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文檔簡介

多維訓練每日1題(第二周)

星期一(三角)2022年—月一日

【題目1】(2021?濟南統(tǒng)考)在①(a+Z?)(a—A)=(a-c)c,②2a-c=2反osC,③

(a—Z?cosO=csin8這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并解答該問

題.

在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足,b=2y[3.

(1)若a+c=4,求△ABC的面積;

(2)求a+c的取值范圍.

(注:如果選擇多個條件分別解答,那么按第一個解答計分.)

解若選條件①,由(a+/?)(a—b)=(a—c)c,

化簡得a2+c2—b2=ac,

4+/一阱1

由余弦定理得cos8=---荻---,故cos3=,

7T

因為兀,所以B=y

若選條件②,由2a-c=2bcosC及正弦定理,

得2sinA—sinC=2sinBcosC,

即2sin(B+Q-sinC=2sin8cosC,

化簡得2cosBsinC=sinC.

因為0<。<兀,所以sinCWO,所以cos8=;,

jr

又0<8〈兀,所以B=y

若選條件③,由小(a—AcosC)=csinB及正弦定理,

得小(sinA-sin8cosC)=sinCsinB,

即《[sin(8+C)—sinBcosC]=sinCsinB,

化簡得#cosBsinC=sinCsinB.

因為0<。<兀,所以sinCWO,所以tan8=#,

jr

又Q<B<n,所以B=y

(1)由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB=(a+c)2—lac—2accosB,即12=42—2ac

c1

4

解得ac=y

所以△ABC的面積

c1.n14.7t近

S=y^csinB=yXV-XVsin

a_____c_____h___2^3

由正弦定理得

(2)sin&-sinC-sinB~婦一

2

所以a=4sinA,c=4sinC.

因為A+C=n—B=-^,

sinA+sin伶—A)]=4S(gcosA+坐sin

所以a+c=4(sinA+sinC)=A)=4小

sin(A+1

因為0<A<y,

所以白4+聿丹,所以sin(A+季1

ooo\07\Z

所以a+c£(2,§,4,5],

即a+c的取值范圍為(2小,473].

星期二(數(shù)列)2022年—月—日

【題目2】已知數(shù)列{“"}和{仇}的前〃項和分別為S”Tn,0=2,bi=l,且為

+1=。1+27]?.

(1)若數(shù)列{〃〃}為等差數(shù)列,求S〃;

(2)若d+1=歷+2&,證明:數(shù)歹ij{z+瓦}和{雨一5}均為等比數(shù)列.

⑴解由小+i=〃i+2G,得。2=。1+2",

又ai=2,b\=\,所以“2=4.

因為數(shù)列{z}為等差數(shù)列,

所以該數(shù)列的公差為或一0=2,

77(n-1)

所以S,,=2n+------2-------2=/+〃.

(2)證明當〃22時,an=a\+2Tn-\,

因為Tn—Tn-\~bin所以Cln+l—Cl"=2bn,

即an+\=an+2hn,同理可得仇+1=兒+2所

則dn+1+bn+1=3(?/;+bn),所以,,+=3(/1^2),

Cln\Un

又。2=。1+24=4,b2=b\+2ai=5,

歷4+5「廣,、1〃〃+1+及+1*

所以一^7"=二一=3,所以——;—=3(〃《N*),

a\+b\3an-vbn

所以數(shù)歹Ij{z+兒}是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列.

因為Ow+l—bn^l=—(an—bn)9

LLt、|O〃+l-bn+1

所以-----;—二一〃

an-bn1(22),

一歷4—5^.ai+\—bn+\*

又一r=-T=—1,所以t--f--;—=-1,

a\—b\2—1an—bn

所以數(shù)列{?!ㄒ煌撸且砸?為首項,一1為公比的等比數(shù)列.

星期三(概率與統(tǒng)計)2022年—月一日

【題目3】近年來,高鐵的發(fā)展逐漸改變了人們的出行方式,我國2016?2020

年高鐵運營里程的數(shù)據(jù)如下表所示.

年份20162017201820192020

年份代碼X12345

高鐵運營里程)(萬千米)1.92.22.52.93.5

(1)若x與y具有線性相關關系,求y關于x的線性回歸方程;

(2)每一年與它前一年的高鐵運營里程之差即為該年新增的里程,根據(jù)這五年的

數(shù)據(jù),若用2017?2020年每年新增里程的頻率代替之后每年新增相應里程的概

率,求2024年中國高鐵運營里程大于或等于5萬千米的概率.

