2023-2024學年廣東省越秀外國語學校高一上數(shù)學期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學年廣東省越秀外國語學校高一上數(shù)學期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關；③若，則與的終邊相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正確的命題個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.42．下列各式正確是A. B.C. D.3．函數(shù)是（）A.奇函數(shù)，且上單調(diào)遞增 B.奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D.偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減4．要完成下列兩項調(diào)查：（1）某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調(diào)查有關消費購買力的某項指標；（2）從某中學高一年級的10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學習情況；應采用的抽樣方法分別是（）A.（1）用簡單隨機抽樣，（2）用分層隨機抽樣 B.（1）（2）都用簡單隨機抽樣C.（1）用分層隨機抽樣，（2）用簡單隨機抽樣 D.（1）（2）都用分層隨機抽樣5．設集合，，則A. B.C. D.6．設，若，則的最小值為A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.8．在平行四邊形中，設，，，，下列式子中不正確是（）A. B.C. D.9．若，的終邊（均不在y軸上）關于x軸對稱，則（）A. B.C. D.10．四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應的函數(shù)序號安排正確的一組是（）A.④①②③ B.①④②③C.③④②① D.①④③②二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設函數(shù)，若不存在，使得與同時成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.12．已知函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①存在實數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；②對任意實數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；③對任意實數(shù)和，函數(shù)總存在零點；④對于任意給定的正實數(shù)，總存在實數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的序號是______________.13．已知直線：，直線：，若，則__________14．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分別是棱A1B1、A1D1的中點，則A1B與EF所成角的大小為______15．若，則的最小值是___________，此時___________.16．已知函數(shù)若，則實數(shù)的值等于________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知圓心在x軸正半軸上的圓C與直線5x+12y+21＝0相切，與y軸交于M，N兩點且∠MCN＝120°.（1）求圓C的標準方程；（2）求過點P（0，3）的直線l與圓C交于不同的兩點D，E，若|DE|＝2，求直線l的方程.18．黃山市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量（單位：千克）與施用肥料（單位：千克）滿足關系：.肥料成本投入為元，其它成本投入（如培育管理，施肥等人工費）元.已知這種水果的市場售價為15元/千克，且銷路暢通供不應求，記該水果樹的單株利潤為（單位：元）.（1）求的函數(shù)關系式；（2）當施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？19．已知.（1）化簡；（2）若，求的值；（3）解關于的不等式：.20．有一種候鳥每年都按一定的路線遷陟，飛往繁殖地產(chǎn)卵．科學家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）若=3，候鳥每分鐘的耗氧量為8100個單位時，它的飛行速度是多少？（2）若=6，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位？（3）若雄鳥的飛行速度為，雌鳥的飛行速度為，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？21．設函數(shù)，其中，且.（1）求的定義域；（2）當時，函數(shù)圖象上是否存在不同兩點，使過這兩點的直線平行于軸，并證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據(jù)題意，對題目中的命題進行分析，判斷正誤即可.【詳解】對于①，根據(jù)任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①錯誤；對于②，根據(jù)角的定義知，不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所對半徑的大小無關，②正確；對于③，若，則與的終邊相同，或關于軸對稱，③錯誤；對于④，若，則是第二或第三象限的角，或終邊在負半軸上，④錯誤；綜上，其中正確命題是②，只有個.故選：【點睛】本題考查真假命題的判斷，考查三角函數(shù)概念，屬于基礎題.2、D【解析】對于，，，故，故錯誤；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知錯誤故選3、A【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義判定函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，有，所以是奇函數(shù)，選項C，D錯誤；設，則有，又由，則，，則，則在上單調(diào)遞增，選項A正確，選項B錯誤.故選：A．4、C【解析】根據(jù)簡單隨機抽樣、分層抽樣的適用條件進行分析判斷.【詳解】因為有關消費購買力的某項指標受家庭收入的影響，而社區(qū)家庭收入差距明顯，所以①用分層抽樣；從10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學習情況，個體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，所以②用簡單隨機抽樣.故選：C5、D【解析】詳解】試題分析：集合，集合，所以,故選D.考點：1、一元二次不等式；2、集合的運算.6、D【解析】依題意，，根據(jù)基本不等式，有.7、A【解析】由題中條件，推導出，，，，由此能求出的值【詳解】解：函數(shù)，，，，，故選A【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題8、B【解析】根據(jù)向量加減法計算，再進行判斷選擇.