2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市康平縣第一中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市康平縣第一中學(xué)高一上數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則、、的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.2．“”是的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．設(shè)命題p：，命題q：，則p是q成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.5．已知為定義在上的偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C. D.6．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是A. B.x=πC. D.x=2π7．已知集合，，若，則a的取值范圍是A B.C. D.8．下列命題中不正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)B.數(shù)據(jù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位數(shù)為5C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙D.為調(diào)查學(xué)生每天平均閱讀時(shí)間，某中學(xué)從在校學(xué)生中，利用分層抽樣的方法抽取初中生20人，高中生10人．經(jīng)調(diào)查，這20名初中生每天平均閱讀時(shí)間為60分鐘，這10名高中生每天平均閱讀時(shí)間為90分鐘，那么被抽中的30名學(xué)生每天平均閱讀時(shí)間為70分鐘9．已知函數(shù)的圖像是連續(xù)的，根據(jù)如下對(duì)應(yīng)值表：x1234567239-711-5-12-26函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（）A.5個(gè) B.4個(gè)C.3個(gè) D.2個(gè)10．若，，則等于（）A. B.3C. D.11．已知，，且，，，那么的最大值為（）A. B.C.1 D.212．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．若函數(shù)，則_________；不等式的解集為_(kāi)_________14．計(jì)算：_______15．若，記，，，則P、Q、R的大小關(guān)系為_(kāi)_____16．已知函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是__三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知，，（1）求和；（2）求角的值18．已知函數(shù)（其中）的圖象過(guò)點(diǎn)，且其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，（1）求實(shí)數(shù)的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的值域19．已知的數(shù)（1）有解時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，總有，求定的取值范圍20．設(shè)n是不小于3的正整數(shù)，集合，對(duì)于集合Sn中任意兩個(gè)元素．定義．若，則稱(chēng)A，B互為相反元素，記作或（1）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），試寫(xiě)出，，以及A·B的值；（2）若，證明：；（3）設(shè)k是小于n的正奇數(shù)，至少含有兩個(gè)元素的集合，且對(duì)于集合M中任意兩個(gè)不同的元素，都有，試求集合M中元素個(gè)數(shù)的所有可能的取值21．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖像向左平移單位長(zhǎng)度，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的值域22．如圖，是正方形，直線底面，，是的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正切值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】令，求得，得到是奇函數(shù)，再令，證得在上遞減判斷.【詳解】因?yàn)椋?，得，解得，令，得，所以是奇函?shù)，因時(shí)，，則，，令，則，，且，則，，所以，即，即，所以在上遞減，，因?yàn)?，所以，故選：C2、A【解析】先看時(shí)，是否成立，即判斷充分性；再看成立時(shí)，能否推出，即判斷必要性，由此可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即“”是的充分條件；當(dāng)時(shí)，，則或，則或,即成立，推不出一定成立，故“”不是的必要條件，故選：A.3、B【解析】先解不等式，然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷【詳解】由，得，所以命題p：，由，得，所以命題q：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不一定成立，當(dāng)時(shí)，一定成立，所以p是q成立的必要不充分條件，故選：B4、A【解析】先通過(guò)觀察圖像可得A和周期，根據(jù)周期公式可求出，再代入最高點(diǎn)坐標(biāo)可得.【詳解】由圖像得，，則，，，得，又，.故選：A.5、B【解析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的性質(zhì)，再把不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用的性質(zhì)求解作答.【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)，則，即是R上的偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，，即，因此，，平方整理得：，解得，所以原不等式的解集是.故選：B6、C【解析】利用函數(shù)值是否是最值，判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸即可【詳解】當(dāng)x時(shí)，函數(shù)cos2π＝1，函數(shù)取得最大值，所以x是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸故選C【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)由可得對(duì)稱(chēng)軸方程，由可得對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo).7、D【解析】化簡(jiǎn)集合A，根據(jù)，得出且，從而求a的取值范圍，得到答案詳解】由題意，集合或，；若，則且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及集合的運(yùn)算問(wèn)題，其中解答中正確求解集合A，再根據(jù)集合的運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】由中位數(shù)以及眾數(shù)判斷A；由百分位數(shù)的定義計(jì)算判斷B；計(jì)算乙組數(shù)據(jù)的方差判斷C；計(jì)算被抽中的30名學(xué)生每天平均閱讀時(shí)間從而判斷D.