2023年北京重點(diǎn)大學(xué)附中中考數(shù)學(xué)零模試卷及參考答案

2023年北京重點(diǎn)大學(xué)附中中考數(shù)學(xué)零模試卷

一、選擇題

1.（3分）下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

B.

2.（3分）北京冬奧村是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)、冬殘奧會(huì)最大的非競(jìng)賽類場(chǎng)館之一，總

建筑面積約38.66萬(wàn)平方米.其中38.66萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.0.3866X106B.3.9X105C.3.866X105D.38.66X104

3.（3分）如圖是一個(gè)由5個(gè)小正方體和1個(gè)圓錐組成的立體圖形，這個(gè)立體圖形的主視圖

是（）

正面

△

4.（3分）如圖，在。。中，AO是直徑，/ABC=35°,則/。。等于（）

A.75°B.65°C.55°D.45°

5.（3分）學(xué)校組織春游，安排給九年級(jí)三輛車，小明和小慧都可以從這三輛車中任選輛乘

坐，小明和小慧乘坐同一輛車的概率是（）

1

A.AB.AC.2D.A

2399

6.（3分）如果a=?-l，那么代數(shù)式（1+1、a?的值為（）

2

a-1-a-i

A.3B.V3C.近D.V3-2

3

7.（3分）如圖是30名學(xué)生A,8兩門課程成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖，若記這30名學(xué)生A課程成績(jī)的

方差為s；，3課程成績(jī)的方差為sg,則s；,sg的大小關(guān)系為（）

代課程成績(jī)/分

100-

90

80

70

60

50-

????????????

5060708090100A課程成績(jī)/分

B.S22

S1s2

C-s2>s2D.不確定

8.（3分）如圖①，底面積為30°"2的空?qǐng)A柱容器內(nèi)水平放置著由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾

何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿為止，在注水過(guò)程中，水面高度（cm）與注水時(shí)間

t（5）之間的關(guān)系如圖②，若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15c機(jī)2,求“幾何體”上

方圓柱體的底面積為（）c/n2.

圖①

A.24D.21

二、填空題

9.（3分）若代數(shù)式工有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

x+1

2

10.（3分）分解因式：4a2-2Sah=.

11.（3分）寫出一個(gè)函數(shù)，滿足當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小且圖象過(guò)（1,3）,則這個(gè)

函數(shù)的表達(dá)式為.

12.（3分）有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測(cè)得木材的半徑為15cm,

露在墻體外側(cè)的弦長(zhǎng)48=18刖，其中半徑OC垂直平分4B,則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD

13.（3分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)題目：九百九十文錢，甜果

苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個(gè)甜，甜苦兩果各幾個(gè)？其大意是：九百九

十文錢共買一千個(gè)苦果和甜果，其中四文錢可買苦果七個(gè)，十一文錢可買甜果九個(gè).問(wèn)

苦、甜果各幾個(gè)？設(shè)苦果x個(gè)，甜果y個(gè)，則可列方程為.

14.（3分）如圖，在△ABC中，A8=AC,NA=40。，以點(diǎn)C為圓心，C4長(zhǎng)為半徑作弧,

交直線BC于點(diǎn)P,連結(jié)AP,則ZBAP的度數(shù)是.

15.（3分）如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=6,8c=8,點(diǎn)E,F分別是邊AC和A8

上的點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于E尸的對(duì)稱點(diǎn)。恰好落在BC邊上，當(dāng)△8C尸是直角三角形時(shí)，的

長(zhǎng)是_______________________

16.（3分）如圖，在Rt^AOB中，0A=08=2、歷，。0的半徑為1,點(diǎn)P是4B邊上的動(dòng)

3

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。。的一條切線PQ(Q點(diǎn)為切點(diǎn))，則切線長(zhǎng)PQ的最小值

為_________________.

