2023-2024學(xué)年江蘇省天星湖中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年江蘇省天星湖中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．為了得到函數(shù)的圖象，只需將余弦曲線上所有的點(diǎn)A.向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C向右平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位2．設(shè)集合，則（）A. B.C. D.3．直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.2個(gè) B.1個(gè)C.0個(gè) D.不確定4．棱長為1的正方體可以在一個(gè)棱長為的正四面體的內(nèi)部任意地轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最小值為A. B.C. D.5．已知函數(shù)f(x)=若f（f（0））=4a，則實(shí)數(shù)a等于A. B.C.2 D.96．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向右平移 B.向右平移C.向左平移 D.向左平移7．函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.2個(gè) B.3個(gè)C.4個(gè) D.5個(gè)8．已知向量，，，若，，則（）A. B.C. D.9．在平行四邊形中，與相交于點(diǎn),是線段中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn),若，則等于（）A. B.C. D.10．“”是“為第二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若，則球O的半徑為________12．已知平面和直線，給出條件：①；②；③；④；⑤（1）當(dāng)滿足條件_________時(shí)，有；（2）當(dāng)滿足條件________時(shí)，有．（填所選條件的序號）13．已知集合，集合，則________14．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)______15．如圖所示，正方體的棱長為，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是_____①∥平面；②平面⊥平面；③三棱錐的體積為定值；④存在某個(gè)位置使得異面直線與成角°三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖像沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．已知函數(shù)的定義域?yàn)?（1）求；（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知，且為第二象限角（1）求的值；（2）求值.19．已知圓M與x軸相切于點(diǎn)（a，0），與y軸相切于點(diǎn)（0，a），且圓心M在直線上.過點(diǎn)P（2，1）直線與圓M交于兩點(diǎn)，點(diǎn)C是圓M上的動(dòng)點(diǎn).（1）求圓M的方程；（2）若直線AB的斜率不存在，求△ABC面積的最大值；（3）是否存在弦AB被點(diǎn)P平分？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由.20．（1）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并利用定義證明

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、C【解析】利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【詳解】把余弦曲線上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，可得函數(shù)的圖象，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】利用集合并集的定義，即可求出.【詳解】集合，.故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是集合的并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.3、A【解析】化為點(diǎn)斜式：，顯然直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓內(nèi)∴直線與圓相交，故選A4、A【解析】由題意可知正方體的外接球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球時(shí)a最小，此時(shí)R=，.5、C【解析】，選C.點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.6、B【解析】先將，進(jìn)而由平移變換規(guī)律可得解.【詳解】函數(shù)，所以只需將向右平移可得.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖像平移變換，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)名統(tǒng)一，需要利用誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.7、D【解析】函數(shù)h（x）=f（x）﹣log4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)?函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．畫出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象（如上圖），其中=的圖像可以看出來，當(dāng)x增加個(gè)單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼囊话?，即往右移個(gè)單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼囊话耄灰来晤愅?；根?jù)圖象可得函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象交點(diǎn)為5個(gè)∴函數(shù)h（x）=f（x）﹣log4x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5個(gè)．故選D8、C【解析】計(jì)算出向量的坐標(biāo)，然后利用共線向量的坐標(biāo)表示得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，解出即可.【詳解】向量，，，又且，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查共線向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】化簡可得，再由及選項(xiàng)可得答案【詳解】解：由題意得，，；、、三點(diǎn)共線，，結(jié)合選項(xiàng)可知，；故選：10、B【解析】利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)解三角形不等式，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分條件、必要條件即可；【詳解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角為，因?yàn)檎姘?