九數(shù)字濾波器的分類及結(jié)構(gòu)

數(shù)字信號(hào)處理電器信息工程學(xué)院蔡超峰2023/12/91數(shù)字濾波器的實(shí)質(zhì)是用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的離散時(shí)間LSI系統(tǒng)，以完成對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波處理的功能。其輸入是一組由模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)抽樣和量化的數(shù)字信號(hào)，輸出是經(jīng)過(guò)處理的另一組數(shù)字信號(hào)。數(shù)字濾波器既可以是一臺(tái)由數(shù)字硬件裝配成的用于完成濾波計(jì)算功能的專用機(jī)，也可以是由通用計(jì)算機(jī)完成的一組運(yùn)算程序。本章主要介紹數(shù)字濾波器的分類及結(jié)構(gòu)。引言2023/12/92第九章數(shù)字濾波器的分類及結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法IIR濾波器的結(jié)構(gòu)FIR濾波器的結(jié)構(gòu)離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)2023/12/93根據(jù)單位沖激響應(yīng)h(n)的時(shí)間特性分類：無(wú)限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（IIR）有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIR）根據(jù)實(shí)現(xiàn)方法和形式分類:遞歸型數(shù)字濾波器非遞歸型數(shù)字濾波器根據(jù)頻率特性分類：低通數(shù)字濾波器高通數(shù)字濾波器帶通數(shù)字濾波器帶阻數(shù)字濾波器1.濾波器的分類2023/12/94數(shù)字濾波器可以用一個(gè)差分方程來(lái)描述：由上式可以看出，實(shí)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字濾波器需要幾種基本的運(yùn)算單元：加法器、單位延遲和常數(shù)乘法器。這些基本的單元可以有兩種表示方法：方框圖法和信號(hào)流圖法，因此一個(gè)數(shù)字濾波器也可也有兩種表示方法：方框圖法和信號(hào)流圖法。2.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法z-1+單位延遲乘常數(shù)相加z-1aa2023/12/95考慮如下二階數(shù)字濾波器的信號(hào)流圖：x(n)處稱為輸入節(jié)點(diǎn)或源節(jié)點(diǎn)，y(n)處稱為輸出節(jié)點(diǎn)或阱節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)稱為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)之間用有向支路連接，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以有幾條輸入支路和幾條輸出支路，節(jié)點(diǎn)值等于它所有輸入支路的信號(hào)之和，而輸入支路的信號(hào)值等于這一支路起點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)信號(hào)值乘以之路上的傳輸系數(shù)。延遲算子z-1表示單位延遲。2.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法21z-14z-1a2a153x(n)y(n)b02023/12/96源節(jié)點(diǎn)沒(méi)有輸入支路，阱節(jié)點(diǎn)沒(méi)有輸出支路。如果某節(jié)點(diǎn)有一個(gè)輸入，一個(gè)或多個(gè)輸出，該節(jié)點(diǎn)稱為分支節(jié)點(diǎn)。如果某節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的輸入，該節(jié)點(diǎn)稱為相加器。各節(jié)點(diǎn)值為：對(duì)分支節(jié)點(diǎn)2有，故2.數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法21z-14z-1a2a153x(n)y(n)b02023/12/97IIR濾波器的特點(diǎn)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)的；系統(tǒng)函數(shù)在有限Z平面上（0<|z|<∞）有極點(diǎn)存在；結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/98數(shù)字濾波器可用差分方程來(lái)描述：也可以用系統(tǒng)函數(shù)來(lái)表示：3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/99表示為兩個(gè)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的形式：稱為直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)H1(z)H2(z)x(n)y(n)y′(n)z-1-aN-1b1x(n)y′(n)b0z-1z-1b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)2023/12/910直接Ⅰ型的變型：3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)H2(z)H1(z)x(n)y(n)y′(n)z-1-aN-1b1x(n)y′(n)b0z-1z-1b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)2023/12/911直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)（典范型）:3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)H2(z)H1(z)x(n)y(n)y′(n)-aN-1b1x(n)y′(n)b0b2bM-1bMz-1z-1z-1-a2-a1-aNy(n)2023/12/912習(xí)題：已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解答：如右圖所示。直接型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn):所需要的延遲單元最少；系統(tǒng)調(diào)整不方便；受有限字長(zhǎng)影響較大。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)-4x(n)z-1z-1y(n)z-1811-25/4-3/41/82023/12/913對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行因式分解：式中M=M1+2M2,N=N1+2N2。級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖：3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)xk(n)z-1z-1yk(n)β1kβ2kα2kα1k……2023/12/914習(xí)題：已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)畫出該濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解答：級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn):所用存儲(chǔ)單元較少；系數(shù)調(diào)整方便，便于準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的零極點(diǎn)；受有限字長(zhǎng)影響較大。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)z-1z-1y(n)-1.4-0.81.2x(n)z-1z-1-0.8-0.90.532023/12/915對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行因式分解：上式中N=N1+2N2。當(dāng)M<N

