專題01 三角形經(jīng)典壓軸大題專訓(xùn)（解析版）

專題01三角形經(jīng)典壓軸大題專訓(xùn)【三角形40道經(jīng)典壓軸大題專訓(xùn)】1．（2023春·河北邯鄲·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）題目：“如圖，在中，，將沿折疊得到，若與的邊平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（）

A．只有甲答的對(duì) B．甲、乙答案合在一起才完整C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】與的邊平行，畫圖有兩種情況，和，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)果有兩個(gè)答案．【詳解】解：①如圖，與的邊平行

沿折疊得到，又②如圖，與的邊平行，

沿折疊得到，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的折疊與平行的結(jié)合，幾何圖形折疊后對(duì)應(yīng)角相等和兩直線平行同位角內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在中，延長至點(diǎn)F，使得，延長至點(diǎn)D，使得，延長至點(diǎn)E，使得，連接、、，若，則為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先設(shè)的面積為，再根據(jù)底共線，高相等，面積的比等于底邊的比，將其余各個(gè)三角形的面積表示出來，總面積為，解得的面積．【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)的面積為，

，的面積為，的面積為，的面積為，,的面積為，的面積為，的面積為，，，即的面積為2故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積問題，等高且共底的三角形面積比是底邊的比這個(gè)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖，甲、乙兩位同學(xué)用個(gè)完全相同的正六邊形按如下方式拼成一圈后，使相鄰的兩個(gè)正六邊形有公共頂點(diǎn)，設(shè)相鄰兩個(gè)正六邊形外圈的夾角為，內(nèi)圈的夾角為，中間會(huì)圍成一個(gè)正邊形，關(guān)于的值，甲的結(jié)果是，乙的結(jié)果是或4，則（

）

A．甲的結(jié)果正確 B．乙的結(jié)果正確C．甲、乙的結(jié)果合在一起才正確 D．甲、乙的結(jié)果合在一起也不正確【答案】D【分析】正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)外角的定義有，，得，再討論即可得的值．【詳解】解：∵正六邊形的一個(gè)內(nèi)角為，∴，∵為正邊形的一個(gè)內(nèi)角為度數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，則的值為3或4或5或6．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和．解題的關(guān)鍵是根據(jù)周角的定義推得．4．（2022春·湖北武漢·七年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知直線被直線AC所截，，E是平面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，．下列說法：①當(dāng)點(diǎn)E在之間且在的右側(cè)時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)E在的下方且在的右側(cè)時(shí)，；③當(dāng)點(diǎn)E在的上方且在的右側(cè)時(shí)，，④當(dāng)點(diǎn)E在之間且在的左側(cè)時(shí)，，其中說法正確的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①如圖：

過點(diǎn)作，則：，∵，∴，∴，∴，故①正確；②如圖：

∵，∴，∴，故②正確；③如圖：

∵，∴，∴，故③錯(cuò)誤；④如圖：

過點(diǎn)作，則：，∵，∴，∴，∴，故④正確；綜上：正確的是①②④；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角．解題的關(guān)鍵是正確的畫出圖形，通過拐點(diǎn)構(gòu)造平行線．5．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，平分，于點(diǎn)D，的角平分線所在直線與射線相交于點(diǎn)G，若，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意推出，設(shè)，設(shè)，用含x和y的代數(shù)式表示和即可解決．【詳解】解：如圖：∵平分，平分，∴，設(shè)，由外角的性質(zhì)得：，，∴，解得：，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．6．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知直線，被直線所截，，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)不在直線，，上），設(shè)，，下列各式：①，②，③，④，的度數(shù)可能是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖1，過作，則由，可得∴，，∴．如圖2，同理可得．故①有可能，如圖3，同理可得．故②有可能，其中：當(dāng)時(shí)，，故③有可能，如圖4，同理可得．故④有可能，如圖5，同理可得．如圖6，同理可得．綜上所述，①②③④均有可能．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，解題時(shí)需注意：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．7．（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)無錫市太湖格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，分別是高和角平分線，點(diǎn)F在的延長線上，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，下列結(jié)論：①；②；③，④；其中正確的有（

