高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)1

高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)1

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1-萬+3%-4戶等于（）

A.-2-6/B.-2+2iC.4+2zD.4-6z

2.已知集合4={X*-4>O},B={X\X-2<0},則（CRA）CB等于（）

A.（-8,2）B.[-2,2]C.（-2,2）D.[-2,2）

3.“機(jī)=3”是“函數(shù)f（x）=/為實數(shù)集R上的奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

1

4.在區(qū)間[0,由上隨機(jī)取一個實數(shù)x,使得siar40,1的概率為（）

1212

A.一B,一C.-D.—

7T7T33

5.將函數(shù)/。）=5加（2萬+9的圖象向右平移e個單位，得到的圖象關(guān)于原點對稱，則隼

的最小正值為（）

TCTC57r77T

A?一B,-C.—D.—

631212

6.已知某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.12B.24C.36D.48

%+y—3N0

7.直線x+my+l=0與不等式組2x—yNO表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)m的取值

x—240

范圍是（）

4133

B.I-3,-3]C.[-,3]D.[-3,-方

8.（理）已知圓心為。，半徑為1的圓上有不同的三個點A、B、C,其中&?茄=0,存

在實數(shù)入，口滿足鼠+221+〃茄=3,則實數(shù)入，u的關(guān)系為（）

11

A.入2+『=1B.-4--=1C.入口=1D.入+p=l

A〃

%2y2

9.已知拋物線V=8x的準(zhǔn)線與雙曲線二一77=1（a>0,b>0）相交于A、8兩點，雙曲

a12345b2

線的一條漸近線方程是），=好，點廠是拋物線的焦點，且△或8是等邊三角形，則該

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（)

x2y2.x2y2

A.—-=iB.---=1

366163

x2y2.x2y2

C.一-=1D.---=1

632316

10.對于函數(shù)/(x)=a"若存在實數(shù)W、使得了（X）W0的解集為[加,n]（〃?<〃）,

則實數(shù)a的取值范圍是（)

11

A.(-00,0)U(0,-)B.(-00,0)U(0,-]

11

C.(0,-)D.(0,-]

e

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上.

11.為了解某校教師使用多媒體輔助教學(xué)的情況，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從該校200

名授課教師中抽取20名教師，調(diào)查了解他們上學(xué)期使用多媒體輔助教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用

莖葉圖表示（如圖），據(jù)此可估計該校上學(xué)期200名教師中，使用多媒體輔助教學(xué)不少于

30次的教師人數(shù)為.

1235579

203345

30148

4122

569

12.執(zhí)行如圖所示的程序，則輸出的結(jié)果為

13.等差數(shù)列｛a〃｝中，“4=6,貝I2m-。5+〃11=.

Q2

14.已知a,b為正實數(shù)，直線x+y+a=O與圓(x-Z?)2+(y-1)2=2相切，則工的取值

'b

范圍是.

15.對于函數(shù)/(x)=#可，給出下列結(jié)論：

①等式/(-X)V(x)=0在AGR時恒成立；

②函數(shù)/(x)的值域為(-1,1)

③函數(shù)g(x)=/(x)-x在R上有三個零點：

⑷右XI則----------->0

%1一%2

⑤若X1<X2,則2寸(六凸

其中所有正確結(jié)論的序號為.

三、解答題：

16.(12分)在AABC中，角4,8,C所對的邊分別為小b,c,火x)=sin2xcos8-2cos2xsinfi+sinfi,

xER,函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線％=居對稱.

(I)當(dāng)xe[0,舒時，求函數(shù)f(x)的最大值并求相應(yīng)的x的值；

(II)若6=3且sin4+sinC=求4487的面積.

17.(12分)PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物(也稱可入肺顆粒物).為

了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量

與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表：

時間周一周二周三周四周五

車流量X（萬輛）5051545758

PM2.5的濃度y（微克/立方米）6970747879

（I）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程'=6刀+。；

（II）若周六同一時間段車流量是25萬輛，試根據(jù)（I）求出的線性回歸方程預(yù)測，此

時PM2.5的濃度為多少（保留整數(shù)）？

（參考公式：6=魚乒獎盯囚，歹=6?元+a,參考數(shù)據(jù)：嵩=1々=270,

Si=l0「元）

用1=%=370）

18.（12分）已知數(shù)列｛“”｝和｛氏｝對任意的〃€N*滿足的。2…即=,若數(shù)列｛“”｝是等比

數(shù)列，且m=l,bi=b\+2.