時(shí)，公式中不包含最后一項(xiàng)。當(dāng)M=N時(shí)，最后一項(xiàng)變成G0。一般IIR系統(tǒng)皆滿足M<N的條件。當(dāng)M=N時(shí)，有式中[(N+1)/2]表示(N+1)/2的整數(shù)部分。當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，包含一個(gè)一階分式，即有α2k=β2k=0。此即IIR濾波器的并聯(lián)結(jié)構(gòu)。3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/916習(xí)題：已知數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)畫出該濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解答：3.IIR濾波器的結(jié)構(gòu)x(n)z-1-0.50.2516z-1z-18y(n)-16202023/12/917FIR濾波器的特點(diǎn)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的；系統(tǒng)函數(shù)在|z|>0處收斂，極點(diǎn)全部在z=0處；結(jié)構(gòu)上不存在輸出到輸入的反饋。4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/918數(shù)字濾波器可用一個(gè)差分方程來(lái)描述：對(duì)于FIR濾波器則有：直接型結(jié)構(gòu)：4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)z-1z-1z-1x(n)b(0)y(n)b(1)b(2)b(M)b(M-1)2023/12/919把FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用二階因子乘積表示：級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)：x(n)z-1β01y(n)z-1z-1z-1z-1z-1β11β21β02β12β22β0[N/2]β1[N/2]β2[N/2]4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/920前已證明，當(dāng)FIR系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足時(shí)，該系統(tǒng)具有線性相位。類型Ⅰ濾波器：，且N為奇數(shù)。4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)令m=N-1-n2023/12/921類型Ⅰ濾波器的結(jié)構(gòu)：x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h[(N-1)/2]h[(N-3)/2]z-1z-14.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/922類型Ⅱ?yàn)V波器：，且N為偶數(shù)。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N/2-2)z-1z-1z-1h(N/2-1)4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/923類型Ⅲ濾波器：，且N為奇數(shù)。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1-z-1h(0)h(1)h(2)h[(N-3)/2]z-1z-14.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/924類型Ⅳ濾波器：，且N為偶數(shù)。x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1z-1h(0)h(1)h(2)h(N/2-2)z-1z-1-z-1h(N/2-1)4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/925給定一個(gè)FIR系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(n),n=0,1,…,N-1,其系統(tǒng)函數(shù)和h(n)的DFT分別為：顯然，H(k)實(shí)際上是H(z)在單位圓上的N個(gè)值，即H(k)是H(jω)在頻域的抽樣。因此，我們可以用H(k)來(lái)表示H(z)，即:4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/926H(z)可看做是兩個(gè)子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)。一個(gè)是FIR子系統(tǒng)H1(z)，一個(gè)是IIR子系統(tǒng)H2(z)。FIR子系統(tǒng)由N個(gè)延時(shí)單元組成，系統(tǒng)函數(shù)為H1(z)，該系統(tǒng)在單位圓上有N個(gè)等分的零點(diǎn)：頻率響應(yīng)：4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2π/Nω0“梳狀濾波器”2023/12/927IIR子系統(tǒng)由N個(gè)一階系統(tǒng)并聯(lián)組成，系統(tǒng)函數(shù)為該系統(tǒng)有N

個(gè)極點(diǎn)：IIR系統(tǒng)與FIR系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后，N

個(gè)IIR系統(tǒng)在單位圓上的極點(diǎn)正好和FIR系統(tǒng)在單位圓上的零點(diǎn)相互抵消，所以整個(gè)系統(tǒng)是FIR系統(tǒng)，稱為FIR系統(tǒng)的頻率抽樣型結(jié)構(gòu)。4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/9284.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)x(n)z-1y(n)H(0)H(1)H(k-1)z-1z-1-z-N1/N2023/12/9292023/12/930頻率抽樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)：系統(tǒng)在頻率采樣點(diǎn)ω=2πk/N上的響應(yīng)等于H(k)，因此改變H(k)就等于改變了系統(tǒng)的頻率響應(yīng)；只要h(n)的長(zhǎng)度N相同，不論頻率響應(yīng)如何，梳狀濾波器以及個(gè)N一階網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)相同，便于標(biāo)準(zhǔn)化和模塊化。缺點(diǎn)：穩(wěn)定性差；有限字長(zhǎng)效應(yīng)導(dǎo)致零極點(diǎn)不能完全相消，從而造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。結(jié)構(gòu)中系數(shù)為復(fù)數(shù)，因此運(yùn)算量大。利用H(k)的對(duì)稱性可以一定程度上降低計(jì)算量。4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)2023/12/931快速卷積結(jié)構(gòu)：N≥Nh+Nx-1,N=2m4.FIR濾波器的結(jié)構(gòu)h(n)

