初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《實(shí)際問題與二元一次方程組》教學(xué)設(shè)計(jì)

《實(shí)際問題與二元一次方程組》教學(xué)設(shè)計(jì)（5）一、教學(xué)設(shè)計(jì)說明本節(jié)主要內(nèi)容是用二元一次方程組解決實(shí)際問題。例題分析與講解時(shí)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，為學(xué)生構(gòu)造恰當(dāng)?shù)奶剿鳌⒀芯?、交流的空間，老師不能代替學(xué)生思維，而是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)“逐步抽象”，將實(shí)際情景中的數(shù)量關(guān)系抽象出來，使學(xué)生分析問題和解決問題的能力通過這一具體化的途徑得以提高，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)。最后通過反饋練習(xí)，檢查學(xué)生掌握知識(shí)的情況，以便有針對(duì)性地進(jìn)行差漏補(bǔ)缺。（一）教材分析本章主要內(nèi)容有：二元一次方程組及其解的概念，利用二元一次方程組分析與解決實(shí)際問題，消元思想和代入法、加減法解二元一次方程組，三元一次方程組解法舉例。本節(jié)讓學(xué)生能夠找出實(shí)際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程組。學(xué)會(huì)開放性的尋求設(shè)計(jì)方案，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，體會(huì)二元一次方程組的應(yīng)用價(jià)值。（二）學(xué)情分析學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在熟悉一元一次方程的前提下學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，雖然列出二元一次方程組比列出一元一次方程較為容易，但由于二元一次方程組中出現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)，解法步驟也增加了“消元”和“回代”，更強(qiáng)調(diào)了未知向已知轉(zhuǎn)化中算法程序化思想，如何解決方程組成為新問題，并且本章中的實(shí)際問題中未知數(shù)多，數(shù)量關(guān)系復(fù)雜。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探究精神，創(chuàng)設(shè)豐富多彩的問題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，注意鼓勵(lì)學(xué)生積極探究，當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)啟發(fā)引導(dǎo)，設(shè)計(jì)必要的鋪墊，讓學(xué)生在經(jīng)過自己的努力來克服困難的過程中體驗(yàn)如何探究，而不是替代他們的思考，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，使探究過程活躍起來，在這樣的氛圍中可以更好的激發(fā)學(xué)生積極思維，得到更大的收獲。二、教學(xué)目標(biāo)1.能夠找出實(shí)際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析他們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程組。2.學(xué)會(huì)開放性的尋求設(shè)計(jì)方案，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，體會(huì)二元一次方程組的應(yīng)用價(jià)值。3.在探究學(xué)習(xí)中培養(yǎng)獨(dú)立思考、自主探究的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷和探究用方程組解決實(shí)際問題的過程，找出等量關(guān)系建立方程組模型。難點(diǎn)：分析、理解題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，列出二元一次方程組。用方程組刻畫和解決實(shí)際問題的過程。關(guān)鍵：給出適當(dāng)?shù)膹?fù)習(xí)內(nèi)容為后面的問題探究作鋪墊，創(chuàng)設(shè)問題逐步引導(dǎo)學(xué)生解決問題的合理思路，維持學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。四、課時(shí)設(shè)計(jì)三課時(shí)。五、教學(xué)策略認(rèn)真分析問題中的數(shù)量關(guān)系，把問題中的數(shù)量關(guān)系，找出基本等量關(guān)系和列出方程組的兩個(gè)等量關(guān)系。六、教學(xué)過程（一）舊知鞏固，引入新知學(xué)生活動(dòng)：問題1解方程組問題227頭大牛一天吃飼料538千克，李明估計(jì)9頭大牛一天吃飼料170～175千克，你也試著估計(jì)9頭大牛一天吃飼料多少千克？并通過計(jì)算檢驗(yàn)李明的估計(jì)以及你的估計(jì)。答案：問題1x=1y=1問題2kg。解：538÷3=，李明的估計(jì)偏低。老師點(diǎn)評(píng)并估算有它的方便、實(shí)用等實(shí)際價(jià)值，但估算通常會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，通過精算可以對(duì)估算進(jìn)行檢驗(yàn)。【設(shè)計(jì)意圖】鞏固方程組的解題方法，體會(huì)如何估算，以及用精算來驗(yàn)證估算。引入對(duì)簡單情境問題進(jìn)行估算，降低后面問題的難度，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)探索熱情，營造學(xué)習(xí)氣氛。探索新知探究活動(dòng)一：養(yǎng)牛場(chǎng)原有30只母牛和15只小牛,1天約需用飼料675kg；一周后又購進(jìn)12只母牛和5只小牛,這時(shí)1天約需用飼料940kg。飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)平均每只母牛1天約需飼料18～20kg,每只小牛1天約需飼料7～8kg。你能否通過計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)？師生互動(dòng)：要檢驗(yàn)每頭大牛以及每頭小牛1天所需飼料，就需要通過精算得出每頭大牛和每頭小牛1天所需飼料值。找出問題中的兩個(gè)等量關(guān)系，列出二元一次方程組，解方程組，得出解，檢驗(yàn)估計(jì)值。