）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根據(jù)，，由直角三角形銳角互余可證明；②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；③根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義，進(jìn)行等量代換，即可證明結(jié)論正確；④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確．【詳解】解：有題意可知，①正確；是角平分線，②正確；③正確；，④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，正確運(yùn)用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，，分別平分的內(nèi)角，外角，外角．以下結(jié)論：；；；；．其中正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出，，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項(xiàng)．【詳解】解：平分，，，，，，，故正確；，，平分，，，故正確；，，，，，，，，故正確；平分，，，，，平分，，，，，，，，故正確；由得，，，，，故正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，有一定難度．9．（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）如圖，，、、分別平分，外角，外角，以下結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的判定一一判定即可．【詳解】解：①設(shè)點(diǎn)A、B在直線上，∵、分別平分的內(nèi)角，外角，∴平分的外角，∴，∵，且，∴，∴，故①正確．②∵、分別平分的內(nèi)角、外角，∴，∴，故②正確．③∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確．④∵∴，∴，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的判定等，熟悉各個(gè)概念的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）△ABC中，，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)，得；和的平分線交于點(diǎn)，得和的平分線交于點(diǎn)，則為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得，再結(jié)合角平分線的定義，找出角變化的規(guī)律即可求解．【詳解】∵平分∠ABC，平分∠ACD，∴＝∠ABC，＝∠ACD，∴＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A，同理可得＝＝∠A，∴＝∠A，∵，∴＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）如圖，已知直線，直線分別交直線，于點(diǎn)，，平分交于點(diǎn)．是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．平分交于點(diǎn)，設(shè)，．現(xiàn)有下列四個(gè)式子：①，②，③，④，在這四個(gè)式子中，正確的是(

)A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)G在F的右側(cè)時(shí)，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，結(jié)合角平分線性質(zhì)解得；或當(dāng)點(diǎn)G在F的左側(cè)時(shí)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到，結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到，解得．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)G在F的右側(cè)時(shí)，平分平分設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)G在F的左側(cè)時(shí)，平分平分設(shè)，綜上所述，或故①④正確,②③錯(cuò)誤故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．12．（2023春·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，，∠M＝44°，AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，則∠N等于（

）A．21.5° B．21° C．22.5° D．22°【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，只要證明得，即可求出答案．【詳解】解：如圖，線段AM與AN相交于點(diǎn)E，∵，∴，∵AN平分∠BAM，CN平分∠DCM，∴，，，，∴，∴；①在△ACM中，有，∴②，由①②，得，∴，即；∵，又，∴，∴，即，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確地利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行角度之間的轉(zhuǎn)化．13．（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶一中?？计谀┤鐖D，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)，若的面積是12，則的面積是________．

【答案】【分析】連接，．由題意中的線段的比和，可推出，，從而可求出，．結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即得出，從而可求出，進(jìn)而得出，最后即得出，最后即可求出．【詳解】解：如圖，連接，．

∵，，∴，．又∵，∴，．∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即,∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的n等分點(diǎn)的性質(zhì)，與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題．正確的連接輔助線是解題關(guān)鍵．14．（2023春·重慶北碚·七年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在中，，點(diǎn)D是下方一點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)D作，連接，分別過點(diǎn)B、D作直線、，使得，平分，平分，則______．【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的定義，設(shè)，則，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)作，