Nh點(diǎn)序列X補(bǔ)零N點(diǎn)

DFT運(yùn)算補(bǔ)零N點(diǎn)

DFT運(yùn)算N點(diǎn)

IDFT運(yùn)算x(n)

Nx點(diǎn)序列X(k)H(k)y(n)2023/12/932一個(gè)M階的FIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可以寫作：上式中假定H(z)=B(z)的首項(xiàng)系數(shù)等于1，表示M階FIR系統(tǒng)的第i個(gè)系數(shù)，該系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)如下圖：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kM2023/12/933Lattice結(jié)構(gòu)（格型結(jié)構(gòu)）的特點(diǎn)：Lattice結(jié)構(gòu)有M

個(gè)參數(shù)，共需2M次乘法，M次延遲。直接型結(jié)構(gòu)有M

個(gè)參數(shù)，共需M+1次乘法，M次延遲。5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kMLattice結(jié)構(gòu)直接型結(jié)構(gòu)z-1z-1z-1x(n)y(n)b(1)b(2)b(M)b(M-1)2023/12/934信號(hào)的傳遞是從左至右，中間沒(méi)有反饋回路，所以這是一個(gè)FIR系統(tǒng)。5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pM-1(n)qM-1(n)pM(n)qM(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kM2023/12/935信號(hào)流圖中的基本單元具有如下關(guān)系：其中：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)-1與FFT算法中的蝶形單元做比較：z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-km2023/12/936定義：為輸入端x(n)至第m個(gè)基本單元后所對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，

對(duì)應(yīng)上端，

對(duì)應(yīng)下端。5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1z-1z-1p0(n)q0(n)p1(n)q1(n)p2(n)q2(n)pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-k1-k1-k2-k2z-1-kM-kM2023/12/937如何由給定的系數(shù)b(1),b(2),…,b(M)求出Lattice結(jié)構(gòu)的參數(shù)k1,k2,…,kM

呢？?jī)啥朔謩e除以P0(z)

和Q0(z),得：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-kM-kM2023/12/938由前面的定義可知：，則有歸納得出：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)2023/12/939將的定義帶入上式類似的有5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)2023/12/940可按照如下步驟求出參數(shù)k1,k2,…,kM：步驟1由上述關(guān)系式，首先得到步驟2由kM及系數(shù)求出的系數(shù)

，或者由下式直接求出，那么。步驟3重復(fù)步驟2，即可全部求出。

5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)2023/12/941習(xí)題：一個(gè)FIR系統(tǒng)的零點(diǎn)分別在和0.8處，求其Lattice結(jié)構(gòu)。解答：首先寫出系統(tǒng)函數(shù)可知：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)2023/12/942因此有：可知：進(jìn)一步：最后：Lattice結(jié)構(gòu)：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1z-1z-10.738498-0.648y(n)-0.648-0.702590.738498-0.702592023/12/9435.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-kmz-1pm(n)qm(n)pm-1(n)qm-1(n)-kmkm2023/12/944IIR系統(tǒng)（全極點(diǎn)）的Lattice結(jié)構(gòu)圖：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)pM-2(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-12023/12/945令M=1，則：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)2023/12/946令M=2，則：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)2023/12/9475.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)由此類推，若定義：則有：2023/12/948對(duì)比FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)：結(jié)論：

參數(shù)k1,k2,…,kM

的求解方法同F(xiàn)IR系統(tǒng)完全一樣。5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)z-1pm-1(n)qm-1(n)pm(n)qm(n)-km-kmz-1pm(n)qm(n)pm-1(n)qm-1(n)km-km2023/12/949習(xí)題：一個(gè)IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，求其Lattice結(jié)構(gòu)。解答：已求出則：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1z-1z-10.738498-0.648y(n)0.6480.70259-0.738498-0.702592023/12/950一個(gè)既具有零點(diǎn)又具有極點(diǎn)的IIR系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)：5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)y(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1cMc0cM-1c12023/12/951若，即為全極點(diǎn)系統(tǒng)。5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n)qM-1(n)kM-kMk1-k1kM-1-kM-1cMc0cM-1c1y(n)2023/12/952若，則為FIR系統(tǒng)的直接實(shí)現(xiàn)形式。5.離散時(shí)間系統(tǒng)的Lattice結(jié)構(gòu)x(n)z-1pM(n)pM-1(n)p1(n)p0(n)pM-2(n)z-1z-1q1(n)q0(n)qM(n