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高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)1
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只
有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè),是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)1-萬(wàn)+3%-4戶(hù)等于()
A.-2-6/B.-2+2iC.4+2zD.4-6z
2.已知集合4={X*-4>O},B={X\X-2<0},則(CRA)CB等于()
A.(-8,2)B.[-2,2]C.(-2,2)D.[-2,2)
3.“機(jī)=3”是“函數(shù)f(x)=/為實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
1
4.在區(qū)間[0,由上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得siar40,1的概率為()
1212
A.一B,一C.-D.—
7T7T33
5.將函數(shù)/。)=5加(2萬(wàn)+9的圖象向右平移e個(gè)單位,得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則隼
的最小正值為()
TCTC57r77T
A?一B,-C.—D.—
631212
6.已知某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()
正視圖側(cè)視圖
俯視圖
A.12B.24C.36D.48
%+y—3N0
7.直線x+my+l=0與不等式組2x—yNO表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值
x—240
范圍是()
4133
B.I-3,-3]C.[-,3]D.[-3,-方
8.(理)已知圓心為。,半徑為1的圓上有不同的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,其中&?茄=0,存
在實(shí)數(shù)入,口滿(mǎn)足鼠+221+〃茄=3,則實(shí)數(shù)入,u的關(guān)系為()
11
A.入2+『=1B.-4--=1C.入口=1D.入+p=l
A〃
%2y2
9.已知拋物線V=8x的準(zhǔn)線與雙曲線二一77=1(a>0,b>0)相交于A、8兩點(diǎn),雙曲
a12345b2
線的一條漸近線方程是),=好,點(diǎn)廠是拋物線的焦點(diǎn),且△或8是等邊三角形,則該
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()
x2y2.x2y2
A.—-=iB.---=1
366163
x2y2.x2y2
C.一-=1D.---=1
632316
10.對(duì)于函數(shù)/(x)=a"若存在實(shí)數(shù)W、使得了(X)W0的解集為[加,n](〃?<〃),
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
11
A.(-00,0)U(0,-)B.(-00,0)U(0,-]
11
C.(0,-)D.(0,-]
e
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上.
11.為了解某校教師使用多媒體輔助教學(xué)的情況,采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,從該校200
名授課教師中抽取20名教師,調(diào)查了解他們上學(xué)期使用多媒體輔助教學(xué)的次數(shù),結(jié)果用
莖葉圖表示(如圖),據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期200名教師中,使用多媒體輔助教學(xué)不少于
30次的教師人數(shù)為.
1235579
203345
30148
4122
569
12.執(zhí)行如圖所示的程序,則輸出的結(jié)果為
13.等差數(shù)列{a〃}中,“4=6,貝I2m-。5+〃11=.
Q2
14.已知a,b為正實(shí)數(shù),直線x+y+a=O與圓(x-Z?)2+(y-1)2=2相切,則工的取值
'b
范圍是.
15.對(duì)于函數(shù)/(x)=#可,給出下列結(jié)論:
①等式/(-X)V(x)=0在AGR時(shí)恒成立;
②函數(shù)/(x)的值域?yàn)?-1,1)
③函數(shù)g(x)=/(x)-x在R上有三個(gè)零點(diǎn):
⑷右XI則----------->0
%1一%2
⑤若X1<X2,則2寸(六凸
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為.
三、解答題:
16.(12分)在AABC中,角4,8,C所對(duì)的邊分別為小b,c,火x)=sin2xcos8-2cos2xsinfi+sinfi,
xER,函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線%=居對(duì)稱(chēng).
(I)當(dāng)xe[0,舒時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值并求相應(yīng)的x的值;
(II)若6=3且sin4+sinC=求4487的面積.
17.(12分)PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物(也稱(chēng)可入肺顆粒物).為
了探究車(chē)流量與PM2.5的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時(shí)間段車(chē)流量
與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表:
時(shí)間周一周二周三周四周五
車(chē)流量X(萬(wàn)輛)5051545758
PM2.5的濃度y(微克/立方米)6970747879
(I)根據(jù)上表數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程'=6刀+。;
(II)若周六同一時(shí)間段車(chē)流量是25萬(wàn)輛,試根據(jù)(I)求出的線性回歸方程預(yù)測(cè),此
時(shí)PM2.5的濃度為多少(保留整數(shù))?
(參考公式:6=魚(yú)乒獎(jiǎng)盯囚,歹=6?元+a,參考數(shù)據(jù):嵩=1々=270,
Si=l0「元)
用1=%=370)
18.(12分)已知數(shù)列{“”}和{氏}對(duì)任意的〃€N*滿(mǎn)足的。2…即=,若數(shù)列{“”}是等比
數(shù)列,且m=l,bi=b\+2.