【設(shè)計(jì)意圖】繼續(xù)培養(yǎng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力，會(huì)找等量關(guān)系，結(jié)合實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在對(duì)飼料估計(jì)的檢驗(yàn)過程中，讓學(xué)生對(duì)實(shí)際生活有更深的了解，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，體會(huì)生活的問題可以用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決，即數(shù)學(xué)無處不在。探究活動(dòng)二：1.動(dòng)手試一試：如何把下面這個(gè)長方形分為面積比為3：4的兩個(gè)長方形？問：為什么在長或?qū)捝掀叩确?，一邊?份，一邊取4份就能使長方形的面積比為3：4？2.動(dòng)腦想一想：（1）在面積比為3：4的兩塊長方形土地上分別種植單位面積產(chǎn)量比為1：1的甲乙兩種作物，甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比為多少？（2）在面積比為3：4的兩塊長方形土地上分別種植單位面積產(chǎn)量比為1：1.5的甲乙兩種作物，甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量比為多少？師生互動(dòng)：老師提出問題，學(xué)生小組討論，把設(shè)計(jì)方案畫在紙板上。鼓勵(lì)學(xué)生多角度出發(fā)，展示學(xué)生的不同分法，并讓學(xué)生表達(dá)出來。引導(dǎo)學(xué)生找出：總產(chǎn)量=單位面積產(chǎn)量╳面積。教師應(yīng)關(guān)注：(1)學(xué)生能否多角度考慮問題。(2)學(xué)生能否表達(dá)出自己的意見。(3)學(xué)生能否理解題意，是否對(duì)這樣的問題感興趣并積極參與討論。學(xué)生是否能夠認(rèn)真傾聽別人的見解，從中獲取知識(shí)?！驹O(shè)計(jì)意圖】動(dòng)手試一試是為了突破等高問題，簡化后面的活動(dòng)3的列方程。動(dòng)腦想一想是為了突破尋求等量關(guān)系這個(gè)難點(diǎn)。探究活動(dòng)三：據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)資料，甲,乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:1.5，現(xiàn)要在一塊200m，寬100m的長方形土地上種植這兩種作物，怎樣把這塊地分為兩個(gè)長方形，使甲乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4？(結(jié)果取整數(shù))問：這兩塊地怎樣分？滿足什么條件？師生互動(dòng)：老師提出問題，學(xué)生分小組討論。展示學(xué)生不同分割方法的解題過程。教師應(yīng)關(guān)注：(1)學(xué)生能否理清題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。(2)學(xué)生能否很快找出題目中的等量關(guān)系并列出方程組?！驹O(shè)計(jì)意圖】提出開放性問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。使學(xué)生在解決問題的過程中體會(huì)到解決問題是可以有不同策略的。（二）運(yùn)用新知，加深理解例1．甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行，1小時(shí)20分相遇.。相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī).。這時(shí)，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？思路點(diǎn)撥：畫直線型示意圖理解題意：(1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：①汽車的行程；②拖拉機(jī)的行程。(2)有兩個(gè)等量關(guān)系：①相向而行：汽車行駛小時(shí)的路程＋拖拉機(jī)行駛小時(shí)的路程＝160千米;②同向而行：汽車行駛0.5小時(shí)的路程＝拖拉機(jī)行駛1.5小時(shí)的路程。解：設(shè)汽車的速度為每小時(shí)行x千米，拖拉機(jī)的速度為每小時(shí)y千米。根據(jù)題意，列方程組解這個(gè)方程組，得:答：汽車行駛了165千米，拖拉機(jī)行駛了85千米。例2．一家商店要進(jìn)行裝修，若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店所付費(fèi)用最少？

思路點(diǎn)撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個(gè)等式，第一層含義：若請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；第二層含義：若先請(qǐng)甲組單獨(dú)做6天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元。設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480。解：(1)設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，依題意得：解得答：甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付140元。(2)單獨(dú)請(qǐng)甲組做，需付款300×12＝3600元，單獨(dú)請(qǐng)乙組做，需付款24×140＝3360元，故請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少。答：請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少。例3．有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%，乙商品的利潤率為4%，共可獲利46元。價(jià)格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤＝進(jìn)價(jià)×利潤率解：甲商品的進(jìn)價(jià)為x元，乙商品的進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：，解得：答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為600元和400元。例4．某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個(gè)或衣袖5只?