平分，平分，設(shè)，則，，，，，，，，，在中，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，作出正確的輔助線是本題的關(guān)鍵．15．（2023春·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第二十一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，將支架平面鏡放置在水平桌面上，激光筆與水平天花板的夾角（）為，激光筆發(fā)出的入射光線射到上后，反射光線與形成，由光的反射定律可知，，與的垂線所形成的夾角始終相等，即．（1）的度數(shù)為______；（2）如圖2，點(diǎn)B固定不動(dòng)，調(diào)節(jié)支架平面鏡，調(diào)節(jié)角為．①若，則的度數(shù)為______；②若反射光線恰好與平行，則的度數(shù)為______．【答案】/30度/90度/75度【分析】（1）根據(jù)，，得出，根據(jù)，得出，求出，根據(jù)，得出即可；（2）①過點(diǎn)G作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)反射的性質(zhì)得出，根據(jù)，求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴；故答案為：；（2）①過點(diǎn)G作，如圖所示：則，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：；②如圖，若反射光線恰好與平行，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，反射的性質(zhì)，垂直定義的理解，平行公理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，作出輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合．16．（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，，、的平分線交于點(diǎn)G，則圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系是____________．【答案】【分析】先作輔助線，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，即可得到、、之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：過點(diǎn)C作，則，∴，，∵，∴，∵平分，平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是明確題意，通過作輔助線進(jìn)行解答．17．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，長方形紙片，點(diǎn)，分別在，邊上，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，然后再次折疊紙片使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)，折痕為，若，則__________度．【答案】【分析】根據(jù)將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，得出，，可得，根據(jù)四邊形為長方形，得出，可得，可求，根據(jù)為對(duì)稱軸，可得，可得，根據(jù)，列方程，解方程即可．【詳解】解：∵紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，，，∵四邊形為長方形，，，，∵再次折疊紙片使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)，折痕為，四邊形與四邊形關(guān)于對(duì)稱，，∵，，∵，，，，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及其推論，恰當(dāng)應(yīng)用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，已知為的中線，過點(diǎn)A作分別交、于點(diǎn)F、E，連接，若，，，則________．【答案】84【分析】根據(jù)為的中線，可得，，通過題中條件可求得，根據(jù)，可得，，設(shè)，則，，故，根據(jù)，列方程，即可解答．【詳解】解：為的中線，，，，，，，，設(shè)，則，，，根據(jù)，列方程，解得，．故答案為：84．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)題中的邊長之比得出對(duì)應(yīng)的三角形的面積之比是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·江蘇·七年級(jí)期末）如果三角形中任意兩個(gè)內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)直角三角形”．如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D．在線段上取一點(diǎn)F，當(dāng)是“準(zhǔn)直角三角形”時(shí)，則______°．【答案】或【分析】由三角形內(nèi)角和可得，進(jìn)而可得，，，再根據(jù)定義進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】解：∵，，∴，又∵平分交于點(diǎn)D．∴，則，∴，①當(dāng)時(shí)，是“準(zhǔn)直角三角形”，即：，；②當(dāng)時(shí)，是“準(zhǔn)直角三角形”，即：，，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，是“準(zhǔn)直角三角形”，即：，；④當(dāng)時(shí)，是“準(zhǔn)直角三角形”，即：，，不符合題意；⑤當(dāng)時(shí)，是“準(zhǔn)直角三角形”，即：，，不符合題意；④當(dāng)時(shí)，是“準(zhǔn)直角三角形”，即：，，不符合題意；綜上，或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)于新定義題型的理解能力，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)”準(zhǔn)直角三角形“的定義去解題是本題的關(guān)鍵．