(I)求數(shù)列{如}和{加}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)Cn=;—/(n6N*),求數(shù)列{Cn}的前"項(xiàng)和S”.
19.(13分)如圖,在多面體ABC-4B1C1中,四邊形4BB14是正方形,ZvliCB是等邊
三角形,AC=A8=1,B\C\//BC,BC=2BiCi
(1)求證:ABi〃平面AiCiC
(II)求多面體ABC-A\B\C\的體積.
C
高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)1(答案解析)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只
有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)1-2H3P-4產(chǎn)等于()
A.-2-6/B.-2+2/C.4+2/D.4-6/
【解答】解:復(fù)數(shù)1-2計(jì)3t-4尸=復(fù)數(shù)1-2/-3+4/=-2+2/.
故選:B.
2.已知集合4={小2-4>0},B={xlx-2<0},則(CRA)C8等于()
A.(-8,2)B.[-2,2]C.(-2,2)D.[-2,2)
【解答】解:由A中的不等式得:/-4>0,得到x>2或x<-2,
:.4=(-oo,-2)U(2,+8),
由x-2<0,解得x<2,
:.B=(-8,2),
:全集U=R,
,CuA=[-2,2],
(CuA)AB=[-2,2).
故選:D.
3.“〃?=3”是“函數(shù)/(x)=/為實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
【解答】解:當(dāng)機(jī)=3時(shí),函數(shù)/(x)=/為奇函數(shù),滿(mǎn)足條件.
當(dāng)機(jī)=1時(shí),函數(shù)/(x)=%為奇函數(shù),但帆=3不成立,
故“機(jī)=3”是“函數(shù)/(x)=4"為實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)”的充分不必要條件,
故選:A.
1
4.在區(qū)間[0,用上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得siiixqo,鼻]的概率為()
1212
A.—B?—C.-D.一
7T7T33
【解答】解:在區(qū)間[0,nJ上,當(dāng)xe[0,常U筐,捫時(shí),S譏xe[0,1],由幾何概型
n,n
--1--i
知,符合條件的概率為j=不
n3
故選:C.
5.將函數(shù)/(x)=sin(2x+9的圖象向右平移<p個(gè)單位,得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則隼
的最小正值為()
717i57r77r
A?一B,-C.—D.—
631212
【解答】解:將函數(shù)/(x)=sin(2x+分的圖象向右平移叩個(gè)單位,得到的圖象對(duì)應(yīng)的函
數(shù)解析式為y=sin[2(x-<p)+^]=sin(2x+5—2cp),
再根據(jù)所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),可得三一2叩=依,依z,即<p建一器則中的最
7T
小正值為二,
6
故選:A.
6.已知某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()
正視圖側(cè)視圖
俯視圖
A.12B.24C.36D.48
【解答】解:三視圖復(fù)原的幾何體是底面為邊長(zhǎng)4、3的矩形,高為3的棱錐,高所在棱
垂直底面矩形的一個(gè)得到,
1
所以棱錐的體積為:-X4X3X3=12.
故選:A.
%+y-3>0
7.直線x+m.y+l=O與不等式組2x—y20表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù),〃的取值
x—240
范圍是()
144133
A.[-,-]B.[―最C.[-,3]D.[-3,
【解答】解:即直線x+〃?y+l=O過(guò)定點(diǎn)。(-1,0)
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:
當(dāng)"?=0時(shí),直線為x=-l,此時(shí)直線和平面區(qū)域沒(méi)有公共點(diǎn),
11
故x+my+l=0的斜截式方程為y=--x--,
斜率%=-煮,
要使直線和平面區(qū)域有公共點(diǎn),則直線x+my+l=0的斜率k>0,
1
即%=--->0,即/?7<0?滿(mǎn)足kCD&k〈kAB,
此時(shí)AB的斜率以8=2,
由口才=2
,即C(2,1),
y=1
A—11
CD的斜率kcD=7
-1-Z3,
由解得即A⑵4),
A。的斜率kAD=春與=r
<k<I,
?,411
則產(chǎn)一六9
解得-3W〃?W—
故選:D.
8.(理)已知圓心為O,半徑為1的圓上有不同的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,其中扇?防=0,存
在實(shí)數(shù)入,口滿(mǎn)足江++〃晶=3,則實(shí)數(shù)入,口的關(guān)系為()
o)11
A.A2+|i2=lB.-+—=1C.入|i=lD.入+|1=1
A〃
【解答】解:由題意可得|&|=|后|=|左|=1,且&.后=0.
,:OC+AOA+uOB=0,即OC=平方可得l=M+『,
故選:A.