，F(xiàn)計(jì)劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路點(diǎn)撥：本題的第一個(gè)相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了)。解：設(shè)用x米布料做衣身，用y米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套。例5．如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個(gè)長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。解：設(shè)長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。例6．某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場(chǎng)上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元。當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對(duì)蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸。但兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行。受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；方案二：盡可能多的對(duì)蔬菜進(jìn)行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場(chǎng)上直接銷售；方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15天完成你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多？為什么？思路點(diǎn)撥：如何對(duì)蔬菜進(jìn)行加工，獲利最大，是生產(chǎn)經(jīng)營者一直思考的問題.本題正是基于這一點(diǎn)，對(duì)綠色蔬菜的精、粗加工制定了三種可行方案，供同學(xué)們自助探索，互相交流，嘗試解決，并在探索和解決問題的過程中，體會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的樂趣。解：方案一獲利為：4500×140=630000(元)。方案二獲利為：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元)。方案三獲利如下：設(shè)將x噸蔬菜進(jìn)行精加工，y噸蔬菜進(jìn)行粗加工，則根據(jù)題意，得：所以方案三獲利為：7500×60+4500×80=810000(元).因?yàn)?30000＜725000＜810000，所以選擇方案三獲利最多。答：方案三獲利最多，最多為810000元。學(xué)生獨(dú)立思考、獨(dú)立解題。教師巡視、指導(dǎo)，并選取兩名學(xué)生上臺(tái)書寫解答過程（或用投影儀展示學(xué)生的解答過程）【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明確實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題關(guān)鍵是找出問題中的相等關(guān)系，列出二元一次方程組，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，從而體會(huì)方程組的應(yīng)用值。（三）課堂總結(jié)1.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么知識(shí)？2.你是用什么方法學(xué)好這些知識(shí)的？3.你覺得你這節(jié)課的表現(xiàn)如何？教師引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)，學(xué)生反思學(xué)習(xí)和解決問題的過程。學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，教師批改、總結(jié)。【設(shè)計(jì)意圖】通過歸納總結(jié)，使學(xué)生優(yōu)化概念，內(nèi)化知識(shí)。（四）課后作業(yè)1.甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？2.李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？3.現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？4.用長48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？5.某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為：甲種每臺(tái)1500元，乙種每臺(tái)2100元，丙種每臺(tái)2500元。(1)若商場(chǎng)同時(shí)購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電視機(jī)50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)你研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案；(2)若商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲、乙、丙電視機(jī)分別可獲利150元、200元、250元，在以上的方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？

參考答案1.解：設(shè)甲、乙兩人每小時(shí)分別行走x千米、y千米。根據(jù)題意可得：答：甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走3.6千米。2.解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了x畝，乙種蔬菜種植了y畝，則：答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝。3.解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子。4.解：設(shè)長方形的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：所以正方形的邊長為：9+3=12厘米，正方形的面積為：12×12=144厘米2長方形的面積為：15×9=135厘米2答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米2。5.解：(1)分情況計(jì)算：設(shè)購進(jìn)甲種電視機(jī)x臺(tái)，乙種電視機(jī)y臺(tái)，丙種電視機(jī)z臺(tái)。

①若購進(jìn)甲、乙兩種電視