2022浙江省衢州市開化縣第一高級中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

2022浙江省衢州市開化縣第一高級中學高三數(shù)學理模

擬試卷含解析

一、選擇題:每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有提

則向量4-6與6的夾角為（）

5乃

A.6B.TC.6

2萬

D.T

參考答案：

C

略

2.某程序框圖如圖所示,該程序運行后輸出的S值為（)

(A)26(B)102(C)「

⑴）.二：

參考答案:

B

3.在等差數(shù)列｛四｝中，,*■=3,■?.=6,則%為(

)

A.64B.81C.128D.243

參考答案:

A

q=2

因為等比數(shù)列｛4｝中，?i6,所以％1a2,故％+；與2ai3,解得

aiI所以464,故選A.

_43,

4.若a,B為銳角，且滿足cosa=5cos(a+8)=5，則sinB的值為()

173,71

A.25B.5C.25D.5

參考答案:

c

【考點】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù).

【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sina、sin(a+B)的值，再利用兩

角和差的正弦公式求得sin3=sin的值.

—,cos(a+B))?

【解答】解：a,B為銳角，且滿足cosa=55,

,------------3_-------1

sinaWl-cos2a=5,sin(a+(3)Hl-cos2(Q.+8)=5,

4_x_43_37

則sinB=sin=sin(a+B)cosa-cos(a+p)sina=55-5x5=25,

故選：C.

5.函數(shù)Ax-lXx>0),若方程/(K)=*+a有且只有兩個不等的實根，則實數(shù)a

的取值范圍為)

A.(—oo,l)B.[O,1)C.(-00,0)D.[O.+oo)

參考答案:

A

【分析】

在同一坐標系中畫出/（*）的圖像與，=*?］的圖像，利用數(shù)形結(jié)合，易求出滿足條件的

實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】畫出函數(shù)圖像如下：

當。＜1時，函數(shù)了="力的圖像與/=a的圖像有兩個交點，

即方程/㈤=*+°有且只有兩個不等的實根.

故選：A

【點睛】本題考查分段函數(shù)的圖像，根的存在性及根的個數(shù)的判斷，將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化

為求函數(shù)零點的個數(shù)，并用圖像法進行解答是本題的關鍵，屬于基礎題.

6.正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積

為（）

81兀27冗

A.4B.16nC.9JiD.4

參考答案：

【考點】球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積.

【分析】正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高POi上，記為0,求出P0”00,,解出

球的半徑，求出球的表面積.

【解答】解：設球的半徑為R,則

:棱錐的高為4,底面邊長為2,

，R2=(4-R)2+(V2)2,

9.

.?.R=W,

,981冗

球的表面積為4n?(7)J4

7.已知全集U=R,集合P={xIx2q},那么［P=

A.(-co,-1)B.(1,+oo)

C.(-1,1)D.(-oo,-1)U(l,+oo)

參考答案：

D

本題考查了集合的補集運算，容易題。因為集合尸=1x1-14x41),所以

七P=(x|x>l或X<7,故選D。

8.過拋物線C：3-4y的焦點/的直線/交C于A,8兩點，在點A處的切線與x,y軸分

1

別交于點M,M若Ai&W的面積為亍，則網(wǎng)=()

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

B

【分析】

先設4"彳"），再求出點4處的切線方程，進而求出M,N坐標，得至「MON的面

積，即可求出/點坐標，求出“?的長.

【詳解】因為過拋物線C：的焦點F的直線1交C于4B,所以設

又‘一彳，所以，2,所以點/處的切線方程為：yv~2

令x=0可得'-4,即

令了二°可得*=一—即M

因為AMON的面積為2,

所以］x|-彳『卜解得

回」『+1=2

所以片14

故選B

【點睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，只需先求出點/坐標，即可根據(jù)拋物線上的點到焦

點的距離等于到準線的距離求解，屬于?？碱}型.

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的M值是（）

2

A.2B.-iC.2D.-2

參考答案：

B

10.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)

字，把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,bG{l,2,3,4,5,6},若Ia-bIWl,就稱甲乙

“心相近”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心相近”的概率為

A.9B.9C.18D.9

參考答案：

D

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知曲線C：y2-4x2n=0,貝U"n為正奇數(shù)”是“曲線C關于y軸對稱”的

條件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一

個).

參考答案：

充分不必要

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

專題：簡易邏輯.