（I）求數(shù)列｛如｝和｛加｝的通項公式；

（II）設(shè)Cn=；—/（n6N*）,求數(shù)列｛Cn｝的前"項和S”.

19.（13分）如圖，在多面體ABC-4B1C1中，四邊形4BB14是正方形，ZvliCB是等邊

三角形，AC=A8=1,B\C\//BC,BC=2BiCi

（1）求證：ABi〃平面AiCiC

（II）求多面體ABC-A\B\C\的體積.

C

高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)1(答案解析)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)1-2H3P-4產(chǎn)等于()

A.-2-6/B.-2+2/C.4+2/D.4-6/

【解答】解：復(fù)數(shù)1-2計3t-4尸=復(fù)數(shù)1-2/-3+4/=-2+2/.

故選：B.

2.已知集合4={小2-4>0},B={xlx-2<0},則(CRA)C8等于()

A.(-8,2)B.[-2,2]C.(-2,2)D.[-2,2)

【解答】解：由A中的不等式得：/-4>0,得到x>2或x<-2,

:.4=(-oo,-2)U(2,+8),

由x-2<0,解得x<2,

：.B=(-8,2),

:全集U=R,

，CuA=[-2,2],

(CuA)AB=[-2,2).

故選：D.

3.“〃?=3”是“函數(shù)/(x)=/為實數(shù)集R上的奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解答】解：當(dāng)機(jī)=3時，函數(shù)/(x)=/為奇函數(shù)，滿足條件.

當(dāng)機(jī)=1時，函數(shù)/(x)=%為奇函數(shù)，但帆=3不成立，

故“機(jī)=3”是“函數(shù)/(x)=4"為實數(shù)集R上的奇函數(shù)”的充分不必要條件，

故選：A.

1

4.在區(qū)間[0,用上隨機(jī)取一個實數(shù)x,使得siiixqo,鼻]的概率為()

1212

A.—B?—C.-D.一

7T7T33

【解答】解：在區(qū)間[0,nJ上，當(dāng)xe[0,常U筐，捫時，S譏xe[0,1],由幾何概型

n,n

--1--i

知，符合條件的概率為j=不

n3

故選：C.

5.將函數(shù)/(x)=sin(2x+9的圖象向右平移＜p個單位，得到的圖象關(guān)于原點對稱，則隼

的最小正值為()

717i57r77r

A?一B,-C.—D.—

631212

【解答】解：將函數(shù)/(x)=sin(2x+分的圖象向右平移叩個單位，得到的圖象對應(yīng)的函

數(shù)解析式為y=sin[2(x-＜p)+^]=sin(2x+5—2cp),

再根據(jù)所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，可得三一2叩=依，依z,即＜p建一器則中的最

7T

小正值為二，

6

故選：A.

6.已知某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.12B.24C.36D.48

【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是底面為邊長4、3的矩形，高為3的棱錐，高所在棱

垂直底面矩形的一個得到，

1

所以棱錐的體積為：-X4X3X3=12.

故選：A.

%+y-3>0

7.直線x+m.y+l=O與不等式組2x—y20表示的平面區(qū)域有公共點，則實數(shù)，〃的取值

x—240

范圍是()

144133

A.[-,-]B.[―最C.[-,3]D.[-3,

【解答】解：即直線x+〃?y+l=O過定點。(-1,0)

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

當(dāng)"?=0時，直線為x=-l,此時直線和平面區(qū)域沒有公共點，

11

故x+my+l=0的斜截式方程為y=--x--,

斜率％=-煮，

要使直線和平面區(qū)域有公共點，則直線x+my+l=0的斜率k>0,

1

即％=--->0,即/?7<0?滿足kCD&k〈kAB,

此時AB的斜率以8=2,

由口才=2

,即C(2,1),

y=1

A—11

CD的斜率kcD=7

-1-Z3,

由解得即A⑵4),

A。的斜率kAD=春與=r

<k<I，

?,411

則產(chǎn)一六9

解得-3W〃?W—

故選：D.

8.（理）已知圓心為O,半徑為1的圓上有不同的三個點A、B、C,其中扇?防=0,存

在實數(shù)入，口滿足江++〃晶=3,則實數(shù)入，口的關(guān)系為（）

o）11

A.A2+|i2=lB.-+—=1C.入|i=lD.入+|1=1

A〃

【解答】解：由題意可得|&|=|后|=|左|=1,且&.后=0.