附:線性回歸方程;=聯(lián)+晟中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:

Hxiy-nx'yA—A-

1=1

b~~7Z,bx.

Y.Xi—nx2,

i=i

解(l)x=gX(l+2+3+4+5)=3,

y=7X(1.9+2.2+2.5+2.9+3.5)=2.6.

IX1.9+2X2.2+3X2.5+4X2.9+5X3.5=42.9,

1+4+9+16+25=55,

4=2.6—0.39X3=1.43,

所以y關于光的線性回歸方程為y=0.39%+1.43.

(2)設每年新增高鐵運營里程為X萬千米,則X的取值為0.3,0.4,0.6,由條件

知X的分布列為

1

2

若2024年中國高鐵運營里程小于5萬千米,則2021~2024年每年新增的高鐵運

營里程有三種情況:0.3X4,0.3X3+0.4,0.3X2+0.4X2.

4322

相應概率為Q)+嗯)x(+c(|)與,

所以2024年中國高鐵運營里程大于或等于5萬千米的概率為1一點9=金23.

星期四(立體幾何)2022年—月—日

【題目4】如圖,四邊形ABC。為菱形,ZABC=120°,四邊形8DFE為矩形,

平面及L平面ABCD,點P在A。上,EPLBC.

(1)證明:平面BEP;

(2)若EP與平面ABCD所成角為60°,求二面角C-PE-B的余弦值.

(1)證明因為“_LBC,AD//BC,所以

因為四邊形BDFE為矩形,所以

又因為平面8。尸及L平面ABCD,且平面BDFEC平面ABCD=BD,BEu平面

BDFE,

故由面面垂直的性質定理得平面A8CD,又AOu平面ABCD,所以BELAD,

又因為3EnEP=E,BE,EPu平面BEP,

所以AOJ_平面BEP.

(2)解由(1)知硝,平面ABC。,所以NEP8為EP與平面ABC。所成的角,所

以NEP8=60。,馨=小.

Drv

由A。,平面BEP,知AO_L8P.

設A8=2,則8Q=小,BE=3.

連接AC,以AC和BO的交點。為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.

則A(0,一5,0),C(0,y[3,0),。(一1,0,0),

所以無=停,乎,o),CE=(1,f,3).

設〃=(x,y,z)為平面CEP的一個法向量,

則卜:斗+鳴”可取〃=(_3仍」峭.

<n-CE=x—\/3y+3z=0,

由(1)可知國)=(一1,小,0)為平面8"的一個法向量,

所以cos〈〃,AD)=衛(wèi)喜=--------邛

|磯藍)|41+3X727+1十號

_3

3

結合圖可知二面角C.PE.B為銳角,所以二面角C-P£-8的余弦值為亍

星期五(解析幾何)2022年—月一日

【題目5】已知點P(4,4)在拋物線C:尸=2〃如>0)上,直線/:尸丘+2與拋

物線C有兩個不同的交點.

⑴求人的取值范圍;

(2)設直線/與拋物線C的交點分別為A,B,過點A作與C的準線平行的直線,

分別與直線0P和0B交于點M和N(0為坐標原點),求證:IAMTMM.

⑴解由拋物線C:V=2px過點P(4,4),得p=2,

所以拋物線。的方程為V=4x.

fy=Ax+2,

由彳得Ff+(4攵-4)冗+4=0.

[y9'=4x

由題意ZW0,且/=(4Z—4產一16F=16—32%>0,

即舄,

因此上的取值范圍是卜改<3且ZW0;.

(2)證明設A(xi,yi),8(x2,y2),顯然,xi?X2均不為0.

4—4k4

由(1)可知11+九2=乒①,X\X2=~j^^).

由題意可得M,N的橫坐標相等且同為加,

因為點P的坐標為(4,4),所以直線0P的方程為>=X,點M的坐標為(xi,xi).

直線0B的方程為點N的坐標為(如,啕.

若要證明|AM=|MN|,只需證2yM=泗+?,即證平^+>1=2X1,即證x\yi+x2y\

?X2

=2X1X2.

[y\=kx\~\-2,

將彳代入上式,即證/X2+2)X1+(AX1+2)X2=2X112,

[*=丘2十2

即證(2攵-2)XIX2+2(xi+%2)=0.(3)

AQ-QL

將①②代入③得(2攵一2)》+—1=(),此等式顯然成立,

所以2yM=如+處恒成立,故|AM=|MN|.

星期六(函數(shù)與導數(shù))2022年—

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