空間向量與立體幾何高二數(shù)學練習和分類專題教案

第一章空間向量與立體幾何本章達標檢測試卷(總分值:150分；時間:120分鐘)一、單項選擇題(本大題共8小題,每題5分,共40分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的)1.在空間直角坐標系中,點P(-2,1,4)關(guān)于x軸的對稱點的坐標是()A.(-2,1,-4) B.(-2,-1,-4)C.(2,-1,4) D.(2,1,-4)2.a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),那么()A.x=13,y=1 B.x=1C.x=2,y=-143.在以下條件中,點M與A、B、C一定共面的是()A.OM=2OA-OB-OCB.OM=15OA+1C.MA+MB+MC=0D.OM+OA+OB+OC=04.如下圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c,M是A1D1的中點,點N是CA1上的點,且CN∶NA1=1∶4,用a,b,c表示向量MN的結(jié)果是(A.12a+b+c B.15a+15C.15a-310b-15c D.45a+5.向量a=(2,1,x),b=(2,y,-1),假設|a|=5,且a⊥b,那么x+y的值為()A.-1 B.1 C.-4 D.46.給出以下命題,其中正確的選項是()A.直線l的方向向量為a=(1,-1,2),直線m的方向向量為b=2,1,-12,那么B.直線l的方向向量為a=(0,1,-1),平面α的法向量為n=(1,-1,-1),那么l⊥αC.平面α、β的法向量分別為n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),那么α∥βD.平面α經(jīng)過三個點A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,那么u+t=17.長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,那么異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.15 B.C.55 D.8.在棱長為2的正四面體ABCD中,點M滿足AM=xAB+yAC-(x-y-1)AD,點N滿足BN=λBA+(1-λ)BC,當AM、BN最短時,AM·MN=()A.-43 B.43 C.-1二、多項選擇題(本大題共4小題,每題5分,共20分.在每題給出的選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,局部選對的得3分,有選錯的得0分)9.給出以下命題,其中正確的有()A.空間任意三個向量都可以作為一個基底B.向量a∥b,那么a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底C.A,B,M,N是空間中的四個點,假設BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個基底,那么A,B,M,N共面D.{a,b,c}是空間的一個基底,假設m=a+c,那么{a,b,m}也是空間的一個基底10.設幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,以下結(jié)論正確的有()A.AB·C1AB.AB·A1C1=C.BC·A1DD.AB·C1A11.正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,以下結(jié)論正確的有()A.AD與BC所成的角為30°B.AC與BD所成的角為90°C.BC與面ACD所成角的正弦值為3D.平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是212.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點,那么()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為9D.點C和點G到平面AEF的距離相等三、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分.將答案填在題中橫線上)13.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,那么AD1·AC=,|AC1|=.(此題第一空3分,14.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,PA=AB,點M為PA的中點,BD=λBN.假設MN⊥AD,那么實數(shù)λ=.

15.如圖,在棱長為2的正方體中,點P在正方體的體對角線AB上,點Q在正方體的棱CD上,假設P,Q均為動點,那么PQ的最小值為.

16.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BAD=60°,PB=2,PA=PD,當直線PB與底面ABCD所成角為30°時,平面PCD與平面ACD的夾角的正弦值為.