分析：設P(x,y)在曲線C：y2-4x2"=0上，把點P'(-x,y)代入曲線可得證明，

解答:解：I?線C：y2-4X2"=0,則"n為正奇數(shù)”，

.?.設P(x,y)在曲線C：y2-4x2n=0±,

把點P'(-x,y)代入曲線可得：

y2-4(-x)2n=0,

即/-4(x)也0成立，

.*.PZ(-x,y)點在曲線上，

曲線C關于y軸對稱，

根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：

“n為正奇數(shù)”是“曲線C關于y軸對稱”的充分不必要

故答案為：充分不必要

點評：本題考查了充分必要條件的定義，點與曲線的位置關系，屬于容易題.

12.設函數(shù)?r)=x(eX+ae-')(xeR)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為.

參考答案:

-1

13.若向量工=（L2）.，=（L1）則與G夾角的余弦值等于_____

參考答案：

3而

~16~

【分析】

利用坐標運算求得2石?5；根據(jù)平面向量夾角公式可求得結(jié)果.

丁一（2a*i）a3+63廂

【詳解廣曲“（3.3）—瓦…同甲爾年

3瓶

本題正確結(jié)果：1T

【點睛】本題考查向量夾角的求解，明確向量夾角的余弦值等于向量的數(shù)量積除以兩向量

模長的乘積.

14.已知正方體ABCD-AmGDi中,E為G功的中點，則異面直線AE與BC所成角的

余弦值為

參考答案:

2

3

法1：本題主要考查了異面直線所成角的問題，是中等難度題目。

取中點F,連接EF,則乙4EF即為所求

的二面角，連接必,"咕=90*,

EF=LAE=-

設正方體棱長為1,則2,

2

cos&EF=2

3.

:法2：以A點為原點，以AB、AD、兒與所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間

直角坐標系，設正方體的棱長為3,則有A(O,(),O),E(3,0,1),F(1,1,2),

(3x+z-0

俞=(U2),設面AEF的法向量為0(2㈤，則&+北4-0,解

.——3

-A-COfC",%>一^

得1二,一一，面ABC的法向量為?二二川』」，則VH,

——戊>/2

tan<nn.).-------------

3,故面的與面ABC的所成角的平面角正切值為3.

15.(文科)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax?+(a+2)x+1相切，則

(理科)曲線y=(與y=x所圍成的封閉圖形的面積為

參考答案：

1

文8；理包

【考點】極限及其運算；導數(shù)的幾何意義；定積分.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合法；導數(shù)的概念及應用.

【分析】(文科)先運用導數(shù)求切線的斜率，得到切線方程，再根據(jù)該直線與拋物線相

切，由△=()解出a；

(理科)先求出兩曲線的交點，得到積分的上，下限，再用定積分求面積.

【解答】解：(文科)y'=l+T1=1=2,即切線的斜率為2,

根據(jù)點斜式，求得切線方程為y=2x-1,

該直線又與拋物線y=ax?+(a+2)x+1相切(aWO),

聯(lián)立得,ax2+(a+2)x+l=2x-1,

整理得，ax2+ax+2=0,

由△=()解得a=8(舍a=O),

故答案為：8.

(2

,尸x

(理科)聯(lián)立方程廠x解得x=O或x=l,

兩曲線圍成的面積根據(jù)定積分得，

S=x-6GT)運聲-/3周,

故答案為：6|.

【點評】本題主要考查了導數(shù)的簡單應用和定積分的應用，屬于基礎題.

16.(6分)設函數(shù)f(x)=2sin(JTX),若存在x°CR,使得對任意的xGR,都有f

(x)Wf(x0)成立.則關于m的不等式而+m-f(x0)>0的解為.

參考答案：

{m|m<-2,m>1}

考點：正弦函數(shù)的奇偶性.

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

分析：由題意可得f(xo)=2,關于m的不等式m'+m-f(x0)>0,即m'+m-2>0,由此

求得m的范圍.

解答：解：由題意可得f(X。)為f(x)的最大值，故f(X。)=2.

關于ni的不等式m'+m-f(xo)>0,即m'+m-2>0,

求得m<-2,m>l,

故答案為：｛m|m<-2,m>l｝.

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的最大值，一元二次不等式的解法，屬于基礎題.

2

17.數(shù)列｛““｝是公比為3的等比數(shù)列，｛4｝是首項為12的等差數(shù)列.現(xiàn)已知a>b,

且aQbm則以下結(jié)論中一定成立的是.(請?zhí)顚懰姓_選項的序

號)

14%<°；②*0>°；③④■>%.

參考答案：

_2

【答案解析】①③解析：解：因為數(shù)列｛%>是公比為一號的等比數(shù)列，所以

3

afaw=0,||<0

\3)①成立;而④”9>如),只有當例為正數(shù)才成立，不一定成立；又

因為｛砧是首項為12的等差數(shù)列為>原/。>耳，所以依｝是遞減數(shù)列，③成立，當公

差很小時②不成立，所以答案為①③

【思路點撥】根據(jù)數(shù)列的概念進行分析.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(13分)已知數(shù)列｛an｝、｛bn｝滿足ai=l,a2=3,口，bn=an+i-an.