17.(1)|1-V3I-(4-TT)°+2sin60°+(-1)'；

4

(2)解不等式組：［3X-2<2X

,2(l-2x)<4x+10

18.己知/+2x-l=0,求代數(shù)式(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)的值.

19.關(guān)于x的一元二次方程7-(m+3)x+m+2=0.

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求用的最小值.

20.先閱讀下列材料，再解答問(wèn)題.

尺規(guī)作圖

已知：△ABC,。是邊AB上一點(diǎn)，如圖1,

求作：四邊形。BCF,使得四邊形。8CF是平行四邊形.

小明的做法如下：

(1)設(shè)計(jì)方案

先畫一個(gè)符合題意的草圖，如圖2,再分析實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的具體方法，

依據(jù)：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

(2)設(shè)計(jì)作圖步驟，完成作圖

作法：如圖3,

①延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E；

②分別作ZADQ=ZABE；

③。Q與CP交于點(diǎn)F.

，四邊形。8C尸即為所求.

(3)推理論證

4

證明：'：ZECP=ZEBA,

:.CP〃BA.

同理，DQ//BE.

，四邊形DBCF是平行四邊形.

請(qǐng)你參考小明的做法，再設(shè)計(jì)一種尺規(guī)作圖的方法(與小明的方法不同)，使得畫出的四

邊形。8c尸是平行四邊形，并證明.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2).

(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)x<4時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=-x+6的值與函數(shù)尸"7的值之和都大

于0,直接寫出么的取值范圍.

22.如圖，在菱形ABCO中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)4作AE_L8C于點(diǎn)E,延長(zhǎng)

BC到點(diǎn)F,使CF=BE,連接。F.

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)連接。E,若A￡>=10,EC=4,求OE的長(zhǎng)度.

23.為進(jìn)一步增強(qiáng)中小學(xué)生“知危險(xiǎn)會(huì)避險(xiǎn)”的意識(shí)，某校初三年級(jí)開展了系列交通安全知

識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)(百分制)，并對(duì)數(shù)據(jù)(成績(jī))進(jìn)

行收集、整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

這30名學(xué)生第一次競(jìng)賽成績(jī)和第二次競(jìng)賽成績(jī)得分情況統(tǒng)計(jì)圖：

5

第二次成績(jī)/分

100

95

90

85

80

80859095100第一次成績(jī)/分

b.下表是這30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)情況相關(guān)統(tǒng)計(jì):

參與獎(jiǎng)優(yōu)秀獎(jiǎng)卓越獎(jiǎng)

第一次競(jìng)賽人數(shù)101010

平均分828795

第二次競(jìng)賽人數(shù)21216

平均分848793

（規(guī)定：分?jǐn)?shù)290,獲卓越獎(jiǎng)；85W分?jǐn)?shù)＜90,獲優(yōu)秀獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)＜85,獲參與獎(jiǎng)）

c.第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

90909191919192939394949495959698

".兩次競(jìng)賽成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

第一次競(jìng)賽m87.588

第二次競(jìng)賽90n91

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題:

（1）小松同學(xué)第一次競(jìng)賽成績(jī)是89分，第二次競(jìng)賽成績(jī)是91分，在圖中用“O”圈出

代表小松同學(xué)的點(diǎn)；

（2）直接寫出根，〃的值；

（3）可以推斷出第次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績(jī)水平較高，理由

是.

24.某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴

水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分，若記水柱

6

上某一位置與水管的水平距離為4米，與湖面的垂直高度為h米，下面的表中記錄了d

與h的五組數(shù)據(jù)：

根據(jù)上述信息，解決以下問(wèn)題:

(1)在如下網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示/I與d函

數(shù)關(guān)系的圖象；

(2)若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則m=；

(3)現(xiàn)公園想通過(guò)噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過(guò)只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得

游船能從水柱下方通過(guò)，如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間

通過(guò)時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米.己知游船頂棚寬度為3米,

頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計(jì))至少

調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由(結(jié)果保留一位小數(shù)).

