(jì)算：（﹣2）⊕；（2）若2x⊕（x+1）＝8，求x的值．【分析】（1）首先根據(jù)a⊕b＝ab﹣a，認(rèn)真分析找出規(guī)律，即可求出（﹣2）⊕的值；（2）首先分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)2x≥x+1和2x＜x+1時(shí)，分別解出x的取值范圍，即可得出x的值．【解答】解：（1）（﹣2）⊕＝（﹣2）×+＝1+＝；（2）當(dāng)2x≥x+1時(shí)，即：x≥1時(shí)，2x（x+1）﹣2x＝8，解得：x＝±2，∵x≥1，∴x＝2；當(dāng)2x＜x+1時(shí)，即：x＜1時(shí)，2x（x+1）+x+1＝8，2x2+3x﹣7＝0解得：x1＝，x2＝，∵x＜1，∴．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，本題屬于新定義題型，是近幾年的考試熱點(diǎn)之一．新定義題型需要依據(jù)給出的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，這和解答實(shí)數(shù)或有理數(shù)的混合運(yùn)算相同，其關(guān)鍵仍然是正確的理解與運(yùn)用運(yùn)算的法則．17．（12分）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如圖1，求∠CON的度數(shù)；（2）將圖1中的∠MON繞點(diǎn)O以每秒20°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，如圖2，若直線ON恰好平分銳角∠AOC，求∠MON所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠AOC與∠NOC互余時(shí)，求出∠BOC與∠MOC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由角的比值，求解∠AOC的度數(shù)，結(jié)合∠MON＝∠AON＝90°，利用∠CON＝∠AOC+∠AON可求∠CON的度數(shù)；（2）可分兩種情況：射線ON平分∠AOC；直線ON恰好平分銳角∠AOC，計(jì)算出ON沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，最后求出時(shí)間即可；（3）由∠AOC與∠NOC互余，結(jié)合圖形推∠BOC與∠MOC之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，∴∠AOC＝，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝90°，∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；（2）當(dāng)直線ON平分∠AOC時(shí)，如圖，ON'平分∠AOC，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度至ON''時(shí)，直線ON平分所以t＝3，∵∠AOC＝60°，∴∠AON'＝30°，此時(shí)射線ON逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，∴∠MON所運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝60÷20＝3（s）；如圖②，