四、解答題(本大題共6小題,共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題總分值10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N、R分別是AB、PC、CD的中點.求證:(1)直線AR∥平面PMC；(2)直線MN⊥直線AB.(用向量方法)18.(本小題總分值12分)在①∠PAB=60°；②PA⊥PB；③∠PAB=120°這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,假設問題中的λ存在,求出λ的值；假設λ不存在,請說明理由.等腰三角形PAB和正方形ABCD,,AB=1,平面PAB⊥平面ABCD,是否存在點E,滿足PE=λPC,使直線DE與平面PBC所成角為60°？

注:如果選擇多個條件并分別解答,按第一個解答計分.19.(本小題總分值12分)如下圖的多面體是由底面為ABCD的長方體被面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長；(2)求點C到平面AEC1F的距離.20.(本小題總分值12分)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO⊥平面ABC；(2)假設點M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.21.(本小題總分值12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=2CD=2,△ADP為等邊三角形.(1)當PB的長為多少時,平面PAD⊥平面ABCD？并說明理由；(2)假設二面角P-AD-B的大小為150°,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.22.(本小題總分值12分)如圖,在四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,△SAD是等邊三角形,平面SAD⊥平面ABCD,AB=1,E為棱SA上一點,P為棱AD的中點,四棱錐S-ABCD的體積為23(1)假設E為棱SA的中點,F是SB的中點,求證:平面PEF∥平面SCD；(2)是否存在點E,使得平面PEB與平面SAD的夾角的余弦值為3010？假設存在,確定點E的位置；假設不存在,請說明理由答案全解全析一、單項選擇題1.B關(guān)于x軸對稱的點橫坐標相等,縱坐標和豎坐標相反,應選B.2.B由題意可得,a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).∵(a+2b)∥(2a-b),∴?λ∈R,使a+2b=λ(2a-b),得1+2x=λ(2-3.C對于A,MA+MB+MC=OA-OM+OB-OM+OC-OM=OA+OB+OC-3OM≠0,所以點M、A、B、C不共面；對于B,∵15+13+12≠1,∴點M、A、B對于C,由MA+MB+MC=0,得MA=-MB-MC,由共面向量定理知,MA,MB,MC為共面向量,∴點M、A、B、C共面；對于D,由OM+OA+OB+OC=0,得OM=-(OA+OB+OC),系數(shù)和不為1,∴點M、A、B、C不共面.應選C.4.D由題意可得,MN=AN-AM=15AA1+45∵AC=a+b,AD∴MN=45a+310b-455.C∵|a|=5,∴4+1+x2=5,解得x=0.由a⊥b,得a·b=4+y-x=0,解得y=-4,∴x+y=-4,應選C.6.A對于A,∵a·b=2-1-1=0,∴a⊥b,∴l(xiāng)與m垂直,A正確；對于B,∵a與n不共線,∴直線l不垂直平面α,B錯誤；對于C,∵n1與n2不共線,∴平面α與平面β不平行,C錯誤；對于D,AB=(-1,-1,1),BC=(-1,3,0),由n·AB=-1-u+t=0,n·BC=-1+3u=0,解得u=13,t=43,∴u+t=53應選A.7.C如圖,建立空間直角坐標系,那么A(1,0,0),D(0,0,0),B1(1,1,3),D1(0,0,3),所以AD1=(-1,0,3),DBcos<AD1,DB1>=AD所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55,應選8.A由共面向量定理和共線向量定理可知,M∈平面BCD,N∈直線AC,當AM、BN最短時,AM⊥平面BCD,BN⊥AC,所以M為△BCD的中心,N為AC的中點,此時,2|MC|=2sin60°=433,∴|∵AM⊥平面BCD,MC?平面BCD,∴AM⊥MC,∴|MA|=|=22-2又MN=12(MC+MA∴AM·MN=12(AM·MC+AM·MA=-12|MA|2=-43.解題反思此題考查空間向量數(shù)量積的計算,同時也涉及了利用共面向量和共線向量定理來判斷四點共面和三點共線,確定動點的位置是解題的關(guān)鍵,也考查了計算能力.二、多項選擇題9.BCD選項A中,根據(jù)基底的概念,知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底,故A錯誤.選項B中,根據(jù)基底的概念,知B正確.選項C中,由BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個基底,知BA,BM,BN共面.又BA,BM,BN均過點B,所以A,B,M,N四點共面,故C正確.選項D中,{a,b,c}是空間的一個基底,那么基向量a,b可以與向量m=a+c構(gòu)成空間的另一個基底,故D正確.應選BCD.