20．（2023春·山西太原·七年級(jí)山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┊?dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時(shí)，反射光線與鏡面所夾的角等于入射光線與鏡面所夾的角，你可用這一結(jié)論解答下列問題．如圖，若鏡子與鏡子的夾角，鏡子與鏡子的夾角，入射光線與鏡面的夾角．已知入射光線從鏡面開始反射，經(jīng)過（為正整數(shù)，且）次反射，當(dāng)?shù)诖畏瓷涔饩€與入射光線平行時(shí)，則的度數(shù)為________．【答案】或【分析】分兩種情況畫圖討論：當(dāng)時(shí)，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等，及內(nèi)角和，可得；當(dāng)時(shí)，如果在邊反射后與平行，則，與題意不符合，則只能在邊反射后與平行，根據(jù)三角形外角定義，可得，由，可求出的度數(shù)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖所示，，，，，，由，過點(diǎn)作，如圖所示，，，，，，則，，；當(dāng)時(shí)，如果在邊反射后與平行，則，與題意不符合，則只能在邊反射后與平行，如圖所示，，則，，由得，，，，，，，，，，綜上所述：的度數(shù)為：或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，反射的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和為，熟練掌握平行線的性質(zhì)，反射的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和為，注意分類討論的思想，是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，射線，分別是的外角，的角平分線，射線與直線交于點(diǎn)D，射線與直線交于點(diǎn)E，若，，則的度數(shù)為___________．【答案】【分析】由題可設(shè)，，根據(jù)平角的定義用含的代數(shù)式表示和,再由外角定理用含的代數(shù)式表示和，再由題干中已知的兩個(gè)等式列方程組求解，即可求解．【詳解】解：由題意射線，分別是的外角，的角平分線，，,設(shè)，，由平角的定義得：，，是的一個(gè)外角，，同理是的一個(gè)外角，，，，，整理得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．22．（2023春·浙江·七年級(jí)期末）如圖，將長方形紙片沿折疊后，點(diǎn)A，B分別落在，的位置，再沿邊將折疊到處，已知，則______，_________．【答案】【分析】由折疊可知：，，，由三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合平行線的性質(zhì)可求解的度數(shù)，過點(diǎn)作，則，結(jié)合平行線的性質(zhì)，易求的度數(shù)，即可得的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)可求解的度數(shù)，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：由折疊可知：，，，∵，，∴，∵四邊形是長方形，∴，∴，∴，過點(diǎn)作，如圖，∴，∵，∴，∵四邊形是長方形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，作適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)東辰國際學(xué)校?？几傎悾┰谥?，，的平分線交于點(diǎn)，的外角平分線所在直線與的平分線相交于點(diǎn)，與的外角平分線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是_____．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③；④．【答案】①②④【分析】由角平分線的定義可得，再由三角形的內(nèi)角和定理可求解，即可判定①；由角平分線的定義可得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可判定②；由三角形外角的性質(zhì)可得，再利用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理可判定③；利用三角形外角的性質(zhì)可得，結(jié)合可判定④．【詳解】解：，的平分線交于點(diǎn)，，，，，，，，故①正確，平分，，，，，故②正確；，，，，平分，平分，，，，，，故③錯(cuò)誤；，，，．故④正確，綜上正確的有：①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．24．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)南京外國語學(xué)校校考期中）如圖，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在上，若，，，則的度數(shù)為________．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，在中，，證，由，得，從而有，解得，最后由，求得的值．【詳解】解：∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵在中，，又∵，，∴．∵，，∴，∵，∴，∴，∴．∵，，，又∵，，，∴，，∵，∴，解得，，∵，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，與相交線相關(guān)的角度計(jì)算，綜合運(yùn)用題設(shè)條件是解題的關(guān)鍵．25．（湖北省武漢市東西湖區(qū)2022-2023學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖1，直線與相交于，鈍角，．

