2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市龍江縣二中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2023-2024學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市龍江縣二中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．半徑為1cm，圓心角為的扇形的弧長為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)f(x)＝設(shè)f(0)＝a，則f(a)＝（）A.－2 B.－1C. D.03．命題P：“，”的否定為A.， B.，C.， D.，4．已知是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.5．函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.6．若函數(shù)且,則該函數(shù)過的定點(diǎn)為（）A. B.C. D.7．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)為（）A. B.C. D.8．，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.9．設(shè)集合，，，則（）A. B.C. D.10．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數(shù)部分圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為______.12．對于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；（2）現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”13．點(diǎn)分別為圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為__________14．正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2-a=2，b+3b=3，c+=4，則實(shí)數(shù)a，b，c之間的大小關(guān)系為_________.15．已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則的值為________________16．已知函數(shù)（且）只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)且為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明(2)證明函數(shù)在是增函數(shù)(3)若不等式對一切恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍18．（1）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？19．已知，（1）求和的值（2）求以及的值20．已知（1）設(shè)，求t的最大值與最小值；（2）求的值域21．已知函數(shù)，其中.（1）若對任意實(shí)數(shù)，恒有，求的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得且？若存在，則求的取值范圍；若不存在，則加以證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用扇形弧長公式直接計(jì)算即可.【詳解】圓心角化為弧度為，則弧長為.故選：D.2、A【解析】根據(jù)條件先求出的值，然后代入函數(shù)求【詳解】，即，故選：A3、B【解析】“全稱命題”的否定是“特稱命題”根據(jù)全稱命題的否定寫出即可【詳解】解：命題P：“，”的否定是：，故選B【點(diǎn)睛】本題考察了“全稱命題”的否定是“特稱命題”，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】由奇函數(shù)知，再結(jié)合單調(diào)性及得，解不等式即可.【詳解】由題意知：，又在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由可得，解得.故選：C.5、C【解析】由二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和對數(shù)的真數(shù)大于零求解即可【詳解】由題意得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：C6、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)是，利用平移可得到答案.【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)是，函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到，函數(shù)的圖像過的定點(diǎn).故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的理解，是基礎(chǔ)題.7、B【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象和零點(diǎn)的定義，即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的圖象，可知與軸的交點(diǎn)為，所以函數(shù)的零點(diǎn)為2.故選：B.8、D【解析】作出弧度角的正弦線、余弦線和正切線，利用三角函數(shù)線來得出、、的大小關(guān)系.【詳解】作出弧度角的正弦線、余弦線和正切線如下圖所示，則，，，其中虛線表示的是角的終邊，，則，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)值的大小比較，一般利用三角函數(shù)線來比較，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：集合，，，則故選：D10、A【解析】解不等式，，即可得答案.【詳解】解：函數(shù)，由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】由周期公式可得，代入點(diǎn)解三角方程可得值，進(jìn)而可得解析式.【詳解】由題意，周期，解得，所以函數(shù)，又圖象過點(diǎn)，所以，得，又，所以，故函數(shù)的解析式為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)解析式的求解，涉及系數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.12、（1）是；（2）①；②見解析【解析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由已知，，因?yàn)闀r(shí)，，所以恒成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因?yàn)?，則，，所以在的右側(cè)，又復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，從而，，所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“友好”的；當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“不友好”的.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道有一定難度的題.13、7【解析】根據(jù)題意,算出圓M關(guān)于直線對稱的圓方程為.當(dāng)點(diǎn)P位于線段上時(shí),線段AB的長就是的最小值,由此結(jié)合對稱的知識(shí)與兩點(diǎn)間的距離公式加以計(jì)算,即可得出的最小值.【詳解】設(shè)圓是圓關(guān)于直線對稱的圓,

可得,圓方程為,

可得當(dāng)點(diǎn)C位于線段上時(shí),線段AB長是圓N與圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的距離最小值,

此時(shí)的最小值為AB,

,圓的半徑,

,

可得因此的最小值為7,

故答案為7.點(diǎn)睛：圓中的最值問題往往轉(zhuǎn)化動(dòng)點(diǎn)與圓心的距離問題，本題中可以轉(zhuǎn)化為，再利用對稱性求出的最小值即可14、##【解析】利用指數(shù)的性質(zhì)及已知條件求a、b的范圍，討論c的取值范圍，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)求c的范圍【詳解】由，由，又，當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，.故答案為：15、-7【解析】由已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),，所以，則=點(diǎn)睛：利用函數(shù)奇偶性求有關(guān)參數(shù)問題時(shí)，要靈活選用奇偶性的常用結(jié)論進(jìn)行處理，可起到事半功倍的效果：①若奇函數(shù)在處有定義，則；②奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)；③特殊值驗(yàn)證法16、或或【解析】∵函數(shù)（且）只有一個(gè)零點(diǎn)，∴∴當(dāng)時(shí)，方程有唯一根2，適合題意當(dāng)時(shí)，或顯然符合題意的零點(diǎn)∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為或或故答案為或或點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析；（3）.【解析】（1）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，為奇函數(shù)(2)任取,,且，則===，又在上為增函數(shù)且，，，,在上是增函數(shù)(3)由（1）知在上為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，由得由題意得，即恒成立，又．綜上得的取值范圍是點(diǎn)睛：本題是一道關(guān)于符合函數(shù)的題目，總體方法是掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的知識(shí)，屬于中檔題．在證明函數(shù)單調(diào)性時(shí)可以運(yùn)用定義法證明，在解答函數(shù)中的不等式時(shí)，要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，比較兩數(shù)大小，含有參量時(shí)要分離參量計(jì)算最值18、（1）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最短籬笆的長度為；（2）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最大面積是.【解析】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形周長的最小值，由等號(hào)成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論；（2）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形面積的最大值，由等號(hào)成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.（1）由已知得，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為；（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，充分利用“積定和最小，和定積最大”的思想求解，同時(shí)也要注意等號(hào)成立的條件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1），（2），【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（2）利用兩角差的正弦公式和兩角和的正切公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋鶕?jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，又因?yàn)?，所以，?【小問2詳解】由，和根據(jù)兩角差的正弦公式，可得，再結(jié)合兩角和的正切公式，可得20、（1），；（2）[3，4].【解析】(1)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即得；(2)換元后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即求.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[2，4]上是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，【小問2詳解】令，則，由（1）得，因?yàn)?/p>