,：OC+AOA+uOB=0,即OC=平方可得l=M+『，

故選：A.

%2y2

9.已知拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與雙曲線/一公=1（a>0,b>0）相交于A、8兩點，雙曲

線的一條漸近線方程是y=竽為點尸是拋物線的焦點，且△項B是等邊三角形，則該

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

366163

x2y2x2y2

C.---=1D.---=]

632316

【解答】解：由題意可得拋物線V=8x的準(zhǔn)線為-2,焦點坐標(biāo)是（2,0）,

%2y2

又拋物線?=8x的準(zhǔn)線與雙曲線下-yr=1相交于A,B兩點，又△EAB是等邊三角形，

a2b2

則有A,B兩點關(guān)于X軸對稱，橫坐標(biāo)是-2,縱坐標(biāo)是4tan30°與-4tan30。，

4J3416

將坐標(biāo)（-2,±—-）代入雙曲線方程得下一二=1,①

3a23b2

又雙曲線的一條漸近線方程是y=#lr,得2="，②

3a3

由①②解得4=75，b=4.

x2y2

所以雙曲線的方程是二-T-=l.

316

故選：D.

10.對于函數(shù)/(X)若存在實數(shù)機(jī)、n,使得f(x)W0的解集為[m,n]

則實數(shù)。的取值范圍是()

11

A.(-oo,0)U(0,-)B.(-8,0)U(0,-]

ee

11

C.(0,-)D.(0,-]

ee

【解答】解："炭W尤(e是自然對數(shù)的底數(shù))，轉(zhuǎn)化為仁宗

x

令人y=m，

則y,=竺含竺，令y=0,可得X=1,

當(dāng)x>l時，y'<0,函數(shù)y遞減；當(dāng)x<l時，<>0,函數(shù)y遞增.

則當(dāng)x=1時函數(shù)y取得最大值士

e

由于存在實數(shù)根、”，使得了(X)W0的解集為的，川，

則由右邊函數(shù)y=a的圖象可得“的取值范圍為(0,1).

故選：C.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上.

11.為了解某校教師使用多媒體輔助教學(xué)的情況，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從該校200

名授課教師中抽取20名教師，調(diào)查了解他們上學(xué)期使用多媒體輔助教學(xué)的次數(shù)，結(jié)果用

莖葉圖表示(如圖)，據(jù)此可估計該校上學(xué)期200名教師中，使用多媒體輔助教學(xué)不少于

30次的教師人數(shù)為90.

【解答】解：根據(jù)題意，得;

9

樣本容量為20時，使用多媒體輔助教學(xué)不少于30次的教師人數(shù)為9,...頻率為二；

20

由此估計該校上學(xué)期200名教師中，使用多媒體輔助教學(xué)不少于30次的教師人數(shù)為

9

200X.=90.

故答案為：90.

12.執(zhí)行如圖所示的程序，則輸出的結(jié)果為24.

【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，z=2,滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，x=2,y=4；

再次執(zhí)行循環(huán)體后，z=6,滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，x=5,y=7；

再次執(zhí)行循環(huán)體后，z=12,滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，x=8,y=10；

再次執(zhí)行循環(huán)體后，z=18,滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，x=ll,y=13；

再次執(zhí)行循環(huán)體后，z=24,不滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，

故輸出的結(jié)果為：24,

故答案為：24.

13.等差數(shù)列｛“”｝中，“4=6,則2m-a5+mi=12.

【解答】解：等差數(shù)列｛“”｝中，44=6,

.,.a\+3d=6,

貝！]2m-45+aii=2ai-(ai+4J)+ai+10d=2(ai+3d)=12.

故填12.

a2

14.已知a,b為正實數(shù)，直線x+y+a=0與圓(x-〃)2+(])2=2相切，則一的取值

'b

范圍是(0,+8).

【解答】解：?直線x+y+a=0與圓(x-b)2+(y-1)2=2相切，

二圓心到直線的距離d=也誓Nl=V2,

V2

即|。+什1|=2,

/.a+h=\,或〃+Z?=-3

??Z,〃為正實數(shù)

：.a+b=-3（舍去）,

即b=]-a,

a2a2

：.0<a<]0<b<\

99b1-a

f]2

構(gòu)造函數(shù)f（。）=占，（0<a<l）,

2a(l—a)+a2_2a—a2

則/(a)~~-=7；

(1一Q)(1—a)

???當(dāng)OVaVl時，2CL〃2>。，即/⑺>o,

：.f（a）在（0,1）上是增函數(shù),

A0</（6Z）<1,

a2

則七的取值范圍是（0,+°°）.

b

故答案為：（0,+8）.