(1)求證：(2)若為直線（不與點(diǎn)重合）上一點(diǎn)，與的角平分線所在直線交于點(diǎn)．①如圖2，若，點(diǎn)在點(diǎn)右邊，求的度數(shù)．②直接寫出的度數(shù)___________（結(jié)果用含的式子表示）．【答案】(1)證明見解析(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)平行線的判定即可證明；（2）①根據(jù)角平分線的性質(zhì)，，設(shè)，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，推得，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即可求得；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，由①可得；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得．【詳解】（1）證明：∵，，∴，又∵，即，∴．（2）①∵的平分線與的平分線所在的直線交于點(diǎn)，∴，．設(shè)，則，由（1）知，，∴，∴，故，在中，，故，∵，，∴②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，由①可得；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖：

∵的平分線與的平分線所在的直線交于點(diǎn)，∴，．由（1）知，，∴，設(shè)，則，，∴，在中，，∴，綜上，的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．（2023春·四川德陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，點(diǎn)N在的延長線上，過點(diǎn)B作．

(1)求證：；(2)由（1）易知，．如圖②，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)F，且，求的度數(shù)．(3)如圖③，G為的延長線上一點(diǎn)，H為上一點(diǎn)，平分，平分，，試猜想與的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)的度數(shù)為；(3).【分析】（1）由平行線的性質(zhì)即可證明；（2）由平行線的性質(zhì)得到，，由角平分線的定義得到，，再由求解即可；（3）先求得，再求得，據(jù)此即可求解.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵的平分線與的平分線相交于點(diǎn)F，∴，，∴；（3）解：.理由見解析.∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·重慶江津·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，直線，點(diǎn)M、N分別在上，點(diǎn)P為平行線內(nèi)部一點(diǎn)，連接．

(1)若，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，平分，與相交于點(diǎn)Q，求證：；(3)如圖3，作平分，平分，反向延長交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）如圖1，過作，則，，，由，可得，然后計(jì)算求解即可；（2）如圖2，延長交于，延長交于，由，可知，，由題意知，，，，則，進(jìn)而可得；（3）如圖3，過作，過作，則，，，，，，由題意知，，，，，由，可得．【詳解】（1）解：如圖1，過作，則，

∴，，∵，∴，解得，∴的值為；（2）證明：如圖2，延長交于，延長交于，

∵，∴，，由題意知，，，，∴，∴；（3）解：；如圖3，過作，過作，

∴，，∴，，，，由題意知，，，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．28．（2023春·浙江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．

(1)如圖2，一束光線射到平面鏡上，被反射到平面鏡上，又被反射，若被反射出的光線（與光線平行，且，則_______°，______°；(2)如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線與鏡面的夾角，鏡面，的夾角，當(dāng)光線經(jīng)過平面鏡，，的三次反射后，入射光線與反射光線平行時(shí)，請(qǐng)求出的度數(shù)；(3)如圖4，在（2）的條件下，在，之間再照射一條光線，經(jīng)過平面鏡，兩次反射后反射光線與交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，結(jié)合的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（2）過作，如圖所示，根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，結(jié)合的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；（3）根據(jù)題中平面鏡反射角度之間的關(guān)系，在（2）的基礎(chǔ)上，得出相關(guān)角度，再結(jié)合四邊形內(nèi)角和、四邊形內(nèi)角和，列方程組求解即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：

根據(jù)題意，，，，，，，，在中，由三角形內(nèi)角和定理可得，故答案為：，；（2）解：過作，如圖所示：

，，，，，，，則，在中，，，則由三角形內(nèi)角和定理可得，，則，；（3）解：如圖所示：

由（2）知，，，，由于一個(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，由三角形內(nèi)角和定理可知，在四邊形中，，，，，則，，由于一個(gè)四邊形可以分成兩個(gè)三角形，由三角形內(nèi)角和定理可知，在四邊形中，，，由與，代入已知角度有與，可得，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)探尋平面鏡反射中角度關(guān)系，涉及平行線的性質(zhì)、平面鏡反射角度關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和為及恒等變形等知識(shí)，讀懂題意，理解平面鏡反射角度之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確表示各個(gè)角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．29．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)丹陽市第八中學(xué)校考期末）【問題背景】中，是角平分線，點(diǎn)E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．【初步探索】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，的平分線交于點(diǎn)O．（1）若，，則____________；（2）若，則___________；（用含m的代數(shù)式表示）

【變式拓展】當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，連接，設(shè)，．（1）如圖2，的平分線交于點(diǎn)O．①當(dāng)，時(shí)，____________；②用、的代數(shù)式表示____________．（2）如圖3，的平分線與相交于點(diǎn)O，與的平分線所在的直線相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)E不重合），直接寫出點(diǎn)F在不同位置時(shí)與之間的數(shù)量關(guān)系．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】初步探索（1）55；（2）；變式拓展（1）①75；②；（2）或【分析】初步探索（1）根據(jù)角平分線的定義，得到、，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；變式拓展（1）①延長、交于點(diǎn)G，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得到，，再根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；②同①理，即可表示出；（2）分兩種情況討論：點(diǎn)F在內(nèi)部和點(diǎn)F在外部，利用角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．【詳解】初步探索解：（1）中，是角平分線，點(diǎn)E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)．，平分，，，平分，，，故答案為：55；（2），，平分，平分，，，，故答案為：；變式拓展解：（1）①如圖，延長、交于點(diǎn)G，，，，，，，平分，平分，，，故答案為：75；