【詳解】;;;故選：B【點睛】本題考查向量加減法，考查基本分析求解能力，屬基礎題.9、A【解析】因為，的終邊（均不在軸上）關于軸對稱，則，，然后利用誘導公式對應各個選項逐個判斷即可求解【詳解】因為，的終邊（均不在軸上）關于軸對稱，則，，選項，故正確，選項，故錯誤，選項，故錯誤，選項，故錯誤，故選：10、B【解析】根據(jù)各個函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號，判斷函數(shù)的圖象特征，即可得到【詳解】解：①為偶函數(shù)，它的圖象關于軸對稱，故第一個圖象即是；②為奇函數(shù)，它的圖象關于原點對稱，它在上的值為正數(shù)，在上的值為負數(shù)，故第三個圖象滿足；③為奇函數(shù)，當時，，故第四個圖象滿足；④，為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象沒有對稱性，故第二個圖象滿足，故選：B【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】當恒成立，不存在使得與同時成立，當時，恒成立，則需時，恒成立，只需時，，對的對稱軸分類討論，即可求解.【詳解】若時，恒成立，不存使得與同時成立，則時，恒成立，即時，，對稱軸為，當時，即，解得，當，即為拋物線頂點的縱坐標，，只需，.若恒成立，不存在使得與同時成立，綜上，的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，不等式恒成立和能成立問題的解法，考查分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬于較難題.12、①②③④【解析】分別作出，和的函數(shù)的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為，和時函數(shù)的圖象，對于①：當時，，圖象如圖關于原點對稱，所以存在使得函數(shù)為奇函數(shù)，故①正確；對于②：由三個圖知當時，，當時，，所以函數(shù)既無最大值也無最小值；故②正確；對于③：如圖和圖中存在實數(shù)使得函數(shù)圖象與沒有交點，此時函數(shù)沒有零點，所以對任意實數(shù)和，函數(shù)總存在零點不成立；故③不正確對于④：如圖，對于任意給定的正實數(shù)，取即可使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故④正確；故答案為：①②④【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵點是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論，和即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).13、1【解析】根據(jù)兩直線垂直時，系數(shù)間滿足的關系列方程即可求解.【詳解】由題意可得：，解得：故答案為：【點睛】本題考查直線垂直的位置關系，考查理解辨析能力，屬于基礎題.14、【解析】解：如圖，將EF平移到A1B1，再平移到AC，則∠B1AC為異面直線AB1與EF所成的角三角形B1AC為等邊三角形，故異面直線AB1與EF所成的角60°，15、①.1②.0【解析】利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以,當且僅當，即時，等號成立，所以其最小值是1，此時0，故答案為：1，016、-3【解析】先求，再根據(jù)自變量范圍分類討論，根據(jù)對應解析式列方程解得結(jié)果.【詳解】當a>0時，2a=-2解得a=-1，不成立當a≤0時，a+1=-2,解得a=-3【點睛】求某條件下自變量的值，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（x﹣1）2+y2＝4；（2）y或x＝0【解析】（1）由題意設圓心為，且，再由已知求解三角形可得，于是可設圓的標準方程為，由點到直線的距離列式求得值，則圓的標準方程可求；（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑列式求得，可得直線方程，驗證當時滿足題意，則答案可求【詳解】解：（1）由題意設圓心為，且，由，可得中，，，則，于是可設圓的標準方程為，又點到直線的距離，解得或（舍去）故圓的標準方程為；（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即則由題意可知，圓心到直線的距離故，解得又當時滿足題意，故直線的方程為或【點睛】本題考查圓的標準方程的求法，考查直線與圓位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．18、（1）f（2）當施用肥料為5千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是750元【解析】（1）用銷售收入減去成本求得的函數(shù)關系式.（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式來求得最大利潤以及此時對應的施肥量.小問1詳解】由已知得：,故fx【小問2詳解】若，則,此時，對稱軸為，故有最大值為.若，則,當且僅當，即時等號成立,此時，有最大值為,綜上有，有最大值為750,∴當施用肥料為5千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤是750元.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運用誘導公式和同角三角函數(shù)關系進行化簡，即可得到化簡結(jié)果；（2）結(jié)合（1）得到的結(jié)果，將問題轉(zhuǎn)化為齊次式進行求解，即可計算出結(jié)果；（3）結(jié)合（1）得到的結(jié)果，將其轉(zhuǎn)化為不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，，，，，，.（2）由（1）可知，=11（3）因為，可轉(zhuǎn)化為整理可得，則，解得，故不等式的解集為.【點睛】關鍵點點睛：解答第一問時關鍵是需要熟練掌握誘導公式，對其進行化簡，并能結(jié)合同角三角函數(shù)關系計算結(jié)果，解答第二問時可以將其轉(zhuǎn)化為齊次式，即可計算出結(jié)果.20、（1）（2）555（3）9【解析】（1）直接代入求值即可，其中要注意對數(shù)的運算；（2）還是代入求值即可；（3）代入后得兩個方程，此時我們不需要解出、，只要求出它們的比值即可，所以由對數(shù)的運算性質(zhì)，讓兩式相減，就可求得【小問1詳解】解：因為候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，所以將，代入函數(shù)式可得：故此時候鳥飛行速度為【小問2詳解】解：因為候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，將，代入函數(shù)式可得：即所以于是故候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為555個單位【小問3詳解】解：設雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘的耗氧量為，依題意可得：，兩式相減可得：，于是故此時雄鳥