【詳解】對(duì)于A，中位數(shù)為和眾數(shù)相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為5，故B正確；對(duì)于C，乙組數(shù)據(jù)，方差為，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故C正確；對(duì)于D，被抽中的30名學(xué)生每天平均閱讀時(shí)間為，故D正確；故選：A9、C【解析】利用零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】函數(shù)的圖像是連續(xù)的，；；，所以在、，之間一定有零點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有3個(gè).故選：C10、A【解析】根據(jù)已知確定，從而求得，進(jìn)而求得，根據(jù)誘導(dǎo)公式即求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，故，故選：A11、C【解析】根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)可得，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為1.故選：12、C【解析】，所以，所以，所以是一條對(duì)稱(chēng)軸故選C二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①.②.【解析】代入求值即可求出，分與兩種情況解不等式，最后求并集即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：，所以，綜上：.故答案為：，14、【解析】求出的值，求解計(jì)算即可.【詳解】故答案為：15、【解析】利用平方差公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得P、R的關(guān)系，然后作差，因式分解，結(jié)合已知可判斷P、Q的大小關(guān)系.【詳解】又因?yàn)?，所以所以，即所以P、Q、R的大小關(guān)系為.故答案為：16、【解析】分別對(duì)，分別大于1，等于1，小于1的討論，即可.【詳解】對(duì)，分別大于1，等于1，小于1討論，當(dāng),解得當(dāng)，不存在，當(dāng)時(shí)，，解得，故x的范圍為【點(diǎn)睛】本道題考查了分段函數(shù)問(wèn)題，分類(lèi)討論，即可，難度中等三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）由得，進(jìn)而可求出的值，再由兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）已知，由，解得.（2）由得又，,【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及兩角差的正切公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.18、（1）m＝1；單調(diào)增區(qū)間；（2）[0，3]【解析】解：（1）由題意可知，，，所以所以，解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)樗运?，所以，所以的值域?yàn)榭键c(diǎn)：正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是由函數(shù)圖象上的點(diǎn)和函數(shù)的周期確定函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用角的范圍求出函數(shù)的值域19、（1）；（2）【解析】（1）通過(guò)分離參數(shù)法得，再通過(guò)配方法求最值即可（2）由已知得恒成立，化簡(jiǎn)后只需滿足且，求解即可.【詳解】（1）由已知得，所以（2）由已知得恒成立，則所以實(shí)數(shù)的取值范圍為20、（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2【解析】（1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）設(shè)，進(jìn)而結(jié)合題意得，，再計(jì)算即可；（3）假設(shè)為集合M中的三個(gè)不相同的元素，進(jìn)而結(jié)合題意，推出矛盾，得出假設(shè)不成立，即集合M中至多有兩個(gè)元素，且時(shí)符合題意，故集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槿簦瑒t稱(chēng)A，B互為相反元素，記作或，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，由，可得所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式“=”成立由題意可知即所以【小問(wèn)3詳解】解：解法1：假設(shè)為集合M中的三個(gè)不相同的元素則即又由題意可知或1，i=1，2，，n恰有k個(gè)1，與n－k個(gè)0設(shè)其中k個(gè)等于1項(xiàng)依次為n－k個(gè)等于0的項(xiàng)依次為由題意可知所以，同理所以即因?yàn)橛桑?）可知因?yàn)樗裕O(shè)，由題意可知.所以，得與為奇數(shù)矛盾所以假設(shè)不成立，即集合M中至多有兩個(gè)元素當(dāng)時(shí)符合題意所以集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2解法2：假設(shè)為集合M中的三個(gè)不相同的元素則即又由題意可知恰有k個(gè)1，與n－k個(gè)0設(shè)其中k個(gè)等于1的項(xiàng)依次為n－k個(gè)等于0的項(xiàng)依次由題意可知所以①同理②因?yàn)樗?，①—②得又因?yàn)闉槠鏀?shù)與矛盾所以假設(shè)不成立，即集合M中至多有兩個(gè)元素當(dāng)時(shí)符合題意所以集合M中元素的個(gè)數(shù)只可能是2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)解題的關(guān)鍵在于利用反證法證明當(dāng)為集合M中的三個(gè)不相同的元素時(shí)，結(jié)合題意推出與為奇數(shù)矛盾，進(jìn)而得集合M中至多有兩個(gè)元素，再舉例當(dāng)時(shí)符合題意即可.21、（1）最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）.【解析】（1）利用二倍角正余弦公式及輔助角公式可得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期和遞減區(qū)間.（2）由（1）及圖象平移有，應(yīng)用整體法及正弦函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，所以的最小正周期為，令，，解得，，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，∵，則，∴，則∴在上的值域?yàn)?2、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；【解析】（1）