25.如圖，在RtaABC中，NBAC=90°,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，以為直徑作。O,分

別與AB,AC交于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)￡作EGLBC于G.

(1)求證：EG是。0的切線；

(2)若AF=6,。。的半徑為5,求8E的長(zhǎng).

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=/-2ax-3.

(1)求該拋物線的對(duì)稱軸(用含〃的式子表示)；

7

(2)A(xi，yi),B(X2,y2)為該拋物線上的兩點(diǎn)，若xi=l-2"，xi=a+\,且yi>”,

求”的取值范圍.

27.已知正方形ABCD,將邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a至線段AE,ZDAE的角平分線所在

直線與直線BE相交于點(diǎn)￡過(guò)點(diǎn)C作直線8E的垂線CH,垂足為點(diǎn)

(1)當(dāng)a為銳角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出NOEB的度數(shù)；

(2)在(1)的條件下，寫出線段BE和F”之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)設(shè)直線CH與直線相交于點(diǎn)P,若AB=2,直接寫出線段AP長(zhǎng)的最大值和最

28.對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)〃和點(diǎn)N,給出如下定義：點(diǎn)尸為平面內(nèi)的一點(diǎn)，若點(diǎn)P使得

是以為頂角且小于90°的等腰三角形，則稱點(diǎn)尸是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的銳角等腰

點(diǎn).如圖，點(diǎn)尸是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的銳角等腰點(diǎn).例在平面直角坐標(biāo)系xQv中，點(diǎn)。是

坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)4(2,0),在點(diǎn)P\(0,2),Pi(1,我)，P3(-1>弧),P4(&,-

V2)中，是點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)A的銳角等腰點(diǎn)的是.

(2)已知點(diǎn)8(3,0),點(diǎn)C在直線y=2x+h上，若點(diǎn)C是點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)8的銳角等腰點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

(3)點(diǎn)。是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，D(r,0),￡(/-2,0),點(diǎn)F(〃?，〃)是以。為圓心，2

8

為半徑的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足〃20.直線y=-2r+4與X軸和y軸分別交于點(diǎn)從K,

若線段HK上存在點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)F的銳角等腰點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍.

9

參考答案

一、選擇題

1.（3分）下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

3、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

。、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

2.（3分）北京冬奧村是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)、冬殘奧會(huì)最大的非競(jìng)賽類場(chǎng)館之一，總

建筑面積約38.66萬(wàn)平方米.其中38.66萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.0.3866X106B.3.9X105C.3.866X105D.38.66X104

【解答】解：38.66萬(wàn)=386600=3.866X1（）5

故選：C.

3.（3分）如圖是一個(gè)由5個(gè)小正方體和1個(gè)圓錐組成的立體圖形，這個(gè)立體圖形的主視圖

是（）

【解答】解：從正面看易得第一層有3個(gè)正方形，第二層最左邊有一個(gè)正方形，右邊是

一個(gè)三角形.

故選：C.

4.（3分）如圖，在。。中，AO是直徑，NA8C=35°,則NC4C等于（）

10

A.75°B.65°C.55°D.45°

【解答】解：；NABC=35°,

：.ZADC=ZABC=35a,

"：AD是。O的直徑，

AZACD=90°,

/.ZCAD=90°-ZADC=55°.

故選：C.

5.（3分）學(xué)校組織春游，安排給九年級(jí)三輛車，小明和小慧都可以從這三輛車中任選輛乘

坐，小明和小慧乘坐同一輛車的概率是（）

A.AB.Ac.2D.A

2399

【解答】解：列表如下（三輛車分別用1,2,3表示）：

123

1(1,1)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

所有等可能的情況有9種，其中小明和小慧同車的情況有3種,

小明和小慧乘坐同一輛車的概率是3=工,

93

故選：B.