%2y2
9.已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與雙曲線/一公=1(a>0,b>0)相交于A、8兩點(diǎn),雙曲
線的一條漸近線方程是y=竽為點(diǎn)尸是拋物線的焦點(diǎn),且△項(xiàng)B是等邊三角形,則該
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()
x2y2x2y2
A.---=1B.---=1
366163
x2y2x2y2
C.---=1D.---=]
632316
【解答】解:由題意可得拋物線V=8x的準(zhǔn)線為-2,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),
%2y2
又拋物線?=8x的準(zhǔn)線與雙曲線下-yr=1相交于A,B兩點(diǎn),又△EAB是等邊三角形,
a2b2
則有A,B兩點(diǎn)關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng),橫坐標(biāo)是-2,縱坐標(biāo)是4tan30°與-4tan30。,
4J3416
將坐標(biāo)(-2,±—-)代入雙曲線方程得下一二=1,①
3a23b2
又雙曲線的一條漸近線方程是y=#lr,得2=",②
3a3
由①②解得4=75,b=4.
x2y2
所以雙曲線的方程是二-T-=l.
316
故選:D.
10.對(duì)于函數(shù)/(X)若存在實(shí)數(shù)機(jī)、n,使得f(x)W0的解集為[m,n]
則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
11
A.(-oo,0)U(0,-)B.(-8,0)U(0,-]
ee
11
C.(0,-)D.(0,-]
ee
【解答】解:"炭W尤(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),轉(zhuǎn)化為仁宗
x
令人y=m,
則y,=竺含竺,令y=0,可得X=1,
當(dāng)x>l時(shí),y'<0,函數(shù)y遞減;當(dāng)x<l時(shí),<>0,函數(shù)y遞增.
則當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)y取得最大值士
e
由于存在實(shí)數(shù)根、”,使得了(X)W0的解集為的,川,
則由右邊函數(shù)y=a的圖象可得“的取值范圍為(0,1).
故選:C.
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上.
11.為了解某校教師使用多媒體輔助教學(xué)的情況,采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法,從該校200
名授課教師中抽取20名教師,調(diào)查了解他們上學(xué)期使用多媒體輔助教學(xué)的次數(shù),結(jié)果用
莖葉圖表示(如圖),據(jù)此可估計(jì)該校上學(xué)期200名教師中,使用多媒體輔助教學(xué)不少于
30次的教師人數(shù)為90.
【解答】解:根據(jù)題意,得;
9
樣本容量為20時(shí),使用多媒體輔助教學(xué)不少于30次的教師人數(shù)為9,...頻率為二;
20
由此估計(jì)該校上學(xué)期200名教師中,使用多媒體輔助教學(xué)不少于30次的教師人數(shù)為
9
200X.=90.
故答案為:90.
12.執(zhí)行如圖所示的程序,則輸出的結(jié)果為24.
【解答】解:第一次執(zhí)行循環(huán)體后,z=2,滿(mǎn)足繼續(xù)循環(huán)的條件,x=2,y=4;
再次執(zhí)行循環(huán)體后,z=6,滿(mǎn)足繼續(xù)循環(huán)的條件,x=5,y=7;
再次執(zhí)行循環(huán)體后,z=12,滿(mǎn)足繼續(xù)循環(huán)的條件,x=8,y=10;
再次執(zhí)行循環(huán)體后,z=18,滿(mǎn)足繼續(xù)循環(huán)的條件,x=ll,y=13;
再次執(zhí)行循環(huán)體后,z=24,不滿(mǎn)足繼續(xù)循環(huán)的條件,
故輸出的結(jié)果為:24,
故答案為:24.
13.等差數(shù)列{“”}中,“4=6,則2m-a5+mi=12.
【解答】解:等差數(shù)列{“”}中,44=6,
.,.a\+3d=6,
貝!]2m-45+aii=2ai-(ai+4J)+ai+10d=2(ai+3d)=12.
故填12.
a2
14.已知a,b為正實(shí)數(shù),直線x+y+a=0與圓(x-〃)2+(])2=2相切,則一的取值
'b
范圍是(0,+8).
【解答】解:?直線x+y+a=0與圓(x-b)2+(y-1)2=2相切,
二圓心到直線的距離d=也誓Nl=V2,
V2
即|。+什1|=2,
/.a+h=\,或〃+Z?=-3
??Z,〃為正實(shí)數(shù)
:.a+b=-3(舍去),
即b=]-a,
a2a2
:.0<a<]0<b<\
99b1-a
f]2
構(gòu)造函數(shù)f(。)=占,(0<a<l),
2a(l—a)+a2_2a—a2
則/(a)~~-=7;
(1一Q)(1—a)
???當(dāng)OVaVl時(shí),2CL〃2>。,即/⑺>o,
:.f(a)在(0,1)上是增函數(shù),
A0</(6Z)<1,
a2
則七的取值范圍是(0,+°°).
b
故答案為:(0,+8).