15.對于函數(shù)/（X）=不&，給出下列結(jié)論：

①等式/（-X）V（X）=0在XGR時恒成立;

②函數(shù)/（x）的值域為（-1,1）

③函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有三個零點;

④若X1WX2,

XI~X2

⑤若為<%2,則</（±~今

其中所有正確結(jié)論的序號為①②⑷.

【解答】解：f（x）=而，/（-%）=品；

故等式f（-x）+f（x）=0在xeR時恒成立，故①成立;

1-e’x-°

八）=肅=

-1+1I.，xVO

故-1</（X）<1,

故函數(shù)/（X）的值域為（-1,1）,故②成立；

x>0

g(x)=f⑴-x=(I'%,

島，xVO

故函數(shù)g(x)=f(x)-X在R上有一個零點，故③不成立;

1-擊，x~°

可⑴=晶

-1+1I.fxV0

故可判斷f(X)在R上是增函數(shù)，

故若；則"/)一""2)〉o,

x1-x2

故④成立；

丫(1-1_Lv，％之0

作函數(shù)/"(x)=4=11+彳的圖象如下,

11-1+士，XV0

yn

若,,0<xi<x2,則r;(工2)勺(X±i+~X?3

若xi〈x2<0,則/工匕八二/〉于(六二).

故⑤不成立.

故答案為：①②④.

三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(12分)在△ABC中，角4,8,C所對的邊分別為“,b,c,火x)=sin2xcosB-2cos2xsinB+sinB,

xGR,函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線％=居對稱.

(I)當(dāng)xe[0,芻時，求函數(shù)f(x)的最大值并求相應(yīng)的x的值；

(II)若6=3且sinA+sinC=馬之求△4BC的面積.

【解答】解：f(x)=sin2xcosB-2cos2xsinB+sinB=sin2xcosB-(1+cosZr)sinB+sinB=

sin(2x-B).

(I)由函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線％=居對稱，知2x招_B="+自解得B=-內(nèi)r+E

(依Z),

又BE(0,n),，當(dāng)左=0時，B=

當(dāng)X￡[0,芻時，一,工2%一自打等'

于是當(dāng)2x-?=?'即k駕時，函數(shù)/(X)的最大值為1;

baca+c3l

(II)由正弦定理得一^=——=——=————=灰=2y3?

sinBsinAsinCsinA+sinC里

2

又sinA+sinC=得a+c=2V3x=4,

2

由余弦定理得〃2=/+c2-24ccosB=42+d-ac=(a+c)-3acf

解得ac=3

一117V37V3

于是△ABC的面積為一acsinB=-x-x—=——.

223212

17.（12分）PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物）.為

了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某一時間段車流量

與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表：

時間周一周二周三周四周五

車流量X（萬輛）5051545758

PM2.5的濃度y（微克/立方米）6970747879

（I）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；

（II）若周六同一時間段車流量是25萬輛，試根據(jù)（I）求出的線性回歸方程預(yù)測，此

時PM2.5的濃度為多少（保留整數(shù)）？

（參考公式：匕=匾華&寫2,9=6?元+a,參考數(shù)據(jù)：￡乙項=270,

理=]0「幻

Sf=1%=370）

【解答】解：（I）由條件可知±=“0+51+54+57+58）=54,y=1（69+70+74+78+79）

=74

2

H=i(々一號(%—歹)=4X5+3X4+3X4+4X5=64,把1(xz-x)=50,

：.b==1,28,a=74-1.28X54=4.88,

故y關(guān)于x的線性回歸方程是：y=1.28x+4.88；

(II)當(dāng)x=25時，y=1.28X25+4.88=36.88比37,

，可以預(yù)測此時PM2.5的濃度約為37.

18.(12分)已知數(shù)列｛的｝和｛為｝對任意的"6N*滿足…%1=3如-%若數(shù)列｛〃”｝是等比

數(shù)列，且m=l,bi—b\+2.

(I)求數(shù)列｛。；｝和｛b｝的通項公式；

(II)設(shè)Cn=1---r~(nEN*),求數(shù)列｛Cn｝的前〃項和

Qn

【解答】解：(I)由條件可知%