(1)求數(shù)列｛bj的通項公式；

(2)求數(shù)列｛aj的通項公式；

*岡

(3)數(shù)列&｝滿足Cn=hg2(an+l)(nGN)，求」

參考答案：

【考點】：數(shù)列的應用.

【專題】：計算題.

【分析】：(1)由題意可知數(shù)列｛bj是首項b1=2,公比q=2的等比數(shù)列.故

nln

bn=biq-=2.

(2)由an+i-an=2"(nCN*)可知an=(an-an-,)+(an-i-an-2)+…+(a2-ai)

+ai，由此能夠求出數(shù)列｛a0｝的通項公式.

(3)根據(jù)題意，可知3,由此能夠求出答案.

解：(1):山，又bi=a2-ai=3-1=2.

所以數(shù)列｛卜｝是首項bl=2,公比q=2的等比數(shù)列.故bn=bd'=2n

n

(2)an+i-an=2(nGN*)

ra

=-

an(anan-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-ai)+ai=.

nn

(3)Cn=log2(an+l)=log2(2-1+1)=log22=n,(nGN*),

...a

...s=s=0

【點評】：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，具有一定的難度，解題時要注意公式的

合理選用.

19.(本小題滿分14分)

士+士區(qū)■先.

已知橢圓標1(a>b>0)，點P('J)在橢圓上。

(I)求橢圓的離心率。

(II)設A為橢圓的右頂點，0為坐標原點，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|求直

線。6的斜率的值。

參考答案：

<1)M：im/'(—a.s'uiAL.以：?:I.,；丹.

523.caR

由以裾次力—=、：

u*/N4

(n)解：設在線w的i;i力人則「方火力v?h的"

%=K

由條件將x-y-消去先井整理得

—+7T0I.

b&

由|A0|=|TO|,及為=乜.得(％+a)??公X：=",整理得

;

(l+*)x；*2ar0?0,而故5=丁*，代入①,整理得:4公4.

Ill(I)?l(l+i;)：-7*；+4,即5*'-2”：-15?0,可得*：=5.

所以￡1線。(?的斜率后==4.

20.(本小題12分)如圖所示，在棱長為2的正方體力員力~44。1。1中，￡,尸分別

為棱4。】和uc】的中點.

(1)求異面直線EF與工5所成角的正弦值；

(2)在棱3星上是否存在一點F,使得二面角尸8的大小為3(7?若存

在，求出3P的長，若不存在，請說明理由.

餌

參考答案:

(1)以D為原點，分別以Q4℃、所在直線

為x，y，z軸建立空間直角坐標系

由已知得D(0.0.0),A2.0.0),8(220).C(020).4(2,2.2).

E(1,0②尸(0,2Q,

v￡F=(-1,2-1),AS=(0,2,0)

/茲樂至4n

"毗M=加=荻。

故異面直線EP與48所成角的正弦值為36分

(2)假設存在點R2,2Q(0<t42)滿足題意

『而=0

<

設平面47尸的法向量為“=3.乂z),則[附AP=0

-2x+21y=02

-：AP=(0.2.t),AC=(-Z2,Q)[2y+iz=0取了=1則，=入~7

■'n易知平面45c的一個法向量為班1=(0.0.2)

由圖，二面角F-AC-8為班]與]夾角的補角，

設與1夾角為8,則8=150\

網(wǎng)Fl2x『+l、(-922

由0勺42解得一-F

瓜

BP=2_

故存在一點尸，當‘3時，二面角產(chǎn)一4C-8的大小為3(r..12

分

21.(本題滿分15分)如圖，在側(cè)棱錐垂直底面的四棱錐ABCD-AiBiCiDi中，

AD〃BC,AD1AB,AB=0。AD=2,BC=4,AAi=2,E是DDi的中點，F(xiàn)是平

面BiCiE與直線AAi的交點。

(1)證明：⑴EF//A1D1；

(ii)BAi_L平面BiCiEF；

(2)求BCi與平面BiCiEF所成的角的正弦值。

參考答案：

(1)⑴因為Cl3]C平面ADD]Ai,所以「血”平面ADDiAi.

又因為平面4G圖n平面ADD1AI=RF,所以5%"即.所以AR"EF

(ii)因為34_L451G4，所以■&G,

又因為J■44,所以瑪G，/5耳4,

jr.njtanZA5.F=tan^AAB=—

在矩形M3]4中，F(xiàn)是AA的中點，即2.即

=故“工用匕

所以34,平面4