解題反思判斷一組向量能否作為空間的一個基底,實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面,假設不共面,就可以作為一個基底,此題各選項中判斷給出的向量是否共面是關(guān)鍵.10.AC如圖,建立空間直角坐標系,那么A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A1(0,0,a),C1(a,a,a),∴AB=(a,0,0),BC=(0,a,0),A1C1=(a,a,0),A1D∴AB·C1A=-a2,AB·A1C1=a2,BC·A1D=a2,AB11.BD取BD的中點O,連接AO,CO,∵正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,∴以O為原點,OC所在直線為x軸,OD所在直線為y軸,OA所在直線為z軸,建立如下圖的空間直角坐標系,設OC=1,那么A(0,0,1),B(0,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),∴BA=(0,1,1),AD=(0,1,-1),BC=(1,1,0),AC=(1,0,-1),BD=(0,2,0).∵cos<AD·BC>=AD·BC|AD|∴異面直線AD與BC所成的角為60°,故A錯誤；∵AC·BD=0,∴AC⊥BD,故B正確；設平面ACD的法向量為t=(x,y,z),那么t·AC=x-z=0,t設BC與面ACD所成角為θ,那么sinθ=|cos<BC,t>|=|BC·t||BC|·易知平面BCD的一個法向量為n=(0,0,1),設平面ABC的法向量為m=(x',y',z'),那么m·BA得y'=-1,z'=1,∴m=(1,-1,1),設兩個平面的夾角為α,那么cosα=|cos<m,n>|=|m·n∴sin<m,n>=63,∴tan<m,n>=2∴平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是2,故D正確.應選BD.12.BC對于選項A,(解法一)以D點為坐標原點,DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,那么D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),E12,1,0,F0,1,12,G從而DD1=(0,0,1),AF=從而DD1·AF=12≠0,所以直線DD1與直線AF不垂直,(解法二)取DD1的中點N,連接AN,那么AN為直線AF在平面ADD1A1內(nèi)的投影,AN與DD1不垂直,從而AF與DD1也不垂直,應選項A錯誤；對于選項B,A1G=0,1,-12,AE=-設A1G=xAE+y那么0=-12x-y,1=x+y,-12=12y,解得x=2,y=∴直線A1G與平面AEF平行,應選項B正確；對于選項C,連接AD1,D1F,延長AE,D1F,交DC的延長線于點H,易知四邊形AEFD1為平面AEF截正方體所得的截面四邊形(如下圖),且D1H=AH=5,AD1=2,所以S△AD1H=12×所以S四邊形AEFD1=34S對于選項D,(解法一)由題意得,S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=12×1+12×12-12×1S△ECF=12×12×12∵VA-GEF=13S△GEF·VA-ECF=13S△ECF·∴VA-GEF=2VA-ECF,即VG-AEF=2VC-AEF,點G到平面AEF的距離為點C到平面AEF的距離的二倍,故D錯誤；(解法二)假設點C與點G到平面AEF的距離相等,即平面AEF將CG平分,那么平面AEF必過CG的中點,連接CG,交EF于點O,易知O不是CG的中點,所以假設不成立,應選項D錯誤.三、填空題13.答案3；10解析設AB=a,AD=b,AA那么由題意得|a|=1,|b|=1,|c|=2,a·b=0,a·c=1,b·c=1,∴AD1·AC=(b+c)=b·a+b2+c·a+c·b=0+1+1+1=3,|AC=a=1+1+4+2+2+0=10.14.答案4解析連接AC,交BD于點O,連接OP,以O為原點,OA所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,設PA=AB=2,那么A(2,0,0),D(0,-2,0),M22,0,22,B(0,2,0),∴BD=(0,-22,0),AD=(-設N(0,b,0),那么BN=(0,b-2,0).∵BD=λBN,∴-22=λ(b-2),∴b=2λ-22λ∴MN=-2∵MN⊥AD,∴MN·AD=1-2λ-4λ15.答案2解析因為P,Q分別為AB,CD上的動點,所以PQ的最小值即異面直線AB,CD間的距離.如圖,建立空間直角坐標系,那么A(2,2,0),B(0,0,2),C(0,2,0),D(0,2,2),∴AB=(-2,-2,2),CD=(0,0,2),AC=(-2,0,0),設n=(x,y,z)是異面直線AB與CD的公垂線的方向向量,那么n令y=1,得x=-1,z=0,∴n=(-1,1,0)是異面直線AB與CD的公垂線的方向向量,設異面直線AB,CD間的距離為d,那么d=|AC·n||n|=2216.答案1解析解法一(傳統(tǒng)幾何法):取AD的中點E,連接BE并延長,過P作PF⊥BE于點F,∵PA=PD,∴PE⊥AD,又∵BE⊥AD(證明略:△ABE為常見的一個角為60°的直角三角形),∴AD⊥面PEB(即面PFB),故PF⊥AD,又PF⊥BF,∴PF⊥面ABCD,且直線PB與底面ABCD所成角為∠PBF,可得PF=2sin30°=1,BE=AB2-AE2對于△PBE,PE2=PB2+BE2-2PB·BE·cos∠PBE,解得PE=72在△PEF中,利用勾股定理可得EF=32,與BE長度相同,所以點F在CD的延長線上,所以面PCF與面ABCD垂直,故平面PCD與平面ACD的夾角為90°,正弦值為解法二(空間向量法):如圖,以點B為坐標原點,建立空間直角坐標系,那么B(0,0,0),A(1,0,0),C-12,32,0,D12設點P(x,y,z),又PB與底面ABCD所成角為30°,那么z=|PB|·sin30°=1,由PB=2,PA=PD得,x解得x=32,y故點P32,32,1,所以點P在CD正上方,即面PCD與面ABCD垂直,故平面PCD與平面ACD的夾角為四、解答題17.