6.（3分）如果aS-1，那么代數(shù)式的值為（）

2

a-1a-i

A.3B.V3C.近D.弧-2

3

11

【解答】解：原式=（三工+」_?(a+1)(a-1)

a-1a-l

a.(a+1)(aT)

當(dāng)。=%-1時(shí)，原式=遙-1+1=y.

故選：B.

7.（3分）如圖是30名學(xué)生A,8兩門課程成績(jī)的統(tǒng)計(jì)圖，若記這30名學(xué)生A課程成績(jī)的

方差為3課程成績(jī)的方差為屋，則小，sg的大小關(guān)系為（）

S1s2S1s2

AB課程成績(jī)/分

????????????

506070809010()A課程成績(jī)/分

C.sf>S2D.不確定

【解答】解：方差體現(xiàn)了某組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，波動(dòng)越大，方差越大，

由圖可知，B課程成績(jī)的波動(dòng)大，A課程成績(jī)的波動(dòng)小，

2<2.

S1s21

故選：A.

8.（3分）如圖①，底面積為30a"2的空?qǐng)A柱容器內(nèi)水平放置著由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾

何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿為止，在注水過(guò)程中，水面高度力（cm）與注水時(shí)間

t（5）之間的關(guān)系如圖②，若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2,求“幾何體”上

方圓柱體的底面積為（）cm2.

12

h/cm

圖①圖②

A.24B.12C.18D.21

【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象得到圓柱形容器的高為14cm,兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”

的高度為1lew,

水從剛滿過(guò)由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”到注滿用了：42s-24s=18(s),

這段高度為：14-11=3(cm),

設(shè)勻速注水的水流速度為xenP/s,則18?x=30X3,

解得x=5,

即勻速注水的水流速度為5c田/s；

“幾何體”下方圓柱的高為。，則a?(30-15)=18X5,

解得4=6,

所以"幾何體”上方圓柱的高為11-6=5(cm),

設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為Sew?,根據(jù)題意得5Y30-S)=5X(24-18),

解得5=24,

即“幾何體”上方圓柱的底面積為24c/.

故選：A.

二、填空題

9.(3分)若代數(shù)式旦有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是e-1.

x+1

【解答】解：由題意得，x+l#O,

解得x#-1.

故答案是：xW-1.

10.(3分)分解因式：4/-28分=4“(“-7b).

【解答】解：原式=4”(a-7b).

故答案為：4a(a-7b).

11.(3分)寫出一個(gè)函數(shù)，滿足當(dāng)x>0時(shí)，)，隨x的增大而減小且圖象過(guò)(1,3),則這個(gè)

13

函數(shù)的表達(dá)式為如丫坦，答案不唯一.

X

【解答】解：符合題意的函數(shù)解析式可以是丫=旦，y=-x+4,y=-7+4等，（本題答案

X

不唯一）

故答案為：如y白，答案不唯一；

X

12.（3分）有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測(cè)得木材的半徑為15a”，

露在墻體外側(cè)的弦長(zhǎng)AB=18cm,其中半徑0C垂直平分AB,則埋在墻體內(nèi)的弓形高CO

【解答】解：在RtaAOO中，=12(cm),

^=^AQ2+AD2=^152-92

則CO=C。-00=15-12=3(cm),

故答案為：3.

13.（3分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)題目：九百九十文錢，甜果

苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個(gè)甜，甜苦兩果各幾個(gè)？其大意是：九百九

十文錢共買一千個(gè)苦果和甜果，其中四文錢可買苦果七個(gè)，十一文錢可買甜果九個(gè).問(wèn)

x+y=1000

苦、甜果各幾個(gè)？設(shè)苦果x個(gè)，甜果y個(gè)，則可列方程為A11

yx-t^-x=999

【解答】解：?.?共買了一千個(gè)苦果和甜果，

；.x+y=1000；

；共花費(fèi)九百九十九文錢，且四文錢可以買苦果七個(gè)，十一文錢可以買甜果九個(gè)，

.?.￡+lly=999.

