2023-2024學(xué)年南京市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年南京市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍是A.(0，) B.(，1)C.(1，) D.(，2)2．設(shè)全集為，集合，，則（）A. B.C. D.3．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊位置在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．已知函數(shù)，若有且僅有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)，，使得則實(shí)數(shù)的值不可能為A. B.C. D.5．與直線垂直，且在軸上的截距為-2的直線方程為（）A. B.C. D.6．的值為（）A. B.C. D.7．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為A. B.C. D.8．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B.C. D.9．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．函數(shù)部分圖象大致為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間上它們的圖像是一族美麗的曲線（如圖）．設(shè)點(diǎn)，連接，線段恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)的圖像三等分，即有．那么_______12．已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)已整理成如圖所示的莖葉圖，則甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___________，乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是___________13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則m的值為______.14．已知且，則的最小值為______________15．A是銳二面角α-l-β的α內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥β于點(diǎn)B，AB=，A到l的距離為2，則二面角α-l-β的平面角大小為________.16．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）已知，，求；（2）已知，，求、的值；（3）已知，，且，求的值.18．體育課上，小明進(jìn)行一項(xiàng)趣味測(cè)試，在操場(chǎng)上從甲位置出發(fā)沿著同一跑道走到乙位置，有兩種不同的行走方式（以下）.方式一：小明一半的時(shí)間以的速度行走，剎余一半時(shí)間換為以的速度行走，平均速度為；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程換為以的速度行走，平均速度為；（1）試求兩種行走方式的平均速度；（2）比較的大小.19．如圖，已知在正四棱錐中，為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接相交于點(diǎn)（1）證明：；（2）證明：；（3）設(shè),若質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)沿平面與平面的表面運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的最短路徑恰好經(jīng)過點(diǎn)，求正四棱錐的體積20．計(jì)算下列各式的值：（1）（2）21．已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）（1）求||，||的值；（2）若=m+n，求實(shí)數(shù)m，n的值；（3）若（+）∥（－+k），求實(shí)數(shù)k的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】分和兩種情況討論，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然不成立.若時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對(duì)數(shù)，解得，根據(jù)對(duì)數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，要使在時(shí)恒成立，則有，如圖選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，熟記對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.2、B【解析】先求出集合B的補(bǔ)集，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故，故選:B.3、B【解析】由所在的象限有，即可判斷所在的象限.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，由，可得角的終邊在第二、四象限，由，可得角的終邊在第二、三象限或軸非正半軸上，所以角終邊位置在第二象限，故選：B.4、D【解析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，由，可得，根據(jù)在上有且僅有兩個(gè)最大值，可求解實(shí)數(shù)的范圍，從而可得結(jié)果【詳解】函數(shù)；由，可得，因?yàn)橛星覂H有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，使得所以在上有且僅有兩個(gè)最大值，因?yàn)?，，則；所以實(shí)數(shù)的值不可能為，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】先求出直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解.【詳解】由題得所求直線的斜率為，∴所求直線方程為，整理為故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線的方程，常用的方法：待定系數(shù)法，先定式（從直線的五種形式中選擇一種作為直線的方程），后定量（求出直線方程中的待定系數(shù)）.6、A【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及倍角公式求解即可.【詳解】原式.故選：A7、B【解析】直線的斜率，其傾斜角為．考點(diǎn)：直線的傾斜角．8、C【解析】由在，上單調(diào)遞減，得，由在上單調(diào)遞減，得，作出函數(shù)且在上的大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍【詳解】解：由在上單調(diào)遞減，得，又由且在上單調(diào)遞減，得，解得，所以，作出函數(shù)且在上的大致圖象，由圖象可知，在上，有且僅有一個(gè)解，故在上，同樣有且僅有一個(gè)解，當(dāng)，即時(shí)，聯(lián)立，即，則，解得：，當(dāng)時(shí)，即，由圖象可知，符合條件綜上：故選：C9、A【解析】由面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一平面的一條垂線，則兩面垂直，可得，可得考點(diǎn)：空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)10、A【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B；令，即，解得，即只有一個(gè)零點(diǎn)，故排除C，D故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】求出的坐標(biāo)，不妨設(shè)，，分別過，，分別代入點(diǎn)的坐標(biāo)，變形可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，不妨設(shè)，，分別過，，則，，則，所以故答案為：112、①.45②.35【解析】利用中位數(shù)的概念及百分位數(shù)的概念即得.【詳解】由題可知甲組數(shù)據(jù)共9個(gè)數(shù)，所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是45，由莖葉圖可知乙組數(shù)據(jù)共9個(gè)數(shù)，又，所以乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是35.故答案為：45；35.13、【解析】由奇函數(shù)可得,則可得,解出即可【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),,所以,即,解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用奇偶性求值,考查已知函數(shù)值求參數(shù)14、9【解析】因?yàn)榍?，所以取得等?hào)，故函數(shù)的最小值為9.，答案為9.15、【解析】如圖，過點(diǎn)B作與，連，則有平面，從而得，所以即為二面角的平面角在中，，所以,所以銳角即二面角的平面角的大小為答案：點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，然后通過解三角形的方法求得角，解題時(shí)要注意所求角的范圍16、9【解析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算法則，可求得，根據(jù)基本不等式中“1”的代換，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是9故答案為：9三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），；（3）.【解析】(1)利用兩角差的正切公式即可求解；(2)利用二倍角公式即可求解；(3)利用和差角公式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?，，所以，?(2)因?yàn)?，可得，所以，，因此，?(3)由，則，，得.因?yàn)?，所?由，則，，得，由以及，得.因?yàn)?，又，所?18、（1），（2）【解析】（1）直接利用平均速度的定義求出；（2）利用作差法比較大小.【小問1詳解】設(shè)方式一中小明行走的總路程為s，所用時(shí)間為，由題意得，可知設(shè)方式二中所用時(shí)間為，總路程為s，則【小問2詳解】.因?yàn)榍?，所以，?19、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.【解析】（1）由中位線定理可得線線平面，從而有線面平行；（2）正四棱錐中，底面是正方形，因此有，又PO是正四棱錐的高，從而有PO⊥AC，這樣就有AC與平面PBD垂直，從而得面面垂直；（3）把與沿PD攤平，由A、M、C共線，因此新的平面圖形是平行四邊形，從而為菱形，M到底面ABCD的距離為原正四棱錐高PO的一半，計(jì)算可得體積試題解析：(1)證明：連接OM，∵O，M分別為BD，PD的中點(diǎn)，∴在△PBD中，OM//PB，又PB面ACM，OM面ACM，∴PB//面ACM(2)證明：連接PO.∵在正四棱錐中，PA=PC，O為AC的中點(diǎn)，∴PO⊥AC，BD⊥AC，又PO∩BD=O，AC⊥平面PBD，又AC平面ACM，∴平面ACM⊥平面PBD(3)如圖，把△PAD與△PCD沿PD展開成平面四邊形PADC1由題意可知A，M，C1三點(diǎn)共線，∵△PAD≌△PCD,M為PD的中點(diǎn)，∴AM=MC1，即M為AC1中點(diǎn)，∴平面四邊形PADC1為平行四邊形，又PA=PC,∴平面四邊形PADC1為菱形，∴正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2∵PO⊥AC，PO⊥BD，PO⊥面ABCD，∴PO為正四棱錐的高20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】【小問2詳解】21、（1）||=5；；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量的模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式即得；（2）利用向量的線性坐標(biāo)表