證明如圖,建立空間直角坐標系,設AB=a,AD=b,AP=c,那么A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),Ma2,0,0,Na2,b2,c2,Ra(1)∵AR=a2,b,0,MC=a2,b,0,∴AR=MC,∴AR又AR?平面PMC,MC?平面PMC,∴直線AR∥平面PMC.(6分)(2)∵MN=0,b2,c2∴AB·MN=0,∴MN⊥AB.(10分)18.解析假設選①,那么三角形PAB為等邊三角形,取AB的中點O,連接PO,那么PO⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,以O為原點,直線AB為x軸,直線OP為z軸,建立如下圖的空間直角坐標系,那么B12,0,0,C12,1,0,D-1∴DP=12,-1,32,PB=12∴DE=DP+PE=DP+λPC=12,-1,3=12+1設a=(x1,y1,z1)是平面PBC的法向量,那么PB令z1=1,得x1=3,y1=0,∴a=(3,0,1)是平面PBC的一個法向量,(8分)由直線DE與平面PBC所成角為60°,得|cos<DE,a>|=32即322λ∴2λ2-3λ+1=0,解得λ=12或λ=1,(11分∴存在點E與C重合,即λ=1時滿足條件,或點E為PC中點,即λ=12時滿足條件.(12分假設選②,那么三角形PAB為等腰直角三角形,取AB的中點O,連接PO,那么PO⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,以O為原點,直線AB為x軸,直線OP為z軸,建立如下圖的空間直角坐標系,那么B12,0,0,C12,1,0,D-12,1,0,P0,0,∴PB=12,0,-12,PC=12,1,-12,∴DE=DP+PE=DP+λPC=12,-1,1=12+1設b=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,那么PB令z2=1,得x2=1,y2=0,∴b=(1,0,1)是平面PBC的一個法向量,(8分)由直線DE與平面PBC所成角為60°,得|cos<DE,b>|=32即12×3∴9λ2-12λ+5=0,(10分)∵Δ=144-180<0,∴方程無解,(11分)即不存在λ,滿足PE=λPC,使直線DE與平面PBC所成角為60°.(12分)假設選③,那么PA=AB,過點P作PO⊥AB,垂足為O,又平面PAB⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,以O為原點,直線AB為x軸,直線OP為z軸,建立如下圖的空間直角坐標系,(3分)那么B32,0,0,C32,1,0,D12,1,0,P0,0,∴PB=32,0,-32,PC=32∴DE=DP+PE=DP+λPC=-12,-1,=-12+設n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,那么PB·n=令x=1,得z=3,y=0,∴n=(1,0,3)是平面PBC的一個法向量,(8分)由直線DE與平面PBC所成角為60°,得|cos<DE,n>|=32即124λ∴12λ2-15λ+5=0,(10分)∵Δ=225-240<0,∴方程無解,(11分)即不存在λ,滿足PE=λPC,使直線DE與平面PBC所成角為60°.(12分)19.解析(1)建立如下圖的空間直角坐標系,那么A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),B(2,4,0),(2分)設F(0,0,z),∵四邊形AEC1F為平行四邊形,∴AF=EC1,∴z=2,∴F(0,0,2),∴BF=(-2,-4,2).(4分)于是|BF|=26,即BF的長為26.(6分)(2)設n=(x,y,z)為平面AEC1F的法向量,(7分)那么n·AE令y=-14,得x=1,z=1,那么n=1,-14,1.(10分)由(1)知CC∴點C到平面AEC1F的距離d=|CC1·n||20.解析(1)證明:因為AP=CP=AC=4,O為AC的中點,所以OP⊥AC,且OP=23.連接OB.(1分)因為AB=BC=22AC,所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=12AC=2.(2由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.(3分)由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O知PO⊥平面ABC.(4分)(2)如圖,以O為坐標原點,OB的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系Oxyz.(5分)由題意得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),∴AP=(0,2,23).易得平面PAC的一個法向量為OB=(2,0,0).設M(a,2-a,0)(0<a≤2),那么AM=(a,4-a,0).(7分)設平面PAM的法向量為n=(x,y,z).由AP·n=0,AM·n=0,得2y+23可取n=(3(a-4),3a,-a),所以cos<OB,n>=23由可得|cos<OB,n>|=32,(9分所以23|a-4|2解得a=-4(舍去)或a=43所以n=-833又PC=(0,2,-23),所以cos<PC,n>=34.(11分所以PC與平面PAM所成角的正弦值為34.(12分21.解析(1)當PB=22時,平面PAD⊥平面ABCD.(1分)理由如下:在△PAB中,因為AB=PA=2,PB=22,所以AB⊥PA,(2分)又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,(3分)又AB?平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.(4分)(2)分別取線段AD,BC的中點O,E,連接PO,OE,