79-

\4y=1000

二可列方程組為1411

■yx十甲y二999

x+y=1000

故答案為：,411?

yx-t-g-x=999

14.（3分）如圖，在aABC中，AB=AC,ZA=40°,以點(diǎn)C為圓心，C4長(zhǎng)為半徑作弧,

14

交直線8c于點(diǎn)P,連結(jié)AP,則NEAP的度數(shù)是15°或75°

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)8的左側(cè)時(shí)，

9：AB=AC,ZA=40°,

/.ZACB=ZABC=70°,

VCA=CPi,

0

180°-/ACP[ion.7°。

JZCAP]=ZCP\A=---------------------L二彈--------巴_cc。

22=2

AZBAP\=ZCAPi-ZCAB=55°-40°=15°；

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。的右側(cè)時(shí)，

*：AB=AC,ZA=40°,

AZACB=ZABC=10°,

???N8AC=1800-NAC8-NABC=180°-70°-70°=40°,

???CA=C尸2，

???NG4P2=NCP2A=NACB=J00_=35。,

22a

AZBAP2=ZCAP2+ZCAB=350+40°=75°,

15

由上可得，NB4P的度數(shù)是15°或75°,

故答案為15°或75°.

15.（3分）如圖，在△ABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)E,F分別是邊AC和A8

上的點(diǎn)，點(diǎn)4關(guān)于E尸的對(duì)稱點(diǎn)。恰好落在BC邊上，當(dāng)△B。尸是直角三角形時(shí)，CO的

長(zhǎng)是3或旦.

7~

【解答】解：當(dāng)NBOF=90°B寸，

:點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在BC邊上,

：.AE=DE,AF=DF,NAEF=NDEF,

：/C=90°=NFDB,

：.AC//DF,

：.NAEF=ADFE,

：./DEF=ZDFE,

：.DE=DF,

：.AE=DE=DF=AF,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=10,

設(shè)AE=DE=DF=AF=x,

"."AC//DF,

:.叢BDFs叢BCA,

-DF_BFnnX_10-x

ACAB610

解得x=生，

4

：.AE=DE^^-,

4

；.CE=AC-AE=a,

4

在RtZ\OCE中,

16

號(hào))

CD=^DE2_CE2=^^)2_2=3；

當(dāng)NBFD=90°時(shí)，連接4D,如圖：

:點(diǎn)A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在BC邊上,

：.AF=DF,

?；NDFB=NC=90°,NB=NB,

:.XBDFsXBAC,

：.AC：BC：AB=6：8：10=3：4：5=DF：BF：BD,

設(shè)。F=3〃?，貝I]2F=4W,BD=5m,

.?.AF=10-4〃?，

：.3m=10-4m,

解得=

7

.?.BZ）=改，

7

：.CD=BC-8。=8-強(qiáng)=包

77

故答案為：3或2.

7

16.（3分）如圖，在RlZ\AOB中，OA=OB=2近,。0的半徑為1,點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作。。的一條切線PQ（Q點(diǎn)為切點(diǎn)），則切線長(zhǎng)PQ的最小值為_遍_.

【解答】解：連接OP、OQ,如圖所示,

17

,：PQ是(DO的切線,

：.OQ±PQ,

根據(jù)勾股定理知：PQ2=o產(chǎn)-。標(biāo)，

.?.當(dāng)POL48時(shí)，線段尸。最短，

?.?在中，OA=OB=2如,

：.AB=yf2OA=4,

???SA4OB=2OA,O8=LWOP,即OP=空空=2,

22AB

‘p2=VoP2-OQ2=V22-l2=V3.

故答案為：Vs

三、解答題

17.(1)|1-V3I-(4-ir)°+2sin600+(A)'；

4

(2)解不等式組：[3X-2<2X

l2(l-2x)<4x+10

【解答】解：(1)|1-遙|-(4-it)°+2sin60°+(A)

4

=V3-1-1+2義也+4

2

=yj~3-1-l+V^+4

=2^3+2；

⑵[3x-2<2x

l2(l-2x)<4x+10，

解第一個(gè)不等式得xV2,

解第二個(gè)不等式得1.