15.對(duì)于函數(shù)/(X)=不&,給出下列結(jié)論:
①等式/(-X)V(X)=0在XGR時(shí)恒成立;
②函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋?1,1)
③函數(shù)g(x)=f(x)-x在R上有三個(gè)零點(diǎn);
④若X1WX2,
XI~X2
⑤若為<%2,則</(±~今
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為①②⑷.
【解答】解:f(x)=而,/(-%)=品;
故等式f(-x)+f(x)=0在xeR時(shí)恒成立,故①成立;
1-e’x-°
八)=肅=
-1+1I.,xVO
故-1</(X)<1,
故函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋?1,1),故②成立;
x>0
g(x)=f⑴-x=(I'%,
島,xVO
故函數(shù)g(x)=f(x)-X在R上有一個(gè)零點(diǎn),故③不成立;
1-擊,x~°
可⑴=晶
-1+1I.fxV0
故可判斷f(X)在R上是增函數(shù),
故若;則"/)一""2)〉o,
x1-x2
故④成立;
丫(1-1_Lv,%之0
作函數(shù)/"(x)=4=11+彳的圖象如下,
11-1+士,XV0
yn
若,,0<xi<x2,則r;(工2)勺(X±i+~X?3
若xi〈x2<0,則/工匕八二/〉于(六二).
故⑤不成立.
故答案為:①②④.
三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
16.(12分)在△ABC中,角4,8,C所對(duì)的邊分別為“,b,c,火x)=sin2xcosB-2cos2xsinB+sinB,
xGR,函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線%=居對(duì)稱(chēng).
(I)當(dāng)xe[0,芻時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值并求相應(yīng)的x的值;
(II)若6=3且sinA+sinC=馬之求△4BC的面積.
【解答】解:f(x)=sin2xcosB-2cos2xsinB+sinB=sin2xcosB-(1+cosZr)sinB+sinB=
sin(2x-B).
(I)由函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線%=居對(duì)稱(chēng),知2x招_B="+自解得B=-內(nèi)r+E
(依Z),
又BE(0,n),,當(dāng)左=0時(shí),B=
當(dāng)X£[0,芻時(shí),一,工2%一自打等'
于是當(dāng)2x-?=?'即k駕時(shí),函數(shù)/(X)的最大值為1;
baca+c3l
(II)由正弦定理得一^=——=——=————=灰=2y3?
sinBsinAsinCsinA+sinC里
2
又sinA+sinC=得a+c=2V3x=4,
2
由余弦定理得〃2=/+c2-24ccosB=42+d-ac=(a+c)-3acf
解得ac=3
一117V37V3
于是△ABC的面積為一acsinB=-x-x—=——.
223212
17.(12分)PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物(也稱(chēng)可入肺顆粒物).為
了探究車(chē)流量與PM2.5的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時(shí)間段車(chē)流量
與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表:
時(shí)間周一周二周三周四周五
車(chē)流量X(萬(wàn)輛)5051545758
PM2.5的濃度y(微克/立方米)6970747879
(I)根據(jù)上表數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a;
(II)若周六同一時(shí)間段車(chē)流量是25萬(wàn)輛,試根據(jù)(I)求出的線性回歸方程預(yù)測(cè),此
時(shí)PM2.5的濃度為多少(保留整數(shù))?
(參考公式:匕=匾華&寫(xiě)2,9=6?元+a,參考數(shù)據(jù):£乙項(xiàng)=270,
理=]0「幻
Sf=1%=370)
【解答】解:(I)由條件可知±=“0+51+54+57+58)=54,y=1(69+70+74+78+79)
=74
2
H=i(々一號(hào)(%—歹)=4X5+3X4+3X4+4X5=64,把1(xz-x)=50,
:.b==1,28,a=74-1.28X54=4.88,
故y關(guān)于x的線性回歸方程是:y=1.28x+4.88;
(II)當(dāng)x=25時(shí),y=1.28X25+4.88=36.88比37,
,可以預(yù)測(cè)此時(shí)PM2.5的濃度約為37.
18.(12分)已知數(shù)列{的}和{為}對(duì)任意的"6N*滿(mǎn)足…%1=3如-%若數(shù)列{〃”}是等比
數(shù)列,且m=l,bi—b\+2.
(I)求數(shù)列{。;}和{b}的通項(xiàng)公式;
(II)設(shè)Cn=1---r~(nEN*),求數(shù)列{Cn}的前〃項(xiàng)和
Qn
【解答】解:(I)由條件可知%
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