，所以“”是“為第二象限角”的必要不充分條件；故選：B二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】根據(jù)直角三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊，結(jié)合球的對稱性、勾股定理、直三棱柱的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋匀切问且詾樾边叺闹苯侨切?，因此三角形的外接圓的直徑為，圓心為.因?yàn)?，所以，在直三棱柱中，?cè)面是矩形且它的中心即為球心O，球的直徑是的長，則，所以球的半徑為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了直三棱柱外接球問題，考查了直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.12、(1).③⑤；(2).②⑤【解析】若m?α，α∥β，則m∥β；若m⊥α，α∥β，則m⊥β故答案為（1）③⑤（2）②⑤考點(diǎn)：本題主要考查直線與平面垂直的位置關(guān)系點(diǎn)評：熟練掌握直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，基礎(chǔ)題13、【解析】由交集定義計(jì)算【詳解】由題意故答案為：14、3【解析】利用冪函數(shù)的定義先求出其解析式，進(jìn)而得出答案【詳解】設(shè)冪函數(shù)為常數(shù)，冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，解得故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)的定義，正確理解冪函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵15、①②③④【解析】在①中，由EF∥BD，得EF∥平面ABCD；在②中，連接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，從而得到面ACF⊥平面BEF；在③中，三棱錐E﹣ABF的體積與三棱錐A﹣BEF的體積相等，從而三棱錐E﹣ABF的體積為定值；在④中，令上底面中心為O，得到存在某個(gè)位置使得異面直線AE與BF成角30°【詳解】由正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，知：在①中，由EF∥BD，且EF?平面ABCD，BD?平面ABCD，得EF∥平面ABCD，故①正確；在②中，連接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可知AC⊥面BDD1B1，而BE?面BDD1B1，BF?面BDD1B1，∴AC⊥平面BEF，∵AC?平面ACF，∴面ACF⊥平面BEF，故②正確；在③中，三棱錐E﹣ABF的體積與三棱錐A﹣BEF的體積相等，三棱錐A﹣BEF的底面積和高都是定值，故三棱錐E﹣ABF的體積為定值，故③正確；在④中，令上底面中心為O，當(dāng)E與D1重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與O重合，則兩異面直線所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1＝300，故存在某個(gè)位置使得異面直線AE與BF成角30°，故④正確故答案為①②③④【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）【解析】（1）通過已知得到方程組，解方程組即得二次函數(shù)的解析式，再利用二次函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域得解；（2）求出，等價(jià)于，求出二次函數(shù)最小值即得解.【小問1詳解】解：設(shè)、∴，∴，∴，，又，∴，∴.∵對稱軸為直線，，，，∴函數(shù)的值域.【小問2詳解】解：由（1）可得：∵直線與函數(shù)的圖像沒有公共點(diǎn)∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴.17、（1）A（2）【解析】(1)由函數(shù)的解析式分別令真數(shù)為正數(shù)，被開方數(shù)非負(fù)確定集合A即可；(2)分類討論和兩種情況確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】（1）由，解得，由，解得，∴.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴，即.于是.要使，則滿足，解得.∴.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.∵，∴，即.于是要使，則滿足，解得與矛盾.∴.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求解，集合之間的關(guān)系與運(yùn)算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18、（1）cos，（2）【解析】（1）通過三角恒等式先求，再求即可；（2）先通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再將，的值代入即可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)閟in＝，所以，且是第二象限角，所以cos＝，從而【小問2詳解】原式＝19、（1）（2）（3）存在，方程為【解析】（1）根據(jù)圓與坐標(biāo)軸相切表示出圓心坐標(biāo)，結(jié)合已知可解；（2）注意到當(dāng)點(diǎn)C到直線AB距離最大值為圓心到直線距離加半徑，然后可解;（3）根據(jù)圓心與弦的中點(diǎn)的連線垂直弦，或利用點(diǎn)差法可得.【小問1詳解】∵圓M與x軸相切于點(diǎn)（a，0），與y軸相切于點(diǎn)（0，a），∴圓M的圓心為M（a，a），半徑.又圓心M在直線上，∴，解得.∴圓M的方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，∴由，解得.∴.易知圓心M到直線AB的距離，∴點(diǎn)C到直線AB的最大距離為.∴△ABC面積的最大值為.【小問3詳解】方法一：假設(shè)存在弦AB被點(diǎn)P平分，即P為AB的中點(diǎn).又∵，∴.又∵直線MP的斜率為，∴直線AB的斜率為-.∴.∴存在直線AB的方程為時(shí)，弦AB被點(diǎn)P平分.方法二：由（2）易知當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，∴此時(shí)點(diǎn)P不平分AB.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，，假設(shè)點(diǎn)P平分弦AB.∵點(diǎn)A、B是圓M上的點(diǎn)，設(shè)，.∴由點(diǎn)差法得.由點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn)，可得，∴.∴∴存在直線AB的方程為時(shí)，弦AB被點(diǎn)P平分.20、（1）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最短籬笆的長度為；（2）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最大面積是.【解析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形周長的最小值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論；（2）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形面積的最大值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由已知得，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為；（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是.【點(diǎn)睛】本題考查基