故不等式組的解集為-lWx<2.

18.已知/+2x-l=0,求代數(shù)式(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)的值.

【解答】解：(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)

18

=/+2x+l+/+4x+/-9

=3X2+6X-8,

V7+2x-1=0,

，/+2%=b

，原式=3（7+2%）-8

=3X1-8

=3-8

=-5.

19.關(guān)于x的一元二次方程x2-（加+3）x+m+2=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求"的最小值.

【解答】（1）證明：依題意，得△=[-（團(tuán)+3）]2-4（/zz+2）

=川+6〃?+9-4/7?-8

=（機(jī)+1）2.

,/（W+1）220,

...方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）解：解方程，得xi=l,xi—m+2,

???方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，

；.，"+221.

.?.根》-1.

：.m的最小值為-1.

20.先閱讀下列材料，再解答問(wèn)題.

尺規(guī)作圖

已知：△A8C,。是邊A8上一點(diǎn)，如圖1,

求作：四邊形QBCF,使得四邊形QBCF是平行四邊形.

小明的做法如下：

（1）設(shè)計(jì)方案

先畫一個(gè)符合題意的草圖，如圖2,再分析實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的具體方法,

19

依據(jù)：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

（2）設(shè)計(jì)作圖步驟，完成作圖

作法：如圖3,

①延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E；

②分另IJ作NECP=NEBA,ZADQ=ZABE；

③QQ與CP交于點(diǎn)F.

.?.四邊形。即為所求.

（3）推理論證

證明：'：ZECP=ZEBA,

：.CP//BA.

同理，DQ//BE.

二四邊形DBCF是平行四邊形.

請(qǐng)你參考小明的做法，再設(shè)計(jì)一種尺規(guī)作圖的方法（與小明的方法不同），使得畫出的四

邊形。8CF是平行四邊形，并證明.

【解答】解：（1）設(shè)計(jì)方案

先畫一個(gè)符合題意的草圖，如圖2,再分析實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的具體方法,

依據(jù)：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

（2）設(shè)計(jì)作圖步驟，完成作圖

作法：如圖，

①以點(diǎn)C為圓心，BQ長(zhǎng)為半徑畫?。?/p>

②以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧,;

20

③兩弧交于點(diǎn)尸.

...四邊形。BCF即為所求.

(3)推理論證

證明：?:CF=BD,DF=BC.

，四邊形08c尸是平行四邊形.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2).

(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)x<4時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=-x+方的值與函數(shù)y=依-無(wú)的值之和都大

于0,直接寫出上的取值范圍.

【解答】解：(1)???一次函數(shù)y=-x+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),

將點(diǎn)(0,2)代入y=-x+b,

得b=2,

，一次函數(shù)的解析式為：y=-x+2.

(2)令yi=-x+2,yi—kx-k,

.?.yi+)2=-x+2+kx-k—(^-1)x+2-k,

?.,當(dāng)x<4時(shí)，(fc-1)x+2-k>0,

：.k-l<0,解得及<1,

解(k-1)x+2-k>0,得土2,

k-l

k-l

解得

3

當(dāng)左=1時(shí),

y\+y2=-x+2+x-l=2>0,滿足題意

綜上，k的取值范圍是Zwzwi.

3

22.如圖，在菱形A8CD中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)A作AEJ_8c于點(diǎn)E,延長(zhǎng)

BC到點(diǎn)凡使CF=8E,連接。F.

(1)求證：四邊形AEFZ)是矩形；

(2)連接QE,若AO=10,EC=4,求0￡的長(zhǎng)度.