②，，，，，，平分，平分，，，故答案為：；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)F在內(nèi)部時(shí)，令于的交點(diǎn)為H，

，平分，，，，，，，平分，，，，平分，平分，，，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)F在外部時(shí)，令于的交點(diǎn)為K，

，平分，，，，，平分，，，，，，，綜上可知，與之間的數(shù)量關(guān)系或．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，理解題意，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．30．（2023春·吉林長春·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖1，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接，．

求證：．證明：如圖，延長，交于點(diǎn)．

是的一個(gè)外角（外角的定義），（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）．是的一個(gè)外角（外角的定義），（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）．．【知識(shí)遷移】如圖，求證：（）；（）．

【拓展延伸】如圖，、、分別是中邊、、上的點(diǎn)，則的度數(shù)是．

【答案】知識(shí)遷移：（1）證明見解析；（2）證明見解析；拓展延伸：【分析】知識(shí)遷移：（1）如圖，延長交于，證明，，從而可得結(jié)論；（2）證明，，從而可得結(jié)論；拓展延伸：利用三角形的外角性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：知識(shí)遷移：（1）如圖，延長交于，

是的一個(gè)外角，．是的一個(gè)外角（外角的定義），．，即．．（2）是的一個(gè)外角，．是的一個(gè)外角，．，即．．拓展延伸：是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，是的一個(gè)外角，，．∴∵，∴，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)建需要的三角形是解本題的關(guān)鍵．31．（2023春·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交邊于點(diǎn)D．(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，作外角的平分線交的延長線于點(diǎn)F．①試說明；②若，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得，所在直線與平行，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度的值．【答案】(1)；(2)①見解析；②所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度的值為或．【分析】（1）根據(jù)三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，可得，再求得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可求解；（2）①根據(jù)平分，可得，再由，即可求證；②先求得，可得，從而得到，再證，可得，從而得到，，然后分兩種情況討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，，∴，∴，∴，∵，∴；（2）解：①證明：∵平分，∴，∵三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；②∵平分，∴，∴，∵，∴；∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∵將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得，∴，如圖，∵，∴，∴，即此時(shí)旋轉(zhuǎn)角度；如圖，

∵，∴，∴；綜上所述，所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，已知，D是線段延長線上一點(diǎn)，過A作．

(1)求證：；(2)如圖2，過C作交于H，作平分，平分交于點(diǎn)F，若，求的度數(shù)；

(3)如圖3，，P為線段上一點(diǎn)，G為射線上一動(dòng)點(diǎn)，過P、Q作射線分別交于Q、M，滿足，，過P作，則與的數(shù)量關(guān)系是（用含n的式子表示）

【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合已知條件得出，，求出，根據(jù)平分，平分，，求出，代入即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，即，根據(jù)，得出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴．（2）解：∵的內(nèi)角和為，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴，，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合．33．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）（1）如圖，把沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，試探究、與的關(guān)系；（2）如圖2，若，，作的平分線，與的外角平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)；（3）如圖3，若點(diǎn)落在內(nèi)部，作，的平分線交于點(diǎn)，此時(shí)，，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過程．【答案】（1）

（2）

（3），證明見解析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知，，再根據(jù)平角的定義得到，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出，再由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)推出即可；（3）先推出，，再由三角形外角的性質(zhì)推出，利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，；（2）解：，，，，的平分線，與的外角平分線交于點(diǎn)，，，，，又，，；（3）解：，理由如下；由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，的平分線交于點(diǎn)，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）綜合與探究：