21

A

D

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是菱形，

???AZ）〃3c且A￡>=3C,

?：BE=CF,

:.BC=EF,

:?AD=EF,

u

：AD//EFf

，四邊形AEFD是平行四邊形，

VAE1BC,

AZAEF=90°,

???四邊形AEFO是矩形；

（2）解：???四邊形48co是菱形，40=10,

：.AD=AB=BC=W,

V￡C=4,

ABE=10-4=6,

在RtAABE中，^￡=<\/AB2-BE2=7102-62=8,

在RtAAEC中，AC=^/AE2+EC2=VS2+42=4遙，

?..四邊形A8CZ）是菱形，

；.OA=OC,

.-.OE=1AC=2A/5.

2

23.為進(jìn)一步增強(qiáng)中小學(xué)生“知危險(xiǎn)會(huì)避險(xiǎn)”的意識(shí)，某校初三年級(jí)開展了系列交通安全知

識(shí)競(jìng)賽，從中隨機(jī)抽取30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)

行收集、整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

公這30名學(xué)生第一次競(jìng)賽成績(jī)和第二次競(jìng)賽成績(jī)得分情況統(tǒng)計(jì)圖：

22

第二次成績(jī)/分

100

95

90

85

80

80859095100第一次成績(jī)/分

b.下表是這30名學(xué)生兩次知識(shí)競(jìng)賽的獲獎(jiǎng)情況相關(guān)統(tǒng)計(jì):

參與獎(jiǎng)優(yōu)秀獎(jiǎng)卓越獎(jiǎng)

第一次競(jìng)賽人數(shù)101010

平均分828795

第二次競(jìng)賽人數(shù)21216

平均分848793

（規(guī)定：分?jǐn)?shù)290,獲卓越獎(jiǎng)；85W分?jǐn)?shù)＜90,獲優(yōu)秀獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)＜85,獲參與獎(jiǎng)）

c.第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

90909191919192939394949495959698

".兩次競(jìng)賽成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

第一次競(jìng)賽m87.588

第二次競(jìng)賽90n91

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

（1）小松同學(xué)第一次競(jìng)賽成績(jī)是89分，第二次競(jìng)賽成績(jī)是91分，在圖中用“O”圈出

代表小松同學(xué)的點(diǎn)；

（2）直接寫出根，〃的值；

（3）可以推斷出第二次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績(jī)水平較高,理由是第二

次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競(jìng)賽.

【解答】解：（1）如圖所示.

23

舉第二次成績(jī)/分

100

*

*

95????

??

90????

???

??

???

85■????

80■

80859095100第一次成績(jī)/分

(2)「82X10+87X10+95X10=32

30-

；第二次競(jìng)賽獲卓越獎(jiǎng)的學(xué)生有16人，成績(jī)從小到大排列為：909091919191

92939394949495959698,

...第一和第二個(gè)數(shù)是30名學(xué)生成績(jī)中第15和第16個(gè)數(shù)，

.?.〃=」(90+90)=90,

2

?\"?=88,/2—90；

(3)可以推斷出第二次競(jìng)賽中初三年級(jí)全體學(xué)生的成績(jī)水平較高，理由是：第二次競(jìng)賽

學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競(jìng)賽.

故答案為：二，第二次競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競(jìng)賽.

24.某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴

水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分，若記水柱

上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為〃米，下面的表中記錄了d

與h的五組數(shù)據(jù)：

d(米)01234

h(米)0.51.251.51.250.5

根據(jù)上述信息，解決以下問(wèn)題:

(1)在如下網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示〃與d函

數(shù)關(guān)系的圖象；

(2)若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為米，則，尸1.5；

(3)現(xiàn)公園想通過(guò)噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過(guò)只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得

游船能從水柱下方通過(guò)，如圖所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間

24

通過(guò)時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米.己知游船頂棚寬度為3米,

頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少

調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐

標(biāo)系，如圖1所示:

（2）根據(jù)題意可知，該拋物線的對(duì)稱軸為x=2,此時(shí)最高，

即，〃=1.5,

故答案為：1.5；

（3）根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：h=a（d-2）2+1.5,

將（0,0.5）代入〃=〃（d-2）2+1.5,得”=-工，

4

二拋物線的解析式為：人=

4

設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：入=-0+4+05+〃，

4

由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為2+3=工時(shí)，縱坐標(biāo)的值大于1.5+0.5=2,

22

A-Ax（工）2+工+0.5+心2,

422

解得”21.1,

25

...水管高度至少向上調(diào)節(jié)1.1米，

/.0.5+1.1=1.6(米)，

...公園應(yīng)將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計(jì))至少調(diào)節(jié)到1.6米才能符合要求.

25.如圖，在RtZ^ABC中，/BAC=90°,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，以為直徑作。0,分

別與AB,AC交于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)E作EGLBC于G.

(1)求證：EG是。。的切線；

(2)若AF=6,。。的半徑為5,求BE的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：如圖，連接EF,

VZBAC=90°,

/是。。的直徑，

：.OA=OE,

：.NBAD=NAEO,

；點(diǎn)D是RtA/lBC的斜邊BC的中點(diǎn),

：.AD=BD,

：.ZB=ZBAD,

：.OE//BC,

,:EGIBC,

：.OE±EG,

?.?點(diǎn)E在。O上，

；.EG是G)O的切線；

(2)；O。的半徑為5,

：.EF=2OE=l0,

在RtZ\AEF中，A尸=6,

26

根據(jù)勾股定理得，A￡=7EF^AP=8-

由（1）OE//BC,

"：OA=OD,

：.BE=AE=S.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=/-2ar-3.

(1)求該拋物線的對(duì)稱軸(用含。的式子表示)；

(2)A(xi，yi),B(X2>>2)為該拋物線上的兩點(diǎn)，若xi=l-2a,x2—a+\,且yi>”,

求。的取值范圍.

【解答】解：(1):?拋物線y=7-2ax-3,

...該拋物線的對(duì)稱軸為直線》=-3-=a；

2X1

(2)①當(dāng)2Vxi時(shí).，yi>”，

則〃+1VI-2a,即aVO；

②當(dāng)xi-a>a-刈時(shí)，yi>”，

貝(J1-2a-a>a-(〃+l),即tz<—；

3

③當(dāng)xi-a<a-X2時(shí)，y\>”，

貝！JI-2a-a<a-(〃+l),即a>—,

3

綜上，a<0或a>2.

3

27.己知正方形ABCD,將邊AB繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a至線段AE,ZDAE的角平分線所在

直線與直線BE相交于點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)C作直線BE的垂線CH,垂足為點(diǎn)H.

(1)當(dāng)a為銳角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出NQEB的度數(shù)；

(2)在(1)的條件下，寫出線段BE和尸，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)設(shè)直線CH與直線OE相交于點(diǎn)P,若48=2,直接寫出線段A尸長(zhǎng)的最大值和最

小值.

27

連接OE,以AE為半徑A為圓心作。A,如圖所示,

；./BAD=90°,

VBD=BD.

?'-ZDEB=yZBAD=45°；

(2)BE=2FH,

理由：如圖所示，過(guò)點(diǎn)4作尸于點(diǎn)連接AC,FC,DF,設(shè)E￡>,4/交于點(diǎn)G,

28

：.EM=MB,/1=N2,

'：CH±BH,：.ZH=ZAMB=90°,

"：ZABC=90°,

NCBH=90°-NA8M=Z1,

在△AM8,△BHC中，

'NH=NAMB

?Z2=ZCBH-

AB=BC

:.叢AMBm叢BHC(A4S),

：.BM=CH,

尸平分NEA。，又AE=A。，

：.AFLED,

又(1)可得N￡>EF=45°,

AZAFE=45°,

：.ZAFM=45°,又A例J_E尸，則例尸