(1)如圖1，，分別是的兩個(gè)內(nèi)角，的平分線，說明的理由．【深入探究】(2)①如圖2，，分別是的兩個(gè)外角，的平分線，與之間的等量關(guān)系是；②如圖3，，分別是的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，，交于點(diǎn)，探究與之間的等量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】(3)請(qǐng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖4，在中，，分別平分，，，，分別在，，的延長線上，，分別平分，，，分別平分，．若，則的度數(shù)是．【答案】(1)見解析(2)①；②，理由見解析(3)．【分析】（1）利用角平分線的定義得出，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）①利用三角形內(nèi)角和定理可得，，利用角平分線的定義可得，，從而得到，化簡即可求解；②利用三角形的外角性質(zhì)可得，，從而得到，化簡即可求解；（3）由（1）知：，即可求出，利用三角形內(nèi)角和定理可得，再利用角平分線的性質(zhì)可得，利用三角形內(nèi)角和定理可得，再由（2）②可知，求解即可．【詳解】（1）解：、分別是、的平分線，，，，，，，；（2）解：①與之間的等量關(guān)系是：，理由如下：、分別是的兩個(gè)外角、的平分線，，，，，，，，，，，，；②與之間的等量關(guān)系是：，理由如下：、分別是的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，，，，，．（3）解：由（1）知：，，，，，、分別平分、，，．由（2）②知：，，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟記三角形外角性質(zhì)，內(nèi)角和定理，角平分線的定義．35．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┲?，點(diǎn)在邊延長線上，的延長線與的角平分線相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，求證：，(2)如圖2，的角平分線交于，則與之間的數(shù)量關(guān)系為______，(3)在（2）的條件下如圖3，過點(diǎn)作于，，若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角平分線和外角性質(zhì)求解即可；（2）利用三角形的內(nèi)角平分線和外角定理求解即可；（3）利用所求角度關(guān)系式，假設(shè)參數(shù)建立方程即可求解．【詳解】（1）如圖1，

∵平分；∴，∵，，∴，∴；（2）如圖2，

由（1）得：，∵平分，∴，∵，∴，即有，∴，故填：．（3）如圖3，

由，設(shè)，，由，，，設(shè)，則有，，設(shè)∵，∴，∵，即，解得：，∴，，，在，，∴，即，∴，∵，∴聯(lián)立，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線，外角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形角平分線，外角性質(zhì)的應(yīng)用，利用參數(shù)解方程也是解題的技巧．36．（2023春·江蘇徐州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為、、的三角形是“完美三角形”．【簡單應(yīng)用】如圖1，，在射線上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線，交線段于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O、B重合）．

(1)______°，＝______°，______（填“是”或“不是”）“完美三角形”；(2)若，試說明：是“完美三角形”；【應(yīng)用拓展】(3)如圖2，點(diǎn)D在的邊上，連接，作的平分線交于點(diǎn)E，在上取一點(diǎn)F，使，，若是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．【答案】(1)，，是(2)見詳解；(3)或【分析】（1）根據(jù)即可得到，結(jié)合即可得到與，即可得到答案；（2）根據(jù)，，即可得到即可得到答案；（3）根據(jù)，，得到，得到，根據(jù)角平分線的定義得到，結(jié)合得到，從而得到，即可得到，即可得到，結(jié)合“完美三角形”列式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴是完美三角形，故答案為：，，是；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴是“完美三角形”；（3）解：∵，，∴，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是“完美三角形”，①當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，解得：，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，解得：，綜上所述：或；【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線有關(guān)計(jì)算，平行線判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題目中的新定義，注意分類討論．37．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知線段AB與CD相交于點(diǎn)O，連接AD，BC．

(1)如圖1，試說明：∠A+∠D＝∠B+∠C；(2)請(qǐng)利用（1）的結(jié)論探索下列問題：①如圖2，作AP平分∠DAB，交DC于點(diǎn)M，交∠BCD的平分線于點(diǎn)P，PC交AB于點(diǎn)N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大??；②如圖3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，試探索α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)①；②4γ＝3α+β．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)已知條件得到各角的數(shù)量關(guān)系，